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初中数学冀教版七年级下册8.4 整式的乘法教案
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这是一份初中数学冀教版七年级下册8.4 整式的乘法教案，共55页。教案主要包含了师生活动，知识回顾，方法总结，方法归纳等内容，欢迎下载使用。
8.1 同底数幂法的乘法
8.2 幂的乘方与积的乘方
第1课时 幂的乘方
第2课时 积的乘方
8.3 同底数幂的除法
8.4 整式的乘法
第1课时 单项式乘单项式
第2课时 单项式乘多项式
第3课时 多项式乘多项式
8.5 乘法公式
第1课时 平方差公式
第2课时 完全平方公式
8.6 科学记数法
第 3单元
本单元所需课时数
11课时
课标要求
1.经历探索幂的运算性质和整式乘法法则的认知过程，理解并掌握幂的运算性质和整式乘法的法则，能够运用它们进行相关计算，提高学生的运算能力。
2.了解零次幂和负整数次幂的意义，会对一些较大的数或较小的数用科学记数法表示。
3.体会幂的运算性质、整式的乘法和数的运算的关系,进一步发展符号意识。
4.通过对幂的运算性质和整式乘法法则的归纳概括过程,发展学生的归纳和推理能力。
教材分析
本章的内容是在七年级上册“整式的加减”的基础上进行的深化，将整式的加减法过渡到整式的乘法，并通过乘法公式进行系统化与公式化，为后续的因式分解方面的知识作好铺垫，从同底数的幂的乘法与幂的乘方、积的乘方、同底数的幂的除法，再过渡到单项式的乘法、多项式的乘法、乘法公式等，既是对上册知识的补充，同时也是知识的升华与深化，在实际中应用很广，应着重掌握。
主要内容
本章的主要内容是幂的运算、整式的乘法、乘法公式（平方差公式和完全平方公式）和科学记数法。主要包括六节：第8.1节“同底数幂的乘法 ”主要介绍同底数幂相乘的运算性质，第8.2节“幂的乘方与积的乘方”主要介绍积的乘方和幂的乘方运算性质，第8.3节“同底数幂的除法”主要介绍同底数幂相除的运算性质，第8.4节“整式的乘法”主要介绍单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的运算性质，第8.5节“乘法公式”主要介绍平方差公式和完全平方公式，第8.6节“科学记数法”主要介绍用10的幂的形式表示较大的数和较小的数。
教学目标
1.理解并掌握幂的运算性质和整式乘法的法则，能够运用它们进行相关计算。
2.了解零次幂和负整数次幂，会用科学记数法表示一些较大的数或较小的数。
3.体会幂的运算性质、整式的乘法和数的运算的关系,进一步发展符号意识。
4.通过对幂的运算性质和整式乘法法则的归纳概括过程,发展学生的归纳和推理能力。
课时分配
8.1 同底数幂的乘法 1课时
8.2 幂的乘方与积的乘方 2课时
8.3 同底数幂的除法 1课时
8.4 整式的乘法 3课时
8.5 乘法公式 2课时
8.6 科学记数法 1课时
回顾与反思 1课时
教与学建议
1.让学生充分经历观察、计算、猜测、推理、验证等活动，独立思考、自主探究、归纳概括，提高学生的思维能力.
2.注重对基础知识的理解和掌握。
3.让学生感悟基本数学思想。
课题
同底数幂法的乘法
课型
新授课
教学内容
教材第68-70页的内容
教学目标
1.经历同底数幂乘法运算性质的获得过程，在计算、归纳和概括的活动中，体验发现的乐趣,感悟归纳推理在数学发现中的价值。
2.掌握同底数幂乘法运算的性质,能进行同底数幂乘法的有关计算,发展学生的运算能力。
教学重难点
教学重点：理解并掌握同底数幂的乘法法则.
教学难点：能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算.
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入课题
计算机存储容量的基本单位是字节,用 B 表示。一般用 kB（千字节)、MB(兆字节)或 GB(吉字节）作为储存容量的计量单位,它们之间的关系为：
1 kB=210 B，1 MB=210 kB，1 GB=210 MB。
那么,1 MB 等于多少字节呢?
这个问题就是计算×，用幂的形式表示，计算结果是什么呢？
像这样的问题，就是我们要学习的同底数幂的乘法。
2.归纳总结，学习新知
1. 观察算式210 ×210，两个因式有何特点？
【师生活动】学生观察、思考、交流讨论，并发言回答。
学生成果：观察可以发现，210 和210这两个因数，底数相同，是同底的幂的形式。
教师点评，总结。
【总结】我们把210 ×210这种运算叫做同底数幂的乘法。
2.（1） 210 表示的意义是什么？
an表示的意义是什么？
【师生活动】学生思考、交流讨论，并发言回答。
10个2
学生成果：210= 2 × 2 × …… × 2 an = a × a × …… × a
n个a
教师点评。
（2）根据乘方的意义填空，
24×23=2（ ）
210 ×210=2（ ）
③a3·a2=a（ ）
通过上面的计算，关于两个同底数幂相乘的结果，你发现了什么规律?
【师生活动】学生先解答各小题，再交流讨论发现的规律，并发言口述规律。
学生成果：同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
教师点评，追问。
【追问】若 m，n 是正整数,根据你发现的规律，用幂的形式表示 a m·a n .
【师生活动】学生交流讨论，总结。
教师点评，展示总结。
【总结】am · an = am+n (m，n是正整数)
【追问】你能根据乘方的意义，证明你的结论吗？
【师生活动】学生讨论交流，自主解答，并上台展示证明过程。
学生成果：
教师点评，并总结重要知识点。
【总结】同底数幂的乘法法则：
am · an = am+n (m，n是正整数)。
同底数幂相乘,底数不变，指数相加。
3.类比同底数幂的乘法法则：
am · an = am+n (m，n是正整数)。
想一想：当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？用字母（am，an， ap）表示。
【师生活动】学生计算，交流讨论，总结，发言。
教师点评，总结。
am· an· ap = am+n+p （m，n，p都是正整数)
3.学以致用，应用新知
考点1 同底数幂的乘法
【例1】课本P69例1
(1) 26×23； (2)a2·a4； (3)xm·xm+1； (4)a·a2·a3.
【例2】计算：
（1）(－4)4×(－4)7； （2）－b5×bn；
（3）－a·(－a)2·(－a)3； （4）(y－x)2·(x－y)3
（1）(－4)11 （2） －b5+n（3）a6 （4） (x－y)5
考点2 同底数幂的乘法的应用
【例3】课本P69例2
太阳系的形状像一个以太阳为中心的大圆盘，光通过这个圆盘半径的时间约为2×104s,光的速度约为3×105km/s.求太阳系的直径。
4.随堂训练，巩固新知
1.课本P69练习1、2、3
2.（1）a 16不可以写成 （ A )
A.a 8+a 8 B.a 10·a 6 C.a 8 ·a 8 D.a 4 ·a 4 ·a 4 ·a 4
(2)化简(—a）·a·(—a)2的结果是(D)
A.0 B.a 2 C.a 4 D.-a 4
(3)如果a m-3·a n=a 2,那么 n 等于 （ A）
A.5-m B.4—m C.m-1 D.m+3
（4）据生物学统计，一个健康的成年女子体内的血量一般不低于 4×103 毫升，每毫升血中红 细胞的数量约为 4.2×106个,则一个健康的成年女子体内的红细胞一般不低于多少个？
答案：8×109个
（5）已知x m=3，x n=5，求x 2m+n.
答案：45
5.课堂小结，自我完善
这节课你学会了什么？你对本节所学知识有何疑惑？
6.布置作业
课本P70习题A组第2、3、4题，题A组第1、2、3题。
通过教材中的这个生活实例,帮助学生认识引入同底数幂计算的必要性。
通过观察算式因式的特点，引出同底数幂乘法的概念.
回顾复习乘方的意义，特别是含字母的乘方.
引导学生思考并回答，通过计算、归纳和概括，总结规律.
证明归纳得出的结论.在此过程中，老师可以巡视指导，及时帮助有困难的同学。
得出本堂课重要知识点，同底数幂运算的性质（法则）.
类比同底数幂的乘法公式，拓展延伸到三个或三个以上的同底数幂相乘.
通过例题讲解，让学生巩固并学会应用所学知识.
通过【例2】，当两个幂的底数互为相反数时，可以先把它们化为同底数幂，再计算。
常见变形：(-a)2=a2, (-a)3=-a3 .
通过课堂练习，巩固所学知识，促进学生对所学知识的内化理解.
总结、归纳学习内容，帮助学生加深对所学知识的理解，培养学生的数学意识．
板书设计
8.1 同底数幂的乘法
1. 同底数幂的乘法法则
2.同底数幂的乘法法则的拓展
教后反思
本节课以教师为主导，学生为主体，包括性质都是学生自己总结归纳、教师予以帮助解决的，力求还课堂于学生，让雪山姑娘参与到课堂中来，提高学生归纳总结的能力。但是学生的能力不同，应该因材施教，关注基础薄弱同学。
课题
幂的乘方
课型
新授课
教学内容
教材第71-73页的内容
教学目标
1．经历幂的乘方运算性质的获得过程，在计算、归纳和概括的活动中，发展学生归纳推理的能力.
2．掌握幂的乘方的运算性质，能进行幂的乘方的有关计算，提高学生的运算能力.
3．感受数学公式的结构美、和谐美.
教学重难点
教学重点：准确掌握幂的乘方运算性质及其应用。
教学难点：会用或逆用幂的乘方的运算性质进行有关计算。
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入课题
地球、木星、太阳可以近似地看做是球体 。木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和10²倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
学生回答，教师点评、追问。
教师：如何计算(102)3 呢？我们这节课就来解决这个问题。
2.归纳总结，学习新知
【问题1】依据同底数幂乘法的性质，210×210×210= .
根据乘方的意义，210×210×210可以表示为 .
由此，能得到什么结论？
学生解答题目，并发言回答。
学生成果：依据同底数幂乘法的性质，210×210×210=210+10+10=230，
根据乘方的意义，210×210×210=(210)3，
结论：230=(210)3.
【追问】根据上面的结论，完成下面的小题。
（102）3= × × =10（ ），
（a3）4= × × × =a（ ）
学生解答。
【追问】观察上面各式中幂指数之间的关系,猜想:若m，n为正整数，则（am）n= .
你能说明理由吗？
学生分组交流讨论，然后提出猜想并到前面讲明理由，边分析边板书。
学生成果：
。
教师总结，给出幂的乘方的运算性质。
【总结】幂的乘方的性质：
字母表示：（m，n是正整数）.
文字表述：幂的乘方,底数不变，指数相乘
3.学以致用，应用新知
考点 1 幂的乘方的运算
【例1】（1）；（2）；（3）
（4）-（x4）3；（5）[(x+y)2]3；（6）[(﹣x)4]3.
答案：；；；；；。
考点 2 幂的乘方的性质的逆用
【例2】已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值.
(1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n．
解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27；
(2)102n＝(10n)2＝22＝4；
(3)103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108.
【例4】比较3500,4400,5300的大小.
解:3500=(35)100=243100,
4400=(44)100=256100,
5300=(53)100=125100.
∵256100>243100>125100,
∴4400>3500>5300.
考点 3 与幂的乘方有关的混合运算
【例3】(1) (x4)3·x6; (2) a2(－a)2(－a2)3＋a10.
解: (1) (x4)3·x6 =x12·x6= x18；
(2) a2(－a)2(－a2)3＋a10 = -a2·a2·a6＋a10 = -a10＋a10 = 0.
4.随堂训练，巩固新知
1.课本P72练习1、2题。
2.备用练习
1. 判断下面计算是否正确？如果不对，怎样改正？
（1） (x3)3 = x6 ；
（2）(104)3= 107 ；
（3）a6 · a4 = a24 ；
（4）(x2)3 ·(-x)2 = -x8
答案：（1）×，x9（2）×，1012 （3）×，a10 （4）×，x8
2. 填空：
（1）(104)3= ；（2）(a3)3= ；
（3）-(x3)6= ；（4）(x2)3 ·(-x)3= .
答案：1012；a9；x18；- x9
3.计算(－x5)4+(－x4)5的结果是( A )
A.0B.2x20 C.－2x20D.x40
4.若3×9m×27m=321,则m的值为( B )
A.3B.4 C.5D.6
5.计算：[(a＋b)3]4＋[－(a＋b)2]6.
解：[(a＋b)3]4＋[－(a＋b)2]6＝(a＋b)12－(a＋b)12＝0.
6.(1)已知ax=2,ay=3，求a2x+2y的值；
(2)若42a+1=64,解关于x的方程2ax+3=5.
解：(1)∵ax=2,ay=3,∴ax·ay=2×3,
∴ax+y=6,a2x+2y=62=36.
(2)∵42a+1=64,∴42a+1=43,∴2a+1=3,∴a=1,
∴2ax+3=5化为2x+3=5,解得x=1.
5.课堂小结，自我完善
这节课你学会了什么？你对本节所学知识有何疑惑？
6.布置作业
课本P72习题A组第1、3题，习题B组第1、2题。
通过创设情景，提出问题，引出新课.
让学生进一步巩固幂的意义及同底数幂的乘法法则。
让学生亲身经历新知识的形成过程，可以知其所以然，掌握牢固，同时培养了学生的观察分析、概括总结的能力。学习上也有成就感，也活跃了课堂气氛。
运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．
此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式，将所求代数式正确变形，然后代入已知条件求值即可.
与幂的乘方有关的混合运算中，一般先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减，然后合并同类项．
通过课堂练习，巩固所学知识，促进学生对所学知识的内化理解.
总结、归纳学习内容，帮助学生加深对所学知识的理解，培养学生的数学意识．
板书设计
8.2幂的乘方与积的乘方
第1课时 幂的乘方
一、幂的乘方法则
=___________（m，n都是正整数）
学生板演
字母表示：．（，都是正整数）
语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
二、例题
三、练习
教后反思
学生在探索练习的指引下，自主完成有关的练习，并在练习中发现幂的乘方的法则，从猜测到探索到理解法则的实际意义,从而从本质上认识、学习幂的乘方的来历。鼓励学生自己发现幂的乘方的性质特点，如底数、指数发生了怎样的变化,并运用自己的语言进行描 述，然后再让学生回顾这一性质的得来过程，进一步体会幂的意义。 对于逆用幂的乘方法则,学生的理解有一定困难,需要老师进一步指导.课时教学中只是 纯计算类习题,没有补充实际应用类的计算问题。
课题
积的乘方
课型
新授课
教学内容
教材第73-75页的内容
教学目标
1．经历积的乘方运算性质的获得过程，在计算、归纳和概括的活动中，发展学生归纳推理的能力.
2．掌握积的乘方的运算性质，能进行积的乘方的有关计算，提高学生的运算能力.
教学重难点
教学重点：准确掌握积的乘方运算性质及其应用。
教学难点：会用或逆用积的乘方的运算性质进行有关计算。
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入课题
你知道地球的体积大约是多少吗？（球的体积计算公式：）
【师生活动】学生列出式子：。
教师追问。
【追问】 它是幂的乘方吗？
有怎样的结构特征？
这节课我们就来学习如何解决这个问题。
2.归纳总结，学习新知
【知识回顾】
1.计算:
（1） 10×10²× 10³ =______ ；
（2） (x5 )²=_________.
2.（1）同底数幂的乘法：am·an= ( m，n都是正整数).
（2）幂的乘方：(am)n= (m,n都是正整数）.
学生回答。
【问题】观察下面的运算过程，指出每步运算的依据.
(3×7)2
=(3×7)·(3×7) ( )
=(3×3)·(7×7) ( )
=32×72 ( )
学生回答，教师追问。
答案：乘方的意义，乘法交换律和结合律，同底数幂的乘法
【追问】按照上面的方法，完成下面的小题：
(ab)2;(ab)3 .
