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2024八年级数学下册第2章一元二次方程中考真题专练巩固篇试题（附解析浙教版）
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这是一份2024八年级数学下册第2章一元二次方程中考真题专练巩固篇试题（附解析浙教版），共21页。
专题2.29 一元二次方程（中考真题专练） （巩固篇） 一、单选题 1．（江苏淮安·统考中考真题）若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ） A． B． C．0 D．1 2．（山东枣庄·统考中考真题）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“和谐函数”．则下列函数y1和y2不是“和谐函数”的是（ ） A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 B．y1＝和y2＝x+1 C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 3．（内蒙古包头·中考真题）若是方程的两个实数根，则的值为（ ） A．3或 B．或9 C．3或 D．或6 4．（湖北武汉·统考中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ） A．2或6 B．2或8 C．2 D．6 5．（山东烟台·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．（内蒙古通辽·统考中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 7．（四川宜宾·统考中考真题）若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（ ） A．4 B．5 C．6 D．12 8．（四川南充·统考中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为（ ） A． B． C． D． 9．（湖北武汉·统考中考真题）已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ） A．-25 B．-24 C．35 D．36 10．（辽宁阜新·统考中考真题）在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 11．（湖北荆州·统考中考真题）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A．且 B． C．且 D． 12．（河南·统考中考真题）如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 13．（云南·中考真题）方程2x2+1=3x的解为________． 14．（四川眉山·中考真题）设，是方程的两个实数根，则的值为________． 15．（四川巴中·统考中考真题）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为________． 16．（山东东营·统考中考真题）关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_______． 17．（四川凉山·统考中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________． 18．（四川内江·统考中考真题）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____． 19．（四川成都·统考中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________． 20．（浙江杭州·统考中考真题）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则_________（用百分数表示）． 21．（山东济南·统考中考真题）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是______． 三、解答题 22．（湖北十堰·统考中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 23．（四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 24．（江苏泰州·统考中考真题）如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？ 25．（四川眉山·中考真题）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； (2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？ 26．（湖北宜昌·统考中考真题）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨． (1)求4月份再生纸的产量； (2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值； (3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？ 27．（四川凉山·统考中考真题）阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝ 材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值． 解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m＋n＝1，mn＝－1， 则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝；x1x2＝． 类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值． 思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值． 参考答案 1．A 【分析】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案． 解：∵一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， 故选：A. 【点拨】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键． 2．B 【分析】根据题意，令y1+y2＝1，若方程有解，则称函数y1和y2是“和谐函数”，若无解，则称函数y1和y2不是“和谐函数”． 解：A、令y1+y2＝1， 则x2+2x﹣x+1＝1， 整理得：x2+x＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣1， ∴函数y1和y2是“和谐函数”，故A不符合题意； B、令y1+y2＝1， 则+x+1＝1， 整理得：x2+1＝0， 此方程无解， ∴函数y1和y2不是“和谐函数”，故B符合题意； C、令y1+y2＝1， 则﹣﹣x﹣1＝1， 整理得：x2+2x+1＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1， ∴函数y1和y2是“和谐函数”，故C不符合题意； D、令y1+y2＝1， 则x2+2x﹣x﹣1＝1， 整理得：x2+x﹣2＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣2， ∴函数y1和y2是“和谐函数”，故D不符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查了解一元二次方程、分式方程，根据题意令y1+y2＝1，然后进行求解是解题的关键． 3．A 【分析】结合根与系数的关系以及解出方程进行分类讨论即可得出答案． 解：∵， ∴， ,则两根为：3或-1， 当时，， 当时，， 故选：A． 【点拨】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键． 4．A 【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可． 解：解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根, ∴, ∴ ∵是方程的两个实数根, ∵， 又 ∴ 把代入整理得, 解得, 故选A 【点拨】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合，找出关于m的一元二次方程． 5．A 【分析】先计算根的判别式，再根据数轴上点的位置确定△的正负，即可判断． 解：由数轴可知，且，则， ∵△=，， ∴△＞0， 故选：A． 【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式和数轴上表示数，解题关键是求出根的判别式，利用数轴提供的信息进行判断． 6．A 【分析】先计算判别式，再根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案． 解：△=[-（k-3）]2-4（-k+1） =k2-6k+9+4k-4 =（k-1）2+4， ∵（k-1）2≥0， ∴（k-1）2+4≥4， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点拨】本题考查的是根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 7．C 【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋n=−3，mn=−9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m−9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可． 解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根， ∴m＋n＝−3，mn＝−9， ∵m是x2＋3x−9＝0的一个根， ∴m2＋3m−9＝0， ∴m2＋3m＝9， ∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9−3＝6． 故选：C． 【点拨】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1＋x2=−，x1•x2=． 8．B 【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得，，再代入通分计算即可求解． 解：∵方程的两根分别为，， ∴，， ∴， ∴=====-1． 故选B． 【点拨】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及根与系数的关系是解决问题的关键． 9．D 【分析】先根据已知可得，，a+b=3，然后再对变形，最后代入求解即可． 解：∵已知，是方程的两根 ∴，，a+b=3 ∴=0+5+30+1=36． 