2023-2024学年广东省茂名市高州市高一（下）月考数学试卷（3月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年广东省茂名市高州市高一（下）月考数学试卷（3月份）(含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知a∈R，若复数z=1+ai1−i为实数，则a的值是( )
A. −1B. 0C. 1D. −1或1
2.在△ABC中，若ac=8，a+c=7，B=π3，则b=( )
A. 25B. 5C. 4D. 5
3.已知复数z=(1−i)(a+i)(a∈R)，则“a<0”是“z的实部小于0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.与向量a=(4,2)垂直的单位向量为( )
A. (2 55, 55)B. (− 55,2 55)或( 55,−2 55)
C. (− 55,−2 55)D. (110,−15)或(−110,15)
5.下列结论正确的是( )
A. AC−BD+CD+BA=AB
B. 若AB=CD，则A，B，C，D四点可以构成平行四边形
C. 若平面向量a与平面向量b相等，则向量a与b是始点与终点都相同的向量
D. 向量a=(2,0)与b=(1,1)可以作为平面内所有向量的一组基底
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2−b2=ac，ac=4，则AB⋅BC=( )
A. 3B. − 3C. 2D. −2
7.若函数f(x)= 3sinx−csx，x∈[−π2,π2]，则函数f(x)值域为( )
A. [−1,1]B. [−2,1]C. [−2, 3]D. [−1, 3]
8.如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点，AG=2GM，过点G的直线分别交直线AB，AC于P，Q两点，AB=xAP(x>0)，AC=yAQ(y>0)，则4x+1y+1的最小值为．( )
A. 34
B. 94
C. 3
D. 9
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是( )
A. (x+yi)+2=(3−4i)+2yi，则x+y=5
B. 3+i>1+i
C. 若z=(1+2i)2，则复数z对应的点位于第四象限
D. 已知复数z满足|z−2i|=3，则z在复平面内对应的点的轨迹为圆
10.已知向量a=(2,1)，b=(−3,1)，则下列说法正确的是( )
A. (a+b)//aB. 向量a在向量b上的投影向量为−12b
C. a与a−b的夹角的余弦值为 55D. 若c=( 55,−2 55)，则a⊥c
11.已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC、AB上的两点，且AE=EB，AD=2DC，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是( )
A. AB⋅CE=−1B. OE+OC=0
C. |OA+OB+OC|= 32D. ED在BC上的投影向量的模为76
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设a∈R，若复数(a−2i)(2+i)在复平面内对应的点位于虚轴上，则a= ______．
13.一艘海轮从A出发，沿北偏东70°的方向航行60( 3−1)nmile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东10°的方向航行120nmile到达海岛C，则AC的长为______nmile．
14.已知i、j为互相垂直的单位向量，a=i−2j，b=i+λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(3,2)，b=(−1,2)，c=(4,1)．
(1)求a+2b−3c；
(2)若(a+kc)//(2b−a)，求实数k的值．
16.(本小题15分)
如图，在△ABC中，D是BC上一点，G是AD上一点，且AGDG=BDCD=2，过点G作直线分别交AB，AC于点E，F．
(1)用向量AB与AC表示AD；
(2)若ABAE=54，求ACAF和EGEF的值．
17.(本小题15分)
已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(b−c)sinC=(b+a)(sinB−sinA)．
(1)求角A的大小；
(2)若a=4，D为BC的中点，△ABC的面积为3 32，求AD的长．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=3x+a3x+1为奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并加以证明；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2−2t)+f(2t2−k)>0恒成立，求实数k的取值范围．
19.(本小题17分)
在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 3(acsC+ccsA)=2bsinB．
