2023-2024学年辽宁省盘锦市兴隆台区曙光学校九年级（上）期中数学模拟试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省盘锦市兴隆台区曙光学校九年级（上）期中数学模拟试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是中心对称又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.计算(−a2)3的结果是( )
A. a5B. −a5C. a6D. −a6
3.下列事件中是必然事件的是( )
A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B. 随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数
C. 打开电视机，正在播放广告
D. 从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级
4.如图，⊙O是正八边形ABCDEFGH的外接圆，连接AE，CE，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为( )
A. π2+1
B. π+2
C. π+4
D. 2π+1
5.如图，AB切⊙O于点A，BO交⊙O于点C，点D在⊙O上，若∠ADC=32°，则∠ABO的度数是( )
A. 32⁰
B. 64⁰
C. 26⁰
D. 36⁰
6.若关于x的一元二次方程kx2−6x+9=0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k<1B. k≤1C. k<1且k≠0D. k≤1且k≠0
7.反比例函数y=kx(k≠0)与一次函数y=kx−k(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
8.如图，某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米.为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门.若设AB=x米，则可列方程( )
A. x(81−4x)=440B. x(78−2x)=440
C. x(81−2x)=440D. x(84−4x)=440
9.一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y(单位：km)与慢车行驶时间t(单位：h)的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是( )
A. 53h
B. 32h
C. 75h
D. 43h
10.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，有下列5个结论：
①abc>0；②b0；④2c<3b；⑤a+b>m(am+b)(m≠1的实数)．
其中正确结论的有( )
A. ①②③
B. ①③④
C. ③④⑤
D. ②③⑤
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若点M(3,a−2)，N(b,a)关于原点对称，则a+b=______．
12.如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能够让灯泡发光的概率为______．
13.如图，若被击打的小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间的关系为h=35t−5t2，则小球从飞出到落地所用时间为______s.
14.如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB=20cm，底面直径BC=12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为______cm(玻璃瓶厚度忽略不计)．
15.如图，反比例函数y=kx(x<0)，△OAB和△BCD均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若S△OAB−S△BCD=10，则k=______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1) 25+|2− 3|−(−2)3；
(2)(1−4a+3)÷a2−2a+12a+6．
17.(本小题8分)
某班将举行“庆祝建党90周年知识竞赛“活动，班长安排小明购买奖品，下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境：
请根据上面的信息．解决问題：
(1)试计算两种笔记本各买了多少本？
(2)请你解释：小明为什么不可能找回68元？
18.(本小题9分)
“跳绳运动”是盘锦市中考体育必考项目之一，某校为了解今年九年级学生跳绳运动的掌握情况，随机抽取部分九年级学生跳绳运动的测试成绩作为一个样本，按A：不合格，B：合格，C：良好，D：优秀四个等级进行统计，制成了如图不完整的统计图，根据所给信息，解答以下问题：

(1)在扇形统计图中，良好等级对应的扇形的圆心角是______度；
(2)补全条形统计图；
(3)所抽取学生的跳绳运动测试成绩的中位数会落在______等级；
(4)该校九年级有1000名学生，本学期的跳绳训练目标是400名以上的学生获得优秀.请你根据上面的调查结果判断该学校是否已经完成目标.若未完成，请你根据调查结果提出一条合理性的训练意见．
19.(本小题8分)
