2024年四川省内江市威远县严陵中学中考数学一模试卷(含解析）

这是一份2024年四川省内江市威远县严陵中学中考数学一模试卷(含解析），共22页。试卷主要包含了|−12023|的倒数是，下列运算正确的是，某射击爱好者的5次射击成绩为，《孙子算经》中有一道题，原文是等内容，欢迎下载使用。

A. 12023B. −12023C. 2023D. −2023
2.下列运算正确的是( )
A. a2+2a2=3a4B. (2a2)3=8a6
C. a3⋅a2=a6D. (a−b)2=a2−b2
3.如图是正方体的表面展开图，每个面内都分别写有一个字，则与“创”字相对面上的字是( )
A. 文
B. 明
C. 城
D. 市
4.某射击爱好者的5次射击成绩(单位：环)为：9，10，8，9，8，则下列结论正确的是( )
A. 众数是9B. 中位数是9C. 平均数是9D. 方差是1.2
5.如图，已知直线a/​/b，∠1=50°，则∠2的度数为( )
A. 140°
B. 130°
C. 50°
D. 40°
6.函数y= x+1x−3的自变量x的取值范围是( )
A. x≠3B. x≥−1C. x≥−1且x≠3D. x≤−1或x≠3
7.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是( )
A. x−y=4.52x+1=yB. x−y=4.512x+1=yC. y−x=4.52x−1=yD. x−y=4.512x−1=y
8.实数a在数轴上的对应位置如图所示，则 a2+1+|a−1|的化简结果是( )
A. 1B. 2C. 2aD. 1−2a
9.已知a+b>0，ab>0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是( )
A. (a,b)
B. (a,−b)
C. (−a,−b)
D. (−a,b)
10.已知点C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为13π，则图中阴影部分的面积为( )
A. 16πB. 316πC. 124πD. 112π+ 34
11.如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F.若∠DEF=∠DFE，则这个菱形的面积为( )
A. 16B. 6 7C. 12 7D. 30
12.有五张卡片(形状、大小、质地都相同)，上面分别画有下列图形：
①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆．
将卡片背面朝上洗匀，从中任取一张，其正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是______．
13.因式分解：a3−6a2+9a=______．
14.若一元二次方程x2+x−c=0没有实数根，则c的取值范围是 ．
15.如图，在△ABC和△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，若DE=1，则FG=
16.计算： 16−2tan60°−(12)−1+(π−2023)0．
17.如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG、DE、FG．
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)若AD=2AB，求证：四边形DEFG是矩形．
18.在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°.已知山坡坡度i=3：4，即tanθ=34，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．
(结果精确到0.1m，参考数据： 3≈1.732)
19.如图，已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=mx(x<0)的图象交于A(−2,4)，B(−4,2)两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式mx(3)点P在y轴上，且S△AOP=12S△AOB，请求出点P的坐标．
20.若2x−y+4z=0，4x+3y−2z=0.则xy+yz+zxx2+y2+z2的值为______．
21.已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2−3=0的两个实数根.若x12+x22−x1x2=33，则m= ______．
22.如图，四边形ABCD中，AB/​/CD，AC⊥BC，∠DAB=60°，AD=CD=4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD=90°，则△MBC面积的最小值为______．
23.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc<0；②a+c>b；③3a+c<0；④a+b>m(am+b)(其中m≠1)，其中正确的结论有____．
24.如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且BE=DE．
(1)判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AC=4，sinC=13．
①求⊙O的半径；
②求BD的长．
