初中数学7.3 一元一次不等式组精品达标测试

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题型一 一元一次不等式组的定义
题型二 求不等式组的解集
题型三 解特殊不等式组
题型四 求一元一次不等式组的整数解
题型五 由一元一次不等式组的解集求参数
题型六 由不等式组解集的情况求参数
题型七 不等式组与方程组相结合问题
题型八 列一元一次不等式组
题型九 一元一次不等式组的应用
【知识梳理】
知识点1: 一元一次不等式组定义
由几个含有同一个 未知数的 一元一次不等式 组成的不等式组
知识点2: 一元一次不等式组的解集
几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集． 当任何未知数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解．
一元一次不等式组的解法及解集表示
知识点3:一元一次不等式组的解法
1．分别求出不等式组中各个不等式的解集；
2．利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集
知识点4: 一元一次不等式(组）之含参问题
【经典例题一 一元一次不等式组的定义】
【例1】（22-23七年级下·全国·课时练习）下列选项中，是一元一次不等式组的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【变式训练】
1、（22-23九年级上·广东梅州·开学考试）下列不等式组为一元一次不等式组的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式组的定义：含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组，逐个判断即可．
【详解】解：A、是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
B、是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C、是一元二次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D、是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，能熟记一元一次不等式组的定义是解此题的关键．
2．（22-23七年级下·甘肃庆阳·阶段练习）下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有 个．
【答案】2
【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可．
【详解】解：①是一元一次不等式组；
②含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
③是一元一次不等式组；
④不是一元一次不等式组；
⑤，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有2个，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
3．（22-23七年级下·全国·单元测试）判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？
(1)；(2)；(3)；(4)；(5).
【答案】见解析
【分析】（1）中含有等号，是方程不是不等式；
（2）x2的次数是二次，故不是一元一次不等式组；
（3）符合一元一次不等式组的定义；
（4）含有两个未知数，故不是一元一次不等式组；
（5）符合一元一次不等式组的定义.
【详解】解：(1)中x＝42是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式组；
(2)中x2＜81是一元二次不等式，故不是一元一次不等式组；
(3)符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组；
(4)含有两个未知数，是二元一次不等式组，故不是一元一次不等式组；
(5)符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组．
综上，可知(3)(5)是一元一次不等式组．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.
【经典例题二 求不等式组的解集】
【例2】（23-24九年级下·湖南湘潭·阶段练习）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集是：，
其解集在数轴上表示如下：
，
故选：C．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）定义运算：对于实数，．例如，，．若，对于某个确定的，有且只有一个使等式成立，则的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】A
【分析】本题考查新定义运算，分情况讨论，列出不等式组，根据不等式组的解的情况进行判断取值范围即可．
【详解】由题意可知,分三种情况：
①若,则,对于某个确定的,有且只有一个使等式成立,
;②若,则,对于某个确定的,有且只有一个使等式成立,；③若,则,对于某个确定的,有且只有一个使等式成立, ，
综上可知， 的取值范围是或；
故选：A．
2．（2024·河南许昌·一模）在实数范围内规定运算：，则不等式组的解集为 ．
【答案】
【分析】
本题考查的是新定义和解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集即可求解，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：由不等式组，可得：
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴该不等式组的解集为，
故答案为：．
3．（2023·宁夏银川·二模）解不等式组并写出它的解集在数轴上表示出来．
【答案】，图见解析
【分析】
本题主要考查解一元一次不等式组的基本技能，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，将不等式解集表示在数轴上从而确定不等式组的解集是关键．
分别求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出每个不等式的解集即可确定不等式组的解集．
【详解】
解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
将不等式的解集表示在数轴上为：
不等式组的解集为：．
【经典例题三 解特殊不等式组】
【例3】（17-18七年级下·河南许昌·期末）若关于x的不等式组式的整数解为x=1和x=2，则满足这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）共有（ ）对
A．0B．1C．3D．2
【答案】D
【分析】首先解不等式组的解集即可利用a、b表示，根据不等式组的整数解仅为1,2即可确定a、b的范围，即可确定a、b的整数解，即可求解.
【详解】
由①得：
由②得：
不等式组的解集为：
∵整数解为为x=1和x=2
∴，
解得：，
∴a=1，b=6,5
∴整数a、b组成的有序数对（a,b）共有2个
故选D
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，难度较大，熟练掌握一元一次不等式组相关知识点是解题关键.
