2023-2024学年广东省江门一中启超学院创新班高一（下）月考数学试卷（3月份）（一）(含解析）

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这是一份2023-2024学年广东省江门一中启超学院创新班高一（下）月考数学试卷（3月份）（一）(含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|−1≤x<5,x∈Z}，B={−1,1,3,5}，则A⋂B=( )
A. ⌀B. {−1,1,3}
C. {−1,1,3,5}D. {−1,0,1,2,3,4,5}
2.命题“∃x0∈R，x02+3x0−2=0”的否定为( )
A. ∀x∈R，x2+3x−2=0B. ∀x∈R，x2+3x−2≠0
C. ∃x1∈R，x12+3x12−2=0D. ∃x1∈R，x12+3x12−2≠0
3.设a、b、c为实数，且aA. 1a<1bB. ac2abD. |a|>|b|
4.如图所示，两个大圆和一个小圆分别表示集合M、S、P，它们是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A. (M⋂P)⋂S
B. (M⋂P)⋃S
C. (M⋂S)⋂(∁SP)
D. (M⋂P)⋃(∁VS)
5.x2+4x2+1的最小值等于( )
A. 3B. 52C. 2D. 无最小值
6.定义运算a⊕b=a(a≤b)b(a>b)，则函数f(x)=(x2−3x)⊕4的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
7.定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减，则不等式f(a−2)>f(1)的解集是( )
A. (−∞,3)B. (3,+∞)C. (−1,3)D. (1,3)
8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数.例如：[−3.5]=−4，[2.1]=2，已知函数f(x)=[x]x，则下列选项中，正确的是( )
A. f(−2)=−f(2)B. f(x)的最大值为1
C. f(x)的最小值为0D. f(x)在(0,+∞)上的值域为[0,1]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数f(x)=1,x为有理数0,x为无理数，称为狄利克雷函数，则关于f(x)，下列说法正确的是( )
A. f(x)的值域为[0,1]B. f(x)的定义域为R
C. ∀x∈R，f(f(x))=1D. f(x)为偶函数
10.已知关于x的不等式x2+bx+c≥0的解集为{x|x≤−2或x≥3}，则( )
A. b=−1
B. c=−6
C. 不等式cx2−bx+1<0的解集是(−13,12)
D. 不等式x−3x+2≥0与x2+bx+c≥0的解集相同
11.设函数f(x)=(x2−6x+c1)(x2−6x+c2)，集合M={x|f(x)=0}={x1,x2,x3}⊆N*，设c1≥c2，则下列说法正确的是( )
A. 3∈MB. c1一定等于9
C. c1可能等于8D. c2=5时，M={1,3,5}
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设x∈R，则“−313.函数f(x)=ax2−2x−1在区间(1,+∞)上单调递增，则a的取值范围是______．
14.设集合A=[0,12),B=[12,1]，函数f(x)=x+12,x∈A2(1−x),x∈B．
(1)f[f(56)]= (1) ；
(2)若f[f(t)]∈A，则t的取值范围是 (2) ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=2x+bx+a，x∈[−1,1]，满足条件f(0)=52，f(−1)=3．
(1)求f(x)的解析式；
(2)用单调性的定义证明f(x)在x∈[−1,1]上的单调性，并求f(x)在x∈[−1,1]上的最值．
16.(本小题15分)
设函数f(x)=ax2+(b+2)x−4(a≠0)，f(2)=2．
(1)若a>0，b>0，求1a+2b的最小值；
(2)若f(x)≤2x−1在R上恒成立，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p(x)(万元)，当月产量不足70台时，p(x)=12x2+40x(万元)；当月产量不小于70台时，p(x)=101x+6400x−2060(万元).若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完．
(1)求月利润y(万元)关于月产量x(台)的函数关系式；
(2)月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2−2x．
(1)求函数f(x)的解析式并画出其图像；
(2)设函数f(x)在[−2,a]，(a>−2)上的最大值为g(a)，求g(a)．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=x⋅|x−a|+bx.(a,b∈R)
(Ⅰ)a=b=0时，
(1)求不等式f(x)<4的解集；
(2)若对任意的x≥0，f(x+m)−m2f(x)<0，求实数m取值范围；
(Ⅱ)若存在实数a，对任意的x∈[0,m]都有f(x)≤(b−1)x+4恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为A={x|−1≤x<5,x∈Z}={−1,0,1,2,3,4}，