25.如图，抛物线y=ax2+bx+2经过A(−1,0)、B(4,0)两点，点D(x,y)为抛物线上第一象限内的一个动点．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
(3)过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使∠DCE等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：|−12023|=12023，
12023的倒数是2023，
故选：C．
先化简绝对值，根据倒数的定义求解即可．
本题考查了绝对值的定义和倒数的定义，互为倒数的两个数乘积为1．
2.【答案】B
【解析】解：A.因为a2+2a2=3a2，故A选项不符合题意；
B.因为(2a2)3=8a6，故B选项符合题意；
C.因为a2⋅a3=a2+3=a5，故C选项不符合题意；
D.因为(a−b)2=a2−2ab+b2，故D选项不符合题意．
故选：B．
A.应用合并同类项法则进行求解即可得出答案；
B.应用积的乘方运算法则进行计算即可得出答案；
C.应用同底数幂的乘法运算法则进行计算即可得出答案；
D.应用完全平方公式进行计算即可得出答案．
本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则和完全平方公式，熟练掌握运算法则进行求解是解决本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：将正方体的表面展开图还原成正方体，以“文”字为底，则左边的是“建”字，右边的是“明”字，上面的是“城”字，正面的是“市”字，后面的是“创”字，可知“创”字与“市”字相对．
故选：D．
先以“文”字为底，则左边的是“建”字，右边的是“明”字，上面的是“城”字，正面的是“市”字，后面的是“创”字，再判断与“创”字相对的字即可．
本题主要考查了将正方体表面展开图还原，确定每个字在还原后的正方体的位置是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：这组数据的众数是8和9，故A选项错误；
重新排列为8、8、9、9、10，所以其中位数是9，B选项正确；
平均数为8×2+9×2+105=8.8，故C选项错误；
方差为15×[2×(8−8.8)2+2×(9−8.8)2+(10−8.8)2]=0.56，故D选项错误；
故选：B．
根据众数、中位数、平均数及方差的定义逐一计算即可得出答案．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、平均数及方差的定义．
5.【答案】B
【解析】解：因为直线a/​/b，
所以∠3=∠1=50°．
又因为∠2+∠3=180°，
所以∠2=130°．
故选：B．
由直线a/​/b，利用“两直线平行，同位角相等”可求出∠3的度数，再结合∠2和∠3互补，即可求出∠2的度数．
本题考查了平行线的性质以及邻补角，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意得：x+1≥0x−3≠0，
解得：x≥−1且x≠3．
故选：C．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
7.【答案】B
【解析】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，
∴x−y=4.5；
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
∴12x+1=y．
∴所列方程组为x−y=4.512x+1=y．
故选：B．
根据“用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：根据数轴得：0∴a>0，a−1<0，
∴原式=|a|+1+1−a
=a+1+1−a
=2．
故选：B．
根据数轴得：00，a−1<0，根据 a2=|a|和绝对值的性质化简即可．
本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握 a2=|a|是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵a+b>0，ab>0，
∴a>0，b>0，
A、(a,b)在第一象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
B、(a,−b)在第四象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
C、(−a,−b)在第三象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
D、(−a,b)在第二象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项符合题意．
故选：D．
因为ab>0，所以a、b同号，又a+b>0，所以a>0，b>0，观察图形判断出小手盖住的点在第二象限，然后解答即可．
本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，难度一般．连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，可得∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，△OAC、△OCD是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积求解即可．
