2024年上海市崇明区高考数学二模试卷（含解析）

展开

这是一份2024年上海市崇明区高考数学二模试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若a>b，c<0，则下列不等式成立的是( )
A. ac2>bc2B. ac>bcC. a+cb−c
2.某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为n1，n2，方差分别为s12，s22，则( )
A. n1>n2,s12>s22B. n1>n2,s12s22
3.设函数f(x)=sin(x−π6)，若对于任意α∈[−5π6,−π2]，在区间[0,m]上总存在唯一确定的β，使得f(α)+f(β)=0，则m的最小值为( )
A. π6B. π2C. 7π6D. π
4.已知函数y=f(x)的定义域为D，x1，x2∈D．
命题p：若当f(x1)+f(x2)=0时，都有x1+x2=0，则函数y=f(x)是D上的奇函数．
命题q：若当f(x1)下列说法正确的是( )
A. p、q都是真命题B. p是真命题，q是假命题
C. p是假命题，q是真命题D. p、q都是假命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.若集合A={−2,0,1}，B={x|x<−1或x>0}，则A∩B=______．
6.不等式x(x−1)<0的解为______．
7.已知向量a=(2,λ,−1)，b=(2,1,−4)，若a⊥b，则λ= ______．
8.若复数z满足iz=1+i(i为虚数单位)，则z=______．
9.若等差数列{an}的首项a1=1，前5项和S5=25，则a5= ______．
10.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,4)，则f(3)= ．
11.若(x−a)5的二项式展开式中x2的系数为10，则a= ______．
12.已知底面半径为1的圆柱，O是其上底面圆心，A、B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线.若直线OA与BC所成角的大小为π3，则BC= ______．
13.已知函数y=3x−x,x≤0f(x),x>0为奇函数，则f(2)= ______．
14.某学习小组共有10名学生，其中至少有2名学生在同一月份的出生的概率是______.(默认每月天数相同，结果精确到0.001)
15.已知A、B、C是半径为1的圆上的三个不同的点，且|AB|= 3，则AB⋅AC的最小值是______．
16.已知实数x1，x2，y1，y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1y2−y1x2=1，则|x1+y1−2|+|x2+y2−2|的最大值是______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC=2 2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．
18.(本小题14分)
在锐角三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，CD为CA在CB方向上的投影向量，且满足2csinB= 5|CD|．
(1)求csC的值；
(2)若b= 3，a=3ccsB，求△ABC的周长．
19.(本小题14分)
某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示．
(1)是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？
(2)常用L(B|A)=P(B|A)P(B−|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比.现从340人中任选一人，A表示“选到的人是吸烟者”，B表示“选到的人患慢性气管炎者”请利用样本数据，估计L(B|A)的值；
(3)现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，不吸烟者的人数X的数学期望．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，P(χ2≥3.841)≈0.05．
20.(本小题18分)
已知椭圆Γ：x22+y2=1，A为Γ的上顶点，P、Q是Γ上不同于点A的两点．
(1)求椭圆Γ的离心率；
(2)若F是椭圆Γ的右焦点，点P位于第一象限，且∠PFA=90°，求点P的坐标；
(3)作AH⊥PQ，垂足为H.若直线AP与直线AQ的斜率之和为2，是否存在x轴上的点M，使得|MH|为定值？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