(1)求角B的值；
(2)若b=2 3，求a2+c2的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：复数z=1+ai1−i=(1+ai)(1+i)(1−i)(1+i)=1−a+(a+1)i2=1−a2+a+12i为实数，
∴a+12=0，
解得a=−1．
故选：A．
利用复数的运算法则、复数为实数是充要条件即可得出结论．
本题考查了复数的运算法则、复数为实数是充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由余弦定理知，b2=a2+c2−2accsB=(a+c)2−2ac−2accsB=49−2×8−2×8×12=25，
所以b=5．
故选：B．
结合余弦定理与完全平方和公式，进行运算，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：z=(1−i)(a+i)=(a+1)+(1−a)i，
若a<0，则z的实部不一定小于0，若z的实部小于0，则a<−1，可得a<0．
∴“a<0”是“z的实部小于0”的必要不充分条件．
故选：B．
利用复数代数形式的乘法运算化简，然后结合充分必要条件的判定得答案．
本题考查复数的基本概念，考查充分必要条件的判定，是基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查向量垂直的性质，以及单位向量的定义，属于基础题．
设与向量a=(4,2)垂直的单位向量为(a,b)，结合向量垂直以及单位向量的定义，利用坐标运算即可求解．
【解答】
解：设与向量a=(4,2)垂直的单位向量为(a,b)，
则 a2+b2=14a+2b=0，解得a=− 55b=2 55或a= 55b=−2 55．
故选：B．
5.【答案】D
【解析】解：选项A：由已知可得：AC+CD+DB+BA=0≠AB，故A错误，
选项B：若AB=CD，则A，B，C，D四点可以构成平行四边形或者A，B，C，D四点共线，故B错误，
选项C：若平面向量a与平面向量b相等，则始点相同时，终点必须相同，始点不同时终点也不相同，故C错误，
选项D：因为2×1≠0×1，故向量a与向量b不共线，故D正确，
故选：D．
选项A：根据三角形法则化简即可判断，选项B，C，根据相等向量的性质即可判断，选项D，根据向量共线定理即可判断．
本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到向量共线以及相等向量的性质的应用，考查了学生对向量有关概念的理解能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=12，
又因为B∈(0,π)，
所以B=π3，
故AB⋅BC=accs(π−B)=−2．
故选：D．
根据余弦定理可得B=π3，进而根据数量积的定义即可求解．
本题考查了余弦定理，重点考查了数量积的定义，属基础题．
7.【答案】C
【解析】解：函数f(x)= 3sinx−csx
=2( 32sinx−12csx)
=2sin(x−π6)，
当x∈[−π2,π2]时，−2π3≤x−π6≤π3，
所以当x−π6=−π2，即x=−π3时，
f(x)取得最小值为2×(−1)=−2；
当x−π6=π3，即x=π2时，
f(x)取得最大值为2× 32= 3；
所以函数f(x)的值域为[−2, 3].
故选：C．
化函数f(x)= 3sinx−csx为正弦型函数，根据正弦函数的有界性和x的取值范围求出f(x)的最值即可．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
8.【答案】B
【解析】解：因为M是线段BC的中点，所以AM=12AB+12AC，
又因为AG=2GM，所以AM=32AG，
又AB=xAP(x>0)，AC=yAQ(y>0)，
所以32AG=x2AP+y2AQ，即AG=x3AP+y3AQ，
因为G，P，Q三点共线，所以x3+y3=1，化为x+(y+1)=4，
所以4x+1y+1=14[x+(y+1)](4x+1y+1)=14[5+4(y+1)x+xy+1]≥14[5+2 4(y+1)x⋅xy+1]=94，
当且仅当4(y+1)x=xy+1，即x=83，y=13时，等号成立，
所以4x+1y+1的最小值为94．
故选：B．
由三角形的中线向量表示得出AM=12AB+12AC，再由AG=2GM得出AM=32AG，用AP、AQ表示出AG，根据G，P，Q三点共线得出x与y的关系，利用基本不等式求4x+1y+1的最小值．
本题考查了平面向量的线性运算与基本不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：A：由题意(x+yi)+2=(x+2)+yi=(3−4i)+2yi=3+(2y−4)i，
∴x+2=3y=2y−4，解得x=1，y=4，∴x+y=5，故A正确，
B：∵两个复数不能比较大小，∴B不正确；
C：∵z=(1+2i)2=1+4i−4=−3+4i，∴复数z对应的点(−3,4)位于第二象限，因此C不正确；
D：∵|z−2i|=3，∴z在复平面内对应的点的轨迹为圆心为(0,2)，半径为3的圆，因此D正确．
故选：AD．