B={−1,1,3,5}，
所以A⋂B={−1,1,3}．
故选：B．
先化简集合A，再根据交集的定义即可求解．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：命题“∃x0∈R，x02+3x0−2=0”为特称量词命题，
其否定为：∀x∈R，x2+3x−2≠0．
故选：B．
根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵a若c2=0，则B不正确．
ba>ab等价于b2>a2，由a由a−b>0，则|a|>|b|，所以D正确．
故选：D．
由a本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由图知，首先阴影部分是M∩S的子集，
其次不含集合P中的元素且在集合P的补集中，
可得阴影部分所表示的集合是(M⋂S)⋂(∁SP)或(M⋂S)⋂(∁VP)．
故选：C．
题图中的阴影部分是M∩S的子集，但该子集中不含集合P中的元素，且该子集包含于集合P的补集，用关系式表示出来即可．
本题考查集合的运算、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：因为x2≥0，则x2+1≥1，
所以x2+4x2+1=(x2+1)+4x2+1−1≥2 (x2+1)⋅4x2+1−1=3，
当且仅当x2+1=4x2+1，即x2=1，x=±1时取等号，
所以x2+4x2+1的最小值等于3．
故选：A．
利用基本不等式计算可得．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：因为x2−3x−4=(x−4)(x+1)>0，可得x>4或x=−1；
故函数f(x)=(x2−3x)⊕4=x2−3x,−1≤x≤44,x>4或x<−1，
故函数图象中间部分是二次函数的一部分，两边是y=4，
且分界点为x=4和x=−1．
符合条件的大致图象为B．
故选：B．
根据定义求得函数解析式，进而判断图象即可．
本题主要考查函数图象的判断，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减，
不等式f(a−2)>f(1)等价于f(|a−2|)>f(1)，等价于|a−2|<1，
即−1f(1)的解集是(1,3)．
故选：D．
根据偶函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：对于A，f(−2)=[−2]−2=−2−2=1，f(2)=[2]2=22=1，所以f(−2)=f(2)，即A错误；
由高斯函数的定义可得：
当−3≤x<−2时，[x]=−3，则[x]x=−3x；
当−2≤x<−1时，[x]=−2，则[x]x=−2x；
当−1≤x<0时，[x]=−1，则[x]x=−1x；
当0≤x<1时，[x]=0，则[x]x=0；
当1≤x<2时，[x]=1，则[x]x=1x；
当2≤x<3时，[x]=2，则[x]x=2x；
当3≤x<4时，[x]=3，则[x]x=3x，
所以当x≥1时，f(x)>0，且每段函数都是单调递减，每段的左端点的函数值都为1；
当x<0时，f(x)>0，且每段函数都是单调递增，每段的左端点的函数值都为1，
绘制函数图象如图所示，
对于B，由图可知，当−1≤x<0，f(x)没有最大值，即B错误；
对于C，由图可知，当0≤x<1，f(x)的最小值为0，即C正确；
对于D，由图可知，f(x)在(0,+∞)上的值域为(12,1]⋃{0}，即D错误．
故选：C．
先进行分段化简函数，并画出函数图象，再结合函数的图象判断最值情况，即可．
本题主要考查分段函数的图象与性质，熟练掌握分段函数图象的画法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：因为函数f(x)=1,x为有理数0,x为无理数，所以函数的定义域为R，值域为{0,1}，故A错误，B正确；
因为f(x)=0或f(x)=1且0与1均为有理数，所以f(f(x))=f(0)=1或f(f(x))=f(1)=1，故C正确；
函数f(−x)=1,−x为有理数0,−x为无理数=1,x为有理数0,x为无理数=f(x)，故f(x)为偶函数，D正确．
故选：BCD．
根据函数解析式逐一判断即可．
本题考查分段函数的应用，属于中档题．
10.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，熟练掌握根与系数的关系，分式不等式的解法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
依题意−2和3是方程x2+bx+c=0的两根，利用韦达定理求出b、c的值，再解选项中的一元二次不等式和分式不等式即可．
【解答】
解：对于选项A和B，由题意知，−2和3是方程x2+bx+c=0的两根，
所以−2+3=−b−2×3=c，解得b=−1c=−6，即A正确，B正确；
对于选项C，不等式cx2−bx+1<0可化为−6x2+x+1<0，
即6x2−x−1>0，
所以(3x+1)(2x−1)>0，
解得x>12或x<−13，
所以不等式cx2−bx+1<0的解集为(−∞,−13)∪(12,+∞)，即C错误；
对于选项D，不等式x−3x+2≥0等价于(x−3)(x+2)≥0x+2≠0，
解得x≥3或x<−2，
所以不等式x−3x+2≥0的解集为{x|x≥3或x<−2}，与x2+bx+c≥0的解集不相同，即D错误．