21.(本小题18分)
已知f(x)=2 x−alnx−ax−1．
(1)若a=−1，求曲线y=f(x)在点P(1,2)处的切线方程；
(2)若函数y=f(x)存在两个不同的极值点x1，x2，求证：f(x1)+f(x2)>−1；
(3)若a=1，g(x)=f(x)+x，数列{an}满足a1∈(0,1)，an+1=g(an).求证：当n≥2时，an+an+2>2an+1．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
利用不等式的基本性质即可判断出正误．
本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解答】
解：∵a>b，c<0，
∴ac2>bc2，acb+c，a与b−c的大小关系不确定．
则下列不等式成立的是A．
故选：A．
2.【答案】C
【解析】解：对于A部门，因为0.2+0.7>0.75，
所以n1=4，
对于B部门，因为0.1+0.2+0.4<0.75，
所以n2=5，
所以n1由频率分布条形图可知，A部门满意度更集中，
所以s12故选：C．
根据百分位数和方差的定义求解．
本题主要考查了百分位数和方差的定义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为f(x)=sin(x−π6)，x∈[−5π6,−π2]，
所以x−π6∈[−π,−2π3]，
所以f(x)∈[− 32,0]，即f(α)∈[− 32,0]，
由在区间[0,m]上总存在唯一确定的β，使得f(α)+f(β)=0，
则在区间[0,m]上总存在唯一确定的β，使得f(β)∈[0, 32]，
由函数f(x)在[0,2π3]为增函数，值域为：[−12,1]，又f(π2)=sinπ3= 32，
即m≥π2，故m的最小值为：π2，
故选：B．
由三角函数图象的单调性得：因为f(x)=sin(x−π6)，x∈[−5π6,−π2]，所以x−π6∈[−π,−2π3]，所以f(x)∈[− 32,0]，即f(α)∈[− 32,0]，
由三角函数的最值得：在区间[0,m]上总存在唯一确定的β，使得f(α)+f(β)=0，则在区间[0,m]上总存在唯一确定的β，使得f(β)∈[0, 32]，由函数f(x)在[0,2π3]为增函数，值域为：[−12,1]，又f(π2)=sinπ3= 32，即m≥π2，故m的最小值为：π2，得解．
本题考查了三角函数图象的单调性，三角函数的最值，属中档题．
4.【答案】D
【解析】解：函数y=f(x)的定义域为D，x1，x2∈D．
若当f(x1)+f(x2)=0时，都有x1+x2=0，这里x1，x2存在，不是任意的，
由奇函数的定义可得函数y=f(x)不一定是D上的奇函数，故p错误；
若当f(x1)则函数y=f(x)不一定是D上的增函数，
这里x1，x2存在，不是任意的，单调性不确定，故q错误．
故选：D．
由奇函数的定义，注意定义域关于原点对称，其次可考虑f(−x)=−f(x)，结合函数的奇偶性和单调性的定义即可判断p和q．
本题考查函数的单调性和奇偶性的定义和应用，考查理解能力，属于基础题．
5.【答案】{−2,1}
【解析】解：∵集合A={−2,0,1}，B={x|x<−1或x>0}，
∴A∩B={−2,1}．
故答案为：{−2,1}．
利用交集定义直接求解．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6.【答案】(0,1)
【解析】解：解不等式x(x−1)<0，得0即不等式的解集为(0,1)．
故答案为：(0,1)．
利用一元二次不等式的解法求解．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
7.【答案】−8
【解析】解：向量a=(2,λ,−1)，b=(2,1,−4)，a⊥b，
则2×2+λ×1+(−1)×(−4)=0，解得λ=−8．
故答案为：−8．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
8.【答案】1−i
【解析】解：由iz=1+i，得z=1+ii=(1+i)(−i)i(−i)=1−i
故答案为：1−i．
由iz=1+i，两边除以i，按照复数除法运算法则化简计算．
本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念．属于基础题．
9.【答案】9
【解析】解：等差数列{an}的首项a1=1，前5项和S5=25，
则S5=5×1+5×42d=25，
解得d=2，
则a5=1+4×2=9．
故答案为：9．
利用等差数列{an}的首项a1=1，前5项和S5=25，列方程求出d=2，由此能求出a5．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】9