【变式训练】
1．（19-20七年级下·河北邢台·期末）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则．反之，当为非负整数时，如果时，则，如，，，，…若关于的不等式组的整数解恰有个，则a的范围（）
A．1.5≤a＜2.5B．0.5＜a≤1.5C．1.5＜a≤2.5D．0.5≤a＜1.5
【答案】D
【分析】将〈a〉看作一个字母，通过解不等式组以及不等式组的整数解即可求出a的取值范围．
【详解】解：解不等式组，解得：，
由不等式组的整数解恰有个得：，
故，故答案选D．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的应用以及新定义，根据题意正确理解的意义是解题的关键．
2．（19-20七年级下·北京大兴·期末）我们定义，例如．若，是整数，且满足，则的最小值是 ．
【答案】-5
【分析】首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式，然后根据x，y是整数即可确定x，y的值，从而求解．
【详解】解：根据题意得：1＜6-xy＜3，
则3＜xy＜5，
又∵x、y均为整数，
∴x=1，y=4；此时，x+y=5；
x=2，y=2；此时，x+y=4；
x=-1，y=-4；此时，x+y=-5；
x=-2，y=-2；此时，x+y=-4；
故x+y的最小值是-5，
故答案为-5．
3．（21-22七年级下·陕西安康·期末）阅读下列关于不等式的解题思路：
由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得：
①或②，
解不等式组①得，
解不等式组②得，
等式的解集为或
请利用上面的解题思路解答下列问题：
(1)求出的解集；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据实数的乘法法则以及解一元一次不等式组解决此题．
（2）根据实数的除法法则以及解一元一次不等式组解决此题．
【详解】（1）由两数相乘，异号为负，得：
①或②，
解不等式组①，无解；解不等式组②，
的解集为
（2）由两数相除，同号为正，得：
①或②，
解不等式组①，；解不等式组②，
不等式的解集为或
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键．
【经典例题四 求一元一次不等式组的整数解】
【例4】（2023·广东潮州·二模）如果关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数对共有（ ）
A．42对B．36对C．30对D．11对
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，先求出不等式组的解集，根据已知得出关于、的不等式组，求出整数解即可，解此题的关键是求出、的值．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是，
∵关关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，
∴，，
∵m、n为整数，
∴、2、3、4、5、6，、17、18、19、20，
，
所以适合这个不等式组的整数对共有30对，
故选：C．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·山东临沂·期末）若关于x的不等式组，有且只有2个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组有且只有2个整数解得出，再求出答案即可．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是，
∵关于x的不等式组，有且只有2个整数解，
∴，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
2．（23-24七年级上·重庆渝北·期末）关于的方程的解为非负整数，若，则符合条件的所有整数的和为 .
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式，准确找出所有符合条件的结果，是解答本题的关键．
根据题意，得到，根据为非负整数，且为整数，得到或，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
关于的方程的解为非负整数，
为非负整数，
即，
解得，
又，
，
为非负整数，且为整数，
或，
故符合条件的所有整数的和为．
故答案为：．
3．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知关于，的二元一次方程组 的解满足不等式．
(1)求实数的取值范围．
(2)在（1）的条件下，若不等式的解为，请写出整数的值．
【答案】(1)
(2)和
【分析】（1）先把①和②相加，整理后根据列出关于的不等式求解即可；
（2）根据题意及不等式的性质列出关于的不等式并求解，结合（1）中求出的取值范围确定的整数值即可．
【详解】（1）解：，
由①②，可得，
∴，
∵，
∴，解得；
（2）∵不等式的解为，
即，
∴，
解得，
又∵，
∴的取值范围为，
∴整数的值为和．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．
【经典例题五 由一元一次不等式组的解集求参数】
【例5】（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期中）关于x的分式方程的解为非负数，且关于y的不等式组有且只有三个整数解，则所有满足条件的整数a的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】先解分式方程得，由题意可得，，从而得到且；再解不等式组得，由题意可得，由此求出满足条件的a的值即可．
【详解】解：，
，
，
，
∵方程的解为非负数，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴且；
，
由①得，，
由②得，，
∴，
∵有且只有三个整数解，
∴不等式组的整数解为4，3，2，
∴，
解得，
∴a的值为，1，2，共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程和一元一次不等式组的解法是解题的关键．
【变式训练】
