2024年安徽省亳州市中考数学一模试卷(含解析）

这是一份2024年安徽省亳州市中考数学一模试卷(含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，四象限，则k的取值范围是，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.sin45°=( )
A. 3B. 32C. 33D. 22
2.下列运算正确的是( )
A. 2a+3b=5abB. a3⋅a3=a9
C. a6÷a2=a3D. (−2ab2)3=−8a3b6
3.若反比例函数y=2−kx的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是( )
A. k<−2B. k<2C. k>−2D. k>2
4.如图所示的是一个由5块大小相同的小正方体搭建成的几何体，则它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点B′恰好在边BC上，若∠B=70°，则∠C′B′C的度数是( )
A. 30°
B. 40°
C. 60°
D. 70°
6.某航空公司规定，旅客可免费携带一定质量的行李，超出部分需另外收费，下表列出了乘客携带的行李质量x(千克)与其运费y(元)之间的一些数据：
若旅客携带了40千克的行李，他应该支付的运费为( )
A. 450元B. 500元C. 560元D. 600元
7.如图，在△ABC中，AB=3 5，tan∠ABC=12，∠ACB=45°，则BC的长为( )
A. 9B. 12C. 6 5D. 9 5
8.如图，一个圆内接于一个正六边形，若随机向正六边形内部投掷一粒大米，则大米落在阴影部分的概率是( )
A. 12
B. 13
C. 14
D. 16
9.反比例函数y=kx与二次函数y=−kx2+x−k(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
10.已知，如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BG平分∠ABC.点D，E分别是边BC，AC上的点(点D不与点B，C重合)，且∠ADE=∠ABC，AD与BG相交于点F.有下列结论：①△ABG∽△ACB；②若AB=12，AG=8，则BC=15；③若AB=12，AG=8，且BF=2CE，则BF：GF=27：8.其中正确的是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.抛物线y=−(x+2)2+1的顶点坐标是______．
12.一组数按下列规律排列： 2， 2，2 2，3 2，5 2，8 2，…，x，y，z，…，则相邻的三个数x，y，z之间的关系是______．
13.如图，△ABC内接于⊙O，过点O作OD⊥AC交⊙O于点D，连接AD，CD，若∠B=70°，则∠DAC= ______．
14.如图，一次函数y=32x+3的图象与y轴交于点B，与反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象交于点A．
(1)若点A坐标为(a,4)，则k= ______；
(2)若k=12，则△OAB的面积为______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：(2024−π)0−2sin60°−| 3−2|．
16.(本小题8分)
某几何体的三视图如图所示．
(1)该几何体的名称是______；
(2)根据图中的数据，求该几何体的侧面积.(结果保留π)
17.(本小题8分)
《孙子算经》是一本十分著名的中国古代数学典籍，其中有这样一道题，原文如下：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，问：木长几何？大意为：用一根绳子去量根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问：木长多少尺？请用方程(组)解答上述问题．
18.(本小题8分)
如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点(网格线的交点)．
(1)以点A为位似中心，在点A的另一侧画出△ABC的位似△AB1C1，使它与△ABC的相似比为1：2；
(2)将△AB1C1绕点B1逆时针旋转90°得到△A1B1C2，画出△A1B1C2．
19.(本小题10分)
如图，一渔轮在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔轮向正东方向航行10海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若灯塔C四周14海里范围内有暗礁，则渔轮继续向正东方向航行，是否有触礁的危险？( 2≈1.41, 3≈1.73)
20.(本小题10分)
如图，OA是⊙O的半径，过点A作⊙O的切线AB，OC/​/AB，∠OBC=∠OBA．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若OC=3AB，求csC的值．
21.(本小题12分)
在五张大小、材质完全相同的卡片上分别写上数字−4，−2，−1，3，6，将这五张卡片放置于暗箱内摇匀．
(1)从箱中随机摸出一张卡片，求卡片上写的数字是负数的概率；
(2)先从箱中摸出一张卡片，将卡片上的数字作为点的横坐标，不放回，再摸出一张卡片，将卡片上的数字作为点的纵坐标，求确定的点恰好在反比例函数y=−12x的图象上的概率．
22.(本小题12分)
如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，在BC延长线上取点F，使EF=ED，过点F作FG⊥ED交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，连接CM，EN，EG．