【解析】【分析】
本题考查了求幂函数的解析式以及利用函数的解析式求函数值的应用问题，是基础题目．
设出幂函数y=f(x)的解析式，根据其图象经过点(2,4)，求函数的解析式，再计算f(3)的值．
【解答】
解：设幂函数y=f(x)=xα(α∈R)，
其图象经过点(2,4)，
∴2α=4，
解得α=2，
∴f(x)=x2；
∴f(3)=32=9．
故答案为9．
11.【答案】−1
【解析】解：根据(x−a)5的二项式展开式Tr+1=C5r⋅(−a)r⋅x5−r(r=0,1,2,3,4,5)；
当r=3时，x2的系数为C53⋅(−a)3=10，解得a=−1．
故答案为：−1．
直接利用二项式的展开式以及组合数的运算求出结果．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数的运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
12.【答案】 33
【解析】解：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，
则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为π3．
在直角三角形ODA中，因为∠OAD=π3，所以tanπ3=1AD．
则AD=BC= 33．
故答案为： 33．
过A作与BC平行的母线AD，由异面直线所成角的概念得到∠OAD为π3.在直角三角形ODA中，直接由tanπ3=1AD得到答案．
本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题．
13.【答案】−199
【解析】解：因为y=3x−x,x≤0f(x),x>0为奇函数，且y=−2时，函数值为3−2+2=199，
故f(2)=−199．
故答案为：−199．
先求x=−2时的函数值，然后结合奇函数的定义即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
14.【答案】0.996
【解析】解：由于每名学生的出生月份可能是1月到12月中的任何一个，因此10名学生的出生月份共有1210种可能的排列，
每个排列对应一个基本事件，从而基本事件就有1210个，且每个基本事件发生的概率都相等．
设A表示事件“10名学生中没有任何2名学生在同一月份出生”，那么10名学生的出生月份共有A1210种可能的排列，
即事件A包含A1210个基本事件，所以事件A的概率是P(A)=A12101210=12×11×10×9×8×7×6×5×4×31210≈0.004．
这样，“至少有2名学生在同一月份出生”的概率是1−P(A)=0.996．
故答案为：0.996．
根据古典概型及对立事件概率公式计算即可．
本题考查古典概率模型，属于基础题．
15.【答案】32− 3
【解析】解：根据正弦定理可csinC=bsinB=2r，
∴ 3sinC=bsinB=2，
∴sinC= 32，∴C=π3或C=2π3，
∴B=2π3−A或B=π3−A，
①当B=2π3−A时，b=2sinB=2sin(2π3−A)，
∴AB⋅AC=cbcsA= 3×2sin(2π3−A)×csA
=2 3( 32csA+12sinA)csA
=3cs2A+ 3sinAcsA
=3(1+cs2A)2+ 32sin2A
=32+ 3sin(2A+π3)，A∈(0,2π3)，
∴2A+π3∈(π3,5π3)，
∴当2A+π3=3π2，即A=7π12时，AB⋅AC取得最小值32− 3；
②当B=π3−A时，b=2sinB=2sin(π3−A)，
∴AB⋅AC=cbcsA= 3×2sin(π3−A)×csA
=2 3( 32csA−12sinA)csA
=3cs2A− 3sinAcsA
=3(1+cs2A)2− 32sin2A
=32− 3sin(2A−π3)，A∈(0,π3)，
∴2A−π3∈(−π3,π3)，
∴AB⋅AC无最值，
综合①②可得AB⋅AC的最小值是32− 3．
故答案为：32− 3．
根据正弦定理，分类讨论构建三角函数模型，再通过三角函数的性质，即可求解．
本题考查向量数量积的最值的求解，函数思想，正弦定理的应用，属中档题．
16.【答案】6
【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则A、B都在圆x2+y2=1上，
令x1=csθy1=sinθ，x2=csϕy2=sinϕ，
则x1y2−y1x2=csθsinφ−sinθcsφ=sin(φ−θ)=1，
∴∠AOB=90°．
|x1+y1−2|+|x2+y2−2|= 2(|x1+y1−2| 2+|x2+y2−2| 2)= 2(d1+d2)=2 2d．
其中d1，d2分别为A、B到直线x+y−2=0的距离，
