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2023-2024学年浙江省湖州四中教育集团九年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年浙江省湖州四中教育集团九年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各数中，最小的数是( )
A. −2B. −1C. 1D. 0
2.计算a3⋅a的结果是( )
A. a2B. a3C. a4D. a5
3.国家互联网信息办公室2023年5月23日发布的《数字中国发展报告(2022年)》显示，2022年我国数字经济规模达502000亿元.用科学记数法表示502000，正确的是( )
A. 0.502×106B. 5.02×106C. 5.02×105D. 50.2×104
4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是( )
A.
B.
C.
D.
5.将抛物线y=x2向上平移3个单位后所得的解析式为( )
A. y=x2+3B. y=x2−3C. y=(x+3)2D. y=(x−3)2
6.如图，点A，B，C在⊙O上，连结AB，AC，OB，OC.若∠BAC=50°，则∠BOC的度数是( )
A. 80°
B. 90°
C. 100°
D. 110°
7.如图，已知在锐角△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC.若∠EBC=45°，BC=6，则△EBC的面积是( )
A. 12
B. 9
C. 6
D. 3 2
8.某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆.如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是( )
A. 20(1+2x)=31.2B. 20(1+2x)−20=31.2
C. 20(1+x)2=31.2D. 20(1+x)2−20=31.2
9.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF.将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF.则下列结论不正确的是( )
A. BD=10B. HG=2C. EG//FHD. GF⊥BC
10.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM=4，BN=2.若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN=45°的△PMN中，边PM的长的最大值是( )
A. 4 2
B. 6
C. 2 10
D. 3 5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在一个不透明的箱子里放有7个红球和3个黑球，它们除颜色外其余都相同.从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是______．
12.如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，连结OB.若⊙O的半径为5cm，BC的长为8cm，则OD的长是______cm．
13.如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE//BC，ADAB=13.若DE=2，则BC的长是______．
14.为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星(A,B,C,D,E是正五角星的五个顶点)，则图中∠A的度数是______度.
15.某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架(EF)放在离树(AB)适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架(EF)上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高(CD)的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度.已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，AB⊥BD于点B，BF=6米，DF=2米，EF=0.5米，CD=1.7米，则这棵树的高度(AB的长)是______米.
16.如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF，③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH，⑤是正方形EFGH，直角顶点E，F，G，H分别在边BF，CG，DH，AE上．
(1)若EF=3cm，AE+FC=11cm，则BE的长是______cm．
(2)若DGGH=54，则tan∠DAH的值是______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
2sin260°−tan45°+4cs60°．
18.(本小题8分)
某玩具公司承接了第19庙杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题：
(1)a= ______；b= ______．
(2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是______.(精确到0.01)
(3)若该公司这一批次生产了10000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE.已知BC=10，AD=12，求BD，DE的长．
20.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．
(1)求证：BD=BC．
(2)已知OC=1，∠A=30°，求AB的长．
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，点A(3,3)，B(4,0)，C(0,−1)．
(1)作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
(2)作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的△A2B2C；
(3)点B的对应点B2的坐标为______．
22.(本小题8分)
某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)(30≤x<60)存在一次函数关系，部分数据如表所示：
(1)试求出y关于x的函数表达式．
(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
23.(本小题8分)