学生在练习册上解答，并发言阐述。
【追问】你有什么发现？
学生回答，教师板书。
结论：(ab)2=a2b2，(ab)3 =a3b3.
【追问】通过这些算式，猜想：(ab)n = (n是正整数）.
【追问】你能根据幂的意义和乘法的有关运算律进行验证吗？
学生分组交流讨论，并发言板演。
教师点评、总结。
【总结】积的乘方的性质;
字母表示：(ab)n =anbn(n是正整数).
文字叙述：积的乘方,等于各因式乘方的积。
【追问】对三个或三个以上因式积的乘方，积的乘方的性质是否也成立? 说出你的猜想，并以 (abc)n 为例来验证你的猜想。
学生分组交流讨论，并自主完成解答过程，请同学板演。
学生板演：
教师点评，总结。
【总结】
（ 是正整数）
3.学以致用，应用新知
考点1 积的乘方的性质及混合运算
【例1】计算：(1)(2a)³； (2) (-5b)³ ；
(3)(xy²)² ；(4) (-2x³)4.
答案：（1）8a³；（2）-125b³；（3）x²y4；（4）16x².
【例2】计算：(1) －4xy2·(xy2)2·(－2x2)3；
(2) (－a3b6)2＋(－a2b4)3.
答案：（1）32x9y6;（2）0.
考点2 积的乘方的性质的逆用
【例3】(1) 23×53； (2) 28×58；
(3) (-5)16 × (-2)15；(4) 24 × 44 ×(-0.125)4.
解：(1) 23×53 = (2×5)3 = 103；
(2) 28×58= (2×5)8 = 108 ；
(3) (-5)16 × (-2)15= (-5)×[(-5)×(-2)]15= -5×1015 ；
(4) 24 × 44 ×(-0.125)4 = [2×4×(-0.125)]4= 14= 1 .
4.随堂训练，巩固新知
1.课本P74页练习
2.（1）计算(－3x)2的结果是( C )
A.6x2 B.－6x2 C.9x2 D.－9x2
2.计算(a2b)3的结果是( A )
A.a6b3 B.a2b3 C.a5b3 D.a6b
3. 计算：
(1) 82020×0.1252019= ________;
(2) (0.04)2019×[(－5)2019]2=________;
(3)(－2x3)3·(x2)2 (－xy)5=________;
(4) (5ab2)3 =________;
答案：8；1；8x18y5；125a3b6
4.计算:
(1) 12(x3)2·x3－(4x3)3＋(3x)2·x7;
解：12(x3)2·x3－(4x3)3＋(3x)2·x7
=12x6·x3－64x9＋9x2·x7
= 12x9－64x9＋9x9
=－43x9;
(2)(3xy2)2＋(－4xy3) · (－xy) ;
解：(3xy2)2＋(－4xy3) · (－xy)
=9x2y4 ＋4x2y4
=13x2y4;
5.如果(an•bm•b)3=a9b15,求m, n的值.
解：∵(an•bm•b)3=a9b15,∴ (an)3•(bm)3•b3=a9b15,
∴ a 3n •b 3m•b3=a9b15 ,∴ a 3n •b 3m＋3=a9b15,
∴ 3n=9 ,3m＋3=15.
∴n=3,m=4.
5.课堂小结，自我完善
这节课你学会了什么？你对本节所学知识有何疑惑？
6.布置作业
课本P75习题A组1-3 题， B组1、2题。
通过创设情景，提出问题，引出新课.
复习回顾旧知识，为学新知识打下铺垫.
通过从特殊到一般的计算，归纳和概括，得出猜想.
类比两个积的乘方的性质，延伸拓展三个或三个以上的积的乘方性质.
运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．
涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项．
逆用积的乘方公式an·bn＝(ab)n，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式，再运用此公式可进行简便运算．
通过课堂练习，巩固所学知识，促进学生对所学知识的内化理解.
总结、归纳学习内容，帮助学生加深对所学知识的理解，培养学生的数学意识．
板书设计
第2课时 积的乘方
一、积的乘方的性质
字母表示：(ab)n =anbn(n是正整数).
文字叙述：积的乘方,等于各因式乘方的积。
二、积的乘方的性质的拓展
（ 是正整数）
三、积的乘方的性质的逆用
anbn=(ab)n (n是正整数).
教后反思
课堂上注重了新旧知识的联系与类比,让学生类比“同底数幂的乘法”和“幂的乘方”的运算性质的推导方法，让学生经历“特殊——一般-—特殊”的认知规律，推出积的乘方的运算性质，再次体验数学的转化思想。但是积的乘方的性质的逆用，学生在运用中有一定困难,需要老师进一步指导.课时教学中只是纯计算类习题,没有补充实际应用类的计算问题。
课题
同底数幂的除法
课型
新授课
教学内容
教材第76-78页的内容
教学目标
1.经历同底数幂的除法运算性质的获得过程，掌握同底数幂的运算性质，会用同底数幂的运算性质进行有关计算，提高学生的运算能力。
2.了解零指数幂和负整数指数幂的意义,知道零指数幂和负整数指数幂规定的合理性.
教学重难点
教学重点：同底数幂除法的运算法则的推导和运用。
教学难点：零指数幂与负整数次幂的意义的理解及运用。
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入课题
一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌.要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？你是怎样计算的（能否根据前面学过的幂的相关知识解答此题）？
学生思考，并在练习册上解答，并尝试用前面幂的知识得出答案。
【追问】1012÷109是怎样的一种运算呢？
学生观察算式，思考，回答。
教师总结。
【总结】我们观察可以发现，1012 和109这两个幂的底数相同，是同底的幂的形式.所以我们把1012 ÷109这种运算叫做同底数幂的除法.
今天这节课就来学习如何进行同底数幂的除法的运算。
2.类比探究，学习新知
1.【问题1】大家根据乘方的意义和除法的意义计算下面的题：
（1）；（2）；
（3）；（4）.
学生思考，并在练习册上独立完成解答过程。
教师请几位同学上台展示解题过程。
学生成果：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【追问】那你们可以通过上述解答，归纳出同底数幂的除法运算的性质吗？
学生思考，并回答。
学生可能回答的结果：am÷an=am－n.
【追问】这样描述合理吗？大家想想关于除法的除数有什么要求，那同底数幂的除法呢？
学生类比思考，得出结论。（底数）
教师指出在我们所学知识范围内，公式中的m，n为正整数，且m＞n，最后综合得出结论。
【结论】同底数幂的除法的性质：
字母表示：am÷an=am－n(a≠0，m，n是正整数，且m>n).
文字叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减.
2.【问题2】我们得到了同底数幂的除法当“m＞n”时的运算性质，那么，对于这个性质，你有什么疑问吗？
（学生可能问道：当“m≤n”时又该如何计算呢？上述性质还适用吗？如果学生想不到，教师补充质疑。）
【追问】大家按照要求解答下面的题：
按乘方的意义和除法计算：
（1）当时，；
（2）当时，.
如果按照前面m>n时得出的结论就有：
（1）, （2） ；
比较两种方法得出的结果，你会发现：
（1） （2）
学生按照要求逐步完成，最后给出结论。
教师给出总结。
【总结】我们规定：
（1），即任何不等于0的数的0次幂都等于1；
（2）是正整数），即任何不等于0的数的次幂，等于这个数的p次幂的倒数。
这样，对于任意正整数m，n，都有：
am÷an=am－n(a≠0，m，n是正整数).
即 同底数幂相除，底数不变，指数相减.
3.学以致用，应用新知
考点1 同底数幂的除法的性质及其逆用
【例1】
答案：x³y³；x2n；x-1；2xy
【例2】 已知：am=3,an=5. 求：
（1）am-n的值； (2)a3m-3n的值.
（1）0.6 （2）
考点2 零次幂和负整数次幂
【例3】已知(3x－2)0有意义，则x应满足的条件是________．
答案：
4.随堂训练，巩固新知
1.课本P77-78练习1-3题
2.（1）
答案：-x6y3；am+1.
（2）计算：
答案：-16
（3）已知3m=2, 9n=10, 求33m-2n 的值.
答案：0.8
（4）若(x－1)x＋1＝1，求x的值．
解：①当x＋1＝0，即x＝－1时，原式＝(－2)0＝1；
②当x－1＝1，x＝2时，原式＝13＝1；
③x－1＝－1，x＝0，0＋1＝1不是偶数．故舍去．
故x＝－1或2.
（5）地震的强度通常用里克特震级表示，描绘地震级数字表示地震的强度是10的若干次幂.例如，用里克特震级表示地震是8级，说明地震的强度是107. 1992年4月，荷兰发生了5级地震，12天后，加利福尼亚发生了7级地震，加利福尼亚的地震强度是荷兰地震强度的多少倍？
答案：100倍
5.课堂小结，自我完善
6.布置作业
课本P78习题A组第1-4题，习题B组1-3题。
通过问题，学生会发现同底数幂的除法运算和现实世界有密切的联系，学习同底数幂除法的运算性质的必要性。
教师提示引导学生通过已学知识解决同底数幂的除法，
再引导学生思考限制条件，最终得出结论。为问题2性质的得出奠定了充分的条件，同时也培养了学生的概括总结能力。
通过教师的点拨、引导学生用不同的方法得出题中的结果，学生应该对零指数次幂与负整数次幂的意义及规定容易理解,从而突破难点。
此类题的关键是逆用同底数幂的除法及幂的乘方公式，将所求代数式正确变形，然后代入已知条件求值即可.
通过随堂练习，巩固所学知识，促进学生对所学知识的内化理解.
总结、归纳学习内容，帮助学生加深对所学知识的理解，培养学生的数学意识．
板书设计
8.3 同底数幂的除法
一、同底数幂除法的运算
二、零指数幂和负整数指数幂的意义
教后反思
本节课的设计遵循学生的认知规律,让学生主动探究,经历知识的产生、发展、形成与应 用的过程,重在培养学生观察、分析、抽象、概括的思维能力.学生在充分经历这一过程中,
既能理解和掌握同底数幂的除法性质，并能用代数和文字语言正确地进行表述,运用这一性质熟练地进行计算，还有助于训练学生的思维,使学生领会到数学的思想和方法。 但是性质只是基础，它的灵活运用则是学生难以掌握的地方，应该加强性质灵活运用的训练。
课题
单项式乘单项式
课型
新授课
教学内容
教材第79-81页的内容
教学目标
1.经历探索单项式乘法法则的过程，理解单项式乘法法则。
2.理解并掌握单项式与单项式相乘的法则,能够熟练地进行单项式的乘法计算。
教学重难点
教学重点：单项式与单项式相乘的运算法则及其应用。
教学难点：灵活地进行单项式与单项式相乘的运算.
教 学 过 程
备 注
1.复习旧知，引入课题
【问题1】前面学习了哪些幂的运算?运算性质分别是什么？
学生口答即可。
【问题2】上学期我们已经学过整式了，那么谁能说一下整式包括什么？
学生口答。
【追问】什么是单项式，什么是多项式？可以举例说明。
学生口答。
教师点评，并引出课题。
2.类比探究，学习新知
我们上学期学过整式的加减，那么现在就来学习整式的乘法。
【思考】关于整式的乘法，你们认为都包括什么？
学生思考，尝试回答。
教师：整式的乘法包括单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式。我们先来学习单项式乘单项式。
【问题3】根据乘法的运算律和同底数幂相乘的运算性质计算：
(1）2a·3a= = .
(2)2a·3ab= = .
（3）4xy·5x2y= = .
【师生活动】教师：大家思考一下，应该怎么去计算这3个小题，相互交流讨论。
学生：学生分组交流、讨论.
教师：给大家一个小提示：将字母视为数，按数的相关运算进行即可.
学生：根据提示和讨论的结果，尝试解答题目。
教师：请同学上台板演解题过程。
学生成果：(1)2a·3a=(2×3)·（a·a) =6a2 .
（2）2a·3ab=(2×3)·（a·a)·b = 6a2b.
(3）4xy·5x2y=(4×5)·(x·x 2）·（y·y）= 20x3y 2.
教师：教师点评，并追问。
【追问】大家观察一下这3个小题的计算过程，用到了
哪些运算律和运算法则？为什么？整个计算过程实际是什么运算？
学生：思考、交流讨论。
学生成果：乘法交换律、结合律。
为了能让系数与系数、相同字母分别结合。
有理数的乘法运算和同底数幂的乘法运算。
【追问】大家尝试总结单项式与单项式相乘的运算法则。
提示学生从三方面考虑，系数与系数，相同字母与相同字母，
单独存在的字母。
学生：交流讨论，尝试总结，并发言表述。
教师点评，总结。
【总结】单项式乘单项式的运算法则：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它们的指数作为积的一个因式.
3.学以致用，应用新知
考点1 单项式乘单项式
【例1】计算：
(1)2xy2• xy; (2)(－2a2b3)•(－3a).
答案： 6a3b3.
【例2】
答案：
考点2 单项式乘单项式的应用
【例3】已知－2x3m＋1y2n与7x5m－3y5n－4的积与x4y是
同类项，求m2＋n的值。
答案：
4.随堂训练，巩固新知
1.课本P80练习
2.备用练习
（1）如图,阴影部分的面积是 ( A )
A. B.
C.6xy D.3xy
（2）计算（4×102 )×(1.5×106 )的结果是（ C）
A.6×107 B.6×106 C.6×108 D.6×1010
（3）若长方形的宽是a2，长是宽的2倍，则长方形的面积
为 _____.
答案：2a4
（4）计算：①
②
③
答案：6a4b2；-6x5y3z；
（5）
答案：5
5.课堂小结，自我完善
（1）单项式乘单项式的原理是乘法的交换律和结合律.
(2)单项式乘单项式的法则:
单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它们的指数作为积的一个因式。
（3)单项式乘单项式的注意事项：
①对于只在一个单项式里出现的字母,不要把这个因式去掉，要连同它的指数一起写在积的因式里。
②单项式的乘法法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用。
③单项式乘单项式的结果仍是一个单项式.
6.布置作业
课本P80习题 A 组的第 1-3题，P81习题 B 组.
幂的三个运算性质是学习单项式与单项式相乘的基础,所以先组织学生复习。
复习整式的相关概念，为接下来的学习做铺垫。
教师巡视时积极参与到学生的讨论中，
对于有问题或者没有思路的小组及时进行指导。
学生知道运用乘法交换律、结合律的知识探索单项式乘单项式的运算法则,并理解算理,让学生理解运算法则及其探索过程,而不是仅仅背过法则,使学习知识的过程同时成为提高学生分析和解决问题能力的过程。
注意：
（1）系数相乘；
（2）相同字母的幂相乘；
（3）其余字母连同它们的指数不变，作为积的因式.
初学，让学生按照步骤计算，并可以让同学上台板演，教师讲解步骤注意事项。
有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘.
单项式的乘法法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用.
通过随堂练习，巩固所学知识，促进学生对所学知识的内化理解.
总结、归纳学习内容，帮助学生加深对所学知识的理解．
板书设计
8.4 整式的乘法
第1课时 单项式乘单项式
1.单项式乘单项式的运算法则：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它们的指数作为积的一个因式.
2.例题
教后反思
由数的运算引出式的运算规律，体现了数学知识间具体与抽象、 从特殊到一般的内在联系，符合学生的认知规律，并在得出结论的过程中,与学生一起探讨，注重学生的参与，单项式乘单项式转化到数的乘法与同底数幂的乘法,体现新知识与已学知识间的联系，注意转化的思想方法.
但是部分学生对于符号不能正确地判断，主要是没有注意带符号运算或者没有注意整体思想，漏掉括号或者去括号错误；混合运算中符号及各种运算法则混淆不清，运用还不够熟练。
课题
单项式乘多项式
课型
新授课
教学内容
教材第81-83页的内容
教学目标
1.通过探索单项式与多项式相乘的运算法则的过程，在具体情境中了解单项式与多项式相乘的意义,理解运算法则.