故选：AB．
11.【答案】ABD
【解析】解：令f(x)=(x2−6x+c1)(x2−6x+c2)=0，则x2−6x+c1=0,x2−6x+c2=0，
因为解集为正整数解集{x1,x2,x3}，而6=1+5=2+4=3+3，
∴当c=5时，x=1，x=5；当c=8时，x=2，x=4；
当c=9时，x=3，符合正整数解集．
因为只有3个正整数解，又c1≥c2，所以c1=9
对于A，3∈M，A对；
对于B，c1=9，B对；
对于C，由B选项可知，C错；
对于D，c2=5时，M={1,3,5}，D对．
故选：ABD．
由解集为正整数解集{x1,x2,x3}可知c=5，c=8，c=9，再结合c1≥c2，即可判断各选项．
本题考查元素与集合关系的应用，考查学生逻辑推理，属于中档题．
12.【答案】必要不充分
【解析】解：解不等式|x|<2可得−2因为“−2“−3所以“−3故答案为：必要不充分．
先解不等式|x|<2，再根据充要条件的定义即可判断．
本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是基础题．
13.【答案】[1,+∞)
【解析】解：因为f(x)=ax2−2x−1，
当a=0时f(x)=−2x−1函数在定义域R上单调递减，不符合题意，
当a<0时，函数f(x)=ax2−2x−1开口向下，不可能在(1,+∞)上单调递增，不符合题意，
当a>0时函数f(x)=ax2−2x−1开口向上，对称轴为x=1a，要使函数在区间(1,+∞)上单调递增，
所以a>01a≤1，解得a≥1，所以a的取值范围是[1,+∞)．
故答案为：[1,+∞)．
分a=0，a<0，a>0三种情况讨论，结合二次函数的性质得到不等式组，解得即可．
本题考查了二次函数的图象性质，涉及到分类讨论，属于基础题．
14.【答案】56；(14,58)
【解析】解：(1)根据题意，f(x)=x+12,x∈A2(1−x),x∈B，即f(x)=x+12,0≤x<122(1−x),12≤x≤1，
则f(56)=2(1−56)=13，
则f[f(56)]=f(13)=13+12=56；
(2)根据题意，分2种情况讨论：
①、当t∈A时，f(t)=t+12，则有12≤f(t)<1，此时f[f(t)]=2(1−f(t))=2−2(t+12)=1−2t，
若f[f(t)]∈A，即0≤1−2t<12，解可得：14此时t的取值范围为(14,12]；
②、当t∈B时，f(t)=2(1−t)，则有0≤f(t)=2(1−t)≤1，
其中当34≤t≤1时，0≤f(t)≤12，此时f[f(t)]=f(t)+12=52−2t，若f[f(t)]∈A，即0≤52−2t≤12，解可得：1≤t≤54，舍去
当12≤t<34时，12此时t的取值为[12,58)；
综合可得：t的取值范围为(14,58).
(1)根据题意，由函数的解析式分析可得f(56)的值，进而计算可得答案；
(2)根据题意，按t的取值范围分情况讨论，分析f(t)的取值范围，求出f[f(t)]的解析式，据此分析f[f(t)]∈A的解集，即可得答案．
本题考查分段函数的应用，涉及函数值的计算，属于基础题
15.【答案】解：(1)因为f(x)=2x+bx+a且f(0)=52，f(−1)=3，
所以ba=52−2+b−1+a=3，解得a=2b=5，所以f(x)=2x+5x+2；
(2)f(x)在x∈[−1,1]上单调递减，证明如下：
由f(x)=2x+5x+2=2(x+2)+1x+2=2+1x+2，
设任意的x1，x2∈[−1,1]且x1则f(x1)−f(x2)=2+1x1+2−(2+1x2+2)=1x1+2−1x2+2
=(x2+2)−(x1+2)(x1+2)(x2+2)=x2−x1(x1+2)(x2+2)，
因为x1，x2∈[−1,1]且x10，x1+2>0，x2+2>0，
所以f(x1)−f(x2)>0，则f(x)在x∈[−1,1]上单调递减，
所以f(x)max=f(−1)=3，f(x)min=f(1)=73．
【解析】(1)根据f(0)=52，f(−1)=3代入得到方程组，解得即可；
(2)利用定义法证明，再根据单调性求出函数的最值．
本题主要考查了待定系数法求解函数解析式，还考查了函数单调性的定义及单调性在函数最值求解中的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)因为f(x)=ax2+(b+2)x−4(a≠0)且f(2)=2，
所以f(2)=4a+2(b+2)−4=2，即2a+b=1，
又a>0，b>0，
所以1a+2b=(1a+2b)(2a+b)=2+2+ba+4ab≥4+2 ba⋅4ab=8，
当且仅当ba=4ab，即b=12，a=14时取等号，
即1a+2b的最小值为8．
(2)因为f(x)≤2x−1在R上恒成立，
即ax2+(b+2)x−4≤2x−1在R上恒成立，
又2a+b=1，
所以ax2+(1−2a)x−3≤0在R上恒成立，
因为a≠0，所以a<0Δ=(1−2a)2+12a≤0，
解得−2− 32≤a≤−2+ 32，
即实数a的取值范围为[−2− 32,−2+ 32]．
【解析】(1)由f(2)=2可得2a+b=1，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；
(2)依题意可得ax2+(1−2a)x−3≤0在R上恒成立，即可得到a<0Δ≤0，解得即可．
本题考查了二次函数的性质、利用基本不等式求和的最小值，属于中档题．
17.【答案】解：(1)当0当x≥70时，y=100x−(101x+6400x−2060)−400=1660−(x+6400x).