而点M的轨迹为以原点为圆心， 22为半径的圆，则dmax=d′+r，其中d′为圆心到直线x+y−2=0的距离，
即dmax= 2+ 22=3 22，可得|x1+y1−2|+|x2+y2−2|的最大值是2 2dmax=6．
故答案为：6．
由题意可得∠AOB=90°，把|x1+y1−2|+|x2+y2−2|变形，利用点到直线的距离公式求解．
本题考查函数的最值及其几何意义，考查化归与转化、数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】(1)证明：连接OB．
∵AB=BC=2 2，AC=4，
∴AB2+BC2=AC2，AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，
又O为AC的中点，∴OA=OB=OC=2，
又∵PA=PB=PC=AC=4，
∴PO⊥AC，PO=2 3，
则PO2+OB2=PB2，PO⊥OB，
∴OB∩AC=O，OB、AC⊂平面ABC，
∴PO⊥平面ABC；
(2)解：由(1)得PO⊥平面ABC，PO=2 3，
在△COM中，∠OCM=45°，CM=23BC=4 23，OC=2，
∴OM= OC2+CM2−2OC⋅CMcs45°=2 53，
S△POM=12×PO×OM=12×2 3×2 53=2 153，
S△COM=12×23×S△ABC=43，
设点C到平面POM的距离为d．
由VP−OMC=VC−POM，可得13×S△OCM×PO=13×S△POM⋅d，
解得d=4 55，
∴点C到平面POM的距离为4 55．
【解析】本题考查了空间线面垂直的判定，等体积法求点面距离，属于中档题．
(1)根据勾股定理可证明AB⊥BC，PO⊥OB，结合PO⊥AC以及线面垂直的判定定理即可证明；
(2)设点C到平面POM的距离为d，由VP−OMC=VC−POM解得d即可．
18.【答案】解：(1)∵CD为CA在CB方向上的投影向量，
∴|CD|=|CA|cs∠C=b⋅csC，
又∵2csinB= 5|CD|，
∴2csinB= 5b⋅csC，
∴2sinCsinB= 5sinBcsC，
又∵B∈(0,π)，∴sinB≠0，
∴2sinC= 5csC，
∵C∈(0,π)，∴sinC>0，∴csC>0，sinC= 52csC，
又∵sin2C+cs2C=1，
∴( 52csC)2+cs2C=1，
解得csC=23；
(2)∵a=3ccsB，b= 3，
∴a=3c⋅a2+c2−b22ac，∴3(a2+c2−3)=2a2，
∴c2=9−a23，
∵csC=23，∴a2+b2−c22ab=23，
∴a2+3−c2=4 33a，
∴a2+3−9−a23=4 33a，
解得a= 3，
∴c= 2，
∴△ABC的周长为a+b+c=2 3+ 2．
【解析】(1)由题意可知，|CD|=b⋅csC，代入2csinB= 5|CD|得2csinB= 5b⋅csC，再利用正弦定理求解即可；
(2)由余弦定理可得c2=9−a23，再结合csC=23可求出a的值，进而求出b的值，得到△ABC的周长．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
19.【答案】解 (1)假设H0：患慢性气管炎与吸烟无关，
则χ2=340×(120×45−160×15)2280×60×135×205≈6.581，
由P(χ2≥3.841)≈0.05，而6.581>3.481，
从而否定原假设，即有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关；
(2)L(B|A)=P(B|A) P(B−|A) =P(A∩B)P(A)P(A∩B−)P(A)=P(A∩B)P(A∩B−)=|A∩B||A∩B−|=932；
(3)按分层抽样，不吸烟者3人，吸烟者4人，
X的可能值为0，1，2，3，
所以X的分布是012343518351235135，
所以E[X]=0×435+1×1835+2×1235+3×135=97．
【解析】(1)计算出χ2的值，再与临界值比较即可；
(2)利用条件概率公式求解；
(3)由题意可知，X的可能值为0，1，2，3，根据表格数据求出相应的概率，进而得到X的分布，再结合期望公式求解．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了条件概率公式，以及离散型随机变量的分布和期望，属于中档题．
20.【答案】解 (1)由椭圆的方程x22+y2=1，可得a= 2,c= a2−b2=1，
所以离心率e=ca= 22；
(2)由题意，F(1,0)，A(0,1)，设P(x0,y0)，x0>0，y0>0，则x022+y02=1，①
因为∠PFA=90°，所以AF⋅FP=0，即(1,−1)⋅(x0−1,y0)=0，
即y0=x0−1，②，
由①②可得x0=43，y0=13，
即点P(43,13)；
(3)假设存在定点M(m,0)满足题意，
当PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+b，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立x22+y2=1y=kx+b，整理可得：(1+2k2)x2+4kbx+2b2−2=0，
由题意，Δ=16k2b2−4(1+2k2)(2b2−2)>0，即2k2−b2+1>0①，
且x1+x2=−4kb1+2k2,x1x2=2b2−21+2k2，
kAP+kAQ=y1−1x1+y2−1x2=x2(kx1+b)−x2+x1(kx2+b)−x1x1x2=2k+(b−1)(x1+x2)x1x2=2k−(b−1)⋅2kb2(b2−1)=2kb+1=2，
所以k=b+1，代入①，得：b2+4b+3>0，所以b<−3或b>−1，
即存在直线PQ使得直线AP与直线AQ的斜率之和为2，
直线PQ的方程为y=kx+k−1，直线AH的方程为y=−1kx+1，
由y=kx+k−1y=−1kx+1，得：x=2k−k2k2+1y=k−2k2+1+1，即H(2k−k2k2+1,k−2k2+1+1)，
所以|MH|2=(m−2k−k2k2+1)2+(k−2k2+1+1)2=m2+1+(k−2)(2m+1)kk2+1，
所以当m=−12时，|MH|为定值 52，
当直线PQ斜率不存在时，设P(x0,y0)，Q(x0,−y0)，
则kAP+kAQ=y0−1x0+−y0−1x0=2，x0=−1，此时H(−1,1)，|MH|= 52满足题意．
所以存在定点P(−12,0)，使得|MH|为定值，且定值为 52．
【解析】(1)由椭圆的方程，可得a，b的值，进而求出c的值，可得离心率的大小；
(2)设点P的坐标，代入椭圆的方程，可得P的横纵坐标的关系，再由∠PFA=90°，所以AF⋅FP=0，可得点P的坐标的关系，进而求出点P的坐标；
(3)设点M的坐标(m,0)，分直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线AP，AQ的向量之和的表达式，由题意可得参数的关系，由题意设直线AH的方程，联立直线PQ，AH的方程，可得点H的坐标，求出|MH|2的表达式，要使|MH|为定值，则只需m=−12时，|MH|为定值 52；当直线PQ斜率不存在时时，可得H的坐标，|MH|= 52满足题意．
本题考查椭圆的性质的应用及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解 (1)当a=−1时，f′(x)=1 x+1x+1,f′(1)=3
所以曲线y=f(x)在点P(1,2)处的切线方程为y=3x−1；
证明：(2)由f′(x)=0，得1 x−ax−a=0，令t= x，则t>0，
原方程可化为at2−t+a=0①，则t1= x1,t2= x2是方程①的两个不同的根，
所以Δ=1−4a2>01a>0，解得0所以f(x1)+f(x2)=2( x1+ x2)−a(lnx1+lnx2)−a(x1+x2)−2=2(t1+t2)−aln(t12t22)−a(t12+t22)−2=2a+1a−2，
因为02 2−2>0，所以f(x1)+f(x2)>0，
(3)由题意，g(x)=2 x−lnx−1，所以g′(x)= x−1x
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，所以函数y=g(x)在区间(0,1)上严格减，
当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，所以函数y=g(x)在区间(1,+∞)上严格增，
因为0g(1)=1，a3=g(a2)>g(1)=1，
以此类推，当n≥2时，an+1=g(an)>g(1)=1，
又f′(x)=2×12⋅1 x−1−1x=−( x−12)2−34x<0，
所以函数y=f(x)在区间(0,+∞)上严格减，
当n≥2时，f(an)=g(an)−an所以f(an+1)>f(an)，即an+2−an+1>an+1−an，故an+an+2>2an+1．
【解析】(1)先对函数求导，结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程；
(2)由已知结合导数与单调性及极值关系先表示f(x1)+f(x2)，然后结合二次方程根的存在条件即可证明；
(3)结合导数分析g(x)的单调性，结合已知递推关系及函数单调性即可证明．
本题主要考查了导数的几何意义在切线方程求解中的应用，还考查了导数与单调性在不等式证明中的应用，属于中档题．不吸烟者
吸烟者
总计
不患慢性气管炎者
120
160
280
患慢性气管炎者
15
45
60
总计
135
205
340

2024年上海市崇明区高考数学二模试卷（含解析）

更专业

更丰富

更便捷

真低价

欢迎来到教习网