如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2−4x+c的图象与y轴的交点坐标为(0,5)，图象的顶点为M.矩形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，t轴上，顶点B的坐标为(1,5)．
(1)求c的值及顶点M的坐标．
(2)如图2，将矩形ABCD沿x轴正方向平移t个单位(0①当t=2时，求QG的长；
②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得△PGQ的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
24.(本小题8分)
【特例感知】
(1)如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连结PD，过点D作DM⊥PD，交BC的延长线于点M.求证：△DAP≌△DCM．
【变式求异】
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB，交AC于点Q，点P在边AB的延长线上，连结PQ，过点Q作QM⊥PQ，交射线BC于点M.已知BC=8，AC=10，AD=2DB，求PQQM的值．
【拓展应用】
(3)如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上(不与点A，C重合)，连结PQ，以Q为顶点作∠PQM=∠PBC，∠PQM的边QM交射线BC于点M.若AC=mAB，CQ=nAC(m,n是常数)，求PQQM的值(用含m，n的代数式表示)．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：如图所示，
，
故选A．
在数轴上表示出各数，根据数轴的特点即可得出结论．
本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：a3⋅a=a3+1=a4，
故选：C．
根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：502000=5.02×105，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵主视图和左视图是矩形，
∴几何体是柱体，
∵俯视图是圆，
∴该几何体是圆柱，故D正确．
故选：D．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案．
本题主要考查了由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．
5.【答案】A
【解析】解：∵抛物线y=x2向上平移3个单位，
∴平移后的解析式为：y=x2+3，
故选：A．
根据二次函数图象变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后的解析式．
此题考查了抛物线图象的平移规律，熟练记忆二次函数图象平移规律是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵∠BAC=50°，∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOC=100°．
故选：C．
直接利用圆周角定理求解即可求得∠BOC的度数．
此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7.【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD=12BC=3，AD⊥BC，
在Rt△EBD中，∠EBC=45°，
∴ED=BD=3，
∴S△EBC=12BC⋅ED=12×6×3=9，
故选：B．
根据等腰三角形的性质得到BD=CD=3，AD⊥BC，根据等腰直角三角形的性质求出ED，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：由题意得：20(1+x)2−20=31.2，
故选：D．
根据“2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆”列方程求解．
本题考查了由实际问题抽象处一元二次方程，找到相等关系是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，BC=AD，
∵AB=6，BC=8，
∴BD= AB2+AD2= 62+82=10，
故A选项不符合题意；
∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，
∴AB=BG=6，CD=DH=6，
∴GH=BG+DH−BD=6+6−10=2，
故B选项不符合题意；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，
∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，
∴∠A=∠BGE=∠C=∠DHF=90°，
∴EG//FH．
故C选项不符合题意；
∵GH=2，
∴BH=DG=BG−GH=6−2=4，
设FC=HF=x，则BF=8−x，
∴x2+42=(8−x)2，
∴x=3，
∴CF=3，
∴BFCF=53，
又∵BGDG=64=32，
∴BFCF≠BGDG，
若GF⊥BC，则GF//CD，
∴BFCF=BGDG，
故D选项不符合题意．
故选：D．
由矩形的性质及勾股定理可求出BD=10；由折叠的性质可得出AB=BG=6，CD=DH=6，则可求出GH=2；证出∠A=∠BGE=∠C=∠DHF=90°，由平行线的判定可得出结论；由勾股定理求出CF=3，根据平行线分线段成比例定理可判断结论．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图所示：△MNP为等腰直角三角形，∠MPN=45°，此时PM最长，
根据勾股定理得：PM= 22+62= 40=2 10．
故选：C．
在网格中，以MN为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM最长，利用勾股定理求出即可．
此题考查了相似三角形的判定，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
11.【答案】710
【解析】解：从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是77+3=710，
故答案为：710．
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：∵BC⊥OA，BC=8cm，
∴BD=CD=12BC=4cm，BD2+OD2=OB2，
∵OB=5cm，
∴42+OD2=52，
∴OD=3或OD=−3(舍去)，
∴OD的长是3cm，
故答案为：3．
根据垂径定理和勾股定理列方程即可解答．
本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是连接半径，构建直角三角形，列方程解决问题．
13.【答案】6
【解析】解：∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC，
∵ADAB=13，DE=2，
