2024年高考第二次模拟考试卷：数学（广东卷）（解析版）

这是一份2024年高考第二次模拟考试卷：数学（广东卷）（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

全解全析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（ ）
A．2B．3C．4D．9
【答案】C
【分析】利用对数运算性质结合等比中项求解即可.
【详解】由题意得，由等比中项性质得，
故.
故选：C
2．已知符号函数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题目所给的符号函数直接得到等价于即可.
【详解】若，则同号，
所以或，
即或，即，
所以“”是“”的充要条件.
故选：A
3．设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先将对数式和指数式与临界值比较，再判断大小关系.
【详解】，即，，即，
因为，所以，即，
且，则，
所以.
故选：D
4．若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意结合抛物线的定义分析求解.
【详解】因为抛物线的准线为，
由题意可得：，解得.
故选：A.
5．若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先得到平移后的解析式，再由题中条件，列出等式，求出，即可得出结果.
【详解】将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，
即，与函数的图像重合
即，
故
∴，
所以的最小值为.
故选：B.
6．某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相邻，老师不站在两端，则不同的排法共有（ ）
A．48种B．32种C．24种D．16种
【答案】B
【分析】由排列组合以及分类分步计数原理即可得解.
【详解】当老师从左到右排在第二或第四位时，共有种排法，
当老师从左到右排在第三位时，共有种排法，于是共有种排法.
故选：B.
7．已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的加法法则，结合投影向量的求解即可求解.
【详解】由可得，
又，如图所示，由平行四边形法则可得四边形为菱形，
故互相垂直平分，所以在方向上的投影向量为，
故选：D．
8．已知定义在上的偶函数满足：当时，，且，则方程实根个数为（ ）
A．6B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】由题知函数为周期函数，周期为，在上单调递增，再令，易得在上为偶函数，进而作出函数与的图象，数形结合求解即可.
【详解】解：因为函数满足，
所以，，即函数为周期函数，周期为，
因为当时，，
所以，当时，恒成立，
所以，函数在上单调递增，
因为为定义在上的偶函数，
令，则定义域为，，
所以函数为定义在上的偶函数，
因为
因为，
所以
所以，作出函数，图象如图，
由图象可知，当时，函数与图象有4个交点，
所以，由偶函数的对称性可知，当时，函数与图象有4个交点，
所以，方程实根个数为个.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合题意，利用导数研究函数的性质，得到函数是周期为的周期函数，且在上单调递增，进而作出函数图象，数形结合求解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知是的共轭复数，则（ ）
A．若，则
B．若为纯虚数，则
C．若，则
D．若，则集合所构成区域的面积为
【答案】AB
【分析】根据共轭复数的定义以及复数四则运算可判断A；为纯虚数，可设，根据复数的四则运算可判断B；由结合数大小比较只能在实数范围内可判断C；设复数，根据复数模长定义计算可判断D.
【详解】，所以，故A正确；
由为纯虚数，可设，
所以，因为且，
所以，故B正确；
由，得，
因为与均为虚数，
所以二者之间不能比较大小，故C错误；
设复数，所以
由得，
所以集合所构成区域是以为圆心为半径的圆，
所以面积为，故D错误.
故选：AB.
10．关于下列命题中，说法正确的是（ ）
A．若事件A、B相互独立，则
B．数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95的第45百分位数为78
C．已知，，则
D．已知，若，则
【答案】AC
【分析】根据独立事件的乘法公式以及条件概率的概率公式可判断A；根据百分位数的定义求出第45百分位数判断B；根据对立事件的概率公式以及条件概率的概率公式可判断C；根据正态分布的对称性可判断D.
【详解】对于A，若事件A、B相互独立，则,
而，A正确；
对于B，数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95已为从小到大排列，共10个数，
又，故第45百分位数为第5个数74，B错误；
对于C，由于，，
故，则，
故，C正确；
对于D，由于，，
故，故，
故，D错误，
故选：AC
11．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则( )

