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2024年新疆乌鲁木齐十六中中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2024年新疆乌鲁木齐十六中中考数学一模试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−2024的绝对值是( )
A. 2024B. −2024C. 12024D. −12024
2.六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看该几何体得到的图形是( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，直线a，b被直线c所截，若直线a//b，∠2=68°，则∠1的度数为( )
A. 112°
B. 122°
C. 68°
D. 22°
4.下列运算正确的是( )
A. a3⋅a4=a12B. 2b+5a=7ab
C. (a+b)2=a2+b2D. (a2b3)2=a4b6
5.若点M(1−2m,m−1)在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6.一组数据：5，5，3，x，6，2的平均数为4，则这组数据的方差为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.关于x的一元二次方程x2−(k+2)x+2k=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 总有实数根
C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根
8.如图，是一组按照某种规律摆放成的图案，则图5中三角形的个数是( )
A. 8B. 9C. 16D. 17
9.如图1，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，P，Q两点同时从点O出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动.P，Q的运动路线：点P为O−A−D−O，点Q为O−C−B−O.设运动的时间为x秒，P，Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则菱形ABCD的面积为．( )
A. 2 3cm2B. 2cm2C. 3cm2D. 2cm2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.今年国家将为教育事业发展投资1800亿元.将1800亿用科学记数法表示为______亿.
11.师傅和徒弟两人每小时共做40个零件，在相同时间内，师傅做了300个零件，徒弟做了100个零件.师傅每小时做了多少个零件？若设师傅每小时做了x个零件，则可列方程为______．
12.若半径为8的扇形弧长为2π，则该扇形的圆心角度数为______．
13.如图，△ABC中，∠B=75°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为______．
14.如图，点A，B分别在反比例函数y=12x和y=kx的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为7，则k的值为______．
15.如图，正方形ABCD的边长为4，点E为对角线BD上任意一点(不与B，D重合)，连接AE，过点E作EF⊥AE，交线段BC于点F，以AE，EF为邻边作矩形AEFG，连接BG.给出下列四个结论：①AE=EF；②CD−BF= 22BE；③四边形AGBE的周长最小值为8 2；④当BF=1时，△AGB的面积为3，其中正确的结论有______(填写所有正确结论的序号)
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题11分)
(1)计算：(−1)2021+|1− 2|−2cs45°−(12)−1；
(2)分解因式：x2y−y3．
17.(本小题12分)
(1)先化简，再求值：(1+1x−1)÷xx2−1，其中：x=−2．
(2)某运输队第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；第二次装载了8节火车车厢和10辆汽车，比第一次多运输了化肥80吨.每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？
18.(本小题12分)
卡塔尔世界杯开赛前，某同学为了调查各球队在本年级受欢迎程度，对部分同学开展了“你最喜爱的球队”的问卷调查(每人只填写一项)，根据收集的数据绘制了如图两幅不完整的统计图，根据要求回答下列问题．
(1)本次问卷调查共调查了多少名同学．
(2)补全图1中的条形统计图，并求出图2中喜爱“西班牙”人数占调查总人数的百分比．
(3)现有喜欢“阿根廷”(记为A)，“巴西”(记为B)，“西班牙”(记为C)，“德国”(记为D)的同学各一名，若要从4人中随机抽取2人，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出恰好抽到喜欢“阿根廷”和“巴西”两位同学的概率．
19.(本小题11分)
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE//AC，CE//BD．
(1)求证：四边形ODEC为菱形；
(2)连接OE，若BC=2 5，求OE的长．
20.(本小题10分)
如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°(A、B、D三点在同一直线上).请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度(结果精确到0.1m).(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
21.(本小题10分)
小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行.小玲开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用30min；小东骑自行车以250m/min的速度直接回家.两人离家的路程y(m)与各自离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示．
(1)家与图书馆之间的路程为______m，小玲步行的速度为______m/min．
(2)求两人相遇的时间．
22.(本小题11分)
已知：如图，在△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
(1)求证：点D是AB的中点；
(2)求证：DE是⊙O的切线；
(3)若⊙O的直径为18，csB=13，求DE的长．
23.(本小题13分)
如图，抛物线y=−x2−bx+c与x轴交于A(−4,0)，B两点，与y轴交于点C(0,−4)，作直线AC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，连接OD，当四边形ADBP的面积最大时．
