2023年重庆市万州二中教研片区中考数学联考模拟预测题（含解析）

这是一份2023年重庆市万州二中教研片区中考数学联考模拟预测题（含解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．下列数学符号不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．计算 ，正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．中央电视台在“五·一”期间报道了彰显万州魅力“天生印象”的万州版洪崖洞．如图的曲线反映了万州洪崖洞“五·一”当天各时刻游客人数（个）与时间（时）的变化情况，则这一天人数最多的时刻大约是（ ）

A．时B．时C．时D．时
5．估计的值应在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
6．观察下列图形，其中第①个图形由个“△”组成，第②个图形由个“△”组成，第③个图形由个“△”组成，…，照此规律下去，则第⑧个图形“△”的个数一共是（ ）

A．B．C．D．
7．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且不与A、B两点重合，过点C的切线交AB的延长线于点D，连接AC，BC，若∠ABC＝53°，则∠D的度数是（ ）
A．16°B．18°C．26.5°D．37.5°
8．某文具店销售一种文具盒，每个成本价为元，经市场调研发现：售价为元时，可销售个，售价每上涨1元，销量将减少个．如果这种文具盒全部销售完，那么该文具店可获利元，设这种文具盒的售价上涨元，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，矩形中，，，点E为的中点，点F为上一点，连接、交于点P，连接，当时，线段的长度为（ ）
A．B．C．D．
10．定义：把互不相等的3个正整数x，2，5（三个数排列不分顺序）组成一个数串称为有效数串．现操作如下：将一个有效数串三个数中最大的数减去其它两个数积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，若新数串为有效数串时，就可进行再次操作．下列说法：
①若一个有效数串经过一次操作后得到的新数串为1，2，3，则或3．
②若一个有效数串经过两次操作后得到新数串为1，2，3，则x有4种不同的取值．
③如果一个有效数串至少经过两次操作后仍是有效数串，若再继续操作下去，则在整个操作过程中一定存在新数串1，2，3．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11．计算： ．
12．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比为 ．
13．在四张不透明的卡片中分别标有数字，，，，从中任取一张记下数字后放回，洗匀后再取一张记下数字，则两次摸到的卡片上的数字之和为正数的概率为 ．
14．已知正多边形的一个外角为，则这是一个正 边形．
15．如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点、在轴上，且，四边形的面积为，则 ．
16．如图，在中，，，，以点为圆心，为半径作圆弧交的延长线于点，以点为圆心，为半径作圆弧交于点则图中阴影部分的面积为 ．
17．如果关于x的不等式组至少有三个整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则符合条件的所有整数m的和为 ．
18．如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“三决数”，如：三位数312，∵，∴312是“三决数”，把一个三决数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之差的2倍记为．则的值为 ；若三位数A是“三决数”，且是完全平方数，且百位数字小于个位数字，请求出所有符合条件的A的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共78．0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．如图，在中，过点作，且连接，．
(1)用尺规完成以下基本作图：过点作，垂足为点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作的图形中，若，求证：点为的中点．
(3)证明：，① ，
，
，
② ，
③ ，
，
在和中．
．
≌，
，即点为的中点．
20．计算：
(1)．
(2)
21．中国共产党第二十次全国人民代表大会是全党全国各族人民迈向全面建设社会主义现代化国家的新征程，向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会为更好地学习党的二十大精神，我校七、八年级学生举行了党的二十大知识竞赛，对此次竞赛的情况，分别随机在七、八年级各抽取名学生的成绩的得分情况进行了整理，分、、、四个等级，其中抽到的七年级部分学生成绩为等级的得分为：，，，，，，，（分数分以上，不含分为优秀）
为了便于分析数据，统计员对七年级的抽样数据进行了整理，绘制了不完整的扇形统计图：
(1) ； ；在扇形统计图中七年级学生成绩为等级对应的扇形圆心角为 ．