所以利润y(万元)关于月产量x(台)的函数关系式为
y=−12x2+60x−400,0(2)当0当x=60时，y取得最大值为1400万元；
当x≥70时，y=1660−(x+6400x)≤1660−2 x⋅6400x=1500，
当且仅当x=6400x，即x=80时y取最大值1500．
综上，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，最大月利润为1500万元．
【解析】(1)利用分段讨论法求出利润y(万元)关于月产量x(台)的函数关系式；
(2)利用分段函数分别求出对应函数的最大值，比较即可得出结论．
本题主要考查了函数的实际应用问题，也考查了利用基本不等式求最值是解题的关键，是中档题．
18.【答案】解：(1)由f(x)是定义在R上的奇函数，可得f(−x)=−f(x)，
∵当x≥0时，f(x)=x2−2x，
∴当x<0时，−x>0，
f(−x)=x2+2x=−f(x)，
∴f(x)=−x2−2x；
∴函数f(x)的解析式为f(x)=x2−2x,x≥0−x2−2x,x<0，图象如下：

(2)由图象可知：
当−2x≥0时，令f(x)=x2−2x=1，解得x=1+ 2，
当−1≤a≤1+ 2时，g(a)=1；
当a>1+ 2时，g(a)=f(a)=a2−2a．
所以g(a)=−a2−2a,−21+ 2．
【解析】(1)利用奇函数的定义即可求函数f(x)的解析式，并可以画出图象，
(2)对a进行分类讨论，由图象即可求出函数的最大值．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(I)当a=b=0时，f(x)=x|x|，
(1)由f(x)<4，得x|x|<4，
当x≥0时，x2<4，解得0≤x<2，
当x<0时，−x2<4恒成立，得x<0，
综上所述：x<2，
所以不等式f(x)<4的解集为(−∞,2)；
(2)因为f(x)=x⋅|x|=x2(x≥0)−x2(x<0)，
所以f(x)在R上单调递增，
当m=0时，f(x)<0不恒成立，
当m>0时，由f(x+m)=m2f(x)<0，得f(x+m)所以x+m0，
所以m+1<0且m<0，解得m<−1，
综上，m<−1，即实数m取值范围(−∞,−1)；
(II)由f(x)≤(b−1)x+4，得x|x−a|≤4−x，
当x=0时，0≤4恒成立，当x∈(0,m]时，|x−a|≤4x−1恒成立，所以|4x−1≥0，
所以4 m−1≥0，得0由|x−a|≤4x−1，得x−4x+1≤a≤x+4x−1，
然后当0所以m−4 m+1≤a≤m+4 m−1，
所以存在a满足以上不等式，则m−4 m+1≤m+4 m−1，解得m≤4，此时0当2所以m−4 m+1≤a≤3有解，所以m−4 m+1≤3，解得2综上可得0【解析】(I)(1)分x≥0和x<0两种情况求解即可，(2)先判断函数的单调性，然后分m=0，m>0和m<0三种情况求解；
(II)当x=0时，0≤4恒成立，所以当x∈(0,m]时，|x−a|≤4x−1恒成立，则4 m−1≥0，得0本题考查不等式恒成立问题，通过分离变量，转化为恒成立问题，考查数学的转化能力和计算能力，属难题．

2023-2024学年广东省江门一中启超学院创新班高一（下）月考数学试卷（3月份）（一）(含解析）

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