2023-2024学年广东省江门市培英高级中学高一（下）期中数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年广东省江门市培英高级中学高一（下）期中数学试卷(含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=(1,2)，b/​/a，那么向量b可以是( )
A. (2,1)B. (−1,2)C. (−1,−2)D. (−2,1)
2.若α是第三象限的角，则π−12α是( )
A. 第一或第二象限的角B. 第一或第三象限的角
C. 第二或第三象限的角D. 第二或第四象限的角
3.已知扇形面积为3π8，半径是1，则扇形的圆心角是( )
A. 3π16B. 3π8C. 3π4D. 3π2
4.已知a,b均为单位向量.若|a−b|=1，则a在b上的投影向量为( )
A. 32aB. 12aC. 32bD. 12b
5.为了得到函数y=sin(2x+π3)的图象，只需要把函数y=sinx的图象上( )
A. 各点的横坐标缩短到原来的12，再向左平移π3个单位长度
B. 各点的横坐标缩短到原来的12，再向左平移π6个单位长度
C. 各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π3个单位长度
D. 各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π6个单位长度
6.在△ABC中，若a= 2，∠A=π6，csC=−13，则c=( )
A. 33B. 23C. 8 39D. 83
7.已知csα−π6+sinα=45 3，则sinα+7π6的值是
( )
A. −2 35B. 2 35C. −45D. 45
8.如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则PC⋅PD的取值范围为( )
A. (0,16)
B. [0,16]
C. (0,4)
D. [0,4]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(−2,1)，b=(−1,t)，则下列说法正确的是( )
A. 若a⊥b，则t的值为−2
B. 若a/​/b，则t的值为12
C. 若0D. 若(a+b)⊥(a−b)，则|a+b|=|a−b|
10.在△ABC中，若acsA=bcsB，则△ABC的形状可能为( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 不存在
11.已知向量OA=(3,−4),OB=(6,−3),OC=(5−m,−3−m)，若∠ABC为锐角，则实数m可能的取值是( )
A. −1B. 0C. 12D. 1
12.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a=2，AB⋅AC=2 3S，下列选项正确的是( )
A. A=π3
B. 若b=3，则△ABC只有一解
C. 若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是(2 3,4)
D. 若D为BC边上的中点，则AD的最大值为2+ 3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a，b的夹角为2π3，|a|=1，|b|=2，则|2a+3b|= ______．
14.已知cs(34π−α)=15，则cs(π4+α)= ______．
15.关于下列命题：
①若α，β是第一象限角，且α>β，则sinα>sinβ；
②函数y=sin(πx−π2)是偶函数；
③函数y=sin(2x−π3)的一个对称中心是(π6,0)；
④函数y=5sin(−2x+π3)在[−π12,5π12]上是增函数．
写出所有正确命题的序号：______．
16.如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一个动点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，则PE⋅PF的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知f(α)=sin(3π−α)cs(2π−α)sin(3π2−α)cs(π−α)sin(−π−α)
(1)化简f(α)
(2)若α是第二象限角，且cs(π2+α)=−13，求f(α)的值．
18.(本小题12分)
已知|a|=4，|b|=8，a与b的夹角为2π3．
(1)求|a+b|；
(2)当k为何值时，(a+2b)⊥(ka−b)？
19.(本小题12分)
如图，已知单位圆O与x轴正半轴交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且∠AOB=π2，记∠MOA=α，∠MOB=β．
(1)若α=π3，求点A的坐标；