洛阳牡丹饼是河南省洛阳市的一道传统小吃，入口酥松绵软，而且具有促进入体代谢，降低胆固醇及防止细胞老化功能，深受老百姓喜爱.刘小姐假期去洛阳游玩，准备回去时带点牡丹饼给家人和朋友品尝，已知甲、乙两家超市都以20元/盒的价格销售同一种牡丹饼，并且同时在做促销活动：
甲超市：办理本超市会员卡(卡费50元)，食品全部打七折销售；
乙超市：购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售．
活动期间，若刘小姐购买牡丹饼x袋，在甲、乙超市所需费用分别为y1元、y2元，y2与x之间的函数图象如图所示，回答下列问题：
(1)求出y1、y2与x之间的函数关系式；
(2)若刘小姐准备购买20盒牡丹饼，你认为在哪家超市购买更划算？
20.(本小题8分)
如图，已知A(n,−2)，B(1,4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=mx的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的关系式；
(2)求△AOC的面积；
(3)不等式kx+b21.(本小题10分)
如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若△ABC的边长为4，求EF的长度．
22.(本小题10分)
根据以下素材，探索完成任务．
23.(本小题12分)
如图1，在△ABE和△ACD中，AE=AB，AD=AC，且∠BAE=∠CAD，则可证明得到△AEC≌△ABD．

【初步探究】(1)如图2，△ABC为等边三角形，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点(不与点A重合)，连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB.请写出AP与BQ的数量关系并说明理由；
【思维提升】
(2)如图3，在△ABC中，以AB为边向外作等边△ABE，连接EC，∠ACB=30°，AC=4，BC=3，求EC长．
【拓展应用】
(3)如图4，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=4，作AD⊥BC交BC于点D，过点B作直线l⊥BC，点H是直线l上的一个动点，线段AH绕点A按顺时针方向旋转30°得到线段AH′，则AH′+BH′的最小值为______．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查幂的乘方，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．
先确定符号，再按幂的乘方的运算法则计算即可．
【解答】
解：(−a2)3=−a2×3=−a6．
故选：D．
3.【答案】D
【解析】【分析】
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【解答】
解：A、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件；
B、随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数，是随机事件；
C、打开电视机，正在播放广告，是随机事件；
D、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件；
故选：D．
4.【答案】B
【解析】解：连接OC，如图所示：
则OC⊥AE，
∴∠AOC=∠EOC=90°，
∴图中阴影部分的面积=90π×22360+12×2×2=π+2；
故选：B．
连接OC，由正八边形的性质得出OC⊥AE，得出∠AOC=∠EOC=90°，由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出答案．
此题考查了正多边形和圆，正八边形的性质以及扇形面积公式，熟练掌握正八边形的性质是解本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∵∠AOC=2∠ADC=64°，
∴∠ABO=90°−∠AOC=90°−64°=26°．
故选：C．
根据切线的性质得∠OAB=90°，再根据圆周角定理得到∠AOC=64°，然后利用互余计算∠AOB的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
6.【答案】D
【解析】解：∵一元二次方程kx2−6x+9=0有实数根，
∴(−6)2−4×9k≥0，且k≠0，
解得k≤1且k≠0，
故选：D．
根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断．
此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：由反比例函数的图象在一、三象限可知，k>0，
∴−k<0，
∴一次函数y=kx−k的图象经过一、三、四象限，故不可能是选项A、B；
由反比例函数的图象在二、四象限可知，k<0，
∴−k>0，
∴一次函数y=kx−k的图象经过一、二、四象限，故不可能是选项C，可能是选项D；
故选：D．
分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答．
8.【答案】D
【解析】解：∵铁栅栏的总长为81米，且AB=x米，
∴BC=81+3−4x=(84−4x)(米)，
根据题意得：x(84−4x)=440．
故选：D．
根据铁栅栏的总长及AB的长，可得出BC=(84−4x)米，根据仓库总面积为440平方米，即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：根据图象可知，慢车的速度为a6 km/h．
对于快车，由于往返速度大小不变，总共行驶时间是4 h，
因此单程所花时间为2h，故其速度为a2 km/h．