∴13=2BC，
∴BC=6，
故答案为：6．
由平行线的旋转得出∠ADE=∠B，∠AED=∠C，得出△ADE∽△ABC，由相似三角形的旋转得出ADAB=DEBC，代入计算即可求出BC的长度．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
14.【答案】36
【解析】解：如图，
∵正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，
∴∠GFN=∠FNM=(5−2)×180°5=108°，
∴∠AFN=∠ANF=180°−∠GFN=180°−108°=72°，
∴∠A=180°−∠AFN−∠ANF=180°−72°−72°=36°．
故答案是：36．
正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，根据正多边形及邻补角的性质，即可求得∠AFN=∠ANF=72°，然后根据三角形的内角和定理可求得∠A的度数．
本题考查了多边形的内角与外角，正确理解五边形FGHMN是正五边形是解题关键．
15.【答案】4.1
【解析】解：过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，如图，
∵DB是水平线，CD，EF，AB都是铅垂线，
∴DH=EF=GB=0.5米，EH=DF=2米，EG=FB=6米，
∴CH=CD−DH=1.7−0.5=1.2(米)，
又根据题意，得∠CHE=∠AGE=90°，∠CEH=∠AEG，
∴△CHE∽△AGE，
∴EHEG=CHAG，即26=1.2AG，
解得：AG=3.6米，
∴AB=AG+GB=3.6+0.5=4.1(米)．
故答案为：4.1．
过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，根据镜面反射的性质求出△CHE∽△AGE，再根据对应边成比例解答即可．
本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
16.【答案】4 3
【解析】解：(1)∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，
∴AE=BE，BF=CF，
∵AE+FC=11cm，
∴BE+BF=11cm，
即BE+BE+EF=11cm，
即2BE+EF=11cm，
∵EF=3cm，
∴2BE+3cm=11cm，
∴BE=4cm，
故答案为：4；
(2)设AH=x，
∵DGGH=54，
∴可设DG=5k，GH=4k，
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE=EF=FG=GH=4k，
∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，
∴AE=BE，BF=CF，∠ABE=∠CBF=45°，
∴CG=CF+GF=BF+4k=BE+8k=AH+12k=x+12k，
∠ABC=∠ABE+∠CBF=45°+45°=90°，
∵四边形ABCD对角互补，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADH+∠CDG=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠AHD=∠CGD=90°，
∴∠ADH+∠DAH=90°，
∴∠DAH=∠CDG，
∴tan∠DAH=tan∠CDG，
∴DHAH=CGDG，即5k+4kx=x+12k5k，
整理得：x2+12kx−45k2=0，
解得x1=3k，x2=−15k(舍去)，
∴tan∠DAH=DHAH=9k3k=3．
故答案为：3．
(1)将AE和FC用BE表示出来，再代入AE+FC=11cm，即可求出BE的长；
(2)由已知条件可以证明∠DAH=∠CDG，从而得到tan∠DAH=tan∠CDG，设AH=x，DG=5k，GH=4k，用x和k的式子表示出CG，再利用tan∠DAH=tan∠CDG列方程，解出x，从而求出tan∠DAH的值．
本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数定义，一元二次方程的解法等，弄清图中线段间的关系是解题的关键．
17.【答案】解：原式=2×( 32)2−1+4×12
=32−1+2
=52．
【解析】直接把各角的三角函数值代入进行计算即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
18.【答案】0.962 0.96 0.96
【解析】解：(1)a=962÷1000=0.962，
b=2880÷3000=0.96，
故答案为：0.962，0.96；
(2)从这批公仔中，任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是0.96．
(3)这批公仔中优等品大约有10000×0.96=9600(只)，
答：估计这批公仔中优等品大约有9600只．
(1)用频数除以总数即可；
(2)由表中数据可判断频率在0.96左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取1只公仔是优等品的概率为0.96．
(3)用总数量乘以优等品的概率即可．
本题考查了频数与频率，利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
19.【答案】解∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴BD=12BC，
∵BC=10，
∴BD=5，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，
∵AD=12，
∴AB= AD2+BD2= 122+52=13，
∵E为AB的中点，D点为BC的中点，
∴DE=12AB=132．
【解析】根据等腰三角形的性质求出BD=12BC，根据勾股定理求出AB=13，
此题考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
20.【答案】(1)证明 如图，连结OD，
∵半圆O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ODB=∠OCB=90°，
在Rt△ODB和Rt△OCB中，
OB=OB,OD=OC,
∴Rt△ODB≌Rt△OCB(HL)，
∴BD=BC；
(2)解 如图，∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∵Rt△ODB≌Rt△OCB，
∴∠CBO=∠DBO=12∠ABC=30°，
在Rt△OBC中，
∵OC=1，
∴BC=OCtan30∘= 3，
在Rt△ABC中，
AB=BCsin30∘=2 3．
【解析】(1)根据切线性质得到∠ODB=∠OCB=90°，再根据HL证明Rt△ODB≌Rt△OCB，从而得到结论；
(2)分别在Rt△OBC中，利用三角函数求出BC的长，和在Rt△ABC中，利用三角函数求出即可求出AB的长．
本题考查圆的切线性质，全等三角形判定和性质，解直角三角形，熟悉相关图形的性质是解题的关键．