(2)若点A的坐标为(45,m)，求sinα−sinβ的值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π2)的部分图象如图所示．
(1)求函数y=f(x)的表达式；
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，若关于x的方程f(x)+g(x)−a=0在[0,π2]上有实数解，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m．
(1)过点p的一条直线与走廊的外侧两边交于A，B两点，且与走廊的一边的夹角为θ(0<θ<π2)，将线段AB的长度l表示为θ的函数；
(2)一根长度为5m的铁棒能否水平(铁棒与地面平行)通过该直角走廊？请说明理由(铁棒的粗细忽略不计)．
22.(本小题12分)
某景区为吸引游客，拟在景区门口的三条小路AB，AD，AC之间划分两片三角形区域用来种植花卉(如图中阴影部分所示)，已知∠BAC=120°，AD⊥AB，B，C，D三点在同直线上，AD=6．
(1)若CD=3 13，求BD的长度；
(2)求△ABC面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：设向量b=(x,y)，
由b/​/a，得2x−y=0，
∴y=2x，
∴向量b可以是(−1,−2)．
故选：C．
利用平面向量的共线定理，列方程求得向量b满足的条件．
本题考查了平面向量的共线定理与应用问题，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵α是第三象限的角，∴2kπ+π<α<2kπ+3π2，k∈z，∴kπ+π2<α2∴−kπ−3π4<−α2<−kπ−π2，k∈z，∴−kπ+π4<π−12α<−kπ+π2，k∈z，
故当k为偶数时，π−12α是第一象限角，
当k为奇数时，π−12α是第三象限角，
故选：B．
由2kπ+π<α<2kπ+3π2，k∈z，利用不等式的性质求出，−kπ+π4<π−12α<−kπ+π2，k∈z，讨论k的奇偶性，得到π−12α的终边所在的象限．
本题考查象限角、轴线角的判定，体现了分类讨论的数学思想．求出π−12α的取值范围是本题的难点．
3.【答案】C
【解析】【分析】
考查扇形的面积公式的应用，圆心角的求法，考查计算能力，常考题型，是基础题．
直接利用扇形面积公式，求出扇形的弧长，然后求出扇形的圆心角．
【解答】
解：因为扇形面积为3π8，半径是1，所以扇形的弧长为：3π4，
所以扇形的圆心角为：3π4．
故选：C．
4.【答案】D
【解析】解：因为|a−b|=1，所以a2−2a⋅b+b2=1，
又因为a，b均为单位向量，
所以1−2a⋅b+1=1，解得a⋅b=12，
所以a在b上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=12b．
故选：D．
由已知，求得a⋅b=12，再根据投影向量的概念直接求解即可．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查投影向量的概念，属基础题．
5.【答案】B
【解析】解：把函数y=sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，得到函数y=sin2x的图象，
接下来若向左平移π3个单位长度，得到函数y=sin2(x+π3)=sin(2x+2π3)的图象；
若向左平移π6个单位长度，得到函数y=sin2(x+π6)=sin(2x+π3)的图象；
故A错误，B正确；
C、D中伸长到原来的2倍，得到函数y=sinx2的图象，在无论怎样平移都得不到所要求的函数的图象，
故D错误．
故选：B．
利用函数图象平移、伸缩变换的法则依次判定各个选择支的变化之后的函数解析式是否符合题目要求即可作出判定．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：csC=−13，C∈(0,π)，
则sinC= 1−cs2C=2 23，
a= 2，∠A=π6，
由正弦定理可知，c=asinCsinA= 2×2 2312=83．
故选：D．
根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了两角和与差的三角函数公式，诱导公式，整体代入法，属于基础题．
由已知结合两角差的余弦公式得12csα+ 32sinα=45，由诱导公式及两角和的正弦公式展开所求式，代入12csα+ 32sinα=45即可得答案．
【解答】
解：∵cs(α−π6)+sinα= 32csα+32sinα=45 3，
∴12csα+ 32sinα=45，
∴sin(α+7π6)=−sin(α+π6)
=−( 32sinα+12csα)=−45．
故选C．
8.【答案】B
【解析】解：建立直角坐标系，如图所示：正方形ABCD的边长为4，