2.会利用法则进行单项式与多项式的乘法运算.
教学重难点
教学重点：单项式与多项式相乘的法则及应用。
教学难点：灵活运用单项式与多项式相乘的运算法则。
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入课题
【问题1】如图,为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长 为m,宽为 a的长方形绿地扩建，将宽延长b，你能用几种方法表示扩大后的绿地面积?不同的表示方法之间有什么关系？如何从数学的角度认识不同的表示方法之间的关系?
2.类比探究，学习新知
针对上面的问题，我们可以这样逐步分解解答：
(1)扩大后绿地的长和宽分别是多少？
长为 ；宽为 。
(2）根据长方形的面积=长×宽,你能得到的式子 是: 。①
(3)利用分割法，可以把扩大后的面积看成几部分面积的和?
(4）这两部分的面积可以怎么表示？
（5)式子①和②都表示扩大后绿地的面积，它们是什么关系呢？
学生：学生根据教师展示的问题，分组交流讨论，并回答。
学生成果：（1）（a+b），m；（2）m（a+b）；（3）2部分；（4）ma，mb；（5）相等，即m（a+b）=ma+mb.
教师点评，并进行部分板书。
【追问】对于这个等式，同学们想一想:你能用乘法分配律说明这个等式吗？
学生相互交流，讨论，并尝试回答。
【问题2】类比【问题1】，你能计算mn（a+b-c）吗？并根据下面的图形谈一谈结果表示的几何意义。
学生：相互交流讨论，解答。
教师：教师点评，并请同学口答。
【追问】m（a+b）与mn（a+b-c）这两个式子有什么共同点？都是如何运算的？能总结这类运算的法则吗？
学生：分组交流讨论，并尝试总结法则。
学生成果：这两个式子中m，mn是单项式，a+b，a+b-c是多项式。都是单项式与多项式相乘。通过乘法的分配律，转化为单项式乘单项式进行计算。
（学生阐述自己的总结即可）
教师：教师点评，并总结法则。
【总结】单项式乘多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把积相加。
3.学以致用，应用新知
考点1 单项式乘多项式
【例1】课本P81例3
(1) ab(a2+b2) (2) -x(2x－3)
解：（1）ab((a2+b2) (2) -x(2x－3)
=ab·a2+ab·b2 =(-x)(2x)+(-x)(-3)
=a3b+ab3 =-2x2+3x
单项式乘多项式的三点注意：
（1）要按顺序相乘，不要漏项或增项.
（2）单项式系数为负数时，要注意每一项乘积的符号，相乘时,每一项都包括它前面的符号.
（3）积是一个多项式，其项数与原多项式的项数相同.
考点2 化简求值
【例2】课本P82例4
先化简，再求值：a2(a+1)-a(a2-1) 其中a=5.
解：a2(a+1)-a(a2-1)=a3+a2-a3+a=a2+a.
当a=5时，原式=52+5=30.
【方法总结】单项式乘多项式，结果中如果有同类项， 要合并同类项.在计算时要注意先化简然后再代值计算．整式的加减运算实际上就是去括号与合并同类项．
考点3 实际应用
【例3】一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽(a＋2b)米，坝高 米．
(1)求防洪堤坝的横断面面积；
(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？
答案：（1）（2）50a2＋50ab.
4.随堂训练，巩固新知
1.课本P82练习
2.备用练习
（1）(-2a 2）(-3a+1）等于 （ B )
A.—6a 3—2a 2 B.6a 3—2a 2
C.6a 3+2a 2 D.6a 3 -a 2
(2)若 2x（x-1）—x(2x—5）=12，则 x 的值为 ( D ）
A.2 B.1 C.0 D.4
(3)已知 x(x+3）=1，则代数式 2x2+6x-5 的值为 。
答案：-3
（4）计算。
①2xy(5xy2+3xy—1);
②(a2—2bc)·（—2ab)2.
答案：①10x 2y 3+6x 2y 2 -2xy ②4a 4b 2 -8a 2b 3c
（5）先化简，再求值3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)，其中 a=-2.
答案：-20a2+9a；-98
（6）如图，一块长方形地用来建造住宅、广场、商厦，求这块地的面积.
答案：20a2+4ab
5.课堂小结，自我完善
6.布置作业
课本P82—83页习题A组2-4题，B组1、2题。
通过问题情境,让学生通过图形探索面积的不同表示方法，培养学生的兴趣和探究的欲望。
将问题分解，为学生解决问题提供思路，让学生能够积极参与到课堂中，同时为了学生独立完成问题2做铺垫。
此问题为总结单项式乘多项式的运算法则做铺垫。
在解决问题的过程中,学生观察总结规律、探索法则,通过与乘法分配律的对比，让学生总结出单项式与多项式相乘的法则，培养了学生的概括能力和语言的严谨性。
通过例1，归纳单项式乘多项式的步骤及注意事项.
通过例2 ，总结化简求值题型的方法。
通过随堂练习，巩固所学知识，促进学生对所学知识的内化理解.
总结、归纳学习内容，帮助学生加深对所学知识的理解．
板书设计
8.4 整式的乘法
第2课时 单项式乘多项式
1.单项式乘多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把积相加。
2.例题
教后反思
在教学过程中引导学生参照引例解决方法,教师先不给出单项式与多项式相乘的运算法则,而是让学生先独立思考，然后由学生自己小结出如何进行单项式与多项式相乘的乘法,在
探索新知的过程中让学生体会从特殊到一般,从具体到抽象的认识过程。
对于用多种方法表示扩大后绿地的面积的讲解过程中，教师说的多,没有完全让学生自己得出结论，忽略了学生的主体作用.
课题
多项式乘多项式
课型
新授课
教学内容
教材第84-85页的内容
教学目标
1.通过探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程，在具体情境中了解多项式与多项式相乘的意义，理解运算法则.
2.会利用法则进行多项式与多项式的乘法运算.
教学重难点
教学重点：多项式与多项式相乘的法则及应用.
教学难点：灵活运用多项式与多项式相乘的运算法则。
教 学 过 程
备 注
1.复习旧知，引入课题
前面已经学过了单项式乘单项式、单项式乘多项式，谁能说一说它们的乘法法则？
教师点名让学生回答。
那我们又如何计算多项式乘多项式呢？我们一起来探究。
2.类比探究，学习新知
张伯伯准备把长为m米、宽为a米的长方形鱼塘进行扩建，使得长再增加n米，宽再增加b米（如图），求扩建后鱼塘的面积.
【问题1】求扩建后鱼塘的面积有哪些方法？将结果写出来。
学生：学生观察图形，交流讨论，得出结果。
教师：教师请同学说出计算的理由及结果，并板演所有结果。
板演：（1）(m+n)(a+b)； （2）(m+n)a+(m+n)b ；
（3）（a+b)m+(a+b)n; (4)ma+mb+na+nb.
【追问】这四个式子之间是什么关系？
【追问】(m+n)(a+b)这个式子有什么特点？
对于(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb应如何进行说明？试着写写说明过程
学生：相互交流讨论，并书写说明过程。
教师：请同学上台展示说明过程，并口述理由。
学生口述：根据两次运用乘法分配律将多项式与多项式相乘化为单项式与单项式相乘，进而得出结果。
（学生不会表述时，教师适时地进行提示）
【追问】那你能总结一下多项式乘多项式的运算法则吗？
学生：学生相互交流讨论，并尝试总结，
教师：请同学展示总结结果，并给出法则。
【总结】多项式乘多项式的运算法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘的过程可以示例为：
3.学以致用，应用新知
考点1 多项式乘多项式
【例1】课本P84例5
答案：
多项式乘以多项式的“三点注意”
(1)一定要按照一定的顺序相乘,做到不重不漏.
(2)计算时,一定要注意符号问题,每一项都包含前面的符号.
(3)如果结果中有同类项,一定要合并同类项.
考点2 化简求值
【例2】先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.
答案：－8b3＋2a2b＋15ab2，-21.
【方法总结】化简求值的题型，一定要注意先化简，
再求值，不能先代值，再计算．
4.随堂训练，巩固新知
1.课本P84练习
2.（1）(x-1)(2x+3)的计算结果是( A )
A.2x²+x-3 B.2x²-x-3
C.2x²-x+3 D.x3-2x-3
（2）若(x+4)(x-3)=x²+mx-n，则( D )
A.m=-1，n=12 B.m=-1，n=-12
C.m=1，n=-12 D.m=1，n=12
（3）方程(2x+1)(x-1)=(x+2）(2x-1）的解为 。
答案：
（4）①化简:(3x-2y)（y-3x）—(2x—y）（3x+y);
②先化简，再求值:（x—2)(x² -x-9)-x(—2x—7),其中 x=1.
答案：①10xy-15x²-y²②x³— x²+18，18
（5）为参加市里的“灵智星”摄影大赛,小红同学将同学们参加“向灾区献爱心"活动的照片放大为长 a 厘米，宽
厘米的长方形形状,又精心地在四周加上了宽为 b 厘米的装饰彩框,如图所示.你能知道小红同学的这幅摄影作品总面积吗?
答案：
5.课堂小结，自我完善
6.布置作业
课本P85习题A组第3-6题，习题B组第2题。
复习旧知，为新知识额学习做准备。
与单项式乘多项式的推理过程类似，让学生用不同的方法表示出图形的面积，然后抽象出多项式乘多项式的法则,培养学生的抽象、概括的能力.
体现数学的转化思想。
需要注意的几个问题:(1)漏乘;(2)符号问题;(3)最后结果应化成最简形式.
通过例1的计算过程，进一步加深对法则的理解，同时教师总结在计算过程中的注意事项。
通过随堂练习，巩固所学知识，促进学生对所学知识的内化理解.
总结、归纳学习内容，帮助学生加深对所学知识的理解．
板书设计
8.4 整式的乘法
第3课时 多项式乘多项式
1.多项式乘多项式的运算法则
2.例题
3.多项式乘多项式的注意事项
教后反思
设计的是长方形面积的表示方法(a+b)(m+n)和另一种表示方法 am+an+bm+bn 相同，从而导出多项式与多项式相乘的法则.教师所采用的引导方法和手段在教学过程当中注重学生,
以学生为本,而不是单纯达到教学教材内容知识目标的任务，从而引起学生的探索欲望，通过学生的自主交流、合作探究，培养了学生的学习能力,达到了对知识的理解和巩固
但是在探索用不同方法表示图形的面积时，学生的回答可能会出现很多种方法进行表示，教师应给予肯定和表扬，让学生说一说自己的思路和想法，培养学生的思维能力，而不是硬性地给出了 am+an+bm+bn 这一结论,束缚了学生的思维。
课题
平方差公式
课型
新授课
教学内容
教材第86-89页的内容
教学目标
1．会推导平方差公式，理解平方差公式的几何意义．
2．掌握平方差公式，能用平方差公式进行相关运算．
3．经历探究平方差公式的过程，让学生明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式的乘法辩证思想．
4．掌握两数和乘以这两数的差的公式结构特征，培养从一般到特殊，再从特殊到一般的思想方法
教学重难点
教学重点：平方差公式的结构特征，熟练平方差公式进行简单计算．
教学难点：平方差公式的运用，
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入课题
【问题1】多项式与多项式是如何相乘的？
【问题2】沿着边长为a的正方形下边裁去宽为5米的长方形，将剩下的长方形的宽增加5米，面积变了吗？
【师生活动】学生复习回顾，讨论交流、总结发言，教师补充，提出问题，引出新课．
2.归纳探究，学习新知
【问题3】 计算:
(1)(x＋1)(x－1)= .
(2) (a＋2)(a－2)= .
(3) (2x＋1)(2x－1)= .
(4) (a＋b)(a－b)= .
【师生活动】学生在练习册上解答，教师请同学口述答案。
【追问】①上面四个式子中，两个乘式之间有什么特点？
②乘积合并同类项后是几项式？这个多项式有什么特点？
【师生活动】学生：分组交流讨论，然后组内得出结论．
教师：请小组代表发言，并点评，最后总结.
学生成果：每个算式都是两个数的和与这两个数的差相乘，运算结果是二项式，是这两个数的平方的差.
【总结】平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
符号表示：（a+b）（a-b）=a2-b2．
【问题4】如图，在一个边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形，再将余下的部分剪拼成一个长方形.
(1)两个图形(着色部分)的面积之间有什么关系？
(2)请你结合图形对平方差公式(a＋b)(a－b)=a2－b2进行解释.
【师生活动】学生分组交流讨论，教师巡视观察，及时帮助有困难的学生，引导学生对公式进行如何解释。
学生成果：（1）相等 .
（2）图1：面积：a2－b2，
图2：长:(a＋b)，宽:(a－b) ，面积：(a＋b)(a－b)，
所以a2－b2=(a＋b)(a－b).
【问题5】大家现在完成课本P87“做一做”
【师生活动】学生思考、书写，教师巡视观察学生做的情况，有问题及时纠正．
【追问】判断式子(5a﹣7b)(﹣5a﹣7b)能否用平方差公式进行计算？如果能，请计算出结果.
【师生活动】先让学生自主思考，观察学生完成情况，然后进行适当地引导，如以（a+b）（a-b）为例（如下），说明特点，然后再让学生完成题目。
【追问】我们应如何判断两个多项式相乘能否用平方差公式进行计算？尝试总结一下。
【师生活动】学生分组交流讨论，组内总结。教师让组内代表发言，并点评，最后总结。
【总结】
判断两个多项式相乘能否用平方差公式进行计算的方法：
（1）判断时要把两个多项式中每项前的符号都看成性质符号，如果两个多项式中既有相同的项，又有互为相反的项，则一定能用平方差公式进行计算.这时要把相同的项写在每个多项式的第一项，互为相反的项写在第二项，这样就写成了(a＋b)(a－b)的形式.
（2）利用平方差公式计算时，每个多项式中两项之间的符号看成运算符号，首项前如果有符号则看成性质符号
【练习】
练一练：判断下列各题哪些能用平方差公式进行计算？
(1) (3x－2y)(3y＋2x)， (2)(3a＋4b)(4b－3a)，
(3) (－a2 － b2)(－a2 ＋b2)， (4) (2m－3n)(－2m－3n)，
(5) (a－b)( －b－a)， (6) (x＋2y)(－2y＋x)，
(7) (－3a3＋4b2)(－4b2－3a3)， (8) (a－2b)(2b－a).
【师生活动】学生思考、判断并发言，教师及时纠正．
3.学以致用，应用新知
考点1 平方差公式
【例1】课本P87页例1
计算：
(1)(2x＋y)(2x－y)；(2)(x＋5y)(x－5y)；
(3)(－5a＋3b)(－5a－3b).
【师生活动】前两题教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么．第三题计算时把-5a看成一个数，把3b看成另一个数，直接写出(-5a)2-（3b）2后得出结果.
【总结】应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；
(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
考点2 平方差公式的应用
【例2】计算与化简。
（1）51×49；（2）（a+b+c）(a+b-c）.
答案： (1) 原式=（50＋1）(50－1)= 502-12=2499；
（2）（a+b+c）(a+b-c）=（a+b）²-c²=a²+2ab+b²-c².
【例3】对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
解：原式＝9n²－1－(9－n²)＝10n²－10.
∵(10n²－10)÷10=n²-1.n为正整数，∴n²-1为整数
即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．
【方法总结】对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
4.随堂训练，巩固新知
1.课本P88练习
2.备用练习
（1）计算(2x＋3)(2x－3)的值是( A )
A.4x2－9 B.4x2－3
C.2x2－9D.2x2－3
（2）已知a=7202，b=719×721，则( B )
A.a=bB.a＞b
C.a＜bD.a≤b
(3)已知(－3a＋m)(4b＋n)=16b2－9a2，则m，n的值分别为( C )
A.m=－4b，n=3a
B.m=4b，n=－3a
C.m=4b，n=3a
D.m=3a，n=4b
(4)化简(2+1）(22+1)（2 4+1)(28+1)的结果是2 16-1.
