2024年湖南省岳阳市岳阳县中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 在、、0、这四个数中，最大的数是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查有理数比较大小，根据负数小于0，0小于正数，两个负数比较，绝对值大的反而小，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴最大的数是；
故选D．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据积的乘方运算法则、完全平方公式、同底数幂的除法运算法则以及合并同类项法则逐项计算判断即可．
【详解】解：A、，该选项计算错误，不符合题意；
B、，该选项计算错误，不符合题意；
C、，该选项计算错误，不符合题意；
D、，该选项计算正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查积的乘方运算、完全平方公式、同底数幂的除法以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解答的关键．
3. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：A、B、C都不是轴对称图形，故不符合题意；
D是轴对称图形，故符合题意．
故选：D．
4. 小明、小华、小亮、小雨4位同学在射箭训练中的平均成绩相同，他们的方差分别是，，，，你认为谁在训练中的发挥更稳定（ ）
A. 小明B. 小华C. 小亮D. 小雨
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
【详解】解：∵小明、小华、小亮、小雨4位同学在射箭训练中的平均成绩相同，他们的方差分别是，，，，
∴，
∴在训练中的发挥更稳定小明，
故选：A．
5. 中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行蠡蠡（da），欣欣家国”为主题，以“益”字为题眼，用“兢兢”之姿生动描摹1400000000中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌． 其中数字1400000000用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【详解】解：1400000000用科学记数法表示为．
故选：B．
6. 已知点，均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数图象的增减性即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
【详解】解：反比例函数中，，
∴反比例函数图象在第二、四象限，如图所示，
∴在每个象限中随的增大而增大，
∵，
∴，
故选： A．
7. 若关于的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的已知数的值．
把看作已知数表示出方程组的解，代入已知不等式求出的范围即可．
【详解】解：方程组，
解得：，
解得：．
故选：A．
8. 2024年1月4日，第22届瓦萨国际滑雪节开幕式在长春净月潭国家森林公园启幕．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点A滑行到点B．若，则这名滑雪运动员水平方向滑行了多少米（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查三角函数的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．根据锐角的余弦可直接进行求解．
【详解】解：如图，由题意可得：，
∴，
∴．
这名滑雪运动员水平方向滑行了．
故选：B．
9. 如图，在平行四边形中，点在上，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积计算、平行四边形性质、菱形的判定等知识，根据圆及平行四边形的性质，可得四边形为一组对角为的特殊的菱形，对角线互相垂直，即可得出圆的半径的长，阴影部分面积可由扇形面积减去三角形面积求得，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：连接，与交于点，如图：
∵点在上，
∵在平行四边形中，
∴四边形菱形，
又∵
即为等边三角形，
同理
∴，
∴
在中，
，
，
故选：B．
10. 如图是二次函数的图象的一部分，给出下列命题：
①；②方程的两根分别为，；③当时，；④；其中正确的命题是（ ）
A. ②③B. ①②C. ①②③D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是抛物线的性质及对称性，利用时，，可对①进行判断；利用对称性确定抛物线与轴的另一个交点坐标为，则根据抛物线与轴的交点问题可对②进行判断；利用抛物线在轴下方对应的自变量的范围可对③进行判断；根据，，进而可判断④．掌握二次函数的性质及其与一元二次方程的关系是关键．
【详解】解：∵时，，
∴，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与轴的一个交点坐标为，
而抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
∴方程的两根分别为和1，所以②正确；
当时，，所以③错误；
∵抛物线与轴的一个交点坐标为，
∴，
∵，
∴，所以④正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11. 要使根式有意义，则的取值范围是__________．
【答案】且
【解析】
【分析】此题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据两者有意义得到，由此得到的取值范围．
详解】解：由题意得，
∴且，
故答案为：且．
12. 若点P在y轴的左侧，到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点P的坐标为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查点的坐标，根据题意，判断出点P所在的象限，再根据点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，判断即可．
【详解】解：∵点P在y轴左侧，
∴点P在第二象限或第三象限，
∵点P到x轴的距离是3，到y轴的距离为2，
∴点P的坐标是或，
故答案为：或．
13. 分解因式： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键熟练掌握因式分解方法，先提公因式，然后再用完全平方公式进行分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
14. 如图，在中，点M，N分别在边和上，且．若四边形的面积是面积的3倍，则________．

【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，推出，据此计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵四边形的面积是面积的3倍，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，已知的三个顶点都在上，，则的度数为______°．

【答案】50
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，同弧所对的圆周角度数等于圆心角的一半，连接，计算的度数，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，

∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：50．
16. 从，，，，中，随机取一个数，取到无理数的概率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，无理数的定义，直接用无理数的个数除以数的总数即可得到答案．
【详解】解；，
在数，，，，中，无理数有，，共2个，
∴从，，，，中，随机取一个数，取到无理数的概率为，
故答案为；．
17. 对于实数x，用表示不超过x的最大整数，记．如，，若，，则代数式________．（要求答案为具体的数值）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合计算，先估算出，再根据新定义得到，，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
18. 如图所示，中，，点在上，以为圆心的半圆分别与相切于两点，且的长度为，则图中的阴影部分面积为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】连接，如图所示，根据题意得到，从而有，，由的长度为，得到半径为，在中，，则，由即可得到图中的阴影部分面积为．
【详解】解：连接，如图所示：
以为圆心的半圆分别与相切于两点，
，，，
，
，
，
，，
，
，，
的长度为，
，
在中，，则，
，
，，
，即图中的阴影部分面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查求不规则图形面积，涉及切线长定理、三角形全等的判定与性质、弧长公式、扇形面积公式、含的直角三角形性质等知识，熟练掌握不规则图形面积的求解方法是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算：
【答案】0
【解析】
【分析】利用有理数的乘方运算法则、负整数指数幂运算法则、特殊角的三角函数值、绝对值意义化简原式，再加减运算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及有理数的乘方、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值意义、二次根式的加减，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．
20. 如图，在中，点，分别在，上，，分别交，于点，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先利用平行四边形的性质得，，又然后，从而可得，由平行四边形的判定即可得出结论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
又∵
∴四边形是平行四边形．
21. 反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象经过点A（1，3）、B（3，m）．
（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．
【答案】(1); B点坐标为（3，1）；(2) P点坐标为（，0）．
【解析】
【分析】（1）先把A点坐标代入y= 求出k得到反比例函数解析式；然后把B（3，m）代入反比例函数解析式求出m得到B点坐标；
（2）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，﹣3），利用两点之间线段最短可判断此时此时PA+PB的值最小，再利用待定系数法求出直线BA′的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标．
【详解】（1）把A（1，3）代入y=得k=1×3=3，
∴反比例函数解析式为y=；
把B（3，m）代入y=得3m=3，解得m=1，
∴B点坐标为（3，1）；
（2）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，﹣3），
∵PA+PB=PA′+PB=BA′，
∴此时PA+PB的值最小，
设直线BA′的解析式为y=mx+n，
把A′（1，﹣3），B（3，1）代入得，解得，
∴直线BA′的解析式为y=2x﹣5，
当y=0时，2x﹣5=0，解得x=，
∴P点坐标为（，0）．
【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、最短路径问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键 ．
22. 4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某校响应号召，开展了“读红色经典，传革命精神”为主题的读书活动，学校对本校学生五月份阅读该主题相关书籍的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取的学生的读书量（单位：本）进行了统计．根据调查结果，绘制了不完整的统计表和扇形统计图．
（1）本次调查共抽取学生多少人？
（2）表中a的值为 ，扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数为 ．
（3）已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数．
【答案】（1）100 （2）20；108°
（3）1950人
【解析】
【分析】（1）由2本人数及其所占百分比可得总人数；
（2）用总人数分别减去其它读书量人数即可得出a的值；用360°乘“3本”所占百分比即可得出扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数；
（3）总人数乘以样本中“读书量”不少于3本的学生人数所占百分比即可．
小问1详解】
解：抽样调查的学生总数为：25÷25%＝100（人），
答：本次调查共抽取学生100人；
【小问2详解】
a＝100﹣10﹣25﹣30﹣15＝20；
扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数为：360°×＝108°，
故答案为：20；108°；
【小问3详解】
3000×＝1950（人），
答：估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数为1950人．
【点睛】本题考查了扇形统计图的综合运用以及用样本估计总体，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23. 建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【答案】（1）20% （2）18个
【解析】
【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；
（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设该市改造老旧小区投入资金年平均增长率为，
根据题意得：，
解这个方程得，，，
经检验，符合本题要求．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
【小问2详解】
设该市在2022年可以改造个老旧小区，
由题意得：，
解得．
∵为正整数，∴最多可以改造18个小区．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．
24. 如图，是的直径，过圆上点的直线交延长线于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】（1）利用圆周角定理得到，通过角的转换证明，即可证明是的切线；
（2）由正切函数的定义得，证明，得到，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，又，
∴，
∴，即，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，正切函数的定义，圆周角定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
25.
（1）如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：．
（2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值．
（3）如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．
【答案】（1）证明见详解
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用，证明，利用相似比即可证明此问；
（2）由（1）得，，得出是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 的值；
（3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长交于点M，连接，作，垂足为N．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的长．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
【小问2详解】
解：由（1）得，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【小问3详解】
解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N．
在中，．
∵，
∴由（1）得，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∴．在中，．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．
26. 如图，抛物线与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．
（1）请直接写出点A，B，C的坐标；
（2）若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值；
（3）点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2），此时；
（3）存在，或或
【解析】
【分析】（1）分别将，代入求解即可；
（2）方法一：连接，，通过表示出函数关系，利用函数的性质进行求解；方法二：作于Q，交于点D，，求得函数关系式，进行求解即可；
（3）分两种情况，当四边形为平行四边形时或当四边形为平行四边形时，利用平行四边形的性质进行求解即可．
【小问1详解】
解：当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴；
【小问2详解】
方法一：如图1，
连接，
设点，
∴，
∴
∴当时，，此时；
方法二：如图2，
作于Q，交于点D，设解析式为：
∵，则，解得
∴直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴
∴当时，，此时；
【小问3详解】
如图3，
当四边形为平行四边形时，，
∵抛物线对称轴为直线：，
∴点坐标：
如图4，当四边形为平行四边形时，
作于G，
∴，
当时，，
∴，，
∴，，
综上所述：或或．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数与面积问题，二次函数与特殊的平行四边形，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
读书量
1本
2本
3本
4本
5本
人数
10人
25人
30人
a
15人