1．（21-22七年级下·安徽亳州·期中）若不等式组的解集为，则a满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先把当作己知条件求出不等式组的解集，再与己知解集相比较即可得出的值．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
故此不等式组的解集为：，
∵己知不等式组的解集为：，
∴，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握：“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解此题的关键．
2．（23-24八年级上·重庆铜梁·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集为；且关于y的方程有正整数解，则所有满足条件的m的整数值之和是 ．
【答案】
【分析】化简一元一次不等式组，根据解集为得到m的取值范围；解关于y的方程，根据有正整数解，得到m的取值范围，最后求出所有符合条件的整数求和即可．
【详解】解不等式，得：，
∵关于x的一元一次不等式组的解集为
∴，
方程去括号得：
解得：，
∵关于y的方程有正整数解，
∴，
解得，
综上所述，
由有正整数解可得或或，
∴所有满足条件的m的整数值之和是，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次方程的解、一元一次不等式组的解；熟练掌握一元一次方程方程的解法、一元一次不等式组的解法，对一元一次方程方程有正整数解的运用是解题的关键．
3．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“相伴方程”．
(1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是______；（填序号）
①；②；③．
(2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围；
(3)若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，其中，求的取值范围．
【答案】(1)①②
(2)取值范围为
(3)的取值范围为
【分析】（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可；
（2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，再去求不等式组的解集即可；
（3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再判断即可．
【详解】（1）解不等式组，得，
解方程得：；
解方程得：；
解方程得：，
∵，
∴①②是不等式组的“相伴方程”，
故答案为：①②；
（2）解不等式组得：，
解方程得：，
∵关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，
∴，
解得：，
即k的取值范围是；
（3）解方程得，
解方程得，
∵方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”， ，
所以分为两种情况：①当时，不等式组为，
此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去；
②当时，不等式组的解集是，
所以根据题意得：，
解得：，
所以m的取值范围是．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键．
【经典例题六 由不等式组解集的情况求参数】
【例6】（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）关于x的不等式组恰好有4个整数解，则a满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先解不等式组得到，再利用不等式组只有4个整数解，则x只能取17、18、19、20，所以，然后解关于a的不等式组即可．
【详解】解不等式得，
解不等式得
所以不等式组的解集为，
因为不等式组只有4个整数解，即x只能取17、18、19、20，
所以，
所以．
故选：C．
【变式训练】
1．（2024八年级·全国·竞赛）已知关于的不等式组的整数解只有1、2、3，其中都为整数，则的值共有（ ）
A．16个B．17个C．18个D．72个
【答案】D
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，先解两个不等式，结合不等式组的整数解得出m、n的取值范围，结合m、n为整数可以确定m、n的值，代入计算可得．
【详解】解：解不等式，得；
解不等式，得；
∵不等式组的整数解是1、2、3，
∴，
∴
∵都为整数，
∴有9个整数，有8个整数，
∴的值共有：（个），
故选：D．
2、（2024八年级下·全国·专题练习）关于x的不等式组无整数解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了不等式组的解集问题，解题的关键是熟练掌握解不等式组的一般方法．先分别求出两个不等式的解集为，然后分两种情况进行讨论：当不等式有解时，当不等式无解时，分别求出结果即可．
【详解】解：，
由不等式①，得：，
由不等式②，得：，
当不等式有解时， ，
解得：；
当不等式无解时，，
解得：；
综合可得，实数a的取值范围是．
3．（23-24八年级上·浙江金华·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
(1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是____________；（填序号）
(2)关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求m的取值范围．
【答案】(1)②③
(2)
(3)
【分析】此题考查了一元一次方程的解法和一元一次不等式组的的解法，读懂题意，正确解一元一次方程和一元一次不等式组是解题的关键．
（1）解方程和不等式组后，根据定义进行判断即可；
（2）解方程和不等式组后，再解关于k的不等式组即可；
（3）解方程和不等式组后，再解关于m的不等式组，由不等式组有3个整数解得到新的不等式组，解新不等式组后，取两个不等式组解集的公共部分即可．
【详解】（1）解：①
去括号得，，
移项合并同类项得，；
②