故选D． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系以及整式的变形，根据需要对整式灵活变形成为解答本题的关键． 10．A 【分析】设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字，即可得出关于x的一元二次方程． 解：该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x， 依题意得：． 故选：A． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11．C 【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决． 解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0， ∴． 整理得，． ∵方程有两个实数根， ∴判别式且． 由得，， 解得，． ∴k的取值范围是且． 故选：C 【点拨】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视． 12．C 【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值． 解：由图2可知，当P点位于B点时，，即， 当P点位于E点时，，即，则， ∵, ∴, 即, ∵ ∴, ∵点为的中点， ∴, 故选：C． 【点拨】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法． 13． 【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解． 解：移项得：， ∴， ∴或， 解得：， 故答案为：． 【点拨】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键． 14．10 【分析】由根与系数的关系，得到，，然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答案． 解：根据题意， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴； 故答案为：10． 【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握得到，． 15． 【分析】，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案． 解：∵是方程的根 ∴， ∴ ∴k=-4 故答案是-4． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的问题是本题的解题关键． 16．k＜2且k≠1 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 解：∵关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k－1≠0且∆=（－2）2－4（k－1）＞0， 解得：k＜2且k≠1． 故答案为：k＜2且k≠1． 【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式＝b2﹣4ac：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当＝0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根． 17．6 【分析】根据a－b2＝4得出，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案． 解：∵a－b2＝4 ∴ 将代入a2－3b2＋a－14中 得： ∵ ∴ 当a=4时，取得最小值为6 ∴的最小值为6 ∵ ∴的最小值6 故答案为：6． 【点拨】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解． 18．2 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根据＝x12+2x2﹣1，推出＝4﹣k，据此求解即可． 解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0， ∴x12＝2x1﹣k+1， ∵＝x12+2x2﹣1， ∴＝2（x1+x2）﹣k， ∴＝4﹣k， 解得k＝2或k＝5， 当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意； 当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意； ∴k＝2， 故答案为：2． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 19． 【分析】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是． 解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， 由公式法解一元二次方程可得， 根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是， 故答案为：． 【点拨】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键． 20．30% 【分析】由题意：2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可． 解：设新注册用户数的年平均增长率为x（），则2020年新注册用户数为100（1+x）万，2021年的新注册用户数为100（1+x）2万户， 依题意得100（1+x）2=169， 解得：x1=0.3，x2=-2.3（不合题意舍去）， ∴x=0.3=30%， 故答案为：30%． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．16 【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积． 解：设小正方形的边长为， 矩形的长为，宽为， 由图1可得：， 整理得：， ，， ， ， 矩形的面积为． 故答案为：16． 【点拨】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，求出小正方形的边长是解题的关键． 22．(1)见分析 (2) 【分析】（1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值． 解：（1）， ∵， ∴， 该方程总有两个不相等的实数根； （2）方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴，即． 【点拨】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 23．(1)k；(2)k=3 【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． （1）解：∵一元二次方程有实数根． ∴∆0，即32-4（k-2）0， 解得k （2）∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得k=3． 【点拨】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键． 24．4m 【分析】根据题意设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为(50−2x)m，宽为(38−2x)m，再根据题目中的等量关系建立方程即可得解． 解：设道路的宽应为x米，由题意得 (50-2x)×(38-2x)=1260 解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去) 答：道路的宽应为4m． 【点拨】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是能根据题目中的等量关系建立方程． 25．(1)20% (2)18个 【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可； （2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可． （1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为， 根据题意得：， 解这个方程得，，， 经检验，符合本题要求． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%． （2）设该市在2022年可以改造个老旧小区， 由题意得：， 解得． ∵为正整数，∴最多可以改造18个小区． 答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区． 【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式． 26．(1)4月份再生纸的产量为500吨 (2)的值20 (3)6月份每吨再生纸的利润是1500元 【分析】（1）设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可； （2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可； （3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可； （1）解：设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：4月份再生纸的产量为500吨； （2）解：由题意得：， 解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴的值20； （3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨， ∴ 答：6月份每吨再生纸的利润是1500元． 【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键． 27．(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可； （2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可； （3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可． （1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2， ∴，． 故答案为：；． （2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n， ∴，， ∴ （3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0， ∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根， ∴，， ∵ ∴或， 当时，， 当时，， 综上分析可知，的值为或． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键．
