考前回顾02 复数、平面向量（知识清单+易错分析+23年高考真题+24年最新模拟）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

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1．复数的相关概念及运算法则
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类
①z是实数⇔b＝0；
②z是虚数⇔b≠0；
③z是纯虚数⇔a＝0且b≠0.
(2)共轭复数
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数eq \x\t(z)＝a－bi.
(3)复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝eq \r(a2＋b2).
(4)复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R)．
(5)复数的运算法则
加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；
乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i
(c＋di≠0)．(其中a，b，c，d∈R)
2．复数的几个常见结论
(1)(1±i)2＝±2i.
(2)eq \f(1＋i,1－i)＝i，eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
3．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
4．向量a与b的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．如果a与b的夹角是eq \f(π,2)，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
5．平面向量的数量积
(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|·cs θ.
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
6．两个非零向量平行、垂直的充要条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
7．利用数量积求长度
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(x2＋y2).
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
8．利用数量积求夹角
设a，b为非零向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，
则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
9．三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则：
(1)O为△ABC的外心⇔|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \f(a,2sin A).
(2)O为△ABC的重心⇔eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0.
(3)O为△ABC的垂心⇔eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→)).
(4)O为△ABC的内心⇔aeq \(OA,\s\up6(→))＋beq \(OB,\s\up6(→))＋ceq \(OC,\s\up6(→))＝0.
4．找向量的夹角时，需把向量平移到同一个起点，共起点容易忽视．
易错提醒
1．复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi，a，b∈R)．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．
2．复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i2＝－1化简合并同类项．
3．若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹过△ABC的内心．
易错分析
易错点1 对平面向量基本定理理解有误
1.[ 福建泉州九中2022月考]如图所示，是圆上的三点，线段的延长线与的延长线交于圆外的一点，若，则的取值范围是 .

易错点2 关于向量的夹角的易错点
2.[浙江百校2022开学模拟]在中，“”是“为钝角三角形”的（）
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
易错点3 记错两个向量平行的坐标关系致错
3.[陕西榆林2023二模]已知向量 ，.若//，则= .
易错点4 认为与的夹角为锐角（钝角）致错
4.[辽宁名校2023联考]已知向量，.若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为（ ）
易错点5 复数的相关概念理解不清致误
5.[四川乐山2022第一次调研]若，则的虚部为（）

6.[湖南湘潭2023二模]在复平面内，复数对应的点分别是（2,-1），（0,5），则复数的虚部为（ ）

易错点6 忽视复数相等的条件致误
7、[河北2022第六次省级联测]已知复数满足条件，则（）

8.[广西桂林、崇左2023一调]已知为虚数单位，若，则= .
高考真题
一．选择题（共14小题）
1．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内，对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2023•新高考Ⅰ）已知，则
A．B．C．0D．1
3．（2023•北京）已知向量，满足，，则
A．B．C．0D．1
4．（2023•甲卷）向量，，且，则，
A．B．C．D．
5．（2023•甲卷）已知向量，，则，
A．B．C．D．
6．（2023•全国）设向量，，若，则
A．5B．2C．1D．0
7．（2023•甲卷）若复数，，则
A．B．0C．1D．2
8．（2023•北京）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数
A．B．C．D．
9．（2023•乙卷）正方形的边长是2，是的中点，则
A．B．3C．D．5
10．（2023•新高考Ⅰ）已知向量，．若，则
A．B．C．D．
11．（2023•乙卷）设，则
A．B．C．D．
12．（2023•甲卷）
A．B．1C．D．
13．（2023•全国）已知，则
A．B．C．D．
14．（2023•乙卷）
A．1B．2C．D．5
二．填空题（共8小题）
15．（2023•上海）已知向量，，则 ．
16．（2023•上海）已知复数为虚数单位），则 ．
17．（2023•天津）已知是虚数单位，化简的结果为 ．
18．（2023•新高考Ⅱ）已知向量，满足，，则 ．
19．（2023•上海）已知向量，，则 ．
20．（2023•天津）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为 ；若，则的最大值为 ．
21．（2023•上海）已知，且为虚数单位），满足，则的取值范围为 ．
22．（2023•上海）已知、、为空间中三组单位向量，且、，与夹角为，点为空间任意一点，且，满足，则最大值为 ．
最新模拟
一．选择题（共14小题）
1．（2024•昌乐县校级模拟）已知向量，，．若，则实数的值为
A．B．C．D．
2．（2024•海珠区校级模拟）已知单位向量与的夹角为，则与的夹角为
A．B．C．D．
3．（2024•沙依巴克区校级模拟）已知向量，则的坐标是
A．B．C．D．
4．（2024•平邑县校级模拟）若平面向量，，两两所成的角相等，且，，，则等于
A．2B．5C．2或5D．或
5．（2024•重庆模拟）在同一直角坐标平面内，已知点，，，点满足，的最小值为
A．B．C．D．
6．（2024•江西模拟）如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为
， B．，
C． D．
7．（2024•鼓楼区校级模拟）如图1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图2，是一个纸风车示意图，则
A．B．C．D．
8．（2024•芝罘区校级模拟）已知，，，则等于
A．B．C．D．
9．（2024•重庆模拟）过直线上一点作圆的两条切线，，若，则点的横坐标为
A．0B．C．D．
10．（2024•南宁模拟）的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为
A．B．C．D．
11．（2024•佛山模拟）已知与为两个不共线的单位向量，则
A．B．
C．若，则D．若，则
12．（2024•平罗县校级一模）已知向量，若与垂直，则
A．1B．C．2D．4
13．（2024•山东一模）已知，，，．存在，，对于任意实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
14．（2024•汉滨区校级模拟）已知中，，，若所在平面内一点满足，则的最大值为
A．B．C．D．
二．多选题（共2小题）
15．（2024•泰安模拟）已知复数，，则下列说法正确的是
A．若，则
B．若，，则在复平面内对应的点在第二象限
C．若，则
D．若，复数在复平面内对应的点为，则直线为原点）斜率的取值范围为
16．（2024•如皋市模拟）已知复数，是关于的方程的两根，则
A．B．
C．D．若，则
三．填空题（共4小题）
17．（2024•陕西模拟）已知单位向量满足，则 ．
18．（2024•芝罘区校级模拟）过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，为坐标原点，则 ．
19．（2024•浦东新区校级模拟）平面直角坐标系中，、两点到直线和的距离之和均为．当最大时，的最小值为 ．
20．（2024•芝罘区校级模拟）是面上一定点，，，是面上的三个顶点，，分别是边，的对角．以下命题正确的是 ．（把你认为正确的序号全部写上）
①动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中；
②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；
③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；
④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中．
⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中．