【解答】
解：连接OC、OD，
∵C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，AC=CD，
设⊙O的半径为r，
∵弧CD的长为13π，
∴60π×r180=13π，
解得：r=1，
又∵OA=OC=OD，
∴△OAC、△OCD是等边三角形，
∴∠AOC=∠DCO=60°，
∴AB/​/CD，
∴S△ACD=S△COD，
∴S阴影=S扇形OCD=60π×12360=π6．
11.【答案】B
【解析】解：连接AC交BD于O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD//BC，CB=CD=AD=4，AC⊥BD，BO=OD，OC=AO，
∵E为AD边的中点，
∴DE=2，
∵∠DEF=∠DFE，
∴DF=DE=2，
∵DE/​/BC，
∴∠DEF=∠BCF，
∵∠DFE=∠BFC，
∴∠BCF=∠BFC，
∴BF=BC=4，
∴BD=BF+DF=4+2=6，
∴OB=OD=3，
在Rt△BOC中，OC= 42−32= 7，
∴AC=2OC=2 7，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×2 7×6=6 7．
故选：B．
连接AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得到AD//BC，CB=CD=AD=4，AC⊥BD，BO=OD，OC=AO，再利用∠DEF=∠DFE得到DF=DE=2，证明∠BCF=∠BFC得到BF=BC=4，则BD=6，所以OB=OD=3，接着利用勾股定理计算出OC，从而得到AC=2 7，然后根据菱形的面积公式计算它的面积．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积=12ab(a、b是两条对角线的长度)．
12.【答案】25
【解析】解：∵五张卡片①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的①⑤，
∴从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是：25．
故答案为：25．
由五张卡片①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的①⑤，直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】a(a−3)2
【解析】解：原式=a(a2−6a+9)=a(a−3)2，
故答案为：a(a−3)2．
先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
14.【答案】c<−14
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
根据判别式的意义得到12+4c<0，然后解不等式即可．
【解答】
解：根据题意得Δ=12+4c<0，
解得c<−14．
故答案为：c<−14．
15.【答案】1
【解析】【分析】
此题考查三角形中位线定理以及直角三角形斜边中线的性质，关键是根据直角三角形的性质得出AB的长解答．
根据直角三角形的性质得出AB的长，进而利用三角形中位线定理解答即可．
【解答】
解：∵∠ADB=90°，E是AB的中点，
∴AB=2DE=2，
∵F、G分别为AC、BC的中点，
∴FG是△ACB的中位线，
∴FG=12AB=1，
故答案为：1．
16.【答案】解：原式=4−2× 3−2+1
=3−2 3．
【解析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可．
本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
17.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴∠EAB=∠CFE，
又∵E为BC的中点，
∴EC=EB，
在△ABE和△FCE中，
∠EAB=∠EFC∠BEA=∠CEFEB=EC,
∴△ABE≌△FCE(AAS)；
(2)∵△ABE≌△FCE，
∴AB=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∴DC=CF，
又∵CE=CG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵E为BC的中点，CE=CG，
∴BC=EG，
又∵AD=BC=EG=2AB，DF=CD+CF=2CD=2AB，
∴DF=EG，
∴平行四边形DEFG是矩形．
【解析】(1)由平行四边形的性质推出AB/​/CD，根据平行线的性质推出∠EAB=∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；
(2)先证明四边形DEFG是平行四边形，再证明DF=EG，即可证明四边形DEFG是矩形．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键．
18.【答案】解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，

则DE=AF，DF=AE，
在Rt△DEC中，tanθ=DEEC=34，
设DE=3x米，则CE=4x米，
∵DE2+CE2=DC2，