(5)运用平方差公式计算：
①(m＋1)(m－1)(m2＋1)； ②503×497;
③ (x－y)(x＋y)(x2＋y2)(x4＋y4).
答案：①m4－1②249991③x8－y8
6.某公园原有长方形绿地一块，现进行如下改造，将长减少
2 m，将宽增加2 m，改造后得到一块正方形绿地，它的面积是原绿地面积的2倍，求改造后正方形绿地的面积.
解：设改造后正方形绿地的边长为x m，
则改造前的长是(x＋2) m,宽是(x－2) m.
根据题意，有2(x＋2)(x－2)=x2，
即2(x2－4)=x2,
可得x2=8.
答：改造后正方形绿地的面积为8 m2.
5.课堂小结，自我完善
（1）什么是平方差公式？
（2）平方差公式如何运用？
6.布置作业
课本P88习题A组2（2）（4）、3、4（2），P89习题B组第2、3题。
问题1从复习多项式与多项式的乘法，为学习新知识做准备；问题2考虑几何图形的拼接前后的面积，引出本节课将要学习的内容，直观形象，激发学生学习兴趣．
通过计算，观察，概括，归纳总结知识要点，让学生体会从一般到特殊的数学思想.
图形验证平方差公式，观察图形的剪拼过程，然后再对公式进行解释，加深对公式的理解，使学生感悟到数形结合的思想方法.
填写表格，使学生加深对公式的理解。
体会平方差公式中a，b的含义，准确地找出因式中哪个式子是a，哪个式子是b.
巩固平方差公式中a,b的含义．
通过例题，巩固所学知识，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力．
通过随堂练习，巩固所学知识，促进学生对所学知识的理解.
通过小结，使学生梳理本节所学内容，充分发挥学生的主体意识，培养学生的语言概括能力，发散思维能力．
板书设计
8.5 乘法公式
第1课时 平方差公式
1.平方差公式
2.平方差公式的几何意义
3.判断能否用平方差公式计算的方法
4.例题
教后反思
本节课从多项式相乘入手，首先通过直观观察总结出平方差公式，随后通过特殊几何图形的面积，帮助学生深化对平方差公式的理解. 在教学设计时提供充分探索与交流的空间,使学生进一步经历观察、猜测、推理、交流、反思等活动，让学生学会一些探究的基本方法与思路,在探究中经历知识产生发展的过程，体会“做数学”的乐趣。
但是学生知识掌握存在差异，应该及时帮助有困难的学生，让他们能够解答问题，而不是一直没有思路，导致学习兴趣不高。
课题
完全平方公式
课型
新授课
教学内容
教材第89-91页的内容
教学目标
1．熟记完全平方公式，并能说出它的几何背景.
2．会运用公式进行简单的乘法运算.
3．经历对完全平方公式的探索和推导，进一步发展符号（字母）的识别运用能力和推理能力.
教学重难点
教学重点：会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算.
教学难点：掌握完全平方公式的结构特征，理解字母表示的广泛含义．
教 学 过 程
备 注
1.回顾旧知，引入课题
我们前面学习了乘方和多项式与多项式相乘的法则，能不能将(a+b）²转化为我们学过的知识去解决呢？
【师生活动】学生相互交流讨论，然后在练习册上作答，教师巡视指导，及时帮助学生。
2.类比探究，学习新知
【问题1】计算下列各多项式的积，试着发现它们的运算规律.
(1)(p＋1)2=(p＋1)(p＋1)=
(2) (p－1)2=(p－1)(p－1)= .
(3)(m＋2)2=(m＋2)(m＋2)= .
(4) (m－2)2=(m－2)(m－2)= .
【师生活动】学生先在练习册上自主完成4个小题，然后分组讨论，探究规律．教师引导学生发现（1）结果中的 2p=2·p·1，(1)与(2)比较只有一次项有符号之差。教师还要引导学生从式子的结构特点去思考规律。学生根据提示逐步思考，相互交流，最后展示部分学生成果.
学生成果：结构特征:①左边是两个相同二项式相乘,即一个二项式的平方---两个数和（或差)的平方；②右边是一个三项式,其中两项是左边的二项式的项的平方和，第三项是左边两项的积的 2 倍.
教师根据学生的回答，进行点评，总结.
【总结】完全平方公式：两数和（或差)的平方等于这两数的平方和再加(或减）它们的积的 2 倍。
符号表示：(a＋b)2=a2＋2ab＋b2；(a－b)2=a2－2ab＋b2.
公式特征：①积为二次三项式；
②积中两项为两数的平方和；
③另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同；
④公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
【问题2】你能根据图1、2中图形的面积不同的表示方法说明完全平方公式吗？（可以类比平方差公式的几何意义）
图1 图2
【师生活动】学生分组交流讨论，并尝试证明。教师可以引导学生对公式进行解释，并展示：
图1中，大正方形面积可以表示为(a＋b)2 ，也可以表示为 2ab＋a2＋b2，所以(a＋b)2 =2ab＋a2＋b2.
图2中，中等的正方形面积可以表示为(a－b)2，也可以表示为a2－2b(a－b)－b2=a2－2ab＋b2，所以(a－b)2=a2－2ab＋b2.
【问题3】大家现在完成课本P90“做一做”
【师生活动】学生思考、书写，教师巡视观察学生做的情况，有问题及时纠正．
【方法归纳】完全平方公式计算口诀：
首尾先平方，两倍乘积放中央。
3.学以致用，应用新知
考点1 完全平方公式
【例1】课本P90页例2
计算：
(1)(x＋3y)2； (2) ； (3)(－4a－3b)2.
考点2 完全平方公式的应用
【例2】运用完全平方公式计算：
(1) 102²；(2) 99².
答案：（1）10404；（2）9801
【方法总结】运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
【例3】已知x－y＝6，xy＝－8.求:
(1) x²＋y²的值； (2)(x+y)²的值.
答案：（1）20；（2）4
【方法总结】本题要熟练掌握完全平方公式的变式：
x²＋y²＝(x－y)²＋2xy＝(x+y)²－2xy,
(x－y)²＝(x+y)²－4xy.
4.随堂训练，巩固新知
1.课本P90页练习
2.备用练习
（1）计算(2x－1)(1－2x)结果正确的是( C )
A.4x2－1B.1－4x2
C.－4x2＋4x－1D.4x2－4x＋1
（2）若(y＋a)2=y2－6y＋b，则a,b的值分别为( D )
A.a=3,b=9B.a=－3,b=－9
C.a=3,b=－9 D.a=－3,b=9
（3）将 x ²+6x+3 配方成(x+m）²+n 的形式,则 m= 3 .
（4）计算：
①(3a＋b－2)(3a－b＋2)；
②(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．
答案：①9a²－b²＋4b－4；
②x²－2xy＋y²－m²＋2mn－n².
（5）若a+b=5,ab=-6, 求a²+b²,a²-ab+b².
答案：37,43
（6）已知x+y=8,x-y=4,求xy.
答案：12
5.课堂小结，自我完善
你这节课学到了什么？有什么收获？
6.布置作业
课本P91习题A组 3，4，5题，习题B组1、2题。
复习旧知，为新知识的学习做准备。
4 道小题是对前边进行的运算的讨论,目的是让学生通过观察、归纳,鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的特征,便于进一步应用公式计算,同时让学生体会从一般到特殊的数学思想.
.
用图形验证完全平方公式，观察图形的剪拼过程，然后再对公式进行解释，加深对公式的理解，使学生感悟到数形结合的思想方法.
体会公式中a，b的含义，对公式中a,b的意义进一步理解，体现从一般到特殊的思想.
通过例题，巩固所学知识，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力．
通过随堂练习，巩固所学知识，并且能够让学生对完全平方式的灵活运用有一定的理解。
板书设计
8.5 乘法公式
第2课时 完全平方公式
1.完全平方公式
2.完全平方公式的几何意义
3.例题
教后反思
在教学过程中,教师以学生自主探索为主,通过复习提问导入新课,让学生通过观察、类 比总结出完全平方公式,并且通过图形面积的关系推导出两数的完全平方公式。整个过程，
关注学生对公式的理解，关注学生运算的合理性，关注学生对符合完全平方式计算的多项式乘法观察的敏锐性，熟练运用完全平方公式进行简单的计算。通过对例题的教学,提高学
生对公式的理解。但是对公式中乘积项以及如何选择完全平方公式强调不够，容易造成学生在练习中不会运用完全平方公式或者用错。
课题
科学记数法
课型
新授课
教学内容
教材第93-95页的内容
教学目标
1.在探究表示较大数或较小数的过程中，体会科学记数法的意义.
2.会用科学记数法表示较大的数或较小的数.
教学重难点
教学重点：用科学记数法表示较大的数或较小数.
教学难点：探索归纳出科学记数法中指数与数位间的关系.
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入课题
“天河一号”每秒2.57千万亿次运算速度
“天河二号”每秒3.39亿亿次运算速度
在生活中，我们还会遇到一些较大或较小的数。例如：
（1）据我国第七次人口普查的统计数据,到 2020 年 11 月1日零时，我国大陆31个省、自治区、直辖市及现役军人的总人口约为 1 410 000 000 人.
(2)人体红细胞的平均直径为 0.000 007 7 m.
（3）纳米是长度单位，纳米技术是研究结构尺寸在0.1nm~100 nm范围内材料的性质和应用的一种技术，1nm等于0.000 000 001 m.
(4) 京杭大运河始建于春秋时期，是中国古代劳动人民创造的一项伟大的水利工程.京杭大运河北起北京，南至杭州，经北京、天津两市及河北、山东、江苏、浙江四省，全长约
1 800 000m.
【师生活动】教师展示完这些数据后，可以让学生读一下这些数据，让学生感受数据读写不易。
【追问】这些较大或较小的数，读和写起来很麻烦，有没有简单的表示方法呢？
【师生活动】学生观察并思考、讨论交流，教师展示并引出新课．
2.类比探究，学习新知
【问题1】回顾有理数的乘方，记算：
101=___， 102=____，103=_________，104=_______，
106=_________，1010=_____________，….
【师生活动】学生在练习册上作答，完成后，教师追问。
【追问】观察上面的式子，想一想：
= 1 \* GB3 ①指数与运算结果中的0的个数有什么关系？
= 2 \* GB3 ②指数与运算结果的数位有什么关系？
【师生活动】学生分组交流讨论，组内总结，教师点名让学生口述结论，教师点评、板书总结。
【总结】
【追问】根据上面的知识，尝试把下列各数写成10的幂(即写成10（）)的形式：
（1） 100 ，10 000，100 000 000，
（2）300， 32 000.
【师生活动】学生在练习册上解答，教师巡视观察学生做的情况。（1）中的题目大家都能正确书写，但是（2）中的题目，可能会出现不同的结果，如32 000=32×103（或3.2×104，或0.32×105），教师可以让学生相互交流自己的结果，让大家看到一个数可以有多种写法，那我们要有一种标准的书写，教师给出总结。
【总结】把一个较大的数写成 a×10n (1≤a＜10，n为整数）的形式，这种记数方法叫做科学记数法.
此时，n为正整数，n等于原数整数位减去1。
【问题2】回顾10的负整数次幂，记算：
【师生活动】学生根据给出的第一个及10的负整数次幂思考，相互交流讨论，完成解答。
【追问】把下列各数写成10的幂(即写成10（）)的形式：
①0.000 001；② 0.000 007 7.
【师生活动】学生思考、书写，教师巡视观察学生做的情况，针对②教师可以让学生能够参考前面科学记数法表示较大的数时a的取值范围，来解决②。
【思考】你能说明用科学记数法表示较小的数的书写形式吗？n的绝对值是如何计算的？
【师生活动】学生分组交流讨论，组内尝试总结。教师让学生口答，并点评、总结。
【总结】用科学记数法也可以把把一个较小的数写成a×10n (1≤a＜10，n为整数）的形式。
此时，n为负整数，n的绝对值等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面这个零）.
【追问】通过较大的数和较小的数用科学记数法表示，总结一下科学记数法的完整概念。
【师生活动】学生尝试总结，教师点评，给出完整定义。
【概念】把一个较大的数或较小的数写成a×10n(1≤a＜10，n为整数）的形式，这种记数方法叫做科学记数法.
3.学以致用，应用新知
考点1 科学记数法
【例1】(1) - 3 515 000; (2) 10 300 000;
(3) ﹣0.000 005; (4) 0.000 000 012.
答案：(1)-3.515×106; (2) 1.03×107;(3)-5×10-6;
(4) 1.2×10-8.
【例2】下列是用科学记数法表示的数，写出原来的数.
（1）7.04×105 ；（2）-7.001×10－6.
答案：(1)704 000;（2）-0.000 007 001.
考点2 科学记数法的应用
【例3】课本P94例2
光年是一个长度单位，是指光行走一年的距离，一般被用于计算恒星间的距离。
(1) 已知光的速度约为3×105km/s,如果按1年为365天，每天8.64×104s计算，1光年约等于多少千米(结果用科学记数法表示)？（结果用科学记数法表示）
(2) 太阳系以外离地球最近的恒星是比邻星，它与地球的距离大约为3.99×1013km.比邻星与地球的距离约合多少光年？
答案：（1）9.4608×1012（或9.46×1012）千米（2）4.22光年
4.随堂训练，巩固新知
1.课本P94页练习1-3
2.备用练习
（1）用科学记数法表示下列各数。
① 80000; ② -56000000; ③7400000;
④ 0.0000896；⑤0.0000001； ⑥-0.0000004176.
答案：① 8×104 ;②-5.6×107 ;③7.4×106 ;④8.96×10-5;
⑤10-7;⑥-4.176×10-7 .
（2）下列是用科学记数法表示的数，写出原来的数。
①8.5×106；②-3.96×104；③-2×10－8 ；④9.405×10-6.
答案：①8 500 000；②-39 600；③-0.000 000 02；
④0.000 009 405.
（3）已知光的传播速度为300 000 000 m/s，太阳光到达地球的时间大约是500 s，试计算太阳与地球的距离大约是多少千米．(结果用科学记数法表示)
答案：1.5×108km
5.课堂小结，自我完善
这节课你学会了什么？你对本节所学知识有何疑惑？
6.布置作业
课本P95习题A组第3题，习题B组第1-3题。
从生活实例引出本节课的学习内容，直观形象，激发学生学习兴趣．
通过回顾有理数的乘方，引导学生探究知识间的内在联系．
学生能够明确了自己表示的结果都相等，但不符合科学记数法的书写要求.通过交流使学生对科学记数法有了更深刻的理解。
教师要强调a的大小，n如何计算。
通过回顾10的负整数次幂，引导学生探究知识间的内在联系．
通过互动探究，引导学生学会思考，合作交流．
教师强调a的大小，n的绝对值的计算方法。
通过例题讲解，加深学生对科学记数法的理解，同时将科学记数法进行拓展。
【拓展】一个绝对值较大或较小的负数用科学记数法表示时,只要在 a×10n（1≤a〈10，n 为整数)前加一个负号即可。
可推广到用科学记数法表示一个绝对值较大或较小的有理数的形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|〈10，n 为整数.