(1)求证：△CNF∽△CED；
(2)若正方形ABCD的边长为2．
①求CNDN的值；
②求四边形GBEN的面积．
23.(本小题14分)
已知抛物线y=−18x2+bx+c经过点(−5,−52)和(3,32)．
(1)试确定该抛物线的函数表达式；
(2)如图，设该抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，其顶点为C，对称轴为l，l与x轴交于点D．
①求证：△OBC是直角三角形；
②在l上是否存在点P，使得以A，D，P为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：sin45°= 22，
故选：D．
根据sin45°= 22即可求解．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
2.【答案】D
【解析】解：A、2a与3b不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、a3⋅a3=a6，故此选项不符合题意；
C、a6÷a2=a4，故此选项不符合题意；
D、(−2ab2)3=−8a3b6，故此选项符合题意；
故选：D．
根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=2−kx的图象分布在第二、四象限，
∴2−k<0，
解得k>2，
故选：D．
根据反比例函数的图象和性质，由2−k<0即可解得答案．
本题考查了反比例函数的图象和性质：当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限．
4.【答案】D
【解析】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：D．
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
5.【答案】B
【解析】解：∵将△ABC绕点A旋转后，得到△AB′C′，
∴AB=AB′，∠B=∠AB′C′=70°，
∴∠B=∠AB′B=70°，
∴∠C′B′C=180°−70°−70°=40°，
故选：B．
由旋转的性质可得AB=AB′，∠B=∠AB′C′=70°，由等腰三角形的性质可得∠B=∠AB′B=70°，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：由图表可知，当行李的质量超过20千克时，每千克需要支付的费用为90÷(23−20)=30(元)，
则30×(40−20)
=30×20
=600(元)．
故选：D．
由图表可知，当行李的质量超过20千克时，求出每千克需要支付的费用，即可求出答案．
本题主要考查函数的表示方法，“当行李的质量超过20千克时，求出每千克需要支付的费用“是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：过点A作BC的垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，
∵tan∠ABC=12，
则令AM=x，BM=2x，
又∵AB=3 5，
∴x2+(2x)2=(3 5)2，
解得x=3，
∴AM=3，BM=6．
又∵∠ACB=45°，
∴∠MAC=90°−45°=45°，
∴∠ACB=∠MAC，
∴CM=AM=3，
∴BC=BM+CM=9．
故选：A．
过点A作BC的垂线，垂足为M，先根据AB长及∠B的正切可以求出AM和BM的长，再利用∠ACB=45°即可解决问题．
本题考查解直角三角形，熟知正切的定义是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：设正六边形的面积为a，
则阴影部分面积为26a=13a，
∴大米落在阴影部分的概率是13aa=13．
故选：B．
根据几何概率的求法：大米落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．
9.【答案】C
【解析】解：当k>0时，二次函数y=−kx2+x−k的图象开口向下，与y轴交点在y轴的正负半轴；反比例函数y=kx图象在第一、三象限；
当k<0时，二次函数y=−kx2+x−k的图象开口向上，与y轴交点在y轴的正半轴；反比例函数y=kx图象在第二、四象限，故选项C正确；
故选：C．
根据k的取值范围分当k>0时和当k<0时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可．
本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．
10.【答案】D
【解析】解：∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠CBG=12∠ABC，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠C=∠ABG=∠CBG，
又∵∠BAG=∠BAC，
∴△ABG∽△ACB；故①正确；
∴AGAB=ABAC=BGBC，
∴812=12AC，
∴AC=18，
∴CG=10，
∵∠C=∠ABG=∠CBG，
∴BG=CG=10，
∴812=10BC，
∴BC=15，故②正确；
∵∠ADE=∠ABC，∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠ABC+∠BAD，
∴∠BAD=∠CDE，
又∵∠ABG=∠C，
∴△ABF∽△DCE，
∴CEBF=CDAB，
∵BF=2CE，AB=12，
∴CD=6，
∴BD=9，
过点G作GH/​/DC，交AD于H，
∴AGAC=HGDC，
∴818=HG6，
∴HG=83，
∵GH//CD，