①求证：四边形OCPD是平行四边形；
②连接AD，在抛物线上是否存在Q，使∠ADP=∠DPQ，若存在求点Q的坐标；若不存在说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2024的绝对值是2024．
故选：A．
根据绝对值的意义解答即可．
本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握|a|=a(a>0)0(a=0)−a(a<0)．
2.【答案】D
【解析】解：从左面看题中几何体得到的图形如图，
故选：D．
根据三视图的定义解答即可．
本题考查三视图，根据几何体得到三视图是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵a//b，∠2=68°，
∴∠3=∠2=68°，
∵∠1+∠3=180°，
∴∠1=112°．
故选：A．
由a//b，∠2=68°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由邻补角的定义，即可求得∠1的度数．
此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
4.【答案】D
【解析】解：A、原式=a7，不符合题意；
B、原式不能合并，不符合题意；
C、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；
D、原式=(a2)2⋅(b3)2=a4b6，符合题意．
故选：D．
A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；
B、利用合并同类项法则判断即可；
C、利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断；
D、利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵点M(1−2m,m−1)在第二象限，
∴1−2m<0①m−1>0②，
由①得m>0.5，
由②得，m>1，
∴不等式组的解集m>1．
在数轴上表示为：
故选：B．
根据第二象限内点的坐标特点列出关于m的不等式组，求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵5，5，3，x，6，2平均数为4，
∴5+5+3+x+6+26=4，
解得x=3，
∴s2=16×[2×(5−4)2+2×(3−4)2+(6−4)2+(2−4)2]=2．
故选：B．
先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算．
本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
7.【答案】B
【解析】解：∵a=1，b=−(k+2)，c=2k，
∴Δ=b2−4ac=[−(k+2)]2−4×1×2k=k2+4k+4−8k=k2−4k+4=(k−2)2≥0，
∴方程总有实数根．
故选：B．
要判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ=b2−4ac的值的符号就可以了．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)Δ<0⇔方程没有实数根．
8.【答案】C
【解析】解：由图可知：第一个图案有三角形1个．第二图案有三角形1+3=4个．
第三个图案有三角形1+3+4=8个，
第四个图案有三角形1+3+4+4=12
第五个图案有三角形1+3+4+4+4=16
故选：C．
对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，进而得出即可．
此题主要考查了图形的变化规律，注意由特殊到一般的分析方法．这类题型在中考中经常出现．
9.【答案】A
【解析】解：根据题意可知，当P，Q两点都在AC上运动时，PQ=2 3cm，
∴AC=2 3cm，
由菱形的性质，得AO=CO=12AC= 3cm，AC⊥BD，
同理，第三个过程完成时，P、Q两点相距2cm，
∴BD=2cm，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×2 3× 3=2 3(cm2)．
故选：A．
根据图象可知整个过程分为是三个过程：第一，两者都在AC上运动；第二，点P在AD，点Q在CB；第三，两者都在DB运动．再根据运动速度和各个过程的运动路程进行抢救即可．
本题主要考查了菱形的性质以及动点问题的函数图象，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．
10.【答案】1.8×103
【解析】解：1800=1.8×103，
即1800亿用科学记数法表示为1.8×103亿．
故答案为：1.8×103．
本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
本题主要考查科学记数法的表示方法，掌握形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数是关键．
11.【答案】300x=10040−x
【解析】解：设师傅每小时做了x个零件，则徒弟每小时做(40−x)个零件，
由题意可得：300x=10040−x，
故答案为：300x=10040−x．
根据在相同的时间内，师傅做了300个零件，徒弟做了100个零件．可以列出相应的方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
12.【答案】45°
【解析】解：设圆心角为n°．
由题意，nπ×8180=2π，
解得n=45，
∴该扇形的圆心角度数为45°．
故答案为：45°．
利用弧长公式计算即可．
本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l=nπr180．
13.【答案】45°
【解析】解：∵△ABC中，∠B=75°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°−75°−30°=75°．
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠C=∠CAD=30°，
∴∠BAD=∠BAC−∠CAD=75°−30°=45°．
故答案为：45°．
先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠C=∠CAD，进而可得出结论．
本题考查的是作图−基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：如图所示：
∵点A、B分别在反比例函数y=12x和y=kx图象上，且AD⊥x轴，AC⊥y轴，
∴四边形ACOD和BEOF为矩形，
∵点A、B在第一象限，
∴k>0，
根据反比例函数比例系数的几何意义，得：
S矩形ACOD=12，S矩形BEOF=k，
∵阴影部分的面积为7，
∴S矩形ACOD−S矩形BEOF=7，
∴12−k=7，
解得：k=5．
故答案为：5．