通过随堂练习，检测学生对知识的掌握程度，及时进行指导。
通过知识总结，让学生对本节课的知识进行梳理，加深对知识的理解。
板书设计
8.6 科学记数法
1.较大的数用科学记数法表示
2.较小的数用科学记数法法表示
3.例题
教后反思
本课时的教学内容与现实生活情境联系紧密，在课时教学设计的过程中,注意从生活情境中选取数字,帮助学生感受数学与现实生活的密切联系,增强学生的数学应用意识。通过知
识迁移引导学生掌握科学记数法的相关知识.但是对科学记数法和 10 的幂之间的关系,学生容易掌握比较“大”的数，对科学记数法和10的负整数次幂之间的关系，学生容易出错，应加强训练。
8.1 同底数幂法的乘法
8.2 幂的乘方与积的乘方
第1课时 幂的乘方
第2课时 积的乘方
8.3 同底数幂的除法
8.4 整式的乘法
第1课时 单项式乘单项式
第2课时 单项式乘多项式
第3课时 多项式乘多项式
8.5 乘法公式
第1课时 平方差公式
第2课时 完全平方公式
8.6 科学记数法
第 3单元
本单元所需课时数
11课时
课标要求
1.经历探索幂的运算性质和整式乘法法则的认知过程，理解并掌握幂的运算性质和整式乘法的法则，能够运用它们进行相关计算，提高学生的运算能力。
2.了解零次幂和负整数次幂的意义，会对一些较大的数或较小的数用科学记数法表示。
3.体会幂的运算性质、整式的乘法和数的运算的关系,进一步发展符号意识。
4.通过对幂的运算性质和整式乘法法则的归纳概括过程,发展学生的归纳和推理能力。
教材分析
本章的内容是在七年级上册“整式的加减”的基础上进行的深化，将整式的加减法过渡到整式的乘法，并通过乘法公式进行系统化与公式化，为后续的因式分解方面的知识作好铺垫，从同底数的幂的乘法与幂的乘方、积的乘方、同底数的幂的除法，再过渡到单项式的乘法、多项式的乘法、乘法公式等，既是对上册知识的补充，同时也是知识的升华与深化，在实际中应用很广，应着重掌握。
主要内容
本章的主要内容是幂的运算、整式的乘法、乘法公式（平方差公式和完全平方公式）和科学记数法。主要包括六节：第8.1节“同底数幂的乘法 ”主要介绍同底数幂相乘的运算性质，第8.2节“幂的乘方与积的乘方”主要介绍积的乘方和幂的乘方运算性质，第8.3节“同底数幂的除法”主要介绍同底数幂相除的运算性质，第8.4节“整式的乘法”主要介绍单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的运算性质，第8.5节“乘法公式”主要介绍平方差公式和完全平方公式，第8.6节“科学记数法”主要介绍用10的幂的形式表示较大的数和较小的数。
教学目标
1.理解并掌握幂的运算性质和整式乘法的法则，能够运用它们进行相关计算。
2.了解零次幂和负整数次幂，会用科学记数法表示一些较大的数或较小的数。
3.体会幂的运算性质、整式的乘法和数的运算的关系,进一步发展符号意识。
4.通过对幂的运算性质和整式乘法法则的归纳概括过程,发展学生的归纳和推理能力。
课时分配
8.1 同底数幂的乘法 1课时
8.2 幂的乘方与积的乘方 2课时
8.3 同底数幂的除法 1课时
8.4 整式的乘法 3课时
8.5 乘法公式 2课时
8.6 科学记数法 1课时
回顾与反思 1课时
教与学建议
1.让学生充分经历观察、计算、猜测、推理、验证等活动，独立思考、自主探究、归纳概括，提高学生的思维能力.
2.注重对基础知识的理解和掌握。
3.让学生感悟基本数学思想。
课题
同底数幂法的乘法
课型
新授课
教学内容
教材第68-70页的内容
教学目标
1.经历同底数幂乘法运算性质的获得过程，在计算、归纳和概括的活动中，体验发现的乐趣,感悟归纳推理在数学发现中的价值。
2.掌握同底数幂乘法运算的性质,能进行同底数幂乘法的有关计算,发展学生的运算能力。
教学重难点
教学重点：理解并掌握同底数幂的乘法法则.
教学难点：能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算.
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入课题
计算机存储容量的基本单位是字节,用 B 表示。一般用 kB（千字节)、MB(兆字节)或 GB(吉字节）作为储存容量的计量单位,它们之间的关系为：
1 kB=210 B，1 MB=210 kB，1 GB=210 MB。
那么,1 MB 等于多少字节呢?
这个问题就是计算×，用幂的形式表示，计算结果是什么呢？
像这样的问题，就是我们要学习的同底数幂的乘法。
2.归纳总结，学习新知
1. 观察算式210 ×210，两个因式有何特点？
【师生活动】学生观察、思考、交流讨论，并发言回答。
学生成果：观察可以发现，210 和210这两个因数，底数相同，是同底的幂的形式。
教师点评，总结。
【总结】我们把210 ×210这种运算叫做同底数幂的乘法。
2.（1） 210 表示的意义是什么？
an表示的意义是什么？
【师生活动】学生思考、交流讨论，并发言回答。
10个2
学生成果：210= 2 × 2 × …… × 2 an = a × a × …… × a
n个a
教师点评。
（2）根据乘方的意义填空，
24×23=2（ ）
210 ×210=2（ ）
③a3·a2=a（ ）
通过上面的计算，关于两个同底数幂相乘的结果，你发现了什么规律?
【师生活动】学生先解答各小题，再交流讨论发现的规律，并发言口述规律。
学生成果：同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
教师点评，追问。
【追问】若 m，n 是正整数,根据你发现的规律，用幂的形式表示 a m·a n .
【师生活动】学生交流讨论，总结。
教师点评，展示总结。
【总结】am · an = am+n (m，n是正整数)
【追问】你能根据乘方的意义，证明你的结论吗？
【师生活动】学生讨论交流，自主解答，并上台展示证明过程。
学生成果：
教师点评，并总结重要知识点。
【总结】同底数幂的乘法法则：
am · an = am+n (m，n是正整数)。
同底数幂相乘,底数不变，指数相加。
3.类比同底数幂的乘法法则：
am · an = am+n (m，n是正整数)。
想一想：当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？用字母（am，an， ap）表示。
【师生活动】学生计算，交流讨论，总结，发言。
教师点评，总结。
am· an· ap = am+n+p （m，n，p都是正整数)
3.学以致用，应用新知
考点1 同底数幂的乘法
【例1】课本P69例1
(1) 26×23； (2)a2·a4； (3)xm·xm+1； (4)a·a2·a3.
【例2】计算：
（1）(－4)4×(－4)7； （2）－b5×bn；
（3）－a·(－a)2·(－a)3； （4）(y－x)2·(x－y)3
（1）(－4)11 （2） －b5+n（3）a6 （4） (x－y)5
考点2 同底数幂的乘法的应用
【例3】课本P69例2
太阳系的形状像一个以太阳为中心的大圆盘，光通过这个圆盘半径的时间约为2×104s,光的速度约为3×105km/s.求太阳系的直径。
4.随堂训练，巩固新知
1.课本P69练习1、2、3
2.（1）a 16不可以写成 （ A )
A.a 8+a 8 B.a 10·a 6 C.a 8 ·a 8 D.a 4 ·a 4 ·a 4 ·a 4
(2)化简(—a）·a·(—a)2的结果是(D)
A.0 B.a 2 C.a 4 D.-a 4
(3)如果a m-3·a n=a 2,那么 n 等于 （ A）
A.5-m B.4—m C.m-1 D.m+3
（4）据生物学统计，一个健康的成年女子体内的血量一般不低于 4×103 毫升，每毫升血中红 细胞的数量约为 4.2×106个,则一个健康的成年女子体内的红细胞一般不低于多少个？
答案：8×109个
（5）已知x m=3，x n=5，求x 2m+n.
答案：45
5.课堂小结，自我完善
这节课你学会了什么？你对本节所学知识有何疑惑？
6.布置作业
课本P70习题A组第2、3、4题，题A组第1、2、3题。
通过教材中的这个生活实例,帮助学生认识引入同底数幂计算的必要性。
通过观察算式因式的特点，引出同底数幂乘法的概念.
回顾复习乘方的意义，特别是含字母的乘方.
引导学生思考并回答，通过计算、归纳和概括，总结规律.
证明归纳得出的结论.在此过程中，老师可以巡视指导，及时帮助有困难的同学。
得出本堂课重要知识点，同底数幂运算的性质（法则）.
类比同底数幂的乘法公式，拓展延伸到三个或三个以上的同底数幂相乘.
通过例题讲解，让学生巩固并学会应用所学知识.
通过【例2】，当两个幂的底数互为相反数时，可以先把它们化为同底数幂，再计算。
常见变形：(-a)2=a2, (-a)3=-a3 .
通过课堂练习，巩固所学知识，促进学生对所学知识的内化理解.
总结、归纳学习内容，帮助学生加深对所学知识的理解，培养学生的数学意识．
板书设计
8.1 同底数幂的乘法
1. 同底数幂的乘法法则
2.同底数幂的乘法法则的拓展
教后反思
本节课以教师为主导，学生为主体，包括性质都是学生自己总结归纳、教师予以帮助解决的，力求还课堂于学生，让雪山姑娘参与到课堂中来，提高学生归纳总结的能力。但是学生的能力不同，应该因材施教，关注基础薄弱同学。
课题
幂的乘方
课型
新授课
教学内容
教材第71-73页的内容
教学目标
1．经历幂的乘方运算性质的获得过程，在计算、归纳和概括的活动中，发展学生归纳推理的能力.
2．掌握幂的乘方的运算性质，能进行幂的乘方的有关计算，提高学生的运算能力.
3．感受数学公式的结构美、和谐美.
教学重难点
教学重点：准确掌握幂的乘方运算性质及其应用。
教学难点：会用或逆用幂的乘方的运算性质进行有关计算。
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入课题
地球、木星、太阳可以近似地看做是球体 。木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和10²倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
学生回答，教师点评、追问。
教师：如何计算(102)3 呢？我们这节课就来解决这个问题。
2.归纳总结，学习新知
【问题1】依据同底数幂乘法的性质，210×210×210= .
根据乘方的意义，210×210×210可以表示为 .
由此，能得到什么结论？
学生解答题目，并发言回答。
学生成果：依据同底数幂乘法的性质，210×210×210=210+10+10=230，
根据乘方的意义，210×210×210=(210)3，
结论：230=(210)3.
【追问】根据上面的结论，完成下面的小题。
（102）3= × × =10（ ），
（a3）4= × × × =a（ ）
学生解答。
【追问】观察上面各式中幂指数之间的关系,猜想:若m，n为正整数，则（am）n= .
你能说明理由吗？
学生分组交流讨论，然后提出猜想并到前面讲明理由，边分析边板书。
学生成果：
。
教师总结，给出幂的乘方的运算性质。
【总结】幂的乘方的性质：
字母表示：（m，n是正整数）.
文字表述：幂的乘方,底数不变，指数相乘
3.学以致用，应用新知
考点 1 幂的乘方的运算
【例1】（1）；（2）；（3）
（4）-（x4）3；（5）[(x+y)2]3；（6）[(﹣x)4]3.
答案：；；；；；。
考点 2 幂的乘方的性质的逆用
【例2】已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值.
(1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n．
解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27；
(2)102n＝(10n)2＝22＝4；
(3)103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108.
【例4】比较3500,4400,5300的大小.
解:3500=(35)100=243100,
4400=(44)100=256100,
5300=(53)100=125100.
∵256100>243100>125100,
∴4400>3500>5300.
考点 3 与幂的乘方有关的混合运算
【例3】(1) (x4)3·x6; (2) a2(－a)2(－a2)3＋a10.
解: (1) (x4)3·x6 =x12·x6= x18；
(2) a2(－a)2(－a2)3＋a10 = -a2·a2·a6＋a10 = -a10＋a10 = 0.
4.随堂训练，巩固新知
1.课本P72练习1、2题。
2.备用练习
1. 判断下面计算是否正确？如果不对，怎样改正？
（1） (x3)3 = x6 ；
（2）(104)3= 107 ；
（3）a6 · a4 = a24 ；
（4）(x2)3 ·(-x)2 = -x8
答案：（1）×，x9（2）×，1012 （3）×，a10 （4）×，x8
2. 填空：
（1）(104)3= ；（2）(a3)3= ；
（3）-(x3)6= ；（4）(x2)3 ·(-x)3= .
答案：1012；a9；x18；- x9
3.计算(－x5)4+(－x4)5的结果是( A )
A.0B.2x20 C.－2x20D.x40
4.若3×9m×27m=321,则m的值为( B )
A.3B.4 C.5D.6
5.计算：[(a＋b)3]4＋[－(a＋b)2]6.
解：[(a＋b)3]4＋[－(a＋b)2]6＝(a＋b)12－(a＋b)12＝0.
6.(1)已知ax=2,ay=3，求a2x+2y的值；
(2)若42a+1=64,解关于x的方程2ax+3=5.
解：(1)∵ax=2,ay=3,∴ax·ay=2×3,
∴ax+y=6,a2x+2y=62=36.
(2)∵42a+1=64,∴42a+1=43,∴2a+1=3,∴a=1,
∴2ax+3=5化为2x+3=5,解得x=1.
5.课堂小结，自我完善
这节课你学会了什么？你对本节所学知识有何疑惑？
6.布置作业
课本P72习题A组第1、3题，习题B组第1、2题。
通过创设情景，提出问题，引出新课.
让学生进一步巩固幂的意义及同底数幂的乘法法则。
让学生亲身经历新知识的形成过程，可以知其所以然，掌握牢固，同时培养了学生的观察分析、概括总结的能力。学习上也有成就感，也活跃了课堂气氛。
运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．
此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式，将所求代数式正确变形，然后代入已知条件求值即可.
与幂的乘方有关的混合运算中，一般先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减，然后合并同类项．
通过课堂练习，巩固所学知识，促进学生对所学知识的内化理解.
总结、归纳学习内容，帮助学生加深对所学知识的理解，培养学生的数学意识．
板书设计
8.2幂的乘方与积的乘方
第1课时 幂的乘方
一、幂的乘方法则
=___________（m，n都是正整数）
学生板演
字母表示：．（，都是正整数）
语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
二、例题
三、练习
教后反思
学生在探索练习的指引下，自主完成有关的练习，并在练习中发现幂的乘方的法则，从猜测到探索到理解法则的实际意义,从而从本质上认识、学习幂的乘方的来历。鼓励学生自己发现幂的乘方的性质特点，如底数、指数发生了怎样的变化,并运用自己的语言进行描 述，然后再让学生回顾这一性质的得来过程，进一步体会幂的意义。 对于逆用幂的乘方法则,学生的理解有一定困难,需要老师进一步指导.课时教学中只是 纯计算类习题,没有补充实际应用类的计算问题。
课题
积的乘方
课型
新授课
教学内容
教材第73-75页的内容
教学目标
1．经历积的乘方运算性质的获得过程，在计算、归纳和概括的活动中，发展学生归纳推理的能力.
2．掌握积的乘方的运算性质，能进行积的乘方的有关计算，提高学生的运算能力.
教学重难点
教学重点：准确掌握积的乘方运算性质及其应用。
教学难点：会用或逆用积的乘方的运算性质进行有关计算。
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入课题
你知道地球的体积大约是多少吗？（球的体积计算公式：）
【师生活动】学生列出式子：。
教师追问。
【追问】 它是幂的乘方吗？
有怎样的结构特征？
这节课我们就来学习如何解决这个问题。
2.归纳总结，学习新知
【知识回顾】
1.计算:
（1） 10×10²× 10³ =______ ；
（2） (x5 )²=_________.
2.（1）同底数幂的乘法：am·an= ( m，n都是正整数).
（2）幂的乘方：(am)n= (m,n都是正整数）.
学生回答。
【问题】观察下面的运算过程，指出每步运算的依据.
(3×7)2
=(3×7)·(3×7) ( )
=(3×3)·(7×7) ( )
=32×72 ( )
学生回答，教师追问。
答案：乘方的意义，乘法交换律和结合律，同底数幂的乘法
【追问】按照上面的方法，完成下面的小题：
(ab)2;(ab)3 .
学生在练习册上解答，并发言阐述。
【追问】你有什么发现？
学生回答，教师板书。
结论：(ab)2=a2b2，(ab)3 =a3b3.