A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B．存在点Q，使平面MBN
C．过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面面积的取值范围为
D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为
【答案】AB
【分析】作出过的截面判断选项A；取中点为，证明其满足选项B；当在运动时，确定截面的形状，引入参数(如)计算出面积后可得取值范围，判断选项C，过与底面平行的平面截正方体得出的下半部分为长方体，其外接球也是过C，M，B，N四点的球，由此求得球半径，得表面积，判断选项D．
【详解】选项A，连接，，正方体中易知，
分别是中点，则，所以，即四点共面，当与重合时满足B，N，P，Q四点共面，A正确；

选项B，如图，取中点为，连接，
因为分别是中点，则与平行且相等，是平行四边形，
所以，又是中点，所以，所以，
平面，平面，所以平面，B正确；

选项C，正方体中，分别是中点，则，
在上，如图，作交于，连接，延长交延长线于点，连接延长交延长线于点，连接交于点，交于点，为所过三点的截面，
由正方体的对称性可知梯形与梯形全等，
由面面平行的性质定理，，从而有，由正方体性质，
设，，则，，
是中点，，则，所以，同理，
，，，
梯形是等腰梯形，高为，
截面面积，
设，，，
在上递增，，，
所以，C错；

选项D，
取中点，中点，连接，则是正四棱柱（也是长方体），它的外接球就是过四点的球，所以球直径为，半径为，表面积为，D错．

故选：AB．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合，，则的子集个数为 .
【答案】4
【分析】根据直线与圆的位置关系求出集合的元素个数，再求解子集个数即可.
【详解】集合表示直线上点的集合，集合表示圆上点的集合.
圆的圆心坐标为，半径为3，
点到直线的距离为,
所以直线与圆相交，
所以共有2个元素，所以的子集个数为.
故答案为：4.
13．函数，如果为奇函数，则的取值范围为
【答案】
【分析】求出，结合函数奇偶性的定义判断可得出结果.
【详解】由可得，即函数的定义域为，
则，
又因为函数为奇函数，对任意的，
，
对任意的实数都满足条件，故实数的取值范围是.
故答案为：.
14．在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过的直线与的左､右两支分别交于两点，若，则的离心率为 .
【答案】
【分析】设双曲线焦距为，，利用，可得，由，结合两角和的正切公式，推出，再根据点在双曲线方程上，化简运算的解.
【详解】设双曲线焦距为，则，设，
则，
因为，所以，即，
因为，所以，
因为
，
因为，所以，
所以，
因为点在双曲线方程上，所以，即，
因为，所以，
两边同时除以，得，
解得，
所以，
因为，所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，解题的关键是根据结合题中已知条件建立等式求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角.
(1)求证：；
(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面，进而得出.然后即可根据线面垂直的判定定理得出平面，然后即可得出；
（2）取中点为，连结.取中点为，连结.由已知可证平面，.以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出平面的一个法向量，即可根据向量法求出答案.
【详解】（1）由题意知平面平面，
又平面平面，，平面，
所以平面.
因为平面，所以. 分
又因为，，平面，平面，
所以平面.
因为平面，所以. 分
（2）取中点为，连结.取中点为，连结.
因为，点是中点，所以.
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面. 分
因为点、分别是、的中点，所以，则.
则，.
以点为坐标原点，所在直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，. 分
设是平面的一个法向量，
则，取，则，
所以是平面的一个法向量.
设直线与平面所成的角为，则， 分
所以直线与平面所成的角的正弦值为. 分
16．（15分）2023年11月，世界首届人工智能峰会在英国举行，我国因为在该领域取得的巨大成就受邀进行大会发言.为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行了一次抽样调查，分别抽取男､女生各50人作为样本.设事件“了解人工智能”，“学生为男生”，据统计.
(1)根据已知条件，填写下列列联表，是否有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？
(2)①现从所抽取的女生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机选取3人赠送科普材料，求选取的3人中至少有2人了解人工智能的概率；