(2)七年级的明明和八年级的亮亮分数都是分，判断明明和亮亮在各自年级抽样成绩的排名中哪一个更加靠前？说明理由；
(3)若我校七、八年级共有人，请估计一下我校七、八年级此次知识竞赛成绩优秀的总人数．
22．随着全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，重庆一些传统汽车零部件生产工厂也开始转型生产新能源汽车零部件某汽车零部件生产厂的甲车间有工人名，乙车间有工人名，因接到加急生产一批新能源汽车零部件的任务，所以工厂新增名工人分配到甲、乙两个车间，分配后甲车间的总人数为分配后乙车间总人数的．
(1)新分配到甲车间的人数有多少人？
(2)因为甲车间使用的是改良后的新设备，所以甲车间每名工人每天生产的零件数量为乙车间每名工人每天生产的零件数量的倍新增工人后，甲车间生产个零件的天数比乙车间生产个零件的天数少用天，则乙车间每名工人每天生产零件多少个？
23．如图，在中，，，，将线段绕着点顺时针旋转，得到线段，连接，过作交线段的延长线于动点从A点开始沿的路径运动，到达点时停止运动设点运动的路程为，记的面积为．
(1)请求出与的函数关系式，指出自变量的取值范围并在平面直角坐标系中画出该函数图像．
(2)请写出一条该函数的性质： ．
(3)若直线与上面作出的函数图像有交点，则的取值范围为 ．
24．万州二中教育集团数学爱好者小艺为测量教学楼对面的大楼的高度，她先到达教学楼顶部的休闲区点的位置，看到对面大楼顶端的视线与水平线的夹角为，然后沿长米、坡度为：的斜坡到达斜坡顶端，再向前走米到达教学最边缘的观测点处，看到对面大楼底端的视线与水平线的夹角为，已知大楼底部和教学楼底部在同一水平面上，目高米，教学楼高为米（参考数据：，，）
(1)求教学楼与对面大楼的水平距离的长；
(2)求对面大楼的高．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点点在的右侧，与轴交于点，若．
(1)求、的值；
(2)如图，若点是点下方轴上一动点，过作交直线于，求代数式的最小值，并求出取得最小值时点的坐标；
(3)如图，在第（2）问当代数式取得最小值时的条件下，将抛物线向右平移个单位长度得到新抛物线，平移后的新抛物线与原抛物线相交于点，为直线上一点，点为平面坐标系内一点，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是菱形的点的坐标，并写出其中一个点的坐标的解答过程．
26．如图，在等腰直角三角形中，，过点作交过点的直线于点，，直线交于．
(1)如图，若，求的长；
(2)如图，过点作交于点，交的延长线于，取线段的中点，连接，求证：．
(3)在（2）的条件下，过点作交于点，若点是线段上任一点，连接，将沿折叠，折叠后的三角形记为，当取得最小时，直接写出的值．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．
根据相反数的意义，的相反数即是在的前面加负号．
【解答】解：根据相反数的概念及意义可知：的相反数是．
故选：B．
2．D
【分析】此题主要考查了轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐项进行分析即可．关键是正确确定对称轴位置．
【解答】解：选项A、B、C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，不符合题意；
选项D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，符合题意，
故选：D．
3．C
【分析】此题主要考查了积的乘方运算．直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：．
故选：C．
4．D
【分析】根据折线统计图即可得出答案．
【解答】解：根据折线统计图可知一天人数最多的时刻大约是：时．
故选：D
【点拨】本题主要考查了根据图像获得信息，解题的关键是看懂折线统计图，能从折线统计图中获得信息．
5．B
【分析】利用二次根式的混合运算性质计算出结果后再估算大小即可．
【解答】解：原式＝2÷−÷
＝2−
＝2−2．
∵2＜＜2.5，
∴4＜2＜5，
∴2＜2−2＜3，
即原式值在2和3之间，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算以及无理数的大小估算，先得出运算结果是解题关键．
6．C
【分析】根据题意可知：第①个图形中“△”的个数为，第②个图形中“△”的个数为，第③个图形中“△”的个数为，由此可求得第个图形中“△”的个数，从而可求出最后结果．
【解答】解：根据题意可知：第①个图形中“△”的个数为，
第②个图形中“△”的个数为，
第③个图形中“△”的个数为，
，
第个图形中“△”的个数为，
第⑧个图形中“△”的个数为，
故选：．
【点拨】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出第个图形中“△”的个数为．
7．A
【分析】连接OC，由切线的性质可得出∠OCD＝90°，由OB＝OC，∠ABC＝53°可得出∠OCB，∠CBD的度数，由∠BCD＝90°﹣∠OCB可求出∠BCD的度数，再利用三角形内角和定理即可求出∠D的度数．
【解答】解：连接OC，如图所示．
∵CD为⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°．