点A、B分别在反比例函数y=12x和y=kx图象上，分别过A、B两点向x轴，y轴作垂线，利用几何意义，表示出S矩形ACOD=12，S矩形BEOF=k，再利用阴影部分的面积为7，得出S矩形ACOD−S矩形BEOF=7，由此解出k即可．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握几何意义求出反比例函数k值是解题的关键．
15.【答案】①③④
【解析】解：①如图，连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°，
∵EF⊥AE，
∴A、E、F、B在以AF为直径的圆上，
∴∠AFE=∠ABD=45°，∠EAF=∠CBD=45°，
∴∠AFE=∠EAF，
∴AE=EF，故①正确；
②如图，连接CE，过点E作EH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是正方形，点E在BD上，
∴AE=CE，CD=BC，∠CBD=45°，
∵EH⊥BC，
∴BH=EH= 22BE，
CD−BF=BC−BF=CF，
∵AE=EF，
∴CE=EF，
∵EH⊥BC，
∴CF=2FH，
假设CD−BF= 22BE，则BH=CF=2FH，
∴BF=FH=CH，即F、H是BC的三等分点，
而当点E在BD上运动时，点F会在线段BC上运动，故②不正确；
③由①得，AE=EF，
∵四边形AEFG是矩形，
∴四边形AEFG是正方形，
∴AG=AE，∠GAE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠GAE=90°，
BD= 2AD= 2×4=4 2，
∴∠BAD−∠BAE=∠GAE−∠BAE，
∴∠DAE=∠BAG，
在△DAE和△BAG中，
AD=AB∠DAE=∠BAGAE=AG，
∴△DAE≌△BAG(SAS)，
∴DE=BG，
∴m=AG+AE+BG+BE
=AE+AE+DE+BE
=2AE+BD
=2AE+4 2，
∴m随AE的增大而增大，
当AE⊥BD时，AE最小，m的值最小，
此时AE= 22AD= 22×4=2 2，
m的最小值为2AE+4 2=8 2，故③正确；
④如图，若设BD的中点为O，则点E在OD上时，连接AF，过点A作AT⊥BD于点T，
∵BF=1，AB=4，
∴AF= AB2+BF2= 17，
由③知四边形AEFG是正方形，
∴AE= 22AF= 342，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AT=DT= 22AD= 22×4=2 2，
∴ET= AE2−AT2= 22，
∴DE=DT−ET=3 22，
∴S△ADE=12DE⋅AT=12×3 22×2 2=3，
∴S△AGB=S△ADE=3．
∴④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
①连接AF，根据正方形的性质及圆周角定理可以判断；②连接CE，过点E作EH⊥BC于点H，利用正方形的性质及线段的和差关系可得CF=2FH，假设CD−BF= 22BE，则BH=CF=2FH，可得BF=FH=CH，即F、H是BC的三等分点，当点E在BD上运动时由此可判断；③由正方形的判定与性质可得∠DAE=∠BAG，再由全等三角形的判定与性质及最值问题即可判断；④连接AF，过点A作AT⊥BD于点T，根据正方形的性质及勾股定理可得AT、ET的长，再利用三角形的面积公式答案．
此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=−1+ 2−1−2× 22−2
=−1+ 2−1− 2−2
=−4；
(2)原式=y(x2−y2)
=y(x+y)(x−y)．
【解析】(1)利用有理数的乘法法则，绝对值的性质，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂计算即可；
(2)提公因式后利用【】平方差公式因式分解即可．
本题考查实数的运算及因式分解，熟练掌握相关运算法则及因式分解的方法是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(1+1x−1)÷xx2−1
=xx−1×x(x−1)x
=x，
当x=−2时，
原式=−2．
(2)设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥．
6x+15y=3608x+10y=360+80,
解得x=50，y=4．
答：每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥．
【解析】(1)先对小括号里进行通分计算，再按分式除法法则进行计算；最后将数值代入，求出结果．
(2)根据“第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；第二次运输(360+80)吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了分式的化简求值和二元一次方程组的应用，根据计算法则进行计算和找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18.【答案】解：(1)本次问卷调查共调查的学生人数为24÷30%=80(名)．
(2)喜爱“巴西”人数为80−24−16−8=32(名)．
补全图1中的条形统计图如图所示．
图2中喜爱“西班牙”人数占调查总人数的百分比为1680×100%=20%．
(3)列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到喜欢“阿根廷”和“巴西”两位同学的结果有：(A,B)，(B,A)，共2种，
∴恰好抽到喜欢“阿根廷”和“巴西”两位同学的概率为212=16．
【解析】(1)用条形统计图中“阿根廷”的人数除以扇形统计图中“阿根廷”的百分比可得本次问卷调查共调查的人数．
(2)用本次问卷调查共调查的人数分别减去“阿根廷”、“西班牙”、“德国”的人数，可求出“巴西”的人数，补全条形统计图即可；用“西班牙”的人数除以本次问卷调查共调查的人数再乘以100%即可．
(3)列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到喜欢“阿根廷”和“巴西”两位同学的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵DE//AC，CE//BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形；
(2)解：如图，连接OE，交CD于点F，
由(1)知，四边形OCED是菱形，
∴OE⊥CD，
∴∠ADC=∠OFC=90°，
∴AD//OE，
∵DE//AC，
∴四边形AOED是平行四边形，
∴OE=AD=BC=2 5．
【解析】(1)根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形OCED是平行四边形，再根据矩形对角线相等且互相平分可得OC=OD，进而可以解决问题；
(2)根据矩形的性质证明四边形AOED是平行四边形，进而可以解决问题．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