【追问】通过这些算式，猜想：(ab)n = (n是正整数）.
【追问】你能根据幂的意义和乘法的有关运算律进行验证吗？
学生分组交流讨论，并发言板演。
教师点评、总结。
【总结】积的乘方的性质;
字母表示：(ab)n =anbn(n是正整数).
文字叙述：积的乘方,等于各因式乘方的积。
【追问】对三个或三个以上因式积的乘方，积的乘方的性质是否也成立? 说出你的猜想，并以 (abc)n 为例来验证你的猜想。
学生分组交流讨论，并自主完成解答过程，请同学板演。
学生板演：
教师点评，总结。
【总结】
（ 是正整数）
3.学以致用，应用新知
考点1 积的乘方的性质及混合运算
【例1】计算：(1)(2a)³； (2) (-5b)³ ；
(3)(xy²)² ；(4) (-2x³)4.
答案：（1）8a³；（2）-125b³；（3）x²y4；（4）16x².
【例2】计算：(1) －4xy2·(xy2)2·(－2x2)3；
(2) (－a3b6)2＋(－a2b4)3.
答案：（1）32x9y6;（2）0.
考点2 积的乘方的性质的逆用
【例3】(1) 23×53； (2) 28×58；
(3) (-5)16 × (-2)15；(4) 24 × 44 ×(-0.125)4.
解：(1) 23×53 = (2×5)3 = 103；
(2) 28×58= (2×5)8 = 108 ；
(3) (-5)16 × (-2)15= (-5)×[(-5)×(-2)]15= -5×1015 ；
(4) 24 × 44 ×(-0.125)4 = [2×4×(-0.125)]4= 14= 1 .
4.随堂训练，巩固新知
1.课本P74页练习
2.（1）计算(－3x)2的结果是( C )
A.6x2 B.－6x2 C.9x2 D.－9x2
2.计算(a2b)3的结果是( A )
A.a6b3 B.a2b3 C.a5b3 D.a6b
3. 计算：
(1) 82020×0.1252019= ________;
(2) (0.04)2019×[(－5)2019]2=________;
(3)(－2x3)3·(x2)2 (－xy)5=________;
(4) (5ab2)3 =________;
答案：8；1；8x18y5；125a3b6
4.计算:
(1) 12(x3)2·x3－(4x3)3＋(3x)2·x7;
解：12(x3)2·x3－(4x3)3＋(3x)2·x7
=12x6·x3－64x9＋9x2·x7
= 12x9－64x9＋9x9
=－43x9;
(2)(3xy2)2＋(－4xy3) · (－xy) ;
解：(3xy2)2＋(－4xy3) · (－xy)
=9x2y4 ＋4x2y4
=13x2y4;
5.如果(an•bm•b)3=a9b15,求m, n的值.
解：∵(an•bm•b)3=a9b15,∴ (an)3•(bm)3•b3=a9b15,
∴ a 3n •b 3m•b3=a9b15 ,∴ a 3n •b 3m＋3=a9b15,
∴ 3n=9 ,3m＋3=15.
∴n=3,m=4.
5.课堂小结，自我完善
这节课你学会了什么？你对本节所学知识有何疑惑？
6.布置作业
课本P75习题A组1-3 题， B组1、2题。
通过创设情景，提出问题，引出新课.
复习回顾旧知识，为学新知识打下铺垫.
通过从特殊到一般的计算，归纳和概括，得出猜想.
类比两个积的乘方的性质，延伸拓展三个或三个以上的积的乘方性质.
运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．
涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项．
逆用积的乘方公式an·bn＝(ab)n，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式，再运用此公式可进行简便运算．
通过课堂练习，巩固所学知识，促进学生对所学知识的内化理解.
总结、归纳学习内容，帮助学生加深对所学知识的理解，培养学生的数学意识．
板书设计
第2课时 积的乘方
一、积的乘方的性质
字母表示：(ab)n =anbn(n是正整数).
文字叙述：积的乘方,等于各因式乘方的积。
二、积的乘方的性质的拓展
（ 是正整数）
三、积的乘方的性质的逆用
anbn=(ab)n (n是正整数).
教后反思
课堂上注重了新旧知识的联系与类比,让学生类比“同底数幂的乘法”和“幂的乘方”的运算性质的推导方法，让学生经历“特殊——一般-—特殊”的认知规律，推出积的乘方的运算性质，再次体验数学的转化思想。但是积的乘方的性质的逆用，学生在运用中有一定困难,需要老师进一步指导.课时教学中只是纯计算类习题,没有补充实际应用类的计算问题。
课题
同底数幂的除法
课型
新授课
教学内容
教材第76-78页的内容
教学目标
1.经历同底数幂的除法运算性质的获得过程，掌握同底数幂的运算性质，会用同底数幂的运算性质进行有关计算，提高学生的运算能力。
2.了解零指数幂和负整数指数幂的意义,知道零指数幂和负整数指数幂规定的合理性.
教学重难点
教学重点：同底数幂除法的运算法则的推导和运用。
教学难点：零指数幂与负整数次幂的意义的理解及运用。
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入课题
一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌.要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？你是怎样计算的（能否根据前面学过的幂的相关知识解答此题）？
学生思考，并在练习册上解答，并尝试用前面幂的知识得出答案。
【追问】1012÷109是怎样的一种运算呢？
学生观察算式，思考，回答。
教师总结。
【总结】我们观察可以发现，1012 和109这两个幂的底数相同，是同底的幂的形式.所以我们把1012 ÷109这种运算叫做同底数幂的除法.
今天这节课就来学习如何进行同底数幂的除法的运算。
2.类比探究，学习新知
1.【问题1】大家根据乘方的意义和除法的意义计算下面的题：
（1）；（2）；
（3）；（4）.
学生思考，并在练习册上独立完成解答过程。
教师请几位同学上台展示解题过程。
学生成果：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【追问】那你们可以通过上述解答，归纳出同底数幂的除法运算的性质吗？
学生思考，并回答。
学生可能回答的结果：am÷an=am－n.
【追问】这样描述合理吗？大家想想关于除法的除数有什么要求，那同底数幂的除法呢？
学生类比思考，得出结论。（底数）
教师指出在我们所学知识范围内，公式中的m，n为正整数，且m＞n，最后综合得出结论。
【结论】同底数幂的除法的性质：
字母表示：am÷an=am－n(a≠0，m，n是正整数，且m>n).
文字叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减.
2.【问题2】我们得到了同底数幂的除法当“m＞n”时的运算性质，那么，对于这个性质，你有什么疑问吗？
（学生可能问道：当“m≤n”时又该如何计算呢？上述性质还适用吗？如果学生想不到，教师补充质疑。）
【追问】大家按照要求解答下面的题：
按乘方的意义和除法计算：
（1）当时，；
（2）当时，.
如果按照前面m>n时得出的结论就有：
（1）, （2） ；
比较两种方法得出的结果，你会发现：
（1） （2）
学生按照要求逐步完成，最后给出结论。
教师给出总结。
【总结】我们规定：
（1），即任何不等于0的数的0次幂都等于1；
（2）是正整数），即任何不等于0的数的次幂，等于这个数的p次幂的倒数。
这样，对于任意正整数m，n，都有：
am÷an=am－n(a≠0，m，n是正整数).
即 同底数幂相除，底数不变，指数相减.
3.学以致用，应用新知
考点1 同底数幂的除法的性质及其逆用
【例1】
答案：x³y³；x2n；x-1；2xy
【例2】 已知：am=3,an=5. 求：
（1）am-n的值； (2)a3m-3n的值.
（1）0.6 （2）
考点2 零次幂和负整数次幂
【例3】已知(3x－2)0有意义，则x应满足的条件是________．
答案：
4.随堂训练，巩固新知
1.课本P77-78练习1-3题
2.（1）
答案：-x6y3；am+1.
（2）计算：
答案：-16
（3）已知3m=2, 9n=10, 求33m-2n 的值.
答案：0.8
（4）若(x－1)x＋1＝1，求x的值．
解：①当x＋1＝0，即x＝－1时，原式＝(－2)0＝1；
②当x－1＝1，x＝2时，原式＝13＝1；
③x－1＝－1，x＝0，0＋1＝1不是偶数．故舍去．
故x＝－1或2.
（5）地震的强度通常用里克特震级表示，描绘地震级数字表示地震的强度是10的若干次幂.例如，用里克特震级表示地震是8级，说明地震的强度是107. 1992年4月，荷兰发生了5级地震，12天后，加利福尼亚发生了7级地震，加利福尼亚的地震强度是荷兰地震强度的多少倍？
答案：100倍
5.课堂小结，自我完善
6.布置作业
课本P78习题A组第1-4题，习题B组1-3题。
通过问题，学生会发现同底数幂的除法运算和现实世界有密切的联系，学习同底数幂除法的运算性质的必要性。
教师提示引导学生通过已学知识解决同底数幂的除法，
再引导学生思考限制条件，最终得出结论。为问题2性质的得出奠定了充分的条件，同时也培养了学生的概括总结能力。
通过教师的点拨、引导学生用不同的方法得出题中的结果，学生应该对零指数次幂与负整数次幂的意义及规定容易理解,从而突破难点。
此类题的关键是逆用同底数幂的除法及幂的乘方公式，将所求代数式正确变形，然后代入已知条件求值即可.
通过随堂练习，巩固所学知识，促进学生对所学知识的内化理解.
总结、归纳学习内容，帮助学生加深对所学知识的理解，培养学生的数学意识．
板书设计
8.3 同底数幂的除法
一、同底数幂除法的运算
二、零指数幂和负整数指数幂的意义
教后反思
本节课的设计遵循学生的认知规律,让学生主动探究,经历知识的产生、发展、形成与应 用的过程,重在培养学生观察、分析、抽象、概括的思维能力.学生在充分经历这一过程中,
既能理解和掌握同底数幂的除法性质，并能用代数和文字语言正确地进行表述,运用这一性质熟练地进行计算，还有助于训练学生的思维,使学生领会到数学的思想和方法。 但是性质只是基础，它的灵活运用则是学生难以掌握的地方，应该加强性质灵活运用的训练。
课题
单项式乘单项式
课型
新授课
教学内容
教材第79-81页的内容
教学目标
1.经历探索单项式乘法法则的过程，理解单项式乘法法则。
2.理解并掌握单项式与单项式相乘的法则,能够熟练地进行单项式的乘法计算。
教学重难点
教学重点：单项式与单项式相乘的运算法则及其应用。
教学难点：灵活地进行单项式与单项式相乘的运算.
教 学 过 程
备 注
1.复习旧知，引入课题
【问题1】前面学习了哪些幂的运算?运算性质分别是什么？
学生口答即可。
【问题2】上学期我们已经学过整式了，那么谁能说一下整式包括什么？
学生口答。
【追问】什么是单项式，什么是多项式？可以举例说明。
学生口答。
教师点评，并引出课题。
2.类比探究，学习新知
我们上学期学过整式的加减，那么现在就来学习整式的乘法。
【思考】关于整式的乘法，你们认为都包括什么？
学生思考，尝试回答。
教师：整式的乘法包括单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式。我们先来学习单项式乘单项式。
【问题3】根据乘法的运算律和同底数幂相乘的运算性质计算：
(1）2a·3a= = .
(2)2a·3ab= = .
（3）4xy·5x2y= = .
【师生活动】教师：大家思考一下，应该怎么去计算这3个小题，相互交流讨论。
学生：学生分组交流、讨论.
教师：给大家一个小提示：将字母视为数，按数的相关运算进行即可.
学生：根据提示和讨论的结果，尝试解答题目。
教师：请同学上台板演解题过程。
学生成果：(1)2a·3a=(2×3)·（a·a) =6a2 .
（2）2a·3ab=(2×3)·（a·a)·b = 6a2b.
(3）4xy·5x2y=(4×5)·(x·x 2）·（y·y）= 20x3y 2.
教师：教师点评，并追问。
【追问】大家观察一下这3个小题的计算过程，用到了
哪些运算律和运算法则？为什么？整个计算过程实际是什么运算？
学生：思考、交流讨论。
学生成果：乘法交换律、结合律。
为了能让系数与系数、相同字母分别结合。
有理数的乘法运算和同底数幂的乘法运算。
【追问】大家尝试总结单项式与单项式相乘的运算法则。
提示学生从三方面考虑，系数与系数，相同字母与相同字母，
单独存在的字母。
学生：交流讨论，尝试总结，并发言表述。
教师点评，总结。
【总结】单项式乘单项式的运算法则：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它们的指数作为积的一个因式.
3.学以致用，应用新知
考点1 单项式乘单项式
【例1】计算：
(1)2xy2• xy; (2)(－2a2b3)•(－3a).
答案： 6a3b3.
【例2】
答案：
考点2 单项式乘单项式的应用
【例3】已知－2x3m＋1y2n与7x5m－3y5n－4的积与x4y是
同类项，求m2＋n的值。
答案：
4.随堂训练，巩固新知
1.课本P80练习
2.备用练习
（1）如图,阴影部分的面积是 ( A )
A. B.
C.6xy D.3xy
（2）计算（4×102 )×(1.5×106 )的结果是（ C）
A.6×107 B.6×106 C.6×108 D.6×1010
（3）若长方形的宽是a2，长是宽的2倍，则长方形的面积
为 _____.
答案：2a4
（4）计算：①
②
③
答案：6a4b2；-6x5y3z；
（5）
答案：5
5.课堂小结，自我完善
（1）单项式乘单项式的原理是乘法的交换律和结合律.
(2)单项式乘单项式的法则:
单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它们的指数作为积的一个因式。
（3)单项式乘单项式的注意事项：
①对于只在一个单项式里出现的字母,不要把这个因式去掉，要连同它的指数一起写在积的因式里。
②单项式的乘法法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用。
③单项式乘单项式的结果仍是一个单项式.
6.布置作业
课本P80习题 A 组的第 1-3题，P81习题 B 组.
幂的三个运算性质是学习单项式与单项式相乘的基础,所以先组织学生复习。
复习整式的相关概念，为接下来的学习做铺垫。
教师巡视时积极参与到学生的讨论中，
对于有问题或者没有思路的小组及时进行指导。
学生知道运用乘法交换律、结合律的知识探索单项式乘单项式的运算法则,并理解算理,让学生理解运算法则及其探索过程,而不是仅仅背过法则,使学习知识的过程同时成为提高学生分析和解决问题能力的过程。
注意：
（1）系数相乘；
（2）相同字母的幂相乘；
（3）其余字母连同它们的指数不变，作为积的因式.
初学，让学生按照步骤计算，并可以让同学上台板演，教师讲解步骤注意事项。
有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘.
单项式的乘法法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用.
通过随堂练习，巩固所学知识，促进学生对所学知识的内化理解.
总结、归纳学习内容，帮助学生加深对所学知识的理解．
板书设计
8.4 整式的乘法
第1课时 单项式乘单项式
1.单项式乘单项式的运算法则：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它们的指数作为积的一个因式.
2.例题
教后反思
由数的运算引出式的运算规律，体现了数学知识间具体与抽象、 从特殊到一般的内在联系，符合学生的认知规律，并在得出结论的过程中,与学生一起探讨，注重学生的参与，单项式乘单项式转化到数的乘法与同底数幂的乘法,体现新知识与已学知识间的联系，注意转化的思想方法.
但是部分学生对于符号不能正确地判断，主要是没有注意带符号运算或者没有注意整体思想，漏掉括号或者去括号错误；混合运算中符号及各种运算法则混淆不清，运用还不够熟练。
课题
单项式乘多项式
课型
新授课
教学内容
教材第81-83页的内容
教学目标
1.通过探索单项式与多项式相乘的运算法则的过程，在具体情境中了解单项式与多项式相乘的意义,理解运算法则.
2.会利用法则进行单项式与多项式的乘法运算.