∵OB＝OC，∠ABC＝53°，
∴∠OCB＝53°，∠CBD＝180°﹣∠ABC＝127°，
∴∠BCD＝90°﹣∠OCB＝37°，
∴∠D＝180°﹣∠CBD﹣∠BCD＝16°．
故选A．
【点拨】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、邻补角以及三角形内角和定理，利用切线的性质、等腰三角形的性质以及邻补角，求出∠CBD，∠BCD的度数是解题的关键．
8．A
【分析】本题主要考查一元二次方程应用题中的营销问题，直接依据题意设上涨，计算出销量，再把一件利润计算出来，直接作乘即可求出方程．
【解答】根据题意知，每件商品的利润为元，销售量为件，
则可列方程为，
故选：A．
9．B
【分析】根据矩形的性质和勾股定理可以求出和的长，再通过导角证明，进而证明，利用对应边成比例可求出的长，最后再由勾股定理即可求出的长．
【解答】解：如图，连接．
矩形中，，，点E为的中点，
，，，
，
．
，，
，
，
，，
，
，即，
，
，
，
．
故选B．
【点拨】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是证明．
10．C
【分析】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论，按照题干中给出的信息进行操作，列出相应的方程进行计算即可．
【解答】解：①若新数串为1，2，3则2不是新数串中最大值，
∴5是被替换的数，即存在时或时，故①正确；
②当x为最大值时，则第一次操作后新数串为：，2，5，
经过第二次操作，新数串为1，2，3，
则可知，第二次操作，5被替换，
即5为最大数，
∴或，
解得：，
∴新数串为，，，
当，或，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当，或，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
∴当x为最大值时，或或或；
当5为最大值时，则第一次操作后新数串为：，2，x，
∵经过第二次操作后仍然存在2，
∴或，
当时，或，
由得，
∵x为正整数，
∴，
当时，第一次操作后新数串为1，2，3，进行第二次操作后为1，1，2，不符合题意；
∴不符合题意；
不等式组无解；
当时，或，
不等式组无解；
由得：，
∵x为正整数，
∴或，
当时，第一次操作后新数串为1，2，3，进行第二次操作后为1，1，2，不符合题意；
当时，第一次操作后新数串为3，2，4，进行第二次操作后为2，2，3，不符合题意；
综上分析符合题意的x的值只有4个，故②正确；
③当时，第一次操作后新数串为14，2，5，
进行第二次操作后为4，2，5，
进行第三次操作后为4，2，3，
进行第四次操作后为2，2，3，不符合题意，
∴只能进行三次操作，无法进行第四次操作，
∴当时，在整个操作过程中不存在新数串1，2，3，故③错误；
综上分析可知，正确的个数为2个．
故选：C．
11．
【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义和绝对值的意义．利用零指数幂的意义和绝对值的意义化简运算即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
12．
【分析】根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【解答】解：与是以点为位似中心的位似图形，
，
，，
，
，
故答案为：．
13．##0.625
【分析】本题考查列表法与树状图法，有理数加法．熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
画树状图得出所有等可能的结果数以及两次摸到的卡片上的数字之和为正数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
，
共有种等可能的结果，两次摸到的卡片上的数字之和分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，
其中两次摸到的卡片上的数字之和为正数的结果有种，
两次摸到的卡片上的数字之和为正数的概率为．
故答案为：．
14．8##八
【分析】本题考查了多边形的外角和，根据正多边形外角和定理公式计算判断即可．
【解答】（1）设多边形的边数为，则其外角和为，
故，
故答案为：8．
15．
【分析】根据题意可得出四边形是平行四边形，由平行四边形的面积为，可求出直角三角形的面积为，再根据反比例函数的几何意义求出答案．
本题考查反比例函数的几何意义，连接反比例函数的几何意义是解决问题的关键．
【解答】解：连接，
轴，，
四边形是平行四边形，
又平行四边形的面积为，即，
，
或舍去．
故答案为：．
解法2 过点A作轴于点E，
轴，，
四边形是平行四边形，四边形是矩形，
∴四边形的面积等于四边形的面积，都是5，
∴，
∴（舍去），
故答案为：．
16．
【分析】根据直角三角形的性质求出，求出，根据三角形内角和定理求出，根据勾股定理求出，再分别求出扇形、扇形和的面积即可．本题考查了扇形的面积计算，直角三角形的性质，三角形的面积等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
【解答】解：，，，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
阴影部分的面积