20.【答案】解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，
∴∠ACB=∠CBD−∠A=60°−30°=30°，
∴∠A=∠ACB，
∴BC=AB=10(m)．
在直角△BCD中，CD=BC⋅sin∠CBD=10× 32=5 3≈5×1.732≈8.7(m)．
答：这棵树CD的高度为8.7m．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．
21.【答案】4000 100
【解析】解：(1)由图看出家与图书馆之间的路程为4000m，
小玲步行的速度为4000−200030−10=100( m/min)，
故答案为：4000；100；
(2)∵4000÷250=16，∴D(16,0)，
设y东=kx+4000，
把D(16,0)代入，得0=16k+4000，
解得k=−250，
∴y东=−250x+4000(0≤x≤16)；
设y玲=ax，把A(10,2000)代入，
求得：a=200，
∴y玲=200x，
联立y=−250x+4000y=200x，
解得x=809y=160009，
答：两人相遇时用时间809min．
(1)由图看出家与图书馆之间的路程为4000m，用小玲步行的路程4000−2000=2000m，除以小玲步行的时间30−10=10分钟，据此可得到小玲步行的速度；
(2)先求出小东到家的函数关系式，再求得小玲跑步的函数关系式，联立，求解即可．
本题考查了一次函数应用的行程问题，解决问题的关键是熟练运用速度，时间，路程之间的关系，结合一次函数的图象和性质解答．
22.【答案】(1)证明：连接CD，
∵BC是⊙O的直径，
∴CD⊥AB，又∵AC=BC，
∴AD=BD，
∴点D是AB的中点；
(2)证明：连接OD，
∵BD=DA，BO=OC，
∴DO是△ABC的中位线，
∴DO//AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO，即DE是⊙O的切线；
(3)解：∵AC=BC，
∴∠B=∠A，
∴cs∠B=cs∠A=13，
∵cs∠B=BDBC=13，BC=18，
∴BD=6，
∴AD=6，
∵cs∠A=AEAD=13，
∴AE=2，
在Rt△AED中，DE= AD2−AE2=4 2．
【解析】(1)连接CD，根据圆周角定理得到CD⊥AB，根据等腰三角形的性质证明；
(2)连接OD，根据三角形中位线定理得到DO//AC，根据平行线的性质、切线的判定定理证明；
(3)根据余弦的概念、勾股定理计算即可．
本题考查的是切线的判定和性质、圆周角定理以及锐角三角函数的定义，掌握切线的判定定理和性质定理是解题的关键．
23.【答案】(1)解：由题意得：c=−4−16+4b+c=0，
解得：b=5c=−4，
则抛物线的表达式为：y=−x2−5x−4①；
(2)①证明：由抛物线的表达式知，点B(−1,0)，则AB=3，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=−x−4，
设点D(x,−x2−5x−4)，则点P(x,−x−4)，
则PD=−x2−4x，
四边形ADBP的面积=12×AB×PD=12×3×(−x2−4x)，
∵−32<0，故四边形ADBP的面积有最大值，
此时x=−2，
则点D、P的坐标分别为：(−2,2)、(−2,−2)；
由点P、D的坐标得：PD=4=CO，
则OC//PD，
则四边形OCPD是平行四边形；
②解：由点A、P、D的坐标知，△APD为等腰直角三角形，
则∠ADP=45°，则直线AD的表达式为：y=x+4，
∵∠ADP=∠DPQ，
则PQ//AD，
则直线PQ的表达式为：y=(x+2)−2=x②，
联立①②得：−x2−5x−4=x，
解得：x=−3+ 5(不合题意的值已舍去)，
则点Q的坐标为：(−3+ 5,−3+ 5)，
当点Q和点A重合时，也符合题意，
则点Q(−4,0)，
综上，点Q的坐标为：(−3+ 5,−3+ 5)或(−4,0)．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)①证明PD=4=CO，即可求解；
②当点Q在PD的右侧时，求出直线PQ的表达式为：y=x，即可求解；当点Q和点A重合时，也符合题意，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、面积的计算、一次函数的性质等，有一定的综合性，难度适中．A
B
C
D
A
(A,B)
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)
(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)
(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)
1.−2024的绝对值是( )
A. 2024B. −2024C. 12024D. −12024
2.六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看该几何体得到的图形是( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，直线a，b被直线c所截，若直线a//b，∠2=68°，则∠1的度数为( )
A. 112°
B. 122°
C. 68°
D. 22°
4.下列运算正确的是( )
A. a3⋅a4=a12B. 2b+5a=7ab
C. (a+b)2=a2+b2D. (a2b3)2=a4b6
5.若点M(1−2m,m−1)在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6.一组数据：5，5，3，x，6，2的平均数为4，则这组数据的方差为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.关于x的一元二次方程x2−(k+2)x+2k=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 总有实数根
C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根
8.如图，是一组按照某种规律摆放成的图案，则图5中三角形的个数是( )
A. 8B. 9C. 16D. 17
9.如图1，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，P，Q两点同时从点O出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动.P，Q的运动路线：点P为O−A−D−O，点Q为O−C−B−O.设运动的时间为x秒，P，Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则菱形ABCD的面积为．( )
A. 2 3cm2B. 2cm2C. 3cm2D. 2cm2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.今年国家将为教育事业发展投资1800亿元.将1800亿用科学记数法表示为______亿.