去分母得，，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，；
③
移项得，，
系数化为1得，；
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
和在的范围内，所以方程②和③
是不等式组的“关联方程”．
故答案为：②③．
（2）
解得，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
∴，
解得；
（3）
去分母得，
移项合并同类项得，；
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为
∴，
解得，
∵不等式组有3个整数解，
∴，
解得，
∴
【经典例题七 不等式组与方程组相结合问题】
【例7】（23-24九年级上·江苏连云港·期中）在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将方程组中的两个方程相加可得：进而得到，然后再结合即可解答；掌握整体思想是解题的关键．
【详解】解：将方程组中的两个方程相加可得：，
则，
∵，
∴，解得：，
故选：C．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·广东潮州·期末）已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则.其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①④D．②③④
【答案】D
【分析】解二元一次方程组，根据方程组的解x为正数，y为非负数，列不等式求解即可证明①；把代入验证即可证明②；把代入验证③即可；根据条件求出a的取值范围即可求出④．
【详解】解：，
得：，
∴，
把代入①得：，
∵方程组的解x为正数，y为非负数，
∴，解得，
∴，故①错；
当时，，，
∴，故②正确；
当时，，，故③正确；
若，则，即，
∴，即，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，正确解出方程组是解题的关键，注意方程与不等式组的综合运用．
2．（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ．
【答案】或或
【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到或或，据此求解即可．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，，
不等式组至少有4个整数解，
∴，
∴，
解方程组，
得：，解得，
将代入②得：，解得
方程组的解为：，
∵，
∴，
关于的方程组的解为整数，
或或，
或或，
当时，，此时是整数，符合题意；
当时，，此时是整数，符合题意；
当时，，此时是整数，符合题意；
所有满足条件的整数的值为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围，熟练掌握一元一次不等式组以及二元一次方程组的解法．
3．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）我们用表示不大于的最大整数，例如：，，；用表示大于的最小整数，例如：，，．根据上述规定，解决下列问题：
(1) ， ；
(2)若为整数，且，求的值；
(3)若、满足方程组，求、的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)，
【分析】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，解不等式组；
（1）根据表示不大于的最大整数，表示大于的最小整数，进行计算即可；
（2）根据，可得 进而得到
（3）解方程组可得 根据表示不大于的最大整数，表示大于的最小整数，即可得到、的取值范围．
【详解】（1）解：由题可得，，
故答案为，；
（2），且为整数，
，
，且为整数，
，
，
，
解得；
（3）解原方程组，得
又∵表示不大于的最大整数，表示大于的最小整数，
【经典例题八 列一元一次不等式组】
【例8】（2023秋·浙江·八年级专题练习）一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由“张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完”可建立不等式组．
【详解】解：设张力平均每天读x页，则李永平均每天读页
由“张力读了一周（7天）还没读完”可得：
由“李永不到一周就已读完” 可得：
故：
故选：A．
【点睛】本题考查列一元一次不等式组．正确理解题意是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏无锡·七年级无锡市天一实验学校校考阶段练习）若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】船只顺流速度船静水中的速度水流流速，
船只逆流速度船静水中的速度水流流速，
根据“顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时”建立方程，即可得出答案．
【详解】根据题意，得，
故选：．
【点睛】此题是由实际问题抽象出二元一次方程，主要考查了水流问题，找到相等关系是解本题得关键．
2．（2023春·七年级课时练习）根据条件“与和的倍是非正数，的倍与的差小于”列出的不等式组是 ．
【答案】
【分析】根据题意列出不等式组即可．
【详解】解：根据与和的倍是非正数得：，
根据的倍与的差小于得：，
因此可以列不等式组为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列不等式组，解题的关键是根据不等关系列出不等式．
3．（2023春·七年级课时练习）把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为 ．
【答案】
【分析】设有a个学生，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：，根据最后一个同学最多分得3个，即大于0个小于等于3个，列出一元一次不等式组即可求解．
【详解】由已知条件可得，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：
最后一个同学最多分得3个，
则，即．
故答案为．