所以对于慢车，y与t的函数表达式为y=a6t (0≤t≤6)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅①．
对于快车，y与t的函数表达式为y=a2(t−2)(2≤t<4)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅②,−a2(t−6)(4≤t≤6)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅③,
联立①②，可解得交点横坐标为t=3，
联立①③，可解得交点横坐标为t=4.5，
因此，两车先后两次相遇的间隔时间是1.5h，
故选：B．
根据图象得出，慢车的速度为a6 km/h，快车的速度为a2 km/h.从而得出快车和慢车对应的y与t的函数关系式．联立两个函数关系式，求解出图象对应两个交点的坐标，即可得出间隔时间．
本题主要考查根据函数图象求一次函数表达式，以及求两个一次函数的交点坐标．解题的关键是利用图象信息得出快车和慢车的速度，进而写出y与t的关系．
10.【答案】C
【解析】解：①由图象可知：a<0，对称轴x=−b2a=1，所以b>0，c>0，abc<0，故①错误；
②当x=−1时，y=a−b+c<0，即b>a+c，故②错误；
③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c>0，故③正确；
④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c<0，且x=−b2a=1，
即a=−b2，代入得9(−b2)+3b+c<0，得2c<3b，故④正确；
⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，
而当x=m时，y=am2+bm+c，
所以a+b+c>am2+bm+c，
故a+b>am2+bm，即a+b>m(am+b)，故⑤正确．
综上所述，③④⑤正确．
故选：C．
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
11.【答案】−2
【解析】解：由题意，得b=−3，a−2+a=0，
解得a=1，
则a+b=1−3=−2，
故答案为：−2．
根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，求出a，b的值，可得答案．
本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解决本题的关键是掌握对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12.【答案】23
【解析】【分析】
本题考查了列表法与画树状图求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
【解答】
解：列表如下：
共有6种情况，必须闭合开关S3灯泡才亮，
即能让灯泡发光的概率是46=23．
故答案为23．
13.【答案】7
【解析】解：依题意，令h=0得0=35t−5t2，
得t(35−5t)=0，
解得t=0(舍去)或t=7，
即小球从飞出到落地所用的时间为7s．
故答案为7．
根据关系式，令h=0即可求得t的值为飞行的时间．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单．
14.【答案】7.5
【解析】解：如图，设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，
设球的半径为r cm，
由题意得：AD=12cm，OM=32−20−r=(12−r)(cm)，
由垂径定理得：AM=DM=12AD=6(cm)，
在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM2+OM2=OA2，
即62+(12−r)2=r2，
解得：r=7.5，
即球的半径为7.5cm，
故答案为：7.5．
设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由垂径定理得AM=DM=12AD=6(cm)然后在Rt△OAM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
15.【答案】−20
【解析】解：设AO=a，CD=b，
∵△OAB和△BCD均为等腰直角三角形，
∴AO=AB=a，BO= 2a，
CD=BC=b，DB= 2b，
∴D(−a−b,a−b)，
∵点D在反比例函数图象上，
∴(−a−b)(a−b)=k，即b2−a2=k，
又∵S△OAB−S△BCD=10，即a22−b22=10，
∴−k=20，
∴k=−20．
根据题意列式表示出D点的坐标，然后在根据k的几何意义即可求出答案．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，属于基础题．
16.【答案】解：(1) 25+|2− 3|−(−2)3
=5+2− 3−(−8)
=5+2− 3+8
=15− 3；
(2)(1−4a+3)÷a2−2a+12a+6
=a+3−4a+3⋅2(a+3)(a−1)2
=a−1a+3⋅2(a+3)(a−1)2
=2a−1．
【解析】(1)先根据算术平方根，绝对值和乘方将原式化简，再进行加减运算即可；
(2)直接将括号里面通分运算，再利用分式的乘除运算法则计算得出答案．
本题考查实数的运算和分式的混合运算，掌握相应的运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)设买x本5元的笔记本，则买(40−x)本8元的笔记本，
依题意得，5x+8(40−x)=300−68+13，
解得x=25(本)，8元的笔记本买了40−25=15(本)．