设：A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(4,4)，
取CD的中点E，连接PE，所以PE的取值范围为[AD2,AE]，
即[2,2 5]，
由于PC⋅PD=(PE+ED)⋅(PE+EC)=PE2−CD24，
故PC⋅PD∈[0,16]．
故选：B．
直接利用向量的数量积运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的数量积运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：对于A：若a⊥b，则a⋅b=−2×(−1)+1×t=0，解得t=−2，故A正确；
对于B：若a/​/b，则−2t=−1×1，解得t=12，故B正确；
对于C：当t=12时，a与b同向，此时a与b的夹角为0°，故C错误；
对于D：若(a+b)⊥(a−b)，则(a+b)⋅(a−b)=0，即a2−b2=0，即(−2)2+12=(−1)2+t2，解得t=±2，
当t=2时，a=(−2,1)，b=(−1,2)，a+b=(−3,3)，a−b=(−1,−1)，显然|a+b|≠|a−b|，
当t=−2时，a=(−2,1)，b=(−1,−2)，a+b=(−3,−1)，a−b=(−1,3)，此时|a+b|=|a−b|，故D错误．
故选：AB．
根据向量的数量积、向量的模的坐标表示及向量共线的坐标表示一一判断即可．
本题考查平面向量平行，垂直，数量积的坐标表示，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：因为acsA=bcsB，
所以a×b2+c2−a22bc=b×a2+c2−b22ac，整理得(a2−b2)(a2+b2−c2)=0，解得a=b或a2+b2=c2，
当a=b时，△ABC是等腰三角形，
当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形，
当a=b且a2+b2=c2时，△ABC是等腰直角三角形．
故选：ABC．
利用余弦定理进行角化边，再整理式子求解即可．
本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：因为OA=(3,−4),OB=(6,−3),OC=(5−m,−3−m)，
所以BA=OA−OB=(−3,−1),BC=OC−OB=(−1−m,−m)．
因为∠ABC为锐角，
所以BA⋅BC=(−3,−1)⋅(−1−m,−m)=3+3m+m>0，解得m>−34．
当BA//BC时，(−3)×(−m)−(−1−m)×(−1)=0，解得m=12．
当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是(−34,12)∪(12,+∞)．
所以实数m可能的取值是0，1．
故选：BD．
利用向量的减法法则及向量减法的坐标表示，根据已知条件及向量的数量积的坐标表示，结合向量共线的条件即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】CD
【解析】解：根据平面向量数量积公式及三角形面积公式，
AB⋅AC=2 3S⇒bccsA=2 3×12bcsinA⇒tanA=1 3，
因为A∈(0,π)，所以A=π6，故A错误；
由上可知：b=3>a=2>bsinA=32，故△ABC有两解，故B错误；
若△ABC为锐角三角形，
则B∈(0,π2)，且A+B=π−C>π2⇒π6+B>π2⇒B∈(π3,π2)，即sinB∈( 32,1)，
由正弦定理可知：b=asinBsinA=4sinB∈(2 3,4)，故C正确；
若D为BC边上的中点，则AD=12(AB+AC)⇒AD2=14(AB2+2AB⋅AC+AC2)=14(b2+c2+ 3bc)，
由余弦定理知a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2− 3bc=4⇒b2+c2= 3bc+4，
根据基本不等式有b2+c2= 3bc+4≥2bc⇒bc≤42− 3，当且仅当b=c=2 2− 3时取得等号，
所以14(b2+c2+ 3bc)=14(4+2 3bc)≤1+ 32×42− 3=7+4 3，
即|AD|≤ 7+4 3=2+ 3，故D正确．
故选：CD．
利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定A，利用正弦定理可判定B，利用角的范围结合正弦定理可判定C，利用平面向量中线的性质及数量积公式结合余弦定理、基本不等式可判定D．
本题考查平面向量与解三角形的综合应用，属中档题．
13.【答案】2 7
【解析】解：因为向量a，b的夹角为2π3，|a|=1，|b|=2，
所以a⋅b=|a||b|cs=1×2×(−12)=−1，
所以|2a+3b|= (2a+3b)2= 4a2+12a⋅b+9b2= 4+12×(−1)+9×4=2 7．