21.【答案】(−1,3)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C即为所求．
(3)点B的对应点B2的坐标为(−1,3)．
故答案为：(−1,3)．
(1)根据中心对称的性质作图即可．
(2)根据旋转的性质作图即可．
(3)由图可得答案．
本题考查作图−旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)设y关于x的函数表达式为y=kx+b(k≠0)．
将x=50，y=100和x=40，y=200分别代入，得：50k+b=10040k+b=200，
解得：k=−10b=600，
∴y关于x的函数表达式是：y=−10x+600．
(2)W=(x−30)(−10x+600)=−10x2+900x−18000．
当x=−900−20=45时，在30≤x<60的范围内，W取到最大值，最大值是2250．
答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．
【解析】(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由表中数据即可得出结论；
(2)根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．
23.【答案】解 (1)∵二次函数y=x2−4x+c的图象与y轴的交点坐标为(0,5)，
∴c=5，
∴y=x2−4x+5=(x−2)2+1，
∴顶点M的坐标是(2,1)．
(2)①如图1，∵A在x轴上，B的坐标为(1,5)，
∴点A的坐标是(1,0)．
当t=2时，D′，A′的坐标分别是(2,0)，(3,0)．
当x=3时，y=32−4×3+5=2，即点Q的纵坐标是2．
当x=2时，y=1，即点P的纵坐标是1．
∵PG⊥A′B′，
∴点G的纵坐标是1，
∴QG=2−1=1．
②存在．理由如下：
∵△PGQ的面积为1，PG=1，
∴QG=2．
根据题意，得：P(t,t2−4t+5)，Q(t+1,t2−2t+2)，
∴G(t+1,t2−4t+5)，
如图2，当点G在点Q的上方时，
QG=t2−4t+5−(t2−2t+2)=3−2t=2，
此时t=12(在0如图3，当点G在点Q的下方时，
QG=t2−2t+2−(t2−4t+5)=2t−3=2，
此时t=52(在0综上所述，存在t，使得△PGQ的面积为1，此时t的值为12或52．
【解析】(1)运用待定系数法将(0,5)代入y=x2−4x+c，即可求得c的值，再利用配方法将抛物线的解析式化为顶点式或运用顶点公式即可求得答案；
(2)①当t=2时，D′，A′的坐标分别是(2,0)，(3,0).进而可求得点P、Q的纵坐标，利用QG=yQ−yG，即可求得答案；
②根据题意，得：P(t,t2−4t+5)，Q(t+1,t2−2t+2)，G(t+1,t2−4t+5)，分两种情况：当点G在点Q的上方时，当点G在点Q的下方时，分别求得t的值即可．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，抛物线的顶点，平移变换的性质，三角形面积等，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
24.【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，AD=DC，
∴∠DCM=180°−∠BCD=90°，
∴∠A=∠DCM，
∵DM⊥PD，
∴∠ADP+∠PDC=∠CDM+∠PDC=90°，
∴∠ADP=∠CDM，
在△DAP和△DCM中，
∠A=∠DCMAD=CD∠ADP=∠CDM，
∴△DAP≌△DCM(ASA)；
(2)解：如图2，作QN⊥BC于点N，
∵∠ABC=90°，DQ⊥AB，QN⊥BC，
∴四边形DBNQ是矩形，
∴∠DQN=90°，QN=DB，
∵QM⊥PQ，
∴∠DQP+∠PQN=∠MQN+∠PQN=90°，
∴∠DQP=∠MQN，
∵∠QDP=∠QNM=90°，
∴△DQP∽△NQM，
∴PQQM=DQQN=DQDB，
∵BC=8，AC=10，∠ABC=90°，
∴AB= AC2−BC2=6，
∵AD=2DB，
∴DB=2，
∵∠ADQ=∠ABC=90°，
∴DQ//BC，
∴△ADQ∽△ABC，
∴DQBC=ADAB=23，
∴DQ=163，
∴PQQM=DQDB=83；
(3)解：∵AC=mAB，CQ=nAC，
∴CQ=mnAB，
∴AQ=AC−CQ=(m−mn)AB，
∵∠BAC=90°，
∴BC= AB2+AC2= 1+m2AB，
如图3，作QN⊥BC于点N，
∵∠BAC+∠ABN+∠BNQ+∠AQN=360°，∠BAC=90°，
∴∠ABN+∠AQN=180°，
∵∠ABN+∠PBN=180°，
∴∠AQN=∠PBN，
∵∠PQM=∠PBC，
∴∠PQM=∠AQN，
∴∠AQP=∠NQM，
∵∠A=∠QNM=90°，
∴△QAP∽△QNM，
∴PQQM=AQNQ，
∵∠A=∠QNC=90°，∠QCN=∠BCA，
∴△QCN∽△BCA，
∴QNBA=CQCB=mnAB 1+m2AB=mn 1+m2，
∴QN=mn 1+m2AB，
∴PQQM=AQNQ=1−nn 1+m2．
【解析】(1)根据正方形的性质及角的和差推出∠A=∠DCM，AD=DC，∠ADP=∠CDM，利用ASA即可证明△DAP≌△DCM；
(2)作QN⊥BC于点N，则四边形DBNQ是矩形，根据矩形的性质推出∠DQN=90°，QN=DB，根据角的和差推出∠DQP=∠MQN，结合∠QDP=∠QNM=90°，推出△DQP∽△NQM，根据相似三角形的性质得到PQQM=DQQN=DQDB，根据勾股定理求出AB=6，则DB=2，根据矩形的性质推出DQ//BC，进而推出△ADQ∽△ABC，根据相似三角形的性质求解即可；
(3)根据题意推出CQ=mnAB，AQ=(m−mn)AB，根据勾股定理求出BC= 1+m2AB，根据四边形内角和定理及邻补角定义推出∠AQP=∠NQM，结合∠A=∠QNM=90°，推出△QAP∽△QNM，根据相似三角形的性质得出PQQM=AQNQ，根据题意推出△QCN∽△BCA，根据相似三角形的性质求出QN=mn 1+m2AB，据此求解即可．
此题是相似综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练运用相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理并作出合理的辅助线是解题的关键．抽取的公仔数n
10
100
1000
2000
3000
优等品的频数m
9
96
962
1920
2880
优等品的频率
0.9
0.96
a
0.96
b
销售价格x(元/千克)
50
40
日销售量y(千克)
100
200
1.下列各数中，最小的数是( )
A. −2B. −1C. 1D. 0
2.计算a3⋅a的结果是( )
A. a2B. a3C. a4D. a5
3.国家互联网信息办公室2023年5月23日发布的《数字中国发展报告(2022年)》显示，2022年我国数字经济规模达502000亿元.用科学记数法表示502000，正确的是( )
A. 0.502×106B. 5.02×106C. 5.02×105D. 50.2×104
4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是( )
A.