答：5元、8元的笔记本分别买了25本和15本；
(2)设买m本5元的笔记本，则买(40−m)本8元的笔记本，
依题意得，5m+8(40−m)=300−68，
解得：m=883，
∵m是正整数，
∴m=883不合题意，舍去．
∴不能找回68元．
【解析】【试题解析】
本题考查的是二元一次方程组，能根据题意得出关于x、y的二元一次方程组是解答此题的关键．
(1)设5元、8元的笔记本分别买x本、(40−x)本，根据题意列出关于x、y的一元一次方程，求出x的值即可；
(2)根据题意列出方程，解方程即可得出结论．
18.【答案】72 B
【解析】解：(1)由图象可得，
样本容量为：8÷40%=20(人)，
C的人数为：20−6−8−2=4(人)，
∴良好等级对应的扇形的圆心角是：360°×420=72°，
故答案为：72；
(2)由(1)得，
C的人数为：20−6−8−2=4(人)，
图形如下：
(3)∵6<10，6+8=14>11，
∴中位数落在B级上；
故答案为：B；
(4)由题意可得，
1000×220=100(人)，
100<400，
∴该学校没有完成目标，
建议：该学校再体育课及课间操要加大跳绳的训练．
(1)根据条形统计图与扇形统计图共有量求出总数，即可求出良好的量，再用360°乘以占比即可得到答案；
(2)本题考查补全条形统计图，根据(1)中良好的量补充图形即可得到答案；
(3)本题考查求中位数，根据中位数的定义直接求解即可得到答案；
(4)本题考查根据占比估算总体情况，利用总数乘以占比即可得到答案．
本题考查求扇形统计图，能根据条形统计图与扇形统计图共有量求出总数是解题的关键．
19.【答案】解：(1)甲超市：
根据题意得：y1=50+20x×0.7=14x+50；
乙超市：
当0≤x≤10时，设y2=kx，过点(10,200)，
∴10k=200，
∴k=20，
∴y2=20x；
当x>10时，y2=200+(x−10)×380−20025−10=12x+80；
∴y1=14x+50；y2=20x(0≤x≤10)12x+80(x>10)；
(2)当x=20时，
y1=14×20+50=330(元)，
y2=12×20+80=320(元)，
∵330>320，
∴在乙超市购买更划算．
【解析】(1)甲超市，根据活动方案：y1=50+所购食品费用×0.7；乙超市，根据购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售，结合图形，当0≤x≤10时，设y2=kx，过点(10,200)，求出k即可；当x>10时，由图象可得y2=200+(x−10)×380−20025−10；
(2)当x=20时，算出y1、y2的值再比较即可；
本题考查一次函数的应用，有理数大小的比较的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
20.【答案】x<−2或0【解析】解：(1)∵B点(1,4)在反比例函数y=mx的图象上，
∴m=1×4=4，
∴反比例函数解析式为y=4x，
∵A点(n,−2)在反比例函数y=4x图象上，
∴n=−2，即A点坐标为(−2,−2)，
又∵A、B两点在一次函数图象上，
∴代入一次函数解析式y=kx+b可得−2k+b=−2k+b=4，
解得k=2b=2．
∴一次函数解析式为y=2x+2；
(2)在y=2x+2中，令x=0可得y=2，
∴C点坐标为(0,2)，
∴OC=2，
又∵A为(−2,−2)，
∴A到OC的距离为2，
∴S△AOC=12×2×2=2；
(3)∵由一次函数与反比例函数的图象可知，当x<−2或0∴当x<−2或0即不等式kx+b故答案为x<−2或0(1)把B点坐标代入反比例函数解析式可求得反比例函数解析式，则可求得A点坐标，再由A、B两点坐标可求得一次函数解析式；
(2)根据一次函数解析式可求得C点的坐标，则可求得OC的长度，且根据A点的坐标可求得A到OC的距离，可求得△AOC的面积；
(3)根据两函数图象的交点即可求出反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，要求学生能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系．
21.【答案】(1)证明：如图1，连接OD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B=60°．
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°．
∴∠EDC=30°．
∴∠ODE=90°．
∴DE⊥OD于点D．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：如图2，连接AD，BF，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AFB=∠ADB=90°．
∴AF⊥BF，AD⊥BD．
∵△ABC是等边三角形，
∴DC=12BC=2，FC=12AC=2．
∵∠EDC=30°，
∴EC=12DC=1．
∴FE=FC−EC=1．
【解析】【分析】
本题考查的是切线的判定、等边三角形的性质以及直角三角形的性质，掌握经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
(1)连接OD，根据等边三角形的性质求出∠ODE=90°，根据切线的判定定理证明即可；
(2)连接AD，BF，根据等边三角形的性质求出DC、CF，根据直角三角形的性质求出EC，结合图形计算即可．
22.【答案】1.75 3.16
【解析】解：假设1：以D为原点，AB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴建立坐标系，
由已知CD=4m，则顶点C(0,4)，
设解析式为：y=ax2+4，