【点睛】本题考查了列不等式组，根据题意找到不等关系列出不等式是解题的关键．
4．（2022春·七年级单元测试）某班名学生上体育课，老师出了一道题：现在我拿出一些篮球，如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人．请写出篮球数x与人数的不等关系．
【答案】
【分析】如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打，就有；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人，就有即可．
【详解】解：设篮球数为x，根据题意可得：，
解得： ，
【点睛】本题主要考查的是一元一次不等式的实际应用，正确列出满足题意的不等式是解题的关键．
【经典例题九 一元一次不等式组的应用】
【例9】（2023秋·浙江·八年级专题练习）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设有x人，由于每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，则苹果有 个；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，就是苹果数大于0，并且小于8，根据不等关系就可以列出不等式．
【详解】解：设有x人，则苹果有个，由题意得：
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．
【变式训练】
1．（2023春·福建泉州·七年级福建省泉州市培元中学校考期中）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“小于25元”，乙说：“至少22元”，丙说：“大于20元”，小明说：“你们三个人都说对了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据甲、乙、丙三人都说对了，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【详解】解：依题意得：，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
2．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）在某校有住校男生若干名，若每间宿舍住4名，则还剩下20名未住下；若每间住宿8名，则一部分宿舍没住满，且无空房．该校共有男生 名．
【答案】
【分析】设该校有男生宿舍x间，那么住校的男生有名．根据x间宿舍中必有一宿舍住的人数至少为1人，最多为7人，列出不等式组，求出不等式组的解集，根据x为整数即可得到答案．
【详解】解：设该校有男生宿舍x间，那么住校的男生有名．
∵每间宿舍住8名，一部分未住满且无空房，
∴x间宿舍中必有一宿舍住的人数至少为1人，最多为7人．
则，
解得，
∵x为整数，
∴，
∴，
故该校共有住校男生名，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题意，找到不等关系列出不等式组是解题的关键．
3．（2022春·安徽宣城·九年级统考自主招生）某前驱式汽车，现有两对全新轮胎，每对轮胎若安装在前轮，则行驶公里后报废；若安装在后轮，则行驶公里后报废．为了延长总使用里程，可以行驶一段路程后交换前、后两对轮胎，那么最多可行驶 公里．
【答案】
【分析】设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶的磨损量为．又设一对新轮胎交换位置前走了，交换位置后走了．根据题意列出一元一次不等式组即可求解．
【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶的磨损量为．又设一对新轮胎交换位置前走了，交换位置后走了．
由题意得：，且，
两式相加，得，
所以，
即最多可行驶．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出一元一次不等式组是解题的关键．
4．（2023春·湖北恩施·九年级校联考阶段练习）为贯彻落实咸丰县教育局关于《咸丰县中小学研学旅行活动实施方案（试行）》（3月18日印发）文件精，以立德树人、培育人才为根本目的，引导广大中小学生积极主动融入社会，适应社会，走进大自然，亲近大自然.咸丰县各校纷纷整合资源，因地制宜，积极开展研学旅行活动，一小学五年级519名学生及20名教师参加此次活动，现有A、B两种公交车型可供租用，且A、B两种公交车型核载人数分别为35人/辆、28人/辆．已知租用2辆A型客车与1辆B型客车需要1036元，租用1辆A型客车与3辆B型客车需要1358元．
(1)求每辆A型客车与每辆B型客车各需要多少元？
(2)若要求此次租车18辆，且总租金不高于6200元，请问有哪几种租车方案？
【答案】(1)每辆种客车的租金是元，每辆种客车的租金是元；
(2)一共有6种租车方案：租用辆种客车，13辆种客车；租用6辆种客车，12辆种客车；租用7辆种客车，11辆种客车；租用8辆种客车，10辆种客车；租用9辆种客车，9辆种客车；租用10辆种客车，8辆种客车．
【分析】（1）设每辆种客车的租金是元，每辆种客车的租金是元，根据题意列方程组解方程组即可；
（2）设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意列不等式组解不等式即可．
【详解】（1）解：设每辆种客车的租金是元，每辆种客车的租金是元，
根据题意可得，
解得，
答：每辆种客车的租金是元，每辆种客车的租金是元；
（2）解：设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意可得，，
解得，
∵为整数，
∴，，，8，9，10，
∴一共有6种租车方案：
租用辆种客车，13辆种客车；
租用6辆种客车，12辆种客车；
租用7辆种客车，11辆种客车；
租用8辆种客车，10辆种客车；
租用9辆种客车，9辆种客车；
租用10辆种客车，8辆种客车．
【点睛】本题考查了二元一次方程与实际问题，一元一次不等式组与实际问题，明确题目中的数量关系是解题的关键．
【拓展培优】
1．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）对一个实数按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于210？”为一次操作，如果操作恰好进行两次停止，则x的值可能是( )