B.
C.
D.
5.将抛物线y=x2向上平移3个单位后所得的解析式为( )
A. y=x2+3B. y=x2−3C. y=(x+3)2D. y=(x−3)2
6.如图，点A，B，C在⊙O上，连结AB，AC，OB，OC.若∠BAC=50°，则∠BOC的度数是( )
A. 80°
B. 90°
C. 100°
D. 110°
7.如图，已知在锐角△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC.若∠EBC=45°，BC=6，则△EBC的面积是( )
A. 12
B. 9
C. 6
D. 3 2
8.某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆.如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是( )
A. 20(1+2x)=31.2B. 20(1+2x)−20=31.2
C. 20(1+x)2=31.2D. 20(1+x)2−20=31.2
9.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF.将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF.则下列结论不正确的是( )
A. BD=10B. HG=2C. EG//FHD. GF⊥BC
10.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM=4，BN=2.若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN=45°的△PMN中，边PM的长的最大值是( )
A. 4 2
B. 6
C. 2 10
D. 3 5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在一个不透明的箱子里放有7个红球和3个黑球，它们除颜色外其余都相同.从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是______．
12.如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，连结OB.若⊙O的半径为5cm，BC的长为8cm，则OD的长是______cm．
13.如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE//BC，ADAB=13.若DE=2，则BC的长是______．
14.为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星(A,B,C,D,E是正五角星的五个顶点)，则图中∠A的度数是______度.
15.某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架(EF)放在离树(AB)适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架(EF)上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高(CD)的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度.已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，AB⊥BD于点B，BF=6米，DF=2米，EF=0.5米，CD=1.7米，则这棵树的高度(AB的长)是______米.
16.如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF，③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH，⑤是正方形EFGH，直角顶点E，F，G，H分别在边BF，CG，DH，AE上．
(1)若EF=3cm，AE+FC=11cm，则BE的长是______cm．
(2)若DGGH=54，则tan∠DAH的值是______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
2sin260°−tan45°+4cs60°．
18.(本小题8分)
某玩具公司承接了第19庙杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题：
(1)a= ______；b= ______．
(2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是______.(精确到0.01)
(3)若该公司这一批次生产了10000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE.已知BC=10，AD=12，求BD，DE的长．
20.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．
(1)求证：BD=BC．
(2)已知OC=1，∠A=30°，求AB的长．
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，点A(3,3)，B(4,0)，C(0,−1)．
(1)作出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
(2)作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的△A2B2C；
(3)点B的对应点B2的坐标为______．
22.(本小题8分)
某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)(30≤x<60)存在一次函数关系，部分数据如表所示：
(1)试求出y关于x的函数表达式．
(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
23.(本小题8分)
如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2−4x+c的图象与y轴的交点坐标为(0,5)，图象的顶点为M.矩形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，t轴上，顶点B的坐标为(1,5)．
(1)求c的值及顶点M的坐标．
(2)如图2，将矩形ABCD沿x轴正方向平移t个单位(0
②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得△PGQ的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
24.(本小题8分)
【特例感知】