∵AB=16m，
∴A(−8,0)，B(8,0)，
则x=−8时，y=0，0=64a+4，解得：a=−116，
∴y=−116x2+4，
∴当水面宽12m时，即x=6m时，
∴y=−116×36+4=1.75，
∴假设1的预测值(m)为：1.75m，
故答案为：1.75；
假设2：若拱桥形状是圆弧时．请根据素材1，设该圆弧的半径为r m，圆心为O，连接OB，
由已知可得OC⊥AB，
∴BD=12AB=8m，
∵CD=4m，
∴DO=CO−CD=(r−4)m，
在Rt△ODB中，
由勾股定理可得：OB2=OD2+BD2，
即r2=64+(r−4)2，
解得：r=10，
则OD=10−4=6m，
当水面宽MN=8m时，则MQ=4m，
在Rt△OMQ中，由勾股定理OM2=OQ2+MQ2，
即100=OQ2+16，
解得：OQ=2 21≈9.164m，
则水位上涨DQ=QO−DO=9.164−6≈3.16m，
∴假设2的预测值(m)为3.16m，
故答案为：3.16．
(1)以D为原点，AB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴建立坐标系，则抛物线顶点C(0,4)，由于BA=16m，故A(−8,0)、B(8,0)，设解析式为：y=ax2+4，
代入A(−8,0)坐标即可求得a的值，求得a=−116，当水面宽12m时，即x=6m时，可求得预测值；
(2)设圆弧的半径为rm，圆心O，因AB=18m，根据垂径定理可得BD=8m，如图：则在Rt△ODB中由勾股定理OB2=OD2+BD2，求得r=10m，根据河宽8m时，利用勾股定理对应的预测值．
本题考查待定系数法求二次函数解析式、垂径定理以及勾股定理，读懂题意是解决问题的关键．
23.【答案】4 2
【解析】解：(1)AP=BQ，理由如下：
在等边△ABC中，AC=BC，∠ACB=60°，
由旋转可得，CP=CQ，∠PCQ=60°，
∴∠ACB=∠PCQ，
∴∠ACB−∠PCB=∠PCQ−∠PCB，
∴∠ACP=∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ(SAS)，
∴AP=BQ；
(2)如图3，作等边三角形ACD，连接BD，
∴∠ACD=60°，CD=AC=4，
∵∠ACB=30°，
∴∠BCD=90°，
∴BD= BC2+CD2= 9+16=5，
∵△ABE和△ACD都是等边三角形，
∴AB=AE，AC=AD，∠BAE=∠CAD=60°，
∴△ABD≌△AEC(SAS)，
∴EC=BD=5；
(3)如图4，将AB绕点A按顺时针方向旋转30°得到线段AE，
∵l⊥BC，
∴∠HBD=90°，
∵∠ABD=60°，
∴∠ABH=30°，
∵将AB绕点A按顺时针方向旋转30°得到线段AE，
∴∠BAE=30°，AE=AB，
∵线段AH绕点A按顺时针方向旋转30°得到线段AH′，
∴∠HAH′=30°，AH=AH′，
∴∠BAE=∠HAH′，
∴∠EAH′=∠BAH，
∴△ABH≌△AEH′(SAS)，
∴∠AEH′=∠ABH=30°，
∴点H′在与定线段AE成30°的直线m上运动，
作点A关于直线m的对称点F，AF交m于点G，连接BF，交直线m于点H′，此时AH′+BH′的最小，最小值是BF的长，
∵∠FAE=90°−∠AEH′=60°，
∵∠BAE=30°，
∴∠BAF=∠FAE+∠BAE=90°，
∵AG=12AE=2，
∴AF=2AG=4，
∵AB=4，
∴BF= AB2+AF2=4 2，
即：AH′+BH′的最小值为4 2，
故答案为：4 2．
(1)由“SAS”可证△ACP≌△BCQ，可得AP=BQ；
(2)由勾股定理可求BD的长，由“SAS”可证△ABD≌△AEC，可得BD=EC=5；
(3)将AB绕点A按顺时针方向旋转30°得到线段AE，可证得△ABH≌△AEH′，从而得出∠AEB=∠ABH=30°，所以点H′在与定线段AE成30°的直线m上运动，作点A关于直线m的对称点F，AF交m于点G，连接BF，交直线m于点H′，此时AH′+BH′的最小，最小值是BF的长，进一步得出结果．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，旋转的性质等知识，解决问题的关注是作辅助线，构造全等三角形．如何确定拱桥形状？
问题背景
河面上有一座拱桥，对它的形状，同学们各抒己见.有同学说拱桥的形状是抛物线，也有同学说是圆弧.为确定拱桥的形状，九年级综合实践小组开展了一次探究活动．
素材1
在正常水位时，小组成员对水面宽度和拱顶离水面的距离进行了测量并绘制了如图.测得水面宽AB为16m，拱顶离水面的距离CD为4m．
素材2
大雨过后，水位上涨.小组成员再对水面宽度和拱顶离水面的距离进行了两次测量发现当水面宽为12m时，水位(相对正常水位)上涨1.9m；当水面宽8m时，水位(相对正常水位)上涨3.1m．
素材3
如何检验探究过程中提出的假设是否符合实际情况呢？
定义：离差平方和是实际观测值与预测值之间差的平方和，反映了基于假设算得的预测值与实际观测值之间的差异.离差平方和越小，说明预测值与实际观测值之间的误差越小，提出的假设与实际情况更为接近．
问题解决
假设1
小组成员首先假设拱桥形状是抛物线.根据素材1建立如图所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式．
假设2
小组成员又提出拱桥形状可能是圆弧.请根据素材1求出该圆弧的半径．
分析判断
于假设1和假设2，请分别计算水面宽12m和8m时水位上涨的预测值，直接填入下表(数据保留两位小数)，并结合素材3分别求出两种假设下数据的离差平方和，断拱桥更接近哪一种形状.(参考数据： 21≈4.582)
水面宽12m
水面宽8m
水位上涨的实际观测值(m)
1.90
3.10
假设1的预测值(m)
______
3.00
假设2的预测值(m)
2.00
______