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的学生中随机抽取20人科普材料，记其中了解人工智能的人数为X，求随机变量的数学期望和方差.
参考公式：.常用的小概率值和对应的临界值如下表：
【答案】(1)列联表见解析；没有
(2)①；②，.
【分析】（1）根据两个条件概率值求出列联表中的数据，利用卡方公式计算的值，再与对应的小概率值比较即得结论；
（2）①先利用分层抽样确定所抽取的名女市民中了解和不了解人工智能的人数，再利用古典概率模型概率公式计算即得；
②根据列联表推理得到从我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能学生的概率为，每次抽的结果仅有“了解”与“不了解”两种，随机抽取20人，相当于完成20次伯努利试验，故利用二项分布期望与方差公式即可求得.
【详解】（1）因为，
所以了解人工智能的女生为，了解人工智能的总人数为，
则了解人工智能的男生有人， 分
结合男生和女生各有人，填写列联表为：
因，
故没有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关. 分
（2）①由题意可知，所抽取的名女市民中，了解人工智能的有人，
不了解人工智能的有人， 分
所以，选取的人中至少有人了解人工智能的概率为；
分
②由列联表可知，抽到了解人工智能的学生的频率为，
将频率视为概率，所以，从我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能学生的概率为，
由题意可知，，所以，，.
分
17．（15分）设曲线在点处取得极值.
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间和极值.
【答案】(1)2；(2)在区间和单调递减，在区间单调递增；的极大值为；的极小值为.
【分析】（1）根据，即可容易求得；
（2）根据（1）中所求，求得，即可容易求得单调区间和极值.
【详解】（1）因为，故可得，
又因为，故可得，解得，经检验符合题意. 分
（2）由（1）可知，
，
令，解得，
又因为函数定义域为，
故可得在区间和单调递减，在区间单调递增.
故的极大值为；的极小值为. 分
【点睛】本题考查利用极值点求参数值，以及利用导数求函数的单调区间和极值，属综合基础题.
18．（17分）已知等轴双曲线的顶点分别是椭圆的左、右焦点、.
（1）求等轴双曲线的方程；
（2）为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）直接由椭圆的焦点得双曲线的定点，再根据可得解；
（2）设，，,,设直线的方程为，直线的方程为，分别与椭圆联立得韦达定理，进而可表示弦长，联立直线和可得焦点，代入双曲线化简得，进而得展开利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）由椭圆可得，
所以等轴双曲线的顶点为，
设等轴双曲线为，所以，
所以等轴双曲线的方程为； 分
（2）设，，,,
设直线的方程为，直线的方程为，
由得：， 分
所以显然成立，所以，
同理可得， 分
所以，
，
联立直线和：，解得，
所以， 分
因为在双曲线上，所以，解得，
所以
，
.
当且仅当，即时，取得最小值. 分
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键有两个，一个是联立直线和得，代入双曲线得，另一个是处理最值时用到了基本不等式，由，展开利用基本不等式.
19．（17分）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于或等于4，则称这个数列为“数列”.
(1)已知等差数列的首项为1，其前项和满足对任意的都有，若数列为“数列”，求数列的通项公式；
(2)已知等比数列的首项和公比均为正整数，若数列为“数列”，且，，设，若数列也为“数列”，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过题干所给不等式可求出的范围，在根据，得出，进而求出
（2）通过判断数列的单调性可得：要对恒成立，只需，从而求出，
同理判断数列的单调性可得：要对恒成立，只需，从而求出的范围.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，由，得. 由题意得，对均成立， 分
当时，上式成立.当时，，又，
等差数列的通项公式为. 分
（2）等比数列得，由于数列为“数列”，且为正整数，，
.
在数列中，为最小项，由数列为“数列”可知， 分
要对恒成立，只需.又，即.
，，，，，.
当，时，，则. 分
令.
数列为递增数列，即.
若数列是“数列”，则对任意的都有，
即对任意的恒成立
，即，解得. 分
了解人工智能
不了解人工智能
合计
男生
女生
合计
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
了解人工智能
不了解人工智能
合计
男生
40
10
50
女生
30
20
50
合计
70
30
100