(1)如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连结PD，过点D作DM⊥PD，交BC的延长线于点M.求证：△DAP≌△DCM．
【变式求异】
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB，交AC于点Q，点P在边AB的延长线上，连结PQ，过点Q作QM⊥PQ，交射线BC于点M.已知BC=8，AC=10，AD=2DB，求PQQM的值．
【拓展应用】
(3)如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上(不与点A，C重合)，连结PQ，以Q为顶点作∠PQM=∠PBC，∠PQM的边QM交射线BC于点M.若AC=mAB，CQ=nAC(m,n是常数)，求PQQM的值(用含m，n的代数式表示)．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：如图所示，
，
故选A．
在数轴上表示出各数，根据数轴的特点即可得出结论．
本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：a3⋅a=a3+1=a4，
故选：C．
根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：502000=5.02×105，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵主视图和左视图是矩形，
∴几何体是柱体，
∵俯视图是圆，
∴该几何体是圆柱，故D正确．
故选：D．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案．
本题主要考查了由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．
5.【答案】A
【解析】解：∵抛物线y=x2向上平移3个单位，
∴平移后的解析式为：y=x2+3，
故选：A．
根据二次函数图象变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后的解析式．
此题考查了抛物线图象的平移规律，熟练记忆二次函数图象平移规律是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵∠BAC=50°，∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOC=100°．
故选：C．
直接利用圆周角定理求解即可求得∠BOC的度数．
此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7.【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD=12BC=3，AD⊥BC，
在Rt△EBD中，∠EBC=45°，
∴ED=BD=3，
∴S△EBC=12BC⋅ED=12×6×3=9，
故选：B．
根据等腰三角形的性质得到BD=CD=3，AD⊥BC，根据等腰直角三角形的性质求出ED，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：由题意得：20(1+x)2−20=31.2，
故选：D．
根据“2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆”列方程求解．
本题考查了由实际问题抽象处一元二次方程，找到相等关系是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，BC=AD，
∵AB=6，BC=8，
∴BD= AB2+AD2= 62+82=10，
故A选项不符合题意；
∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，
∴AB=BG=6，CD=DH=6，
∴GH=BG+DH−BD=6+6−10=2，
故B选项不符合题意；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，
∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，
∴∠A=∠BGE=∠C=∠DHF=90°，
∴EG//FH．
故C选项不符合题意；
∵GH=2，
∴BH=DG=BG−GH=6−2=4，
设FC=HF=x，则BF=8−x，
∴x2+42=(8−x)2，
∴x=3，
∴CF=3，
∴BFCF=53，
又∵BGDG=64=32，
∴BFCF≠BGDG，
若GF⊥BC，则GF//CD，
∴BFCF=BGDG，
故D选项不符合题意．
故选：D．
由矩形的性质及勾股定理可求出BD=10；由折叠的性质可得出AB=BG=6，CD=DH=6，则可求出GH=2；证出∠A=∠BGE=∠C=∠DHF=90°，由平行线的判定可得出结论；由勾股定理求出CF=3，根据平行线分线段成比例定理可判断结论．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图所示：△MNP为等腰直角三角形，∠MPN=45°，此时PM最长，
根据勾股定理得：PM= 22+62= 40=2 10．
故选：C．
在网格中，以MN为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM最长，利用勾股定理求出即可．
此题考查了相似三角形的判定，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
11.【答案】710
【解析】解：从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是77+3=710，
故答案为：710．
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：∵BC⊥OA，BC=8cm，
∴BD=CD=12BC=4cm，BD2+OD2=OB2，
∵OB=5cm，
∴42+OD2=52，
∴OD=3或OD=−3(舍去)，
∴OD的长是3cm，
故答案为：3．
根据垂径定理和勾股定理列方程即可解答．
本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是连接半径，构建直角三角形，列方程解决问题．
13.【答案】6
【解析】解：∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC，
∵ADAB=13，DE=2，
∴13=2BC，
∴BC=6，
故答案为：6．
由平行线的旋转得出∠ADE=∠B，∠AED=∠C，得出△ADE∽△ABC，由相似三角形的旋转得出ADAB=DEBC，代入计算即可求出BC的长度．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