故答案为：2 7．
由平面向量的数量积运算计算即可求得．
本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题．
14.【答案】−15
【解析】解：∵cs(34π−α)=15，
∴cs(π4+α)=cs[π−(3π4−α)]=−cs(34π−α)=−15．
故答案为：−15．
因为π4+α=π−(3π4−α)，运用整体法，利用三角函数诱导公式直接求解即可．
本题考查运用三角函数诱导公式求值，是基础题．
15.【答案】②③
【解析】解：对于①，若α，β是第一象限角，且α>β，可举α=390°，β=30°，则sinα=sinβ，则①错；
对于②，函数y=sin(πx−π2)=−csπx，f(−x)=−cs(−πx)=f(x)，则为偶函数，则②对；
对于③，令2x−π3=kπ，解得x=kπ2+π6(k∈Z)，函数y=sin(2x−π3)的对称中心为(kπ2+π6,0)，
当k=0时，即为(π6,0)，则③对；
对于④，函数y=5sin(−2x+π3)=−5sin(2x−π3)，
令2x−π3∈(2kπ+π2,2kπ+3π2)，k∈Z，则x∈(kπ+5π12,kπ+11π12)，即为增区间，
令2x−π3∈(2kπ−π2,2kπ+π2)，k∈Z，则x∈(kπ−π12,kπ+5π12)，即为减区间．
在[−π12,5π12]上即为减函数．则④错．
故答案为：②③．
可举α=390°，β=30°，则sinα=sinβ，即可判断①；运用诱导公式和余弦函数的奇偶性，即可判断②；
由正弦函数的对称中心，解方程即可判断③；由正弦函数的单调性，解不等式即可判断④．
本题考查正弦函数的奇偶性和单调性、对称性的判断和运用，考查运算能力，属于基础题和易错题．
16.【答案】[39,55]
【解析】解：以EF所在直线为x轴，EF的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则B(0,0)，E(−3,0)，F(3,0)，
设P(x,4 3)，其中x∈[−4,4]；
所以PE=(x+3,4 3)，PF=(x−3,4 3)，
所以PE⋅PF=(x+3)(x−3)+(4 3)2=x2−9+48=x2+39，
因为x∈[−4,4]，所以x2∈[0,16]，所以x2+39∈[39,55]，
即PE⋅PF的取值范围是[39,55]．
故答案为：[39,55]．
以EF所在直线为x轴，EF的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，即可求出PE⋅PF的取值范围．
本题考查了平面向量的数量积运算，是基础题．
17.【答案】解：(1)f(α)=sin(3π−α)cs(2π−α)sin(3π2−α)cs(π−α)sin(−π−α)
=sinα⋅csα⋅(−csα)−csα⋅sinα=csα．
(2)α是第二象限角，且cs(π2+α)=−sinα=−13，
∴sinα=13，
∵α是第二象限角，
∴f(α)=csα=− 1−sin2α=−2 23．
【解析】本题考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，三角函数在各个象限中的符号，考查运算求解能力，属于基础题．
(1)由题意利用诱导公式化简f(x)的解析式．
(2)利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得f(α)的值．
18.【答案】解：(1)∵a⋅b=|a|⋅|b|cs=32cs2π3=−16，
∴|a+b|2=|a|2+2a⋅b+|b|2=16−32+64=48，
∴|a+b|=4 3．
(2)(a+2b)⊥(ka−b)，
则(a+2b)⋅(ka−b)=k|a|2+(2k−1)a⋅b−2|b|2=16k−16(2k−1)−128=0，解得k=−7．
【解析】(1)根据向量数量积定义和运算律可求得|a+b|2，进而得到|a+b|；
(2)由向量垂直可得(a+2b)⋅(ka−b)=0，根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得结果．
本题主要考查平面向量垂直的性质，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)若α=π3，
则csα=x=12，sinα=y= 32，
所以点A(12, 32)，
(2)若点A的坐标为(45,m)，
因为(45)2+m2=1，点A在第一象限，
所以m=35，
即A(45,35)，
则sinα=35，
因为∠AOB=π2，
所以β=π2+α，
所以csα=sinβ=45，
所以sinα−sinβ=−15．
【解析】(Ⅰ)若α=π3，直接利用三角函数的定义求点A的坐标；
(Ⅱ)若点A的坐标为(45,m)，则sinα=35，csα=sinβ=45，即可求sinα−sinβ的值．
本题考查任意角的三角函数的定义、诱导公式的应用，比较基础．