11.师傅和徒弟两人每小时共做40个零件，在相同时间内，师傅做了300个零件，徒弟做了100个零件.师傅每小时做了多少个零件？若设师傅每小时做了x个零件，则可列方程为______．
12.若半径为8的扇形弧长为2π，则该扇形的圆心角度数为______．
13.如图，△ABC中，∠B=75°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为______．
14.如图，点A，B分别在反比例函数y=12x和y=kx的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为7，则k的值为______．
15.如图，正方形ABCD的边长为4，点E为对角线BD上任意一点(不与B，D重合)，连接AE，过点E作EF⊥AE，交线段BC于点F，以AE，EF为邻边作矩形AEFG，连接BG.给出下列四个结论：①AE=EF；②CD−BF= 22BE；③四边形AGBE的周长最小值为8 2；④当BF=1时，△AGB的面积为3，其中正确的结论有______(填写所有正确结论的序号)
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题11分)
(1)计算：(−1)2021+|1− 2|−2cs45°−(12)−1；
(2)分解因式：x2y−y3．
17.(本小题12分)
(1)先化简，再求值：(1+1x−1)÷xx2−1，其中：x=−2．
(2)某运输队第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；第二次装载了8节火车车厢和10辆汽车，比第一次多运输了化肥80吨.每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？
18.(本小题12分)
卡塔尔世界杯开赛前，某同学为了调查各球队在本年级受欢迎程度，对部分同学开展了“你最喜爱的球队”的问卷调查(每人只填写一项)，根据收集的数据绘制了如图两幅不完整的统计图，根据要求回答下列问题．
(1)本次问卷调查共调查了多少名同学．
(2)补全图1中的条形统计图，并求出图2中喜爱“西班牙”人数占调查总人数的百分比．
(3)现有喜欢“阿根廷”(记为A)，“巴西”(记为B)，“西班牙”(记为C)，“德国”(记为D)的同学各一名，若要从4人中随机抽取2人，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出恰好抽到喜欢“阿根廷”和“巴西”两位同学的概率．
19.(本小题11分)
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE//AC，CE//BD．
(1)求证：四边形ODEC为菱形；
(2)连接OE，若BC=2 5，求OE的长．
20.(本小题10分)
如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°(A、B、D三点在同一直线上).请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度(结果精确到0.1m).(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
21.(本小题10分)
小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行.小玲开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用30min；小东骑自行车以250m/min的速度直接回家.两人离家的路程y(m)与各自离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示．
(1)家与图书馆之间的路程为______m，小玲步行的速度为______m/min．
(2)求两人相遇的时间．
22.(本小题11分)
已知：如图，在△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
(1)求证：点D是AB的中点；
(2)求证：DE是⊙O的切线；
(3)若⊙O的直径为18，csB=13，求DE的长．
23.(本小题13分)
如图，抛物线y=−x2−bx+c与x轴交于A(−4,0)，B两点，与y轴交于点C(0,−4)，作直线AC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，连接OD，当四边形ADBP的面积最大时．
①求证：四边形OCPD是平行四边形；
②连接AD，在抛物线上是否存在Q，使∠ADP=∠DPQ，若存在求点Q的坐标；若不存在说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2024的绝对值是2024．
故选：A．
根据绝对值的意义解答即可．
本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握|a|=a(a>0)0(a=0)−a(a<0)．
2.【答案】D
【解析】解：从左面看题中几何体得到的图形如图，
故选：D．
根据三视图的定义解答即可．
本题考查三视图，根据几何体得到三视图是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵a//b，∠2=68°，
∴∠3=∠2=68°，
∵∠1+∠3=180°，
∴∠1=112°．
故选：A．
由a//b，∠2=68°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由邻补角的定义，即可求得∠1的度数．
此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
4.【答案】D
【解析】解：A、原式=a7，不符合题意；
B、原式不能合并，不符合题意；
C、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；