A．64B．71C．82D．128
【答案】A
【分析】根据题意，可得，解不等式组，即可求解．
【详解】依题意，得，解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．
2．（23-24九年级上·湖北·周测）对于实数x,符号可表示不超过x的最大整数，如．若有正整数解，则正实数a的取值范围是（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，首先根据题意列出不等式组，再解不等式组即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵有正整数解，a是正数，
∴，即x可取1、2，
当时，，即，
当时，，即，
∵，
∴，
综上，a的取值范围是或．
故选：C．
3．（22-23七年级下·重庆·期末）我们用表示不大于a的最大整数；用表示大于a的最小整数．下列说法：
①，；
②如果，则满足条件的所有正整数x只有7和8；
③已知x，y满足方程组，则x，y的取值范围，．
其中正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】按照题目所给的新定义逐一判断即可解题．
【详解】①，；正确，
∵，
∴，
解得：，
∴所有正整数x只有7和8，
故②正确；
解方程组得：
∴，，
故③错误，
∴正确的为①②，正确的个数为个，
故选C．
【点睛】本题考查新定义的运算，学会新定义并且掌握运算法则是解题的关键．
4．（23-24八年级上·江西南昌·期末）若关于y的不等式组有解，则满足条件的整数m的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】解不等式组得，，根据不等式组有解可得，即，即可求解．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
∵关于y的不等式组有解，
∴，即，
∴满足条件的整数m的最大值为7，
故选：B．
5．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）关于x，y的二元一次方程组的解为整数，关于z的不等式组有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数k的和为（ ）
A．6B．7C．11D．12
【答案】A
【分析】
本题考查了解含参数的二元一次方程组整数解，含参数的不等式组整数解问题；解出方程组，根据整数解确定的取值，解出不等式组，由整数解的个数确定的取值范围，即可求解；能正确解出含参数的方程组和不等式组，并确定的取值范围是解题的关键．
【详解】解：解方程组得：
，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为整数，
∴k可取，1，，4，5，，
解关于z的不等式组得，
∵关于z的不等式组有且仅有2个整数解，
，
解得：，
∴整数k为，1，，4，
其和为，
故选：A．
6．（2024七年级·全国·竞赛）若为正有理数，且与之间恰有2013个整数（不包括与），则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解题意即可解答．
【详解】解：，．
故答案为：.
7．（2024·甘肃·一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为 ．
【答案】/
【分析】
本题主要考查解二元一次方程组以及不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据远算法则进行计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
解得，
故答案为：．
8．（22-23七年级下·四川资阳·期末）已知关于x的不等式组的解集为，则m的值为 ．
【答案】3
【分析】
本题主要考查解一元一次不等式组，先解每个不等式得出解集，结合已知的不等式组的解集得出关于m的方程，解之即可．
【详解】解：，
解不等式①，得，；
解不等式②，得；
∴不等式组的解集为，
，
解得，，
故答案为：3．
9．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）如果关于的不等式组的解集为，且整数使得关于的二元一次方程组的解为整数（均为整数），则符合条件的所有整数的和是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组以及分式的整数值，解不等式组，结合其解集得出；解方程组得出其解，结合解均为整数得出整数m的值；综合前面m的取值范围确定m的最终取值，从而得出答案．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∵不等式的解集为，
∴，
解方程组得，
∵解集为整数，
∴或或或，
∴或或或，
∵，
∴或或，
∴整数的和是，
故答案为：2．
10．（20-21六年级下·上海虹口·期中）已知关于的不等式组的整数解共有5个，且关于的不等式的解集为，则的值为 ．
【答案】
【分析】先求于的不等式组的解集，根据整数解的个数求的取值范围，然后根据关于的不等式的解集求的取值范围，最后作答即可．
【详解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∵不等式组有5个整数解，
∴，
解得，，
，
移项合并得，，
∵关于的不等式的解集为，
∴，
∴，
综上，，
∴的值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
11．（22-23八年级上·四川达州·阶段练习）已知不等式组 的整数解为4， 3， 2，求整数a的最小值
【答案】33
【分析】
本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组得到不等式组的解集，再根据不等式组的整数解的情况建立关于a的不等式组，解之即可得到答案．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的整数解为4， 3， 2，
∴，
解得且，
∴，
∴整数a的最小值为33．
12．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算：
(1)解方程组：
(2)解不等式：
(3)解不等式组：
(4)解不等式组：