教学重难点
教学重点：单项式与多项式相乘的法则及应用。
教学难点：灵活运用单项式与多项式相乘的运算法则。
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入课题
【问题1】如图,为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长 为m,宽为 a的长方形绿地扩建，将宽延长b，你能用几种方法表示扩大后的绿地面积?不同的表示方法之间有什么关系？如何从数学的角度认识不同的表示方法之间的关系?
2.类比探究，学习新知
针对上面的问题，我们可以这样逐步分解解答：
(1)扩大后绿地的长和宽分别是多少？
长为 ；宽为 。
(2）根据长方形的面积=长×宽,你能得到的式子 是: 。①
(3)利用分割法，可以把扩大后的面积看成几部分面积的和?
(4）这两部分的面积可以怎么表示？
（5)式子①和②都表示扩大后绿地的面积，它们是什么关系呢？
学生：学生根据教师展示的问题，分组交流讨论，并回答。
学生成果：（1）（a+b），m；（2）m（a+b）；（3）2部分；（4）ma，mb；（5）相等，即m（a+b）=ma+mb.
教师点评，并进行部分板书。
【追问】对于这个等式，同学们想一想:你能用乘法分配律说明这个等式吗？
学生相互交流，讨论，并尝试回答。
【问题2】类比【问题1】，你能计算mn（a+b-c）吗？并根据下面的图形谈一谈结果表示的几何意义。
学生：相互交流讨论，解答。
教师：教师点评，并请同学口答。
【追问】m（a+b）与mn（a+b-c）这两个式子有什么共同点？都是如何运算的？能总结这类运算的法则吗？
学生：分组交流讨论，并尝试总结法则。
学生成果：这两个式子中m，mn是单项式，a+b，a+b-c是多项式。都是单项式与多项式相乘。通过乘法的分配律，转化为单项式乘单项式进行计算。
（学生阐述自己的总结即可）
教师：教师点评，并总结法则。
【总结】单项式乘多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把积相加。
3.学以致用，应用新知
考点1 单项式乘多项式
【例1】课本P81例3
(1) ab(a2+b2) (2) -x(2x－3)
解：（1）ab((a2+b2) (2) -x(2x－3)
=ab·a2+ab·b2 =(-x)(2x)+(-x)(-3)
=a3b+ab3 =-2x2+3x
单项式乘多项式的三点注意：
（1）要按顺序相乘，不要漏项或增项.
（2）单项式系数为负数时，要注意每一项乘积的符号，相乘时,每一项都包括它前面的符号.
（3）积是一个多项式，其项数与原多项式的项数相同.
考点2 化简求值
【例2】课本P82例4
先化简，再求值：a2(a+1)-a(a2-1) 其中a=5.
解：a2(a+1)-a(a2-1)=a3+a2-a3+a=a2+a.
当a=5时，原式=52+5=30.
【方法总结】单项式乘多项式，结果中如果有同类项， 要合并同类项.在计算时要注意先化简然后再代值计算．整式的加减运算实际上就是去括号与合并同类项．
考点3 实际应用
【例3】一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽(a＋2b)米，坝高 米．
(1)求防洪堤坝的横断面面积；
(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？
答案：（1）（2）50a2＋50ab.
4.随堂训练，巩固新知
1.课本P82练习
2.备用练习
（1）(-2a 2）(-3a+1）等于 （ B )
A.—6a 3—2a 2 B.6a 3—2a 2
C.6a 3+2a 2 D.6a 3 -a 2
(2)若 2x（x-1）—x(2x—5）=12，则 x 的值为 ( D ）
A.2 B.1 C.0 D.4
(3)已知 x(x+3）=1，则代数式 2x2+6x-5 的值为 。
答案：-3
（4）计算。
①2xy(5xy2+3xy—1);
②(a2—2bc)·（—2ab)2.
答案：①10x 2y 3+6x 2y 2 -2xy ②4a 4b 2 -8a 2b 3c
（5）先化简，再求值3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)，其中 a=-2.
答案：-20a2+9a；-98
（6）如图，一块长方形地用来建造住宅、广场、商厦，求这块地的面积.
答案：20a2+4ab
5.课堂小结，自我完善
6.布置作业
课本P82—83页习题A组2-4题，B组1、2题。
通过问题情境,让学生通过图形探索面积的不同表示方法，培养学生的兴趣和探究的欲望。
将问题分解，为学生解决问题提供思路，让学生能够积极参与到课堂中，同时为了学生独立完成问题2做铺垫。
此问题为总结单项式乘多项式的运算法则做铺垫。
在解决问题的过程中,学生观察总结规律、探索法则,通过与乘法分配律的对比，让学生总结出单项式与多项式相乘的法则，培养了学生的概括能力和语言的严谨性。
通过例1，归纳单项式乘多项式的步骤及注意事项.
通过例2 ，总结化简求值题型的方法。
通过随堂练习，巩固所学知识，促进学生对所学知识的内化理解.
总结、归纳学习内容，帮助学生加深对所学知识的理解．
板书设计
8.4 整式的乘法
第2课时 单项式乘多项式
1.单项式乘多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把积相加。
2.例题
教后反思
在教学过程中引导学生参照引例解决方法,教师先不给出单项式与多项式相乘的运算法则,而是让学生先独立思考，然后由学生自己小结出如何进行单项式与多项式相乘的乘法,在
探索新知的过程中让学生体会从特殊到一般,从具体到抽象的认识过程。
对于用多种方法表示扩大后绿地的面积的讲解过程中，教师说的多,没有完全让学生自己得出结论，忽略了学生的主体作用.
课题
多项式乘多项式
课型
新授课
教学内容
教材第84-85页的内容
教学目标
1.通过探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程，在具体情境中了解多项式与多项式相乘的意义，理解运算法则.
2.会利用法则进行多项式与多项式的乘法运算.
教学重难点
教学重点：多项式与多项式相乘的法则及应用.
教学难点：灵活运用多项式与多项式相乘的运算法则。
教 学 过 程
备 注
1.复习旧知，引入课题
前面已经学过了单项式乘单项式、单项式乘多项式，谁能说一说它们的乘法法则？
教师点名让学生回答。
那我们又如何计算多项式乘多项式呢？我们一起来探究。
2.类比探究，学习新知
张伯伯准备把长为m米、宽为a米的长方形鱼塘进行扩建，使得长再增加n米，宽再增加b米（如图），求扩建后鱼塘的面积.
【问题1】求扩建后鱼塘的面积有哪些方法？将结果写出来。
学生：学生观察图形，交流讨论，得出结果。
教师：教师请同学说出计算的理由及结果，并板演所有结果。
板演：（1）(m+n)(a+b)； （2）(m+n)a+(m+n)b ；
（3）（a+b)m+(a+b)n; (4)ma+mb+na+nb.
【追问】这四个式子之间是什么关系？
【追问】(m+n)(a+b)这个式子有什么特点？
对于(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb应如何进行说明？试着写写说明过程
学生：相互交流讨论，并书写说明过程。
教师：请同学上台展示说明过程，并口述理由。
学生口述：根据两次运用乘法分配律将多项式与多项式相乘化为单项式与单项式相乘，进而得出结果。
（学生不会表述时，教师适时地进行提示）
【追问】那你能总结一下多项式乘多项式的运算法则吗？
学生：学生相互交流讨论，并尝试总结，
教师：请同学展示总结结果，并给出法则。
【总结】多项式乘多项式的运算法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘的过程可以示例为：
3.学以致用，应用新知
考点1 多项式乘多项式
【例1】课本P84例5
答案：
多项式乘以多项式的“三点注意”
(1)一定要按照一定的顺序相乘,做到不重不漏.
(2)计算时,一定要注意符号问题,每一项都包含前面的符号.
(3)如果结果中有同类项,一定要合并同类项.
考点2 化简求值
【例2】先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.
答案：－8b3＋2a2b＋15ab2，-21.
【方法总结】化简求值的题型，一定要注意先化简，
再求值，不能先代值，再计算．
4.随堂训练，巩固新知
1.课本P84练习
2.（1）(x-1)(2x+3)的计算结果是( A )
A.2x²+x-3 B.2x²-x-3
C.2x²-x+3 D.x3-2x-3
（2）若(x+4)(x-3)=x²+mx-n，则( D )
A.m=-1，n=12 B.m=-1，n=-12
C.m=1，n=-12 D.m=1，n=12
（3）方程(2x+1)(x-1)=(x+2）(2x-1）的解为 。
答案：
（4）①化简:(3x-2y)（y-3x）—(2x—y）（3x+y);
②先化简，再求值:（x—2)(x² -x-9)-x(—2x—7),其中 x=1.
答案：①10xy-15x²-y²②x³— x²+18，18
（5）为参加市里的“灵智星”摄影大赛,小红同学将同学们参加“向灾区献爱心"活动的照片放大为长 a 厘米，宽
厘米的长方形形状,又精心地在四周加上了宽为 b 厘米的装饰彩框,如图所示.你能知道小红同学的这幅摄影作品总面积吗?
答案：
5.课堂小结，自我完善
6.布置作业
课本P85习题A组第3-6题，习题B组第2题。
复习旧知，为新知识额学习做准备。
与单项式乘多项式的推理过程类似，让学生用不同的方法表示出图形的面积，然后抽象出多项式乘多项式的法则,培养学生的抽象、概括的能力.
体现数学的转化思想。
需要注意的几个问题:(1)漏乘;(2)符号问题;(3)最后结果应化成最简形式.
通过例1的计算过程，进一步加深对法则的理解，同时教师总结在计算过程中的注意事项。
通过随堂练习，巩固所学知识，促进学生对所学知识的内化理解.
总结、归纳学习内容，帮助学生加深对所学知识的理解．
板书设计
8.4 整式的乘法
第3课时 多项式乘多项式
1.多项式乘多项式的运算法则
2.例题
3.多项式乘多项式的注意事项
教后反思
设计的是长方形面积的表示方法(a+b)(m+n)和另一种表示方法 am+an+bm+bn 相同，从而导出多项式与多项式相乘的法则.教师所采用的引导方法和手段在教学过程当中注重学生,
以学生为本,而不是单纯达到教学教材内容知识目标的任务，从而引起学生的探索欲望，通过学生的自主交流、合作探究，培养了学生的学习能力,达到了对知识的理解和巩固
但是在探索用不同方法表示图形的面积时，学生的回答可能会出现很多种方法进行表示，教师应给予肯定和表扬，让学生说一说自己的思路和想法，培养学生的思维能力，而不是硬性地给出了 am+an+bm+bn 这一结论,束缚了学生的思维。
课题
平方差公式
课型
新授课
教学内容
教材第86-89页的内容
教学目标
1．会推导平方差公式，理解平方差公式的几何意义．
2．掌握平方差公式，能用平方差公式进行相关运算．
3．经历探究平方差公式的过程，让学生明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式的乘法辩证思想．
4．掌握两数和乘以这两数的差的公式结构特征，培养从一般到特殊，再从特殊到一般的思想方法
教学重难点
教学重点：平方差公式的结构特征，熟练平方差公式进行简单计算．
教学难点：平方差公式的运用，
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入课题
【问题1】多项式与多项式是如何相乘的？
【问题2】沿着边长为a的正方形下边裁去宽为5米的长方形，将剩下的长方形的宽增加5米，面积变了吗？
【师生活动】学生复习回顾，讨论交流、总结发言，教师补充，提出问题，引出新课．
2.归纳探究，学习新知
【问题3】 计算:
(1)(x＋1)(x－1)= .
(2) (a＋2)(a－2)= .
(3) (2x＋1)(2x－1)= .
(4) (a＋b)(a－b)= .
【师生活动】学生在练习册上解答，教师请同学口述答案。
【追问】①上面四个式子中，两个乘式之间有什么特点？
②乘积合并同类项后是几项式？这个多项式有什么特点？
【师生活动】学生：分组交流讨论，然后组内得出结论．
教师：请小组代表发言，并点评，最后总结.
学生成果：每个算式都是两个数的和与这两个数的差相乘，运算结果是二项式，是这两个数的平方的差.
【总结】平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
符号表示：（a+b）（a-b）=a2-b2．
【问题4】如图，在一个边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形，再将余下的部分剪拼成一个长方形.
(1)两个图形(着色部分)的面积之间有什么关系？
(2)请你结合图形对平方差公式(a＋b)(a－b)=a2－b2进行解释.
【师生活动】学生分组交流讨论，教师巡视观察，及时帮助有困难的学生，引导学生对公式进行如何解释。
学生成果：（1）相等 .
（2）图1：面积：a2－b2，
图2：长:(a＋b)，宽:(a－b) ，面积：(a＋b)(a－b)，
所以a2－b2=(a＋b)(a－b).
【问题5】大家现在完成课本P87“做一做”
【师生活动】学生思考、书写，教师巡视观察学生做的情况，有问题及时纠正．
【追问】判断式子(5a﹣7b)(﹣5a﹣7b)能否用平方差公式进行计算？如果能，请计算出结果.
【师生活动】先让学生自主思考，观察学生完成情况，然后进行适当地引导，如以（a+b）（a-b）为例（如下），说明特点，然后再让学生完成题目。
【追问】我们应如何判断两个多项式相乘能否用平方差公式进行计算？尝试总结一下。
【师生活动】学生分组交流讨论，组内总结。教师让组内代表发言，并点评，最后总结。
【总结】
判断两个多项式相乘能否用平方差公式进行计算的方法：
（1）判断时要把两个多项式中每项前的符号都看成性质符号，如果两个多项式中既有相同的项，又有互为相反的项，则一定能用平方差公式进行计算.这时要把相同的项写在每个多项式的第一项，互为相反的项写在第二项，这样就写成了(a＋b)(a－b)的形式.
（2）利用平方差公式计算时，每个多项式中两项之间的符号看成运算符号，首项前如果有符号则看成性质符号
【练习】
练一练：判断下列各题哪些能用平方差公式进行计算？
(1) (3x－2y)(3y＋2x)， (2)(3a＋4b)(4b－3a)，
(3) (－a2 － b2)(－a2 ＋b2)， (4) (2m－3n)(－2m－3n)，
(5) (a－b)( －b－a)， (6) (x＋2y)(－2y＋x)，
(7) (－3a3＋4b2)(－4b2－3a3)， (8) (a－2b)(2b－a).
【师生活动】学生思考、判断并发言，教师及时纠正．
3.学以致用，应用新知
考点1 平方差公式
【例1】课本P87页例1
计算：
(1)(2x＋y)(2x－y)；(2)(x＋5y)(x－5y)；
(3)(－5a＋3b)(－5a－3b).
【师生活动】前两题教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么．第三题计算时把-5a看成一个数，把3b看成另一个数，直接写出(-5a)2-（3b）2后得出结果.
【总结】应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；
(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
考点2 平方差公式的应用
【例2】计算与化简。
（1）51×49；（2）（a+b+c）(a+b-c）.
答案： (1) 原式=（50＋1）(50－1)= 502-12=2499；
（2）（a+b+c）(a+b-c）=（a+b）²-c²=a²+2ab+b²-c².
【例3】对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
解：原式＝9n²－1－(9－n²)＝10n²－10.
∵(10n²－10)÷10=n²-1.n为正整数，∴n²-1为整数
即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．
【方法总结】对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
4.随堂训练，巩固新知
1.课本P88练习
2.备用练习
（1）计算(2x＋3)(2x－3)的值是( A )
A.4x2－9 B.4x2－3
C.2x2－9D.2x2－3
（2）已知a=7202，b=719×721，则( B )
A.a=bB.a＞b
C.a＜bD.a≤b
(3)已知(－3a＋m)(4b＋n)=16b2－9a2，则m，n的值分别为( C )
A.m=－4b，n=3a
B.m=4b，n=－3a
C.m=4b，n=3a
D.m=3a，n=4b
(4)化简(2+1）(22+1)（2 4+1)(28+1)的结果是2 16-1.