D、原式=(a2)2⋅(b3)2=a4b6，符合题意．
故选：D．
A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；
B、利用合并同类项法则判断即可；
C、利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断；
D、利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵点M(1−2m,m−1)在第二象限，
∴1−2m<0①m−1>0②，
由①得m>0.5，
由②得，m>1，
∴不等式组的解集m>1．
在数轴上表示为：
故选：B．
根据第二象限内点的坐标特点列出关于m的不等式组，求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵5，5，3，x，6，2平均数为4，
∴5+5+3+x+6+26=4，
解得x=3，
∴s2=16×[2×(5−4)2+2×(3−4)2+(6−4)2+(2−4)2]=2．
故选：B．
先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算．
本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
7.【答案】B
【解析】解：∵a=1，b=−(k+2)，c=2k，
∴Δ=b2−4ac=[−(k+2)]2−4×1×2k=k2+4k+4−8k=k2−4k+4=(k−2)2≥0，
∴方程总有实数根．
故选：B．
要判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ=b2−4ac的值的符号就可以了．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)Δ<0⇔方程没有实数根．
8.【答案】C
【解析】解：由图可知：第一个图案有三角形1个．第二图案有三角形1+3=4个．
第三个图案有三角形1+3+4=8个，
第四个图案有三角形1+3+4+4=12
第五个图案有三角形1+3+4+4+4=16
故选：C．
对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，进而得出即可．
此题主要考查了图形的变化规律，注意由特殊到一般的分析方法．这类题型在中考中经常出现．
9.【答案】A
【解析】解：根据题意可知，当P，Q两点都在AC上运动时，PQ=2 3cm，
∴AC=2 3cm，
由菱形的性质，得AO=CO=12AC= 3cm，AC⊥BD，
同理，第三个过程完成时，P、Q两点相距2cm，
∴BD=2cm，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×2 3× 3=2 3(cm2)．
故选：A．
根据图象可知整个过程分为是三个过程：第一，两者都在AC上运动；第二，点P在AD，点Q在CB；第三，两者都在DB运动．再根据运动速度和各个过程的运动路程进行抢救即可．
本题主要考查了菱形的性质以及动点问题的函数图象，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．
10.【答案】1.8×103
【解析】解：1800=1.8×103，
即1800亿用科学记数法表示为1.8×103亿．
故答案为：1.8×103．
本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
本题主要考查科学记数法的表示方法，掌握形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数是关键．
11.【答案】300x=10040−x
【解析】解：设师傅每小时做了x个零件，则徒弟每小时做(40−x)个零件，
由题意可得：300x=10040−x，
故答案为：300x=10040−x．
根据在相同的时间内，师傅做了300个零件，徒弟做了100个零件．可以列出相应的方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
12.【答案】45°
【解析】解：设圆心角为n°．
由题意，nπ×8180=2π，
解得n=45，
∴该扇形的圆心角度数为45°．
故答案为：45°．
利用弧长公式计算即可．
本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l=nπr180．
13.【答案】45°
【解析】解：∵△ABC中，∠B=75°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°−75°−30°=75°．
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠C=∠CAD=30°，
∴∠BAD=∠BAC−∠CAD=75°−30°=45°．
故答案为：45°．
先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠C=∠CAD，进而可得出结论．
本题考查的是作图−基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：如图所示：
∵点A、B分别在反比例函数y=12x和y=kx图象上，且AD⊥x轴，AC⊥y轴，
∴四边形ACOD和BEOF为矩形，
∵点A、B在第一象限，
∴k>0，
根据反比例函数比例系数的几何意义，得：
S矩形ACOD=12，S矩形BEOF=k，
∵阴影部分的面积为7，
∴S矩形ACOD−S矩形BEOF=7，
∴12−k=7，
解得：k=5．
故答案为：5．
点A、B分别在反比例函数y=12x和y=kx图象上，分别过A、B两点向x轴，y轴作垂线，利用几何意义，表示出S矩形ACOD=12，S矩形BEOF=k，再利用阴影部分的面积为7，得出S矩形ACOD−S矩形BEOF=7，由此解出k即可．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握几何意义求出反比例函数k值是解题的关键．