．
故答案为：．
17．21
【分析】本题主要考查了分式方程的解法和不等式组的解法．不等式组整理后，由已知解集确定出的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由方程的解为整数确定出的值，进而确定出满足题意的所有的值，求出它们的和即可．
【解答】解不等式组 得∶，
∵不等式组至少有三个整数解，
，
解得：，
解关于的分式方程 ，
得∶ ，
∵分式方程解为正整数，且
∴符合条件的所有整数的值为，
∴符合条件的所有整数的积为，
故答案为∶．
18． 110 516
【分析】根据题意求出和，然后相加即可；设A的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，表示出和，求出，根据是完全平方数，得出，再根据题意求出a，b可能的取值，即可确定所有符合条件的A的值，问题得解．
【解答】解：由题意得：，
，
∴；
设A的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，
由题意可得：，
，
∴，
∵，a、b为正整数，
∴，
∵是完全平方数，
∴，
∴，，，，，
又∵，，
∴符合条件的A为279或358或437或516，
∴所有符合条件的A的最大值为516，
故答案为：110；516．
【点拨】本题考查了新定义，整式的加减运算，判断出是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)①，②，③，④
【分析】根据要求作出图形即可；
根据平行线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，于是得到点为的中点；
根据证明≌，可得结论．本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：，
，
，，
，
，
，
在和中，