14.【答案】36
【解析】解：如图，
∵正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，
∴∠GFN=∠FNM=(5−2)×180°5=108°，
∴∠AFN=∠ANF=180°−∠GFN=180°−108°=72°，
∴∠A=180°−∠AFN−∠ANF=180°−72°−72°=36°．
故答案是：36．
正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，根据正多边形及邻补角的性质，即可求得∠AFN=∠ANF=72°，然后根据三角形的内角和定理可求得∠A的度数．
本题考查了多边形的内角与外角，正确理解五边形FGHMN是正五边形是解题关键．
15.【答案】4.1
【解析】解：过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，如图，
∵DB是水平线，CD，EF，AB都是铅垂线，
∴DH=EF=GB=0.5米，EH=DF=2米，EG=FB=6米，
∴CH=CD−DH=1.7−0.5=1.2(米)，
又根据题意，得∠CHE=∠AGE=90°，∠CEH=∠AEG，
∴△CHE∽△AGE，
∴EHEG=CHAG，即26=1.2AG，
解得：AG=3.6米，
∴AB=AG+GB=3.6+0.5=4.1(米)．
故答案为：4.1．
过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，根据镜面反射的性质求出△CHE∽△AGE，再根据对应边成比例解答即可．
本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
16.【答案】4 3
【解析】解：(1)∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，
∴AE=BE，BF=CF，
∵AE+FC=11cm，
∴BE+BF=11cm，
即BE+BE+EF=11cm，
即2BE+EF=11cm，
∵EF=3cm，
∴2BE+3cm=11cm，
∴BE=4cm，
故答案为：4；
(2)设AH=x，
∵DGGH=54，
∴可设DG=5k，GH=4k，
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE=EF=FG=GH=4k，
∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，
∴AE=BE，BF=CF，∠ABE=∠CBF=45°，
∴CG=CF+GF=BF+4k=BE+8k=AH+12k=x+12k，
∠ABC=∠ABE+∠CBF=45°+45°=90°，
∵四边形ABCD对角互补，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADH+∠CDG=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠AHD=∠CGD=90°，
∴∠ADH+∠DAH=90°，
∴∠DAH=∠CDG，
∴tan∠DAH=tan∠CDG，
∴DHAH=CGDG，即5k+4kx=x+12k5k，
整理得：x2+12kx−45k2=0，
解得x1=3k，x2=−15k(舍去)，
∴tan∠DAH=DHAH=9k3k=3．
故答案为：3．
(1)将AE和FC用BE表示出来，再代入AE+FC=11cm，即可求出BE的长；
(2)由已知条件可以证明∠DAH=∠CDG，从而得到tan∠DAH=tan∠CDG，设AH=x，DG=5k，GH=4k，用x和k的式子表示出CG，再利用tan∠DAH=tan∠CDG列方程，解出x，从而求出tan∠DAH的值．
本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数定义，一元二次方程的解法等，弄清图中线段间的关系是解题的关键．
17.【答案】解：原式=2×( 32)2−1+4×12
=32−1+2
=52．
【解析】直接把各角的三角函数值代入进行计算即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
18.【答案】0.962 0.96 0.96
【解析】解：(1)a=962÷1000=0.962，
b=2880÷3000=0.96，
故答案为：0.962，0.96；
(2)从这批公仔中，任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是0.96．
(3)这批公仔中优等品大约有10000×0.96=9600(只)，
答：估计这批公仔中优等品大约有9600只．
(1)用频数除以总数即可；
(2)由表中数据可判断频率在0.96左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取1只公仔是优等品的概率为0.96．
(3)用总数量乘以优等品的概率即可．
本题考查了频数与频率，利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
19.【答案】解∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴BD=12BC，
∵BC=10，
∴BD=5，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，
∵AD=12，
∴AB= AD2+BD2= 122+52=13，
∵E为AB的中点，D点为BC的中点，
∴DE=12AB=132．
【解析】根据等腰三角形的性质求出BD=12BC，根据勾股定理求出AB=13，
此题考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
20.【答案】(1)证明 如图，连结OD，
∵半圆O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ODB=∠OCB=90°，
在Rt△ODB和Rt△OCB中，
OB=OB,OD=OC,
∴Rt△ODB≌Rt△OCB(HL)，
∴BD=BC；
(2)解 如图，∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∵Rt△ODB≌Rt△OCB，
∴∠CBO=∠DBO=12∠ABC=30°，
在Rt△OBC中，
∵OC=1，
∴BC=OCtan30∘= 3，
在Rt△ABC中，
AB=BCsin30∘=2 3．
【解析】(1)根据切线性质得到∠ODB=∠OCB=90°，再根据HL证明Rt△ODB≌Rt△OCB，从而得到结论；
(2)分别在Rt△OBC中，利用三角函数求出BC的长，和在Rt△ABC中，利用三角函数求出即可求出AB的长．