15.【答案】①③④
【解析】解：①如图，连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°，
∵EF⊥AE，
∴A、E、F、B在以AF为直径的圆上，
∴∠AFE=∠ABD=45°，∠EAF=∠CBD=45°，
∴∠AFE=∠EAF，
∴AE=EF，故①正确；
②如图，连接CE，过点E作EH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是正方形，点E在BD上，
∴AE=CE，CD=BC，∠CBD=45°，
∵EH⊥BC，
∴BH=EH= 22BE，
CD−BF=BC−BF=CF，
∵AE=EF，
∴CE=EF，
∵EH⊥BC，
∴CF=2FH，
假设CD−BF= 22BE，则BH=CF=2FH，
∴BF=FH=CH，即F、H是BC的三等分点，
而当点E在BD上运动时，点F会在线段BC上运动，故②不正确；
③由①得，AE=EF，
∵四边形AEFG是矩形，
∴四边形AEFG是正方形，
∴AG=AE，∠GAE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠GAE=90°，
BD= 2AD= 2×4=4 2，
∴∠BAD−∠BAE=∠GAE−∠BAE，
∴∠DAE=∠BAG，
在△DAE和△BAG中，
AD=AB∠DAE=∠BAGAE=AG，
∴△DAE≌△BAG(SAS)，
∴DE=BG，
∴m=AG+AE+BG+BE
=AE+AE+DE+BE
=2AE+BD
=2AE+4 2，
∴m随AE的增大而增大，
当AE⊥BD时，AE最小，m的值最小，
此时AE= 22AD= 22×4=2 2，
m的最小值为2AE+4 2=8 2，故③正确；
④如图，若设BD的中点为O，则点E在OD上时，连接AF，过点A作AT⊥BD于点T，
∵BF=1，AB=4，
∴AF= AB2+BF2= 17，
由③知四边形AEFG是正方形，
∴AE= 22AF= 342，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AT=DT= 22AD= 22×4=2 2，
∴ET= AE2−AT2= 22，
∴DE=DT−ET=3 22，
∴S△ADE=12DE⋅AT=12×3 22×2 2=3，
∴S△AGB=S△ADE=3．
∴④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
①连接AF，根据正方形的性质及圆周角定理可以判断；②连接CE，过点E作EH⊥BC于点H，利用正方形的性质及线段的和差关系可得CF=2FH，假设CD−BF= 22BE，则BH=CF=2FH，可得BF=FH=CH，即F、H是BC的三等分点，当点E在BD上运动时由此可判断；③由正方形的判定与性质可得∠DAE=∠BAG，再由全等三角形的判定与性质及最值问题即可判断；④连接AF，过点A作AT⊥BD于点T，根据正方形的性质及勾股定理可得AT、ET的长，再利用三角形的面积公式答案．
此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=−1+ 2−1−2× 22−2
=−1+ 2−1− 2−2
=−4；
(2)原式=y(x2−y2)
=y(x+y)(x−y)．
【解析】(1)利用有理数的乘法法则，绝对值的性质，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂计算即可；
(2)提公因式后利用【】平方差公式因式分解即可．
本题考查实数的运算及因式分解，熟练掌握相关运算法则及因式分解的方法是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(1+1x−1)÷xx2−1
=xx−1×x(x−1)x
=x，
当x=−2时，
原式=−2．
(2)设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥．
6x+15y=3608x+10y=360+80,
解得x=50，y=4．
答：每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥．
【解析】(1)先对小括号里进行通分计算，再按分式除法法则进行计算；最后将数值代入，求出结果．
(2)根据“第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；第二次运输(360+80)吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了分式的化简求值和二元一次方程组的应用，根据计算法则进行计算和找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18.【答案】解：(1)本次问卷调查共调查的学生人数为24÷30%=80(名)．
(2)喜爱“巴西”人数为80−24−16−8=32(名)．
补全图1中的条形统计图如图所示．
图2中喜爱“西班牙”人数占调查总人数的百分比为1680×100%=20%．
(3)列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到喜欢“阿根廷”和“巴西”两位同学的结果有：(A,B)，(B,A)，共2种，
∴恰好抽到喜欢“阿根廷”和“巴西”两位同学的概率为212=16．
【解析】(1)用条形统计图中“阿根廷”的人数除以扇形统计图中“阿根廷”的百分比可得本次问卷调查共调查的人数．
(2)用本次问卷调查共调查的人数分别减去“阿根廷”、“西班牙”、“德国”的人数，可求出“巴西”的人数，补全条形统计图即可；用“西班牙”的人数除以本次问卷调查共调查的人数再乘以100%即可．