，
，
即点为的中点
（3）证明：，，
，
，
，
，
，
在和中，

，
，即点为的中点．
故答案为：，，，
20．(1)
(2)
【分析】分别根据多项式乘多项式、完全平方公式进行计算，再合并同类项即可；
先算括号里面的式子，再算除法即可．
本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
【解答】（1）


．
（2）




．
21．(1)；；
(2)明明更加靠前，理由见解析
(3)我校七、八年级此次知识竞赛成绩优秀的总人数大约为人
【分析】本题考查中位数、平均数、扇形统计图以及样本估计总体，掌握中位数以及用样本估计总体的方法是正确解答的关键．
（1）把扇形统计图中、所占百分百相加即可求出的值；根据中位数的定义可得的值；用乘七年级学生成绩为等级所占百分百可得等级对应的扇形圆心角度数；
（2）根据中位数的意义解答即可；
（3）用乘样本中知识竞赛成绩优秀所占比例即可．
【解答】（1）解：由题意得，，
；
把七年级名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是，，故中位数；
在扇形统计图中七年级学生成绩为等级对应的扇形圆心角为，
故答案为：；；；
（2）解：明明更加靠前，理由如下：
因为明明的成绩分高于七年级中位数，亮亮的成绩分低于八年级中位数，所以明明更加靠前；
（3）解：（人），
答：我校七、八年级此次知识竞赛成绩优秀的总人数大约为人．
22．(1)新分配到甲车间的人数有人；
(2)乙车间每名工人每天生产零件50个．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用．
（1）设新分配到甲车间的人数有人，则新分配到乙车间的人数有人，根据分配后甲车间的总人数为分配后乙车间总人数的．列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设乙车间每名工人每天生产零件个，则甲车间每名工人每天生产零件个，根据甲车间生产42000个零件的天数比乙车间生产42000个零件的天数少用4天，列出分式方程，解方程即可．
【解答】（1）解：设新分配到甲车间的人数有人，则新分配到乙车间的人数有人，
依题意得：，
解得：，
答：新分配到甲车间的人数有10人；
（2）解：设乙车间每名工人每天生产零件个，则甲车间每名工人每天生产零件个，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：乙车间每名工人每天生产零件50个．
23．(1)当时，，当时，，当时，；画图见解析
(2)区间单调性
(3)
【分析】本题考查了一次函数的图像及应用：
（1）通过找到对应的极值，来确定面积的变化过程，通过在点到点过程中的变化，在点到点的变化，在点到点的变化，然后算出在、、、四点时对应的函数坐标，计算出函数表达式；
（2）根据图像可得到该函数具有区间单调性；
（3）根据函数图像的特点，发现在过点时，值最大，在过点时，值最小；
数形结合是解题的关键．
【解答】（1）解：，，
，，
，
≌，
，，
，，
当在A点时，，，
当在点时，，，
当在点时，，，
当在点时，，，
当时，，
当时，，
当时，；
；
（2）解：由图像可得：该函数具有区间单调性，
故答案为：区间单调性；
（3）解：如图：
，
的函数表达式：将代入中，，
的函数表示是：将代入中，，
，
故答案为：．
24．(1)教学楼与对面大楼的水平距离的长为米
(2)对面大楼的高约为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点作，垂足为，根据题意设米，则米，在中，利用勾股定理进行计算可求出，的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）过点作，垂足为，根据题意得米，求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】（1）解：过点作，垂足为，
，
由题意得：，，米，，，
斜坡的坡度为，
∴，
设米，则米，
在中，（米），
米，
，
，
∴米，米，
∵米，
∴（米），
在中，米，
∴米，
教学楼与对面大楼的水平距离的长为米；
（2）解：过点作，垂足为，
，
由题意得：米，米，，
米，米，
∴米，
在中，米，
∴米，
对面大楼的高约为米．
25．(1)，
(2)取得最小值为：；
(3)点的坐标为：或或，解答过程见解析
【分析】（1）先求出点C的坐标，进而求出点A和点B的坐标，再由待定系数法即可求解；
（2）设点，则，证明是等腰直角三角形，得到，则，据此求出，，求出直线的表达式为，设出点F的坐标，根据的长建立方程求解即可；
（3）先求出平移后的抛物线解析式，进而联立平移前后的抛物线解析式求出点H的坐标，再分当是对角线时，由中点坐标公式和，列出方程组即可求解；当或是对角线时，同理可解．
【解答】（1）解：在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点、、的坐标分别为：、，
设抛物线的表达式为：，
∴，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：设点，则，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
，
∴当时，取得最小值为：；
∴，
∴，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点的坐标为：，则，
则，
解得：，
∴；
（3）解：将抛物线向右平移个单位长度得到新抛物线为：，
联立，解得：，即点；
设点，点，
当是对角线时，由中点坐标公式和得：
，解得：，
即点的坐标为：；
当或是对角线时，由中点坐标公式和或得：
或，
解得：，
即点的坐标为：或；
综上，点的坐标为：或或．
【点拨】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，解（2）的关键是证明，解（3）的关键是通过求出点H的坐标，然后利用中点坐标公式建立方程求解．
26．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）过点作于点，过点作，交的延长线于点，根据两直线平行，内错角相等可得，，结合等腰直角三角形的性质可得，根据四个角都是直角的四边形是矩形，矩形的对边相等的可得，根据直角三角形中，角所对的边是斜边的一半即可求解；
（2）根据特殊角的三角形函数值可求得，，求得，根据等角的余角相等可得，结合锐角三角函数的定义可求得，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得，推得，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，即可证明；
（3）根据折叠的性质可得，即点在以为圆心，为半径的圆上运动，以为圆心，为半径作，连接，过点作于，连接，，根据特殊角的三角函数值可得，，根据垂直于同一直线的两直线平行可得，根据两直线平行，同旁内角互补、等腰直角三角形的性质和有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，根据矩形的对边相等可得，根据直角三角形，斜边上的中线是斜边的一半可得，推得，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边之比相等可得，推得当、、在同一条直线上时，取得最小值，求出的值，根据锐角三角形函数的定义即可求解．
【解答】（1）解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图：
则，
∵，
∴，，
∵是等腰直角三角形，，，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
（2）证明：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵将沿折叠，折叠后的三角形记为，
∴，即点在以为圆心，为半径的圆上运动，
如图，以为圆心，为半径作，连接，过点作于，连接，，

∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点是斜边的中点，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，当且仅当、、在同一条直线上时，取得最小值，
∵，，，
∴，
在中，，
∴．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
年级
平均数
中位数
优秀率
七年级
八年级