2025版高考数学一轮总复习第5章平面向量与复数第1讲平面向量的概念及其线性运算课件

这是一份2025版高考数学一轮总复习第5章平面向量与复数第1讲平面向量的概念及其线性运算课件，共59页。PPT课件主要包含了考情探究，长度为0，三角形，平行四边形，b＋a，a＋b＋c，相反向量，λμa，λa＋μa，λa＋λb等内容，欢迎下载使用。

【命题规律与备考策略】本章内容分为两部分，第一部分平面向量、第二部分复数．高考对第一部分内容的考查以平面向量的基础知识、基本运算为主，考查与平面向量基本定理相关的线性运算、向量的数量积运算、向量的夹角、向量的模．试题以中低档题为主，以选择题或填空题的形式出现，分值为5分．高考对部分的考查依然是基础与能力并存，在知识的形成过程、知识的迁移中渗透数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，重视函数与方程、数形结合、转化与化归思想．高考对第二部分内容的考查，一般出现在选择题前2题中，比较简单，分值为5分．高考命题主要集中
于：①复数的相关概念，如虚数、纯虚数、共轭复数等；②复数的几何意义及复数的模的最值问题；③复数的四则运算，常考查乘、除法运算；④虚数单位i的性质．备考时，要掌握常见的知识与解题方法，加强对复数的概念的理解，提高运算求解能力．
第一讲　平面向量的概念及其线性运算
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理知识点一　向量的有关概念1．向量：既有________又有________的量叫做向量，向量的大小叫做向量的________(或称______)．2．零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的，零向量记作______.3．单位向量：长度等于______个单位的向量．4．平行向量：方向相同或________的________向量；平行向量又叫________向量．规定：0与任一向量________.
5．相等向量：长度________且方向________的向量．6．相反向量：长度________且方向________的向量．
知识点二　向量的线性运算
知识点三　共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使____________.
归 纳 拓 展1．零向量与任何向量共线．
4．首尾相连的一组向量的和为0.
6．若a、b不共线，且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
双 基 自 测题组一　走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关．( )(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( )
4．(多选题)(必修2P15T4改编)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中( )
[解析]　∵D为△ABC的边AB的中点，
6．(2015·新课标2,13,5分)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝_______.[解析]　∵a、b不平行，∴a＋2b≠0，由题意可知存在唯一实数m，使得λa＋b＝m(a＋2b)，即(λ－m)·a＝(2m－1)b，
考点突破 · 互动探究
向量的基本概念——自主练透
1.(多选题)(2023·山东烟台月考)给出下列命题，其中叙述错误的命题为( )
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反D．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
A．a＝b B．a＝2bC．a∥b且|a|＝|b| D．a∥b且方向相同
名师点拨：1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．2．共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．3．平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．
向量的线性运算——多维探究
角度1　向量加、减法的几何意义
设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )A．a⊥b　　　　　　　B．|a|＝|b|C．a∥b 　D．|a|>|b|
[解析]　解法一：利用向量加法的平行四边形法则．
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.解法二：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.
角度2　向量的线性运算
A．3m－2n 　B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3n
角度3　根据向量线性运算求参数
[解析]　因为四边形ABCD是平行四边形，
连接AF，在△AEF中，
名师点拨：平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略1．考查向量加法或减法的几何意义．2．求已知向量的和或差．一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连的向量的和用三角形法则．3．与三角形综合，求参数的值．求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数．4．与平行四边形综合，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
【变式训练】1．(角度1)(2022·湖北宜昌一中月考)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( )A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λb[解析]　因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，所以a与b共线同向，故D正确．
解法二：如图，连接BD，
共线向量定理及其应用——师生共研
设两个非零向量a与b不共线．
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．[分析]　(1)利用向量证明三点共线时，首先要证明两个非零向量共线，然后再说明两向量有公共点，这时才能说明三点共线；(2)利用共线向量定理求解．
又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个非零向量，
[引申]　本例(2)中，若ka＋b与a＋kb反向，则k＝________；若ka＋b与a＋kb同向，则k＝______.[解析]　由本例可知ka＋b与a＋kb反向时λ<0，从而k＝－1；ka＋b与a＋kb同向时λ>0，从而k＝1.
名师点拨：平面向量共线的判定方法1．向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
因为M，N，Q三点共线，故存在实数λ，
即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，解得λ＝1，k＝1.故选B.
2．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于( )A．a B．b C．c D．0
[解析]　解法一：∵a＋b与c共线，∴a＋b＝λ1c.①又∵b＋c与a共线，∴b＋c＝λ2a.②由①得：b＝λ1c－a.∴b＋c＝λ1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a.
∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.故选D.解法二：①－②得a－c＝λ1c－λ2a∴λ1＝－1、λ2＝－1，∴a＋b＋c＝0.
名师讲坛 · 素养提升
易错警示——都是零向量“惹的祸”
下列命题正确的是( )A．向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa
C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立D．若向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线
[解析]　易知ABC错误．对于D.∵向量a与b不共线，∴向量a，b，a＋b与a－b均不为零向量．若a＋b与a－b共线，则存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
即a＋b与a－b不共线．故D正确．
名师点拨：在向量的有关概念中，定义长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，并且规定：0与任一向量平行．由于零向量的特殊性，在两个向量共线或平行问题上，如果不考虑零向量，那么往往会得到错误的判断或结论．在向量的运算中，很多学生也往往忽视0与0的区别，导致结论错误．
【变式训练】下列叙述正确的是( )A．若非零向量a与b的方向相同或相反，则a＋b与a，b其中之一的方向相同B．|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b的方向相同
D．若λ≠0，λa＝λb，则a＝b