∴BFFG=BDHG=983=278，故③正确，
故选：D．
由角平分线的性质可证∠C=∠ABG=∠CBG，可证△ABG∽△ACB；故①正确；由相似三角形的性质可求AC=18，即可求BC=15，故②正确；通过证明△ABF∽△DCE，可求CD，BD的长，由平行线分线段成比例可求BFFG=BDHG=278，故③正确，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
11.【答案】(−2,1)
【解析】解：抛物线y=−(x+2)2+1的顶点坐标是(−2,1)，
故答案为：(−2,1)．
根据抛物线的顶点式直接求得顶点坐标．
本题考查了求二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
12.【答案】x+y=z
【解析】解：由题意可得 2+ 2=2 2，
2+2 2=3 2，
2 2+3 2=5 2，
…，
x+y=z，
故答案为：x+y=z．
根据题意总结规律即可．
本题考查二次根式的加减及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．
13.【答案】35°
【解析】解：∵△ABC内接于⊙O，过点O作OD⊥AC交⊙O于点D，
∴四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠∠ADC=180°，
∴∠ADC=110°，
∵OD⊥AC，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA=180°−∠ADC2=180°−110°2=35°，
故答案为：35°．
由圆接四边形性质可得∠ADC=110°，再根据垂径定理可得AD=DC，然后由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得答案．
此题考查的是三角形的外接圆与外心、垂径定理、等腰三角形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
14.【答案】83 3
【解析】解：(1)∵点A在一次函数y=32x+3的图象上，
∴4=32a+3，解得a=23，
∴A(23,4)，
∵A(23,4)在反比例函数图象上，
∴k=23×4=83．
故答案为：83；
(2)若k=12，则反比例函数解析式为y=12x，联立方程组y=12xy=32x+3，解得x=2y=6，或x=−4y=−3，
∴A(2,6)，
在一次函数y=32x+3中，令x=0.则y=3，
∴B(0,3)，
∴S△AOB=12×3×2=3．
故答案为：3．
(1)先求出点A坐标，再利用待定系数法求出k值即可；
(2)联立方程组求出A点B点坐标，根据三角形面积计算方法计算即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
15.【答案】解：原式=1−2× 32−(2− 3)
=1− 3−2+ 3
=−1．
【解析】利用零指数幂的意义，特殊角的三角函数值和绝对值的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值和绝对值的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
16.【答案】圆锥
【解析】解：(1)由三视图可知，该几何体的名称是圆锥；
故答案为：圆锥；
(2)由三视图可得圆锥的底面直径为8dm，高6dm，
所以母线长为 62+42=2 13(dm)，
π×82×2 13=8 13π(dm2)，
答：该几何体的侧面积为8 13πdm2．
(1)由三视图我们易判断，该几何体是一个圆锥；
(2)由已知三视图中标识的数据，我们易判断圆锥的底面直径为8dm，高6dm，根据勾股定理求出母线长，代入圆锥侧面积公式，即可求出答案．
本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及圆锥体的侧面积公式．
17.【答案】解：设绳子长x尺，则长木长为(x−4.5)尺，
根据题意，得：x−4.5−12x=1，
解得：x=11，
所以x−4.5=11−4.5=6.5，
答：木长为6.5尺．
【解析】设绳子长x尺，则长木长为(x−4.5)尺，根据“长木的长−12×绳子长度=1”列出关于x的方程，解之即可．
本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的相等关系，并据此列出关于x的方程．
18.【答案】解：(1)如图，△AB1C1为所作；
(2)如图，△A1B1C2为所作．

【解析】(1)延长BA到B1点使AB1=12BA，延长BC到C1点使AC1=12CA，则△AB1C1满足条件；
(2)利用网格特点和旋转的性质画出点A、C1的对应点即可．
本题考查了作图−位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．也考查了旋转变换．
19.【答案】解：渔轮继续向正东方向航行，有触礁的危险，理由如下：
如图，过点C作CH⊥AB于点H．

∵∠DAC=60°，∠CBE=45°，
∴∠CAH=90°−∠CAD=30°，∠CBH=90°−∠CBE=45°，
∴∠BCH=90°−45°=45°=∠CBH，
∴BH=CH，
在Rt△ACH中，∠CAH=30°，AH=AB+BH=10+CH，tan∠CAH=CHAH=tan30°= 33，
∴CH= 33(10+CH)，
解得：CH=5 3+5≈13.65(海里)，
∵13.65<14，
∴渔轮继续向正东方向航行，有触礁的危险．
【解析】过点C作CH⊥AB于点H.证明BH=CH，再在Rt△ACH中，解直角三角形求出CH的长，即可解决问题．
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：过O作OE⊥BC于E，
∵过点A作⊙O的切线AB，