(3)列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到喜欢“阿根廷”和“巴西”两位同学的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵DE//AC，CE//BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形；
(2)解：如图，连接OE，交CD于点F，
由(1)知，四边形OCED是菱形，
∴OE⊥CD，
∴∠ADC=∠OFC=90°，
∴AD//OE，
∵DE//AC，
∴四边形AOED是平行四边形，
∴OE=AD=BC=2 5．
【解析】(1)根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形OCED是平行四边形，再根据矩形对角线相等且互相平分可得OC=OD，进而可以解决问题；
(2)根据矩形的性质证明四边形AOED是平行四边形，进而可以解决问题．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
20.【答案】解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，
∴∠ACB=∠CBD−∠A=60°−30°=30°，
∴∠A=∠ACB，
∴BC=AB=10(m)．
在直角△BCD中，CD=BC⋅sin∠CBD=10× 32=5 3≈5×1.732≈8.7(m)．
答：这棵树CD的高度为8.7m．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．
21.【答案】4000 100
【解析】解：(1)由图看出家与图书馆之间的路程为4000m，
小玲步行的速度为4000−200030−10=100( m/min)，
故答案为：4000；100；
(2)∵4000÷250=16，∴D(16,0)，
设y东=kx+4000，
把D(16,0)代入，得0=16k+4000，
解得k=−250，
∴y东=−250x+4000(0≤x≤16)；
设y玲=ax，把A(10,2000)代入，
求得：a=200，
∴y玲=200x，
联立y=−250x+4000y=200x，
解得x=809y=160009，
答：两人相遇时用时间809min．
(1)由图看出家与图书馆之间的路程为4000m，用小玲步行的路程4000−2000=2000m，除以小玲步行的时间30−10=10分钟，据此可得到小玲步行的速度；
(2)先求出小东到家的函数关系式，再求得小玲跑步的函数关系式，联立，求解即可．
本题考查了一次函数应用的行程问题，解决问题的关键是熟练运用速度，时间，路程之间的关系，结合一次函数的图象和性质解答．
22.【答案】(1)证明：连接CD，
∵BC是⊙O的直径，
∴CD⊥AB，又∵AC=BC，
∴AD=BD，
∴点D是AB的中点；
(2)证明：连接OD，
∵BD=DA，BO=OC，
∴DO是△ABC的中位线，
∴DO//AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO，即DE是⊙O的切线；
(3)解：∵AC=BC，
∴∠B=∠A，
∴cs∠B=cs∠A=13，
∵cs∠B=BDBC=13，BC=18，
∴BD=6，
∴AD=6，
∵cs∠A=AEAD=13，
∴AE=2，
在Rt△AED中，DE= AD2−AE2=4 2．
【解析】(1)连接CD，根据圆周角定理得到CD⊥AB，根据等腰三角形的性质证明；
(2)连接OD，根据三角形中位线定理得到DO//AC，根据平行线的性质、切线的判定定理证明；
(3)根据余弦的概念、勾股定理计算即可．
本题考查的是切线的判定和性质、圆周角定理以及锐角三角函数的定义，掌握切线的判定定理和性质定理是解题的关键．
23.【答案】(1)解：由题意得：c=−4−16+4b+c=0，
解得：b=5c=−4，
则抛物线的表达式为：y=−x2−5x−4①；
(2)①证明：由抛物线的表达式知，点B(−1,0)，则AB=3，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=−x−4，
设点D(x,−x2−5x−4)，则点P(x,−x−4)，
则PD=−x2−4x，
四边形ADBP的面积=12×AB×PD=12×3×(−x2−4x)，
∵−32<0，故四边形ADBP的面积有最大值，
此时x=−2，
则点D、P的坐标分别为：(−2,2)、(−2,−2)；
由点P、D的坐标得：PD=4=CO，
则OC//PD，
则四边形OCPD是平行四边形；
②解：由点A、P、D的坐标知，△APD为等腰直角三角形，
则∠ADP=45°，则直线AD的表达式为：y=x+4，
∵∠ADP=∠DPQ，
则PQ//AD，
则直线PQ的表达式为：y=(x+2)−2=x②，
联立①②得：−x2−5x−4=x，
解得：x=−3+ 5(不合题意的值已舍去)，
则点Q的坐标为：(−3+ 5,−3+ 5)，
当点Q和点A重合时，也符合题意，
则点Q(−4,0)，
综上，点Q的坐标为：(−3+ 5,−3+ 5)或(−4,0)．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)①证明PD=4=CO，即可求解；
②当点Q在PD的右侧时，求出直线PQ的表达式为：y=x，即可求解；当点Q和点A重合时，也符合题意，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、面积的计算、一次函数的性质等，有一定的综合性，难度适中．A
B
C
D
A
(A,B)
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)
(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)
(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)
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