(5)运用平方差公式计算：
①(m＋1)(m－1)(m2＋1)； ②503×497;
③ (x－y)(x＋y)(x2＋y2)(x4＋y4).
答案：①m4－1②249991③x8－y8
6.某公园原有长方形绿地一块，现进行如下改造，将长减少
2 m，将宽增加2 m，改造后得到一块正方形绿地，它的面积是原绿地面积的2倍，求改造后正方形绿地的面积.
解：设改造后正方形绿地的边长为x m，
则改造前的长是(x＋2) m,宽是(x－2) m.
根据题意，有2(x＋2)(x－2)=x2，
即2(x2－4)=x2,
可得x2=8.
答：改造后正方形绿地的面积为8 m2.
5.课堂小结，自我完善
（1）什么是平方差公式？
（2）平方差公式如何运用？
6.布置作业
课本P88习题A组2（2）（4）、3、4（2），P89习题B组第2、3题。
问题1从复习多项式与多项式的乘法，为学习新知识做准备；问题2考虑几何图形的拼接前后的面积，引出本节课将要学习的内容，直观形象，激发学生学习兴趣．
通过计算，观察，概括，归纳总结知识要点，让学生体会从一般到特殊的数学思想.
图形验证平方差公式，观察图形的剪拼过程，然后再对公式进行解释，加深对公式的理解，使学生感悟到数形结合的思想方法.
填写表格，使学生加深对公式的理解。
体会平方差公式中a，b的含义，准确地找出因式中哪个式子是a，哪个式子是b.
巩固平方差公式中a,b的含义．
通过例题，巩固所学知识，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力．
通过随堂练习，巩固所学知识，促进学生对所学知识的理解.
通过小结，使学生梳理本节所学内容，充分发挥学生的主体意识，培养学生的语言概括能力，发散思维能力．
板书设计
8.5 乘法公式
第1课时 平方差公式
1.平方差公式
2.平方差公式的几何意义
3.判断能否用平方差公式计算的方法
4.例题
教后反思
本节课从多项式相乘入手，首先通过直观观察总结出平方差公式，随后通过特殊几何图形的面积，帮助学生深化对平方差公式的理解. 在教学设计时提供充分探索与交流的空间,使学生进一步经历观察、猜测、推理、交流、反思等活动，让学生学会一些探究的基本方法与思路,在探究中经历知识产生发展的过程，体会“做数学”的乐趣。
但是学生知识掌握存在差异，应该及时帮助有困难的学生，让他们能够解答问题，而不是一直没有思路，导致学习兴趣不高。
课题
完全平方公式
课型
新授课
教学内容
教材第89-91页的内容
教学目标
1．熟记完全平方公式，并能说出它的几何背景.
2．会运用公式进行简单的乘法运算.
3．经历对完全平方公式的探索和推导，进一步发展符号（字母）的识别运用能力和推理能力.
教学重难点
教学重点：会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算.
教学难点：掌握完全平方公式的结构特征，理解字母表示的广泛含义．
教 学 过 程
备 注
1.回顾旧知，引入课题
我们前面学习了乘方和多项式与多项式相乘的法则，能不能将(a+b）²转化为我们学过的知识去解决呢？
【师生活动】学生相互交流讨论，然后在练习册上作答，教师巡视指导，及时帮助学生。
2.类比探究，学习新知
【问题1】计算下列各多项式的积，试着发现它们的运算规律.
(1)(p＋1)2=(p＋1)(p＋1)=
(2) (p－1)2=(p－1)(p－1)= .
(3)(m＋2)2=(m＋2)(m＋2)= .
(4) (m－2)2=(m－2)(m－2)= .
【师生活动】学生先在练习册上自主完成4个小题，然后分组讨论，探究规律．教师引导学生发现（1）结果中的 2p=2·p·1，(1)与(2)比较只有一次项有符号之差。教师还要引导学生从式子的结构特点去思考规律。学生根据提示逐步思考，相互交流，最后展示部分学生成果.
学生成果：结构特征:①左边是两个相同二项式相乘,即一个二项式的平方---两个数和（或差)的平方；②右边是一个三项式,其中两项是左边的二项式的项的平方和，第三项是左边两项的积的 2 倍.
教师根据学生的回答，进行点评，总结.
【总结】完全平方公式：两数和（或差)的平方等于这两数的平方和再加(或减）它们的积的 2 倍。
符号表示：(a＋b)2=a2＋2ab＋b2；(a－b)2=a2－2ab＋b2.
公式特征：①积为二次三项式；
②积中两项为两数的平方和；
③另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同；
④公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
【问题2】你能根据图1、2中图形的面积不同的表示方法说明完全平方公式吗？（可以类比平方差公式的几何意义）
图1 图2
【师生活动】学生分组交流讨论，并尝试证明。教师可以引导学生对公式进行解释，并展示：
图1中，大正方形面积可以表示为(a＋b)2 ，也可以表示为 2ab＋a2＋b2，所以(a＋b)2 =2ab＋a2＋b2.
图2中，中等的正方形面积可以表示为(a－b)2，也可以表示为a2－2b(a－b)－b2=a2－2ab＋b2，所以(a－b)2=a2－2ab＋b2.
【问题3】大家现在完成课本P90“做一做”
【师生活动】学生思考、书写，教师巡视观察学生做的情况，有问题及时纠正．
【方法归纳】完全平方公式计算口诀：
首尾先平方，两倍乘积放中央。
3.学以致用，应用新知
考点1 完全平方公式
【例1】课本P90页例2
计算：
(1)(x＋3y)2； (2) ； (3)(－4a－3b)2.
考点2 完全平方公式的应用
【例2】运用完全平方公式计算：
(1) 102²；(2) 99².
答案：（1）10404；（2）9801
【方法总结】运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
【例3】已知x－y＝6，xy＝－8.求:
(1) x²＋y²的值； (2)(x+y)²的值.
答案：（1）20；（2）4
【方法总结】本题要熟练掌握完全平方公式的变式：
x²＋y²＝(x－y)²＋2xy＝(x+y)²－2xy,
(x－y)²＝(x+y)²－4xy.
4.随堂训练，巩固新知
1.课本P90页练习
2.备用练习
（1）计算(2x－1)(1－2x)结果正确的是( C )
A.4x2－1B.1－4x2
C.－4x2＋4x－1D.4x2－4x＋1
（2）若(y＋a)2=y2－6y＋b，则a,b的值分别为( D )
A.a=3,b=9B.a=－3,b=－9
C.a=3,b=－9 D.a=－3,b=9
（3）将 x ²+6x+3 配方成(x+m）²+n 的形式,则 m= 3 .
（4）计算：
①(3a＋b－2)(3a－b＋2)；
②(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．
答案：①9a²－b²＋4b－4；
②x²－2xy＋y²－m²＋2mn－n².
（5）若a+b=5,ab=-6, 求a²+b²,a²-ab+b².
答案：37,43
（6）已知x+y=8,x-y=4,求xy.
答案：12
5.课堂小结，自我完善
你这节课学到了什么？有什么收获？
6.布置作业
课本P91习题A组 3，4，5题，习题B组1、2题。
复习旧知，为新知识的学习做准备。
4 道小题是对前边进行的运算的讨论,目的是让学生通过观察、归纳,鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的特征,便于进一步应用公式计算,同时让学生体会从一般到特殊的数学思想.
.
用图形验证完全平方公式，观察图形的剪拼过程，然后再对公式进行解释，加深对公式的理解，使学生感悟到数形结合的思想方法.
体会公式中a，b的含义，对公式中a,b的意义进一步理解，体现从一般到特殊的思想.
通过例题，巩固所学知识，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力．
通过随堂练习，巩固所学知识，并且能够让学生对完全平方式的灵活运用有一定的理解。
板书设计
8.5 乘法公式
第2课时 完全平方公式
1.完全平方公式
2.完全平方公式的几何意义
3.例题
教后反思
在教学过程中,教师以学生自主探索为主,通过复习提问导入新课,让学生通过观察、类 比总结出完全平方公式,并且通过图形面积的关系推导出两数的完全平方公式。整个过程，
关注学生对公式的理解，关注学生运算的合理性，关注学生对符合完全平方式计算的多项式乘法观察的敏锐性，熟练运用完全平方公式进行简单的计算。通过对例题的教学,提高学
生对公式的理解。但是对公式中乘积项以及如何选择完全平方公式强调不够，容易造成学生在练习中不会运用完全平方公式或者用错。
课题
科学记数法
课型
新授课
教学内容
教材第93-95页的内容
教学目标
1.在探究表示较大数或较小数的过程中，体会科学记数法的意义.
2.会用科学记数法表示较大的数或较小的数.
教学重难点
教学重点：用科学记数法表示较大的数或较小数.
教学难点：探索归纳出科学记数法中指数与数位间的关系.
教 学 过 程
备 注
1.创设情境，引入课题
“天河一号”每秒2.57千万亿次运算速度
“天河二号”每秒3.39亿亿次运算速度
在生活中，我们还会遇到一些较大或较小的数。例如：
（1）据我国第七次人口普查的统计数据,到 2020 年 11 月1日零时，我国大陆31个省、自治区、直辖市及现役军人的总人口约为 1 410 000 000 人.
(2)人体红细胞的平均直径为 0.000 007 7 m.
（3）纳米是长度单位，纳米技术是研究结构尺寸在0.1nm~100 nm范围内材料的性质和应用的一种技术，1nm等于0.000 000 001 m.
(4) 京杭大运河始建于春秋时期，是中国古代劳动人民创造的一项伟大的水利工程.京杭大运河北起北京，南至杭州，经北京、天津两市及河北、山东、江苏、浙江四省，全长约
1 800 000m.
【师生活动】教师展示完这些数据后，可以让学生读一下这些数据，让学生感受数据读写不易。
【追问】这些较大或较小的数，读和写起来很麻烦，有没有简单的表示方法呢？
【师生活动】学生观察并思考、讨论交流，教师展示并引出新课．
2.类比探究，学习新知
【问题1】回顾有理数的乘方，记算：
101=___， 102=____，103=_________，104=_______，
106=_________，1010=_____________，….
【师生活动】学生在练习册上作答，完成后，教师追问。
【追问】观察上面的式子，想一想：
= 1 \* GB3 ①指数与运算结果中的0的个数有什么关系？
= 2 \* GB3 ②指数与运算结果的数位有什么关系？
【师生活动】学生分组交流讨论，组内总结，教师点名让学生口述结论，教师点评、板书总结。
【总结】
【追问】根据上面的知识，尝试把下列各数写成10的幂(即写成10（）)的形式：
（1） 100 ，10 000，100 000 000，
（2）300， 32 000.
【师生活动】学生在练习册上解答，教师巡视观察学生做的情况。（1）中的题目大家都能正确书写，但是（2）中的题目，可能会出现不同的结果，如32 000=32×103（或3.2×104，或0.32×105），教师可以让学生相互交流自己的结果，让大家看到一个数可以有多种写法，那我们要有一种标准的书写，教师给出总结。
【总结】把一个较大的数写成 a×10n (1≤a＜10，n为整数）的形式，这种记数方法叫做科学记数法.
此时，n为正整数，n等于原数整数位减去1。
【问题2】回顾10的负整数次幂，记算：
【师生活动】学生根据给出的第一个及10的负整数次幂思考，相互交流讨论，完成解答。
【追问】把下列各数写成10的幂(即写成10（）)的形式：
①0.000 001；② 0.000 007 7.
【师生活动】学生思考、书写，教师巡视观察学生做的情况，针对②教师可以让学生能够参考前面科学记数法表示较大的数时a的取值范围，来解决②。
【思考】你能说明用科学记数法表示较小的数的书写形式吗？n的绝对值是如何计算的？
【师生活动】学生分组交流讨论，组内尝试总结。教师让学生口答，并点评、总结。
【总结】用科学记数法也可以把把一个较小的数写成a×10n (1≤a＜10，n为整数）的形式。
此时，n为负整数，n的绝对值等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面这个零）.
【追问】通过较大的数和较小的数用科学记数法表示，总结一下科学记数法的完整概念。
【师生活动】学生尝试总结，教师点评，给出完整定义。
【概念】把一个较大的数或较小的数写成a×10n(1≤a＜10，n为整数）的形式，这种记数方法叫做科学记数法.
3.学以致用，应用新知
考点1 科学记数法
【例1】(1) - 3 515 000; (2) 10 300 000;
(3) ﹣0.000 005; (4) 0.000 000 012.
答案：(1)-3.515×106; (2) 1.03×107;(3)-5×10-6;
(4) 1.2×10-8.
【例2】下列是用科学记数法表示的数，写出原来的数.
（1）7.04×105 ；（2）-7.001×10－6.
答案：(1)704 000;（2）-0.000 007 001.
考点2 科学记数法的应用
【例3】课本P94例2
光年是一个长度单位，是指光行走一年的距离，一般被用于计算恒星间的距离。
(1) 已知光的速度约为3×105km/s,如果按1年为365天，每天8.64×104s计算，1光年约等于多少千米(结果用科学记数法表示)？（结果用科学记数法表示）
(2) 太阳系以外离地球最近的恒星是比邻星，它与地球的距离大约为3.99×1013km.比邻星与地球的距离约合多少光年？
答案：（1）9.4608×1012（或9.46×1012）千米（2）4.22光年
4.随堂训练，巩固新知
1.课本P94页练习1-3
2.备用练习
（1）用科学记数法表示下列各数。
① 80000; ② -56000000; ③7400000;
④ 0.0000896；⑤0.0000001； ⑥-0.0000004176.
答案：① 8×104 ;②-5.6×107 ;③7.4×106 ;④8.96×10-5;
⑤10-7;⑥-4.176×10-7 .
（2）下列是用科学记数法表示的数，写出原来的数。
①8.5×106；②-3.96×104；③-2×10－8 ；④9.405×10-6.
答案：①8 500 000；②-39 600；③-0.000 000 02；
④0.000 009 405.
（3）已知光的传播速度为300 000 000 m/s，太阳光到达地球的时间大约是500 s，试计算太阳与地球的距离大约是多少千米．(结果用科学记数法表示)
答案：1.5×108km
5.课堂小结，自我完善
这节课你学会了什么？你对本节所学知识有何疑惑？
6.布置作业
课本P95习题A组第3题，习题B组第1-3题。
从生活实例引出本节课的学习内容，直观形象，激发学生学习兴趣．
通过回顾有理数的乘方，引导学生探究知识间的内在联系．
学生能够明确了自己表示的结果都相等，但不符合科学记数法的书写要求.通过交流使学生对科学记数法有了更深刻的理解。
教师要强调a的大小，n如何计算。
通过回顾10的负整数次幂，引导学生探究知识间的内在联系．
通过互动探究，引导学生学会思考，合作交流．
教师强调a的大小，n的绝对值的计算方法。
通过例题讲解，加深学生对科学记数法的理解，同时将科学记数法进行拓展。
【拓展】一个绝对值较大或较小的负数用科学记数法表示时,只要在 a×10n（1≤a〈10，n 为整数)前加一个负号即可。
可推广到用科学记数法表示一个绝对值较大或较小的有理数的形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|〈10，n 为整数.
通过随堂练习，检测学生对知识的掌握程度，及时进行指导。
通过知识总结，让学生对本节课的知识进行梳理，加深对知识的理解。
板书设计
8.6 科学记数法
1.较大的数用科学记数法表示
2.较小的数用科学记数法法表示
3.例题
教后反思
本课时的教学内容与现实生活情境联系紧密，在课时教学设计的过程中,注意从生活情境中选取数字,帮助学生感受数学与现实生活的密切联系,增强学生的数学应用意识。通过知
识迁移引导学生掌握科学记数法的相关知识.但是对科学记数法和 10 的幂之间的关系,学生容易掌握比较“大”的数，对科学记数法和10的负整数次幂之间的关系，学生容易出错，应加强训练。
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