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了方程组，不等式，不等式组的解法，
（1）选择代入消元法解答即可．
（2）根据解不等式的基本步骤求解即可．
（3）根据解不等式组的基本步骤求解即可．
（4）根据解不等式组的基本步骤求解即可．
【详解】（1），
把①代入②，得，
解得，
把代入①，得，
故方程组的解为．
（2）
去分母，得
，
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
．
（3）解不等式组：，
解①得，解②得，，
故不等式组的解集为．
（4），
解①得，解②得，，
故不等式组的解集为．
13．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，．．
(1)比较与的大小，并说明理由．
(2)若，求x的取值范围．
(3)若不等式组的解集为，求m的取值范围．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先根据关于的一种运算的法则计算，，由此可比较与的大小；
（2）先计算，然后将不等式可转化为，解此不等式可得的取值范围；
（3）先计算，因此可将不等式可转化为，由此可解得，然后根据不等式组，的解集为，得，解此不等式即可求出的取值范围．
【详解】（1）解： ，理由如下：
，
，，
；
（2）解：，
不等式可转化为：，
；
（3）解：，
不等式可转化为：，
，
不等式组组的解集为，
，
．
【点睛】此题主要考查了新定义，有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，理解题目中给出的新定义运算的法则，及一元一次不等式组的解集，熟练掌握有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组是解决问题的关键．
14．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）如果一个不等式（组）的解集中包含一个方程（组）的解，那么就称这个不等式（组）的解集为这个方程（组）的“青一范围”，例如：不等式的解集是，它包含了方程方程的解，因此是的“青一范围”．
(1)判断：①；②；③，中哪个不等式的解集是方程的“青一范围”；
(2)已知是方程的解，不等式组的解集是方程的“青一范围”，求的最小值；
(3)若不等式组的解集是方程的“青一范围”，求的取值范围．
【答案】(1)不等式①的解集是方程 的“青一范围”
(2)5
(3)
【分析】本题主要考查了方程组及不等式组，
（1）分别解不等式和解一元一次方程，再根据“青一范围”的定义即可判断；
（2）解不等式组得出，再根据“青一范围”的定义得出，由可知，代入的得，结合的取值可得答案；
（3）解不等式组得出，再解一元一次方程得出方程的解，根据不等式组整数解的确定可得答案．
【详解】（1）由题意，方程的解为：，
①不等式的解集为：，②不等式的解集为：，③不等式的解集为：，
不等式①的解集是方程 的“青一范围”．
（2）由题意，解不等式组的得：．
是方程的解，不等式组的解集是方程的“青一范围”，
，
，
，
，
，
，
，
当时，有最小值为5．
（3）由题意，不等式组，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：．
不等式组的解集为．
又方程的解为，
．
，且．
．
．
．
15．（22-23七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了．
(1)该店销售记录显示，四月份销售两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出两种品牌的儿童床的数量；
(2)根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货方案：
(3)在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量．
【答案】(1)该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张
(2)该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；
(3)该店捐甲、乙两款机器的数量分别为3台、13台．
【分析】（1）设该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张，根据四月份销售两种儿童床共20张和销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，可得二元一次方程组，解方程即可；
（2）设该店四月份售出品牌儿童床为张，则品牌儿童床为张，根据购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的和两种儿童床的资金不超过115000元，可列一元一次不等式组，解不等式组即可解答；
（3）在（2）的条件下，设该店捐甲、乙两款机器的数量分别为台，分类讨论，求的正整数解，从而得出结论．
【详解】（1）解：设该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张，
根据题意可得方程，
解得，
该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；
（2）解：设该店四月份售出品牌儿童床为张，则品牌儿童床为张，
由题意可得，
解得，
是正整数，
或17，
或13，
故所有可能的进货方案由两种，分别为：该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；
（3）解：在（2）的条件下，设该店捐甲、乙两款机器的数量分别为台，
①当购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张时，
售出后的利润为（元），
，
即，
是正整数，
，
②当购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张时，
售出后的利润为（元），
，
即，
是正整数，
无解，
综上所述，该店捐甲、乙两款机器的数量分别为3台、13台．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式组．
不等式组（a＞b)
解集
在数轴上表示
口诀
x＞a
同大取大
x＜b
同小取小
b＜x＜a
大小、小大中间找
无解
大大、小小取不小