根据复数相等的充要条件即可求解A，根据复数的性质即可求解B，根据复数的几何意义即可求解CD．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题主要考查向量的坐标运算，向量的夹角，向量平行、垂直和向量的投影，属于基础题．
A.根据条件得到a+b=(−1,2)，再根据向量平行的性质判断a+b与a是否平行即可；
B.由数量积公式求得向量a在向量b上的投影数量a⋅b|b|，即可判断B；
C.设a与a−b的夹角为β，再用夹角公式求出夹角的的余弦值，即可判断C；
D.由向量数量积的坐标运算，判断a⋅c=0是否成立，即可判断D．
【解答】
解：∵a=(2,1),b=(−3,1)，
∴a+b=(−1,2)，因此a+b不与a平行，故A错误；
又∵|b|= 10,|a|= 5，
∴向量a在向量b上的投影数量为
a⋅b|b|=−3×2+1×1 10=− 102=−12⋅|b|，所以投影向量为−12b，故B正确；
∵a−b=(5,0)，设a与a−b的夹角为β，
则csβ=a⋅(a−b)|a|⋅|a−b|=2×5+1×0 5×5=2 55，故C错误；
若c=( 55,−2 55)，则a⋅c=2× 55+1×(−2 55)=0，
即a⊥c，故D正确．
故选：BD．
11.【答案】BCD
【解析】解：如图，
连接AO，E，O，C三点共线，设AO=λAE+(1−λ)AC，
∴AO=λ2AB+3(1−λ)2AD，且B，O，D三点共线，
∴λ2+3(1−λ)2=1，解得λ=12，
∴AO=12(AE+AC)，
∴O为EC的中点，∴OE+OC=0，B正确；
取BC的中点O′为原点，直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，则A(0, 3),B(−1,0),E(−12, 32),C(1,0)，D(23, 33)，O(14, 34)，
∴OA+OB+OC=(−14,3 34)+(−54,− 34)+(34,− 34)=(−34, 34)，
∴|OA+OB+OC|= 32，C正确；
ED=(76,− 36),BC=(2,0)，
∴ED在BC上的投影向量的模为ED⋅BC|BC|=76，D正确；
∵AB⊥CE，
∴AB⋅CE=0，A错误．
故选：BCD．
连接AO，根据E，O，C三点共线即可得出AO=λAE+(1−λ)AC，从而得出AO=λ2AB+3(1−λ)2AD，然后根据B，O，D三点共线即可得出λ=12，从而得出O为EC的中点，从而得出选项B正确，选项A显然错误．可取BC的中点O′，然后可求出A，B，C，O，E，D的坐标，从而可得出|OA+OB+OC|的值，并可求出ED在BC上的投影向量的模．
本题考查了三点A，B，C共线，且OB=λOA+μOC时，λ+μ=1，向量垂直的充要条件，通过建立直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量投影的计算公式，考查了计算能力，属于中档题．
12.【答案】−1
【解析】解：(a−2i)(2+i)=2a+ai−4i+2=2a+2+(a−4)i，
复数(a−2i)(2+i)在复平面内对应的点为(2a+2,a−4)，
∴2a+2=0，解得：a=−1．
故答案为：−1．
由复数的乘法运算结合复数的几何意义求解即可．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
13.【答案】60 6
【解析】解：由题意知，在△ABC中，∠ABC=180°−70°+10°=120°，AB=60( 3−1)，BC=120，
根据余弦定理，得AC2=AB2+BC2−2AB×BC×cs∠ABC
=602×[( 3−1)2+4+2( 3−1)]=602×6=21600，
所以AC=60 6n mile．
故答案为：60 6nmile．
由已知利用余弦定理求解即可．
本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
14.【答案】(−∞,−2)∪(−2,12)
【解析】解：∵a与b的夹角为锐角，
∴a⋅b>0，
∵a=i−2j，b=i+λj，
∴a⋅b=i2+(λ−2)i⋅j−2λj2，
∵i、j为互相垂直的单位向量，
∴a⋅b=1−2λ>0，
∴λ<12，
∵a≠b，
∴λ≠−2
故答案为：(−∞,−2)∪(−2,12)
根据两个向量夹角是锐角，得到两个向量的数量积大于零且两个向量不相等，利用向量的数量积运算和i、j为互相垂直的单位向量得到不等式，解不等式，得到结果，注意去掉使得向量相等的值．
向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体．
15.【答案】解：(1)向量a=(3,2)，b=(−1,2)，c=(4,1)．
∴a+2b−3c=(3,2)+(−2,4)−(12,3)=(−11,3)；
(2)a+kc=(3+4k,2+k)，
2b−a=(−5,2)，
若(a+kc)//(2b−a)，则3+4k−5=2+k2，
解得实数k=−1613．
【解析】(1)利用向量坐标运算法则直接求解；
(2)利用向量平行的性质直接求解．
本题考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】解：(1)根据题意，可得AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23BA+23AC=13AB+23AC．