∴(3x)2+(4x)2=400，
∴x=4或x=−4(舍去)，
∴DE=AF=12米，CE=16米，
设BF=y米，
∴AB=BF+AF=(12+y)米，
在Rt△DBF中，∠BDF=30°，
∴DF=BFtan30∘=y 33= 3y(米)，
∴AE=DF= 3y米，
∴AC=AE−CE=( 3y−16)米，
在Rt△ABC中，∠ACB=60°，
∴tan60°=ABAC=12+y 3y−16= 3，
解得：y=6+8 3，
经检验：y=6+8 3是原方程的根，
∴AB=BF+AF=18+8 3≈31.9(米)，
∴建筑物的高度AB约为31.9米．
【解析】过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DE=AF，DF=AE，在Rt△DEC中，根据已知可设DE=3x米，则CE=4x米，然后利用勾股定理进行计算可求出DE，CE的长，再设BF=y米，从而可得AB=(12+y)米，最后在Rt△DBF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，从而求出AC的长，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义列出关于y的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：(1)将A(−2,4)代入y=mx(x<0)得：4=m−2，
∴m=−8，
∴反比例函数为：y=−8x．
将A(−2,4)，B(−4,2)代入y=ax+b得：−2a+b=4−4a+b=2，
解得：a=1b=6，
∴一次函数的表达式为：y=x+6．
(2)观察图象可知，mx(3)在y=x+6中，当y=0时，x=−6，
∴C(−6,0)．
∴S△ABO=S△AOC−S△BOC
=12OC×(yA−yB)
=12×6×2
=6，
∴S△AOP=12×6=3，
∵P在y轴上，
∴12OP×|xA|=3，
∴OP=3．
∴P(0,3)或(0,−3)．
【解析】(1)用待定系数法法求解析式；
(2)写出反比例函数图象在余弦函数图象上方的x的取值范围即可；
(3)先求△AOB的面积，再求P的坐标．
本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，将线段的长度转化为坐标运算是求解本题的关键．
20.【答案】−16
【解析】解：由题意得：
2x−y+4z=0①4x+3y−2z=0②，
②×2得：8x+6y−4z=0③，
①+③得：10x+5y=0，
∴y=−2x，
把y=−2x代入①中得：
2x+2x+4z=0，
z=−x，
∴xy+yz+zxx2+y2+z2
=−2x2+2x2−x2x2+4x2+x2
=−x26x2
=−16，
故答案为：−16．
根据题目的已知，联立成三元一次方程组，把y和z都用含x的式子表示即可解答．
本题考查了分式的值，解三元一次方程组，根据题目的已知，联立成三元一次方程组，把y和z都用含x的式子表示是解题的关键．
21.【答案】2
【解析】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2−3=0的两个实数根，
∴x1+x2=2(m+1)，x1x2=m2−3，
Δ=[2(m+1)]2−4(m2−3)≥0，即：m≥−2，
∵x12+x22−x1x2=33，即(x1+x2)2−3x1x2=33，
∴[2(m+1)]2−3(m2−3)=33，
∴m2+8m−20=0，
解得：m=−10或m=2，
∵m≥−2，
∴m=2．
故答案为：2．
根据根与系数的关系得x1+x2、x1x2，再代入到x12+x22−x1x2=33即(x1+x2)2−3x1x2=33中解方程可得m的两个值，根据根的判别式进行取舍．
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、解方程、根的判别式等知识点，根据根与系数的关系得到此方程的两根和与两根积是解题的关键．
22.【答案】6 3−4
【解析】解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．
∵∠AMD=90°，AD=4，OA=OD，
∴OM=12AD=2，
∵AB/​/CD，
∴∠GCF=∠B=60°，
∴∠DGO=∠CGF=30°，
∵AD=BC，
∴∠DAB=∠B=60°，
∴∠ADC=∠BCD=120°，
∴∠DOG=30°=∠DGO，
∴DG=DO=2，
∵CD=4，
∴CG=2，
∴OG=2OD⋅cs30°=2 3，GF= 3，OF=3 3，
∴ME≥OF−OM=3 3−2，
∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为3 3−2，
∴△MBC面积的最小值=12×4×(3 3−2)=6 3−4．
故答案为：6 3−4．
取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF.求出OM，OF即可解决问题．
本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
23.【答案】①④
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数的最值．
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】
解：①由图象可知：a<0，c>0，∵−b2a=1>0，
∴b=−2a，b>0，∴abc<0，故此选项正确；