专题2.29 一元二次方程（中考真题专练） （巩固篇） 一、单选题 1．（江苏淮安·统考中考真题）若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ） A． B． C．0 D．1 2．（山东枣庄·统考中考真题）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“和谐函数”．则下列函数y1和y2不是“和谐函数”的是（ ） A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 B．y1＝和y2＝x+1 C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 3．（内蒙古包头·中考真题）若是方程的两个实数根，则的值为（ ） A．3或 B．或9 C．3或 D．或6 4．（湖北武汉·统考中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ） A．2或6 B．2或8 C．2 D．6 5．（山东烟台·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．（内蒙古通辽·统考中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 7．（四川宜宾·统考中考真题）若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（ ） A．4 B．5 C．6 D．12 8．（四川南充·统考中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为（ ） A． B． C． D． 9．（湖北武汉·统考中考真题）已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ） A．-25 B．-24 C．35 D．36 10．（辽宁阜新·统考中考真题）在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 11．（湖北荆州·统考中考真题）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A．且 B． C．且 D． 12．（河南·统考中考真题）如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 13．（云南·中考真题）方程2x2+1=3x的解为________． 14．（四川眉山·中考真题）设，是方程的两个实数根，则的值为________． 15．（四川巴中·统考中考真题）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为________． 16．（山东东营·统考中考真题）关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_______． 17．（四川凉山·统考中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________． 18．（四川内江·统考中考真题）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____． 19．（四川成都·统考中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________． 20．（浙江杭州·统考中考真题）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则_________（用百分数表示）． 21．（山东济南·统考中考真题）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是______． 三、解答题 22．（湖北十堰·统考中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 23．（四川南充·中考真题）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 24．（江苏泰州·统考中考真题）如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？ 25．（四川眉山·中考真题）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； (2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？ 26．（湖北宜昌·统考中考真题）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨． (1)求4月份再生纸的产量； (2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值； (3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？ 27．（四川凉山·统考中考真题）阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝ 材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值． 解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m＋n＝1，mn＝－1， 则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝；x1x2＝． 类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值． 思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值． 参考答案 1．A 【分析】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案． 解：∵一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， 故选：A. 【点拨】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键． 2．B 【分析】根据题意，令y1+y2＝1，若方程有解，则称函数y1和y2是“和谐函数”，若无解，则称函数y1和y2不是“和谐函数”． 解：A、令y1+y2＝1， 则x2+2x﹣x+1＝1， 整理得：x2+x＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣1， ∴函数y1和y2是“和谐函数”，故A不符合题意； B、令y1+y2＝1， 则+x+1＝1， 整理得：x2+1＝0， 此方程无解， ∴函数y1和y2不是“和谐函数”，故B符合题意； C、令y1+y2＝1， 则﹣﹣x﹣1＝1， 整理得：x2+2x+1＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1， ∴函数y1和y2是“和谐函数”，故C不符合题意； D、令y1+y2＝1， 则x2+2x﹣x﹣1＝1， 整理得：x2+x﹣2＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣2， ∴函数y1和y2是“和谐函数”，故D不符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查了解一元二次方程、分式方程，根据题意令y1+y2＝1，然后进行求解是解题的关键． 3．A 【分析】结合根与系数的关系以及解出方程进行分类讨论即可得出答案． 解：∵， ∴， ,则两根为：3或-1， 当时，， 当时，， 故选：A． 【点拨】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键． 4．A 【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可． 解：解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根, ∴, ∴ ∵是方程的两个实数根, ∵， 又 ∴ 把代入整理得, 解得, 故选A 【点拨】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合，找出关于m的一元二次方程． 5．A 【分析】先计算根的判别式，再根据数轴上点的位置确定△的正负，即可判断． 解：由数轴可知，且，则， ∵△=，， ∴△＞0， 故选：A． 【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式和数轴上表示数，解题关键是求出根的判别式，利用数轴提供的信息进行判断． 6．A 【分析】先计算判别式，再根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案． 解：△=[-（k-3）]2-4（-k+1） =k2-6k+9+4k-4 =（k-1）2+4， ∵（k-1）2≥0， ∴（k-1）2+4≥4， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点拨】本题考查的是根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 7．C 【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋n=−3，mn=−9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m−9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可． 解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根， ∴m＋n＝−3，mn＝−9， ∵m是x2＋3x−9＝0的一个根， ∴m2＋3m−9＝0， ∴m2＋3m＝9， ∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9−3＝6． 故选：C． 【点拨】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1＋x2=−，x1•x2=． 8．B 【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得，，再代入通分计算即可求解． 解：∵方程的两根分别为，， ∴，， ∴， ∴=====-1． 故选B． 【点拨】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及根与系数的关系是解决问题的关键． 9．D 【分析】先根据已知可得，，a+b=3，然后再对变形，最后代入求解即可． 解：∵已知，是方程的两根 ∴，，a+b=3 ∴=0+5+30+1=36． 故选D． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系以及整式的变形，根据需要对整式灵活变形成为解答本题的关键． 10．