本题考查圆的切线性质，全等三角形判定和性质，解直角三角形，熟悉相关图形的性质是解题的关键．
21.【答案】(−1,3)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C即为所求．
(3)点B的对应点B2的坐标为(−1,3)．
故答案为：(−1,3)．
(1)根据中心对称的性质作图即可．
(2)根据旋转的性质作图即可．
(3)由图可得答案．
本题考查作图−旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)设y关于x的函数表达式为y=kx+b(k≠0)．
将x=50，y=100和x=40，y=200分别代入，得：50k+b=10040k+b=200，
解得：k=−10b=600，
∴y关于x的函数表达式是：y=−10x+600．
(2)W=(x−30)(−10x+600)=−10x2+900x−18000．
当x=−900−20=45时，在30≤x<60的范围内，W取到最大值，最大值是2250．
答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．
【解析】(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由表中数据即可得出结论；
(2)根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．
23.【答案】解 (1)∵二次函数y=x2−4x+c的图象与y轴的交点坐标为(0,5)，
∴c=5，
∴y=x2−4x+5=(x−2)2+1，
∴顶点M的坐标是(2,1)．
(2)①如图1，∵A在x轴上，B的坐标为(1,5)，
∴点A的坐标是(1,0)．
当t=2时，D′，A′的坐标分别是(2,0)，(3,0)．
当x=3时，y=32−4×3+5=2，即点Q的纵坐标是2．
当x=2时，y=1，即点P的纵坐标是1．
∵PG⊥A′B′，
∴点G的纵坐标是1，
∴QG=2−1=1．
②存在．理由如下：
∵△PGQ的面积为1，PG=1，
∴QG=2．
根据题意，得：P(t,t2−4t+5)，Q(t+1,t2−2t+2)，
∴G(t+1,t2−4t+5)，
如图2，当点G在点Q的上方时，
QG=t2−4t+5−(t2−2t+2)=3−2t=2，
此时t=12(在0
QG=t2−2t+2−(t2−4t+5)=2t−3=2，
此时t=52(在0
【解析】(1)运用待定系数法将(0,5)代入y=x2−4x+c，即可求得c的值，再利用配方法将抛物线的解析式化为顶点式或运用顶点公式即可求得答案；
(2)①当t=2时，D′，A′的坐标分别是(2,0)，(3,0).进而可求得点P、Q的纵坐标，利用QG=yQ−yG，即可求得答案；
②根据题意，得：P(t,t2−4t+5)，Q(t+1,t2−2t+2)，G(t+1,t2−4t+5)，分两种情况：当点G在点Q的上方时，当点G在点Q的下方时，分别求得t的值即可．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，抛物线的顶点，平移变换的性质，三角形面积等，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
24.【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，AD=DC，
∴∠DCM=180°−∠BCD=90°，
∴∠A=∠DCM，
∵DM⊥PD，
∴∠ADP+∠PDC=∠CDM+∠PDC=90°，
∴∠ADP=∠CDM，
在△DAP和△DCM中，
∠A=∠DCMAD=CD∠ADP=∠CDM，
∴△DAP≌△DCM(ASA)；
(2)解：如图2，作QN⊥BC于点N，
∵∠ABC=90°，DQ⊥AB，QN⊥BC，
∴四边形DBNQ是矩形，
∴∠DQN=90°，QN=DB，
∵QM⊥PQ，
∴∠DQP+∠PQN=∠MQN+∠PQN=90°，
∴∠DQP=∠MQN，
∵∠QDP=∠QNM=90°，
∴△DQP∽△NQM，
∴PQQM=DQQN=DQDB，
∵BC=8，AC=10，∠ABC=90°，
∴AB= AC2−BC2=6，
∵AD=2DB，
∴DB=2，
∵∠ADQ=∠ABC=90°，
∴DQ//BC，
∴△ADQ∽△ABC，
∴DQBC=ADAB=23，
∴DQ=163，
∴PQQM=DQDB=83；
(3)解：∵AC=mAB，CQ=nAC，
∴CQ=mnAB，
∴AQ=AC−CQ=(m−mn)AB，
∵∠BAC=90°，
∴BC= AB2+AC2= 1+m2AB，
如图3，作QN⊥BC于点N，
∵∠BAC+∠ABN+∠BNQ+∠AQN=360°，∠BAC=90°，
∴∠ABN+∠AQN=180°，
∵∠ABN+∠PBN=180°，
∴∠AQN=∠PBN，
∵∠PQM=∠PBC，
∴∠PQM=∠AQN，
∴∠AQP=∠NQM，
∵∠A=∠QNM=90°，
∴△QAP∽△QNM，
∴PQQM=AQNQ，
∵∠A=∠QNC=90°，∠QCN=∠BCA，
∴△QCN∽△BCA，
∴QNBA=CQCB=mnAB 1+m2AB=mn 1+m2，
∴QN=mn 1+m2AB，
∴PQQM=AQNQ=1−nn 1+m2．
【解析】(1)根据正方形的性质及角的和差推出∠A=∠DCM，AD=DC，∠ADP=∠CDM，利用ASA即可证明△DAP≌△DCM；
(2)作QN⊥BC于点N，则四边形DBNQ是矩形，根据矩形的性质推出∠DQN=90°，QN=DB，根据角的和差推出∠DQP=∠MQN，结合∠QDP=∠QNM=90°，推出△DQP∽△NQM，根据相似三角形的性质得到PQQM=DQQN=DQDB，根据勾股定理求出AB=6，则DB=2，根据矩形的性质推出DQ//BC，进而推出△ADQ∽△ABC，根据相似三角形的性质求解即可；
(3)根据题意推出CQ=mnAB，AQ=(m−mn)AB，根据勾股定理求出BC= 1+m2AB，根据四边形内角和定理及邻补角定义推出∠AQP=∠NQM，结合∠A=∠QNM=90°，推出△QAP∽△QNM，根据相似三角形的性质得出PQQM=AQNQ，根据题意推出△QCN∽△BCA，根据相似三角形的性质求出QN=mn 1+m2AB，据此求解即可．
此题是相似综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练运用相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理并作出合理的辅助线是解题的关键．抽取的公仔数n
10
100
1000
2000
3000
优等品的频数m
9
96
962
1920
2880
优等品的频率
0.9
0.96
a
0.96
b
销售价格x(元/千克)
50
40
日销售量y(千克)
100
200
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