20.【答案】解：(1)由题图可知A=2，T2=11π12−5π12，所以T=π，所以ω=2πT=2ππ=2，
将点(5π12,2)的坐标代入函数f(x)=2sin(2x+φ)，
得5π6+φ=2kπ+π2(k∈Z)，即φ=2kπ−π3(k∈Z)，
因为|φ|≤π2，所以φ=−π3，
所以函数f(x)的表达式为f(x)=2sin(2x−π3)．
(2)依题意g(x)=2sin2x，
方程f(x)+g(x)−a=0在[0,π2]上有实数解，
即方程f(x)+g(x)=a在[0,π2]上有实数解．
令h(x)=2sin(2x−π3)+2sin2x=3sin2x− 3cs2x=2 3( 32sin2x−12cs2x)=2 3sin(2x−π6)，
∵x∈[0,π2]，∴2x−π6∈[−π6,5π6]，∴sin(2x−π6)∈[−12,1]，
∴h(x)的值域为[− 3,2 3]，
所以实数a的取值范围为[− 3,2 3]．
【解析】(1)根据图象求出A与ω，再结合顶点求出φ即可；
(2)先求出g(x)的解析式，再把所求转化为f(x)+g(x)=a在[0,π2]上有实数解；把等式左边看成是一个整体求出其范围，即可求得结论．
本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角函数诱导公式等知识，属于中档题．解题的关键是灵活运用对称思想求解函数的解析式．
21.【答案】解：(1)根据图得：l(θ)=BP+AP=2sinθ+2csθ,θ∈(0,π2)．
(2)铁棒能水平通过该直角直廊，
理由如下：l′(θ)=(2sinθ)′+(2csθ)′
=0⋅sinθ−2⋅csθsin2θ+0⋅csθ+2⋅sinθcs2θ
=2(sin3θ−cs3θ)sin2θcs2θ．
令l′(θ)=0得，θ=π4．
当0<θ<π4时，l′(θ)<0，l(θ)为减函数；
当π4<θ<π2时，l′(θ)>0，l(θ)为增函数；
所以当θ=π4时，l(θ)有最小值4 2，
因为4 2>5，所以铁棒能水平通过该直角走廊．
【解析】本题主要考查函数模型的建立与应用，还考查了三角函数的定义，导数法求函数最值等，属于中档题．
(1)根据图可知l(θ)=BP+AP，而BP=2sinθ，AP=2csθ代入整理可得函数．
(2)“长度为5m的铁棒能否水平(铁棒与地面平行)通过该直角走廊，铁棒能水平通过该直角直廊”，关键看函数的值域，先研究其单调性，用导数法，先求导，令l′(θ)=0得，θ=π4，易知当0<θ<π4时，l′(θ)<0，l(θ)为减函数；当π4<θ<π2时，l′(θ)>0，l(θ)为增函数，可知当θ=π4时，l(θ)有最小值，再与5比较得到结论．
22.【答案】解：(1)某景区为吸引游客，拟在景区门口的三条小路AB，AD，AC之间划分两片三角形区域用来种植花卉(如图中阴影部分所示)，
已知∠BAC=120°，AD⊥AB，B，C，D三点在同直线上，AD=6，
因为AD=6,CD=3 13,∠CAD=120°−90°=30°，
所以在△ACD中，由余弦定理可得DC2=AD2+AC2−2AD⋅ACcs∠CAD，
所以117=36+AC2−12× 32AC，解得AC=9 3，
由正弦定理得DAsinC=DCsin∠CAD，即6sinC=3 1312，解得sinC= 1313，
所以csC= 1−sin2C=2 3913，
可得sinB=sin(∠BAC+∠C)=sin∠BACcsC+cs∠BACsinC=5 1326，
在△ABC中，由正弦定理得BCsin∠BAC=ACsinB，则BC 32=9 35 1326，
解得BC=27 135，所以BD=BC−DC=12 135，
则BD的长度为12 135；
(2)设∠ABD=θ，则∠ACB=60°−θ，
由于AD=6，则BD=ADsinθ=6sinθ，
在△ACD中．由正弦定理得ADsin(60∘−θ)=CDsin30∘，解得CD=3sin(60∘−θ)，
过A点作BC的垂线，交BC于点M，设△ABC的面积为S，

则∠DAM+∠BAM=∠ABM+∠BAM=90°，
所以∠DAM=∠ABM=θ，
所以AM=ADcsθ=6csθ，
所以S=12AM⋅BC
=3csθ(6sinθ+3sin(60∘−θ))
=9csθ⋅ 3csθsinθsin(60°−θ)
=9csθ⋅ 3csθ 32sinθcsθ−12sin2θ
=9 3 32tanθ−12tan2θ
=9 3−12(tanθ− 32)2+38⩾24 3，
即△ABC面积的最小值为24 3．
【解析】(1)利用余弦定理得到AC=9 3，利用正弦定理得到sinC= 1313，在△ABC中，由正弦定理得到BC的长度即可求解；
(2)设∠ABD=θ，则∠ACB=60°−θ，在△ACD中．由正弦定理得CD=3sin(60∘−θ)，过A点作BC的垂线，交BC于点M，设△ABC的面积为S，利用三角形的面积公式结合二次函数的性质即可求解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．