∴OA⊥AB，
∵∠OBC=∠OBA，
∴OA=OE，
∴BC是⊙O的切线；
(2)解：由(1)知，OA=OE，
在Rt△ABO与Rt△EBO中，
OA=OEOB=OB，
∴Rt△ABO≌Rt△EBO(HL)，
∴AB=BE，
∵AB/​/OC，
∴∠ABO=∠BOC，
∵∠ABO=∠EBO，
∴∠BOC=∠OBC，
∴BC=OC，
∵OC=3AB，
∴BC=3BE，
∴CE=2OC，
∴csC=OEOC=23．
【解析】(1)过O作OE⊥BC于E，根据切线的性质得到OA⊥AB，推出OA=OE，根据切线的判定定理即可得到结论；
(2)由(1)知，OA=OE，根据全等三角形的性质得到AB=BE，根据平行线的性质得到∠ABO=∠BOC，得到BC=OC，根据三角函数的定义得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)从箱中随机摸出一张卡片，卡片上写的数字是负数的概率是35；
(2)列表如下：
由表知，共有24种等可能结果，其中点(x,y)恰好在反比例函数y=−12x的图象上有4种结果，
所以点恰好在反比例函数y=−12x的图象上的概率为424=16．
【解析】(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到点恰好在反比例函数y=−12x的图象上的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，∠DCB=90°，
∴∠NCF=180°−∠DCB=90°=∠DCE，
∴∠F+∠CNF=90°，
∵FG⊥ED，
∴∠EDC+∠DNM=90°，
∵∠DNM=∠CNF，
∴∠EDC=∠F，
∴△CNF∽△CED；
(2)解：在正方形ABCD中，∠DCB=90°，
∵FG⊥ED，
∴∠EMF=90°=∠DCB，
又∵∠F=∠EDC，EF=ED，
∴△MFE≌△CDE(AAS)，
∴EM=CE，
∵E是BC的中点，正方形ABCD的边长为2．
∴BE=CE=EM=12BC=1，
∵CF=EF−EC，MD=ED−EM，
∴CF=MD，
又∵∠DMN=∠FCN=90°，∠DNM=∠CNF，
∴△DMN≌△FCN(AAS)，
∴DN=FN，
∴CNDN=CNFN=sinF=sin∠EDC，
在Rt△CDE中，DE= CD2+CE2= 22+12= 5，
∴sin∠EDC=CEDE=1 5= 55，
∴CNDN= 55；
②由①知，CNDN= 55，
设CN=x，则DN= 5x，
∴CN+DN=CD=( 5+1)x=2，
∴x= 5−12，
∴CN= 5−12，
∴S△CEN=12CE⋅CN= 5−14，
在Rt△BFG中，BGBF=tanF=tan∠EDC=CECD=12，
∴BG=12BF=12(BE+EF)，
∴EF=ED= 5，
∴BG=12×(1+ 5)= 5+12，
∴四边形GBEN的面积=S梯形BCNG−S△CEN=12×( 5−12+ 5+12)×2− 5−14=3 5+14．
【解析】(1)根据正方形的性质及邻补角定义求出∠NCF=∠DCE，结合直角三角形的性质、对顶角性质求出∠EDC=∠F，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解；
(2)①利用AAS证明△MFE≌△CDE，△DMN≌△FCN，根据全等三角形的性质求出DN=FN，则CNDN=CNFN=sinF=sin∠EDC，解直角三角形求解即可；
②结合①根据线段的和差求出CN= 5−12，则S△CEN= 5−14，根据锐角三角函数定义求出BG= 5+12，再根据四边形GBEN的面积=S梯形BCNG−S△CEN求解即可．
此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟练掌握了正方形的性质、相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】(1)解：由题意得：32=−18×9+3b+c−52=−18×25−5b+c，
解得：b=14c=158，
则抛物线的表达式为：y=−18x2+14x+158；
(2)①证明：令y=−18x2+14x+158=0，则x=−3或5，
即点A、B的坐标分别为：(−3,0)、(5,0)，
则抛物线的对称轴为直线x=1，当x=1时，y=−18x2+14x+158=2，
则点C(1,2)，
由点B、C、O的坐标得，OB2=25，BC2=20，CO2=5，
即OB2=BC2+CO2，
则△OBC是直角三角形；
②解：存在，理由：

∵A，D，P为顶点的三角形与△OBC相似，
则∠PAD=∠COB或∠CBO，
由点B的坐标得：tan∠COB=21=2，
则tan∠PAD=2或12，
设点P(1,m)，
则tan∠PAD=|m|AD=|m|1+3=2或12，
解得：m=±8或±2，
则点P的坐标为：(1,8)或(1,−8)或(1,2)或(1,−2)．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)①由点B、C、O的坐标得，OB2=25，BC2=20，CO2=5，即可求解；
②A，D，P为顶点的三角形与△OBC相似，则∠PAD=∠COB或∠CBO，即tan∠PAD=2或12，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形、勾股定理的运用等，分类求解是解题的关键．x(千克)
20
23
26
29
32
y(元)
0
90
180
270
360
−4
−2
−1
3
6
−4
(−2,−4)
(−1,−4)
(3,−4)
(6,−4)
−2
(−4,−2)
(−1,−2)
(3,−2)
(6,−2)
−1
(−4,−1)
(−2,−1)
(3,−1)
(6,−1)
3
(−4,3)
(−2,3)
(−1,3)
(6,3)
6
(−4,6)
(−2,6)
(−1,6)
(3,6)