②当x=−1时，y=a−b+c=0，故a+c=b，故此选项错误；
③当x=3时，y=9a+3b+c=0，∴9a−6a+c=0，得3a+c=0，故此选项错误；
④当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，
而当x=m≠1时，y=am2+bm+c，
所以a+b+c>am2+bm+c，
故a+b>am2+bm，即a+b>m(am+b)(其中m≠1)，故此选项正确．
故①④正确．
故答案为：①④．
24.【答案】 解：(1)CD是⊙O的切线，理由如下：
如图，连接OD．
∵BE=DE，OB=OD，
∴∠EBD=∠EDB，∠OBD=∠ODB，
∵BE是⊙O的切线，OB是半径，
∴OB⊥BE，
∴∠OBE=90°，
∴∠EBD+∠OBD=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°，
∴OD⊥CD，
∵OD是半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)①设OD=OA=r，
∵OD⊥CD，
∴sinC=ODOC=ODOA+AC=13，
∴rr+4=13，
∴r=2，
∴⊙O的半径为2；
②在Rt△COD中，CD= OC2−OD2= (2+4)2−22=4 2，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBA+∠BAD=90°，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠ADC+∠ODA=90°，
∴∠ADC+∠OAD=90°，
∴∠ADC=∠DBC，
∵∠C=∠C，
∴△CDA∽△CBD，
∴ADDB=ACDC=44 2= 22，
设AD= 2k，DB=2k，
∵AD2+DB2=AB2，
∴( 2k)2+(2k)2=42，
∴k=2 63(负根已经舍去)，
∴BD=2k=4 63．


【解析】【分析】
(1)CD是⊙O的切线，连接OD，证明OD⊥CD即可；
(2)①设OD=OA=r，根据sinC=13构建方程求解即可；
②证明△CDA∽△CBD，推出ADDB=ACDC=44 2= 22，设AD= 2k，DB=2k，利用勾股定理求解即可．
【解答】
解：(1)CD是⊙O的切线，理由如下：
如图，连接OD．
∵BE=DE，OB=OD，
∴∠EBD=∠EDB，∠OBD=∠ODB，
∵BE是⊙O的切线，OB是半径，
∴OB⊥BE，
∴∠OBE=90°，
∴∠EBD+∠OBD=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°，
∴OD⊥CD，
∵OD是半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)①设OD=OA=r，
∵OD⊥CD，
∴sinC=ODOC=ODOA+AC=13，
∴rr+4=13，
∴r=2，
∴⊙O的半径为2；
②在Rt△COD中，CD= OC2−OD2= (2+4)2−22=4 2，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBA+∠BAD=90°，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠ADC+∠ODA=90°，
∴∠ADC+∠OAD=90°，
∴∠ADC=∠DBC，
∵∠C=∠C，
∴△CDA∽△CBD，
∴ADDB=ACDC=44 2= 22，
设AD= 2k，DB=2k，
∵AD2+DB2=AB2，
∴( 2k)2+(2k)2=42，
∴k=2 63(负根已经舍去)，
∴BD=2k=4 63．
【点评】
本题考查圆的切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x−x1)(x−x2)，
即y=a(x+1)(x−4)=a(x2−3x−4)=ax2+bx+2，
则−4a=2，
解得：a=−12，
则抛物线的解析式为y=−12x2+32x+2．
(2)如图所示，过D作DG⊥x轴，垂足为G点，与BC交于K点，
设D(m,n)(其中m>0，n>0)，则n=−12m2+32m+2．

∴K(m,2−12m)，
∴DK=n−2+12m，
∴S△BCD=S△CDK+S△BDK=12×4×(n−2+12m)=2n−4+m=−m2+4m=−(m−2)2+4≤4，
当△BCD的面积最大4时，m=2，
此时，点D(2,3)；
(3)存在，理由：
当∠DCE=2∠ABC时，取点F(0,−2)，连接BF，如下图所示．

∵OC=OF，OB⊥CF，
∴∠ABC=∠ABF，
∴∠CBF=2∠ABC．
∵∠DCB=2∠ABC，
∴∠DCB=∠CBF，
∴CD/​/BF．
∵点B(4,0)，F(0,−2)，
∴直线BF的解析式为y=12x−2，
∴直线CD的解析式为y=12x+2．
联立直线CD及抛物线的解析式成方程组得：12x+2=−12x2+32x+2，
解得：x=0(舍去)或2，
即点D(2,3)．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)由S△BCD=S△CDK+S△BDK，即可求解；
(3)证明∠DCB=∠CBF，得到CD/​/BF，进而求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、面积的计算、平行线的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，综合性强，难度适中．