(2)设AC=μAF，μ>0，由AB=54AE，结合(1)的结论，
可得AG=23AD=23(13AB+23AC)=29AB+49AC=518AE+4μ9AF
因为E、G、F三点共线，所以518+4μ9=1，解得μ=138，所以ACAF=138．
因为EA=−45AB，AF=813AC，可得EF=EA+AF=−45AB+813AC，
所以EG=EA+AG=−45AB+29AB+49AC=−2645AB+49AC=1318(−45AB+813AC)，
可知EG=1318EF，即EGEF=1318．
【解析】(1)根据AD=2DC，利用向量的加法法则进行计算，推导出用向量AB与AC表示AD的式子；
(2)设AC=μAF，根据ABAE=54将AG用AE,AF表示出来，利用三点共线列式算出μ的值，进而求出ACAF和EGEF的值．
本题主要考查平面向量基本定理及其应用、向量的线性运算法则等知识，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵(b−c)sinC=(b+a)(sinB−sinA)，由正弦定理可得(b−c)c=(b+a)(b−a)，
可得b2−a2=bc−c2，即b2+c2−a2=bc，所以csA=b2+c2−a22bc=12．
因为A∈(0,π)，所以A=π3．
(2)因为A=π3，a=4，△ABC的面积为3 32=12bcsinA= 34bc，
所以bc=6，由(1)知b2+c2−a2=bc，可得b2+c2=22，
因为2AD=AB+AC，可得：4|AD|2=|AB|2+|AC|2+2AB⋅AC=c2+b2+2bccsA=22+2×6×12=28，
解得|AD|2=7，可得AD的长为 7．
【解析】(1)根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解，
(2)根据面积公式可得bc=6，结合(1)的结论可得b2+c2=22，进而根据向量的模长即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，还考查了向量数量积的性质的应用，属于中档题．
18.【答案】(1)解：对任意的x∈R，3x+1>0，则函数f(x)的定义域为R，
则f(0)=1+a2=0，解得a=−1，此时，f(x)=3x−13x+1，
所以，f(−x)=3−x−13−x+1=3x(3−x−1)3x(3−x+1)=1−3x1+3x=−f(x)，
所以，当a=−1时，函数f(x)=3x+a3x+1为奇函数．
(2)解：由(1)知：f(x)=3x−13x+1=3x+1−23x+1=1−23x+1，
则函数f(x)在定义域R上单调递增，证明如下：
设任意的x1因为x13x1>0，则3x1−3x2<0，
又3x1+1>0，3x2+1>0，所以，f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)所以，函数f(x)在定义域R上单调递增．
(3)解：因为不等式f(t2−2t)+f(2t2−k)>0对任意的t∈R恒成立，
所以，f(2t2−k)>−f(t2−2t)=f(2t−t2)对任意的t∈R恒成立，
因为函数f(x)为R上的奇函数，且为增函数，则2t2−k>2t−t2，
则3t2−2t−k>0对任意的t∈R恒成立，所以，Δ=4+12k<0，解得k<−13．
因此，实数k的取值范围是(−∞,−13)．
【解析】(1)由奇函数的性质可得出f(0)=0，求出实数a的值，然后利用函数奇偶性的定义检验即可；
(2)判断出函数f(x)为R上的增函数，然后利用函数单调性的定义证明即可；
(3)利用奇函数的性质将所求不等式变形为f(2t2−k)>f(2t−t2)，利用函数f(x)的单调性可得出3t2−2t−k>0对任意的t∈R恒成立，由Δ<0可求得实数k的取值范围．
本题主要考查了奇函数定义的应用，还考查了函数单调性的判断，函数单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为 3(acsC+ccsA)=2bsinB，
由正弦定理边化角可得 3(sinAcsC+sinCcsA)=2sinBsinB，
所以 3sin(A+C)= 3sinB=2sinBsinB，又sinB≠0，
所以sinB= 32，又B为锐角，则B=π3；
(2)由正弦定理asinA=csinC=bsinB=2 3 32=4，
则a=4sinA，c=4sinC，
所以a2+c2=16sin2A+16sin2C=8(1−cs2A)+8(1−cs2C)，
=16−8cs2A−8cs2C=16−8cs2A−8cs2(π−A−π3)
=16−8cs2A−8(−12cs2A− 32sin2A)
=16+4 3sin2A−4cs2A
=16+8sin(2A−π6)，
因为在锐角△ABC中0所以π6<2A−π6<5π6，
则12所以a2+c2的取值范围为(20,24]．
【解析】(1)利用正弦定理边化角后整理化简即可；
(2)利用正弦定理得到a=4sinA，c=4sinC，则a2+c2=16sin2A+16sin2C，利用三角公式变形整理，利用三角函数的性质求最值．
本题考查正弦定理，考查二倍角公式，辅助角公式，三角函数性质，属于中档题．