A 【分析】设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字，即可得出关于x的一元二次方程． 解：该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x， 依题意得：． 故选：A． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11．C 【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决． 解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0， ∴． 整理得，． ∵方程有两个实数根， ∴判别式且． 由得，， 解得，． ∴k的取值范围是且． 故选：C 【点拨】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视． 12．C 【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值． 解：由图2可知，当P点位于B点时，，即， 当P点位于E点时，，即，则， ∵, ∴, 即, ∵ ∴, ∵点为的中点， ∴, 故选：C． 【点拨】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法． 13． 【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解． 解：移项得：， ∴， ∴或， 解得：， 故答案为：． 【点拨】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键． 14．10 【分析】由根与系数的关系，得到，，然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答案． 解：根据题意， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴； 故答案为：10． 【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握得到，． 15． 【分析】，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案． 解：∵是方程的根 ∴， ∴ ∴k=-4 故答案是-4． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的问题是本题的解题关键． 16．k＜2且k≠1 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 解：∵关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k－1≠0且∆=（－2）2－4（k－1）＞0， 解得：k＜2且k≠1． 故答案为：k＜2且k≠1． 【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式＝b2﹣4ac：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当＝0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根． 17．6 【分析】根据a－b2＝4得出，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案． 解：∵a－b2＝4 ∴ 将代入a2－3b2＋a－14中 得： ∵ ∴ 当a=4时，取得最小值为6 ∴的最小值为6 ∵ ∴的最小值6 故答案为：6． 【点拨】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解． 18．2 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根据＝x12+2x2﹣1，推出＝4﹣k，据此求解即可． 解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0， ∴x12＝2x1﹣k+1， ∵＝x12+2x2﹣1， ∴＝2（x1+x2）﹣k， ∴＝4﹣k， 解得k＝2或k＝5， 当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意； 当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意； ∴k＝2， 故答案为：2． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 19． 【分析】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是． 解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， 由公式法解一元二次方程可得， 根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是， 故答案为：． 【点拨】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键． 20．30% 【分析】由题意：2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可． 解：设新注册用户数的年平均增长率为x（），则2020年新注册用户数为100（1+x）万，2021年的新注册用户数为100（1+x）2万户， 依题意得100（1+x）2=169， 解得：x1=0.3，x2=-2.3（不合题意舍去）， ∴x=0.3=30%， 故答案为：30%． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．16 【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积． 解：设小正方形的边长为， 矩形的长为，宽为， 由图1可得：， 整理得：， ，， ， ， 矩形的面积为． 故答案为：16． 【点拨】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，求出小正方形的边长是解题的关键． 22．(1)见分析 (2) 【分析】（1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值． 解：（1）， ∵， ∴， 该方程总有两个不相等的实数根； （2）方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴，即． 【点拨】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 23．(1)k；(2)k=3 【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． （1）解：∵一元二次方程有实数根． ∴∆0，即32-4（k-2）0， 解得k （2）∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得k=3． 【点拨】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键． 24．4m 【分析】根据题意设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为(50−2x)m，宽为(38−2x)m，再根据题目中的等量关系建立方程即可得解． 解：设道路的宽应为x米，由题意得 (50-2x)×(38-2x)=1260 解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去) 答：道路的宽应为4m． 【点拨】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是能根据题目中的等量关系建立方程． 25．(1)20% (2)18个 【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可； （2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可． （1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为， 根据题意得：， 解这个方程得，，， 经检验，符合本题要求． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%． （2）设该市在2022年可以改造个老旧小区， 由题意得：， 解得． ∵为正整数，∴最多可以改造18个小区． 答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区． 【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式． 26．(1)4月份再生纸的产量为500吨 (2)的值20 (3)6月份每吨再生纸的利润是1500元 【分析】（1）设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可； （2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可； （3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可； （1）解：设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：4月份再生纸的产量为500吨； （2）解：由题意得：， 解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴的值20； （3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨， ∴ 答：6月份每吨再生纸的利润是1500元． 【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键． 27．(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可； （2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可； （3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可． （1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2， ∴，． 故答案为：；． （2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n， ∴，， ∴ （3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0， ∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根， ∴，， ∵ ∴或， 当时，， 当时，， 综上分析可知，的值为或． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键．
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