2024萍乡高三二模考试数学试卷

这是一份2024萍乡高三二模考试数学试卷，共13页。试卷主要包含了已知，则向量与的夹角为，已知，则这三个数的大小关系为，已知，则下列关系正确的是等内容，欢迎下载使用。

（在此卷上答题无效）
萍乡市2023—2024学年度高三二模考试试卷
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的准考证号､姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号､姓名､考试科目”与考生本人的准考证号､姓名是否一致.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效，
3.考试结束后，监考员将试题卷､答题卡一并收回.
第I卷
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.复数，下列说法正确的是（ ）
A.的实部为12 B.的虚部为
C. D.
3.已知随机变量，且，则（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
4.已知，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的底面直径为，则该陀螺的体积为（ ）
A. B. C. D.
6.已知，则这三个数的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
7.点将一条线段分为两段和，若，则称点为线段的黄金分割点.已知直线与函数的图象相交，为相邻的三个交点，则（ ）
A.当时，存在使点为线段的黄金分割点
B.对于给定的常数，不存在使点为线段的黄金分割点
C.对于任意的，存在使点为线段的黄金分割点
D.对于任意的，存在使点为线段的黄金分割点
8.如图1，与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心.如图2，已知是双曲线的左､右焦点，是双曲线右支上一点，是的一个旁心.直线与轴交于点，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C.为递增数列 D.为周期数列
10.已知，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.设为坐标原点，直线过抛物线的焦点且与交于两点，满足与相交于点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.面积的最大值为1
第II卷
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.一种春节吉祥物为分布均匀的正十二面体模型（如图），某兴趣小组在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案.若其中的2个成员将该模型各随机抛出一次，则恰好出现一次龙的图案朝上（即龙的图案在最上面）的概率为__________.
13.在中，点分别在边上，，若交于点，则__________；当时，的面积为__________.
14.正方体的棱长为为该正方体侧面内的动点（含边界），若分别与直线所成角的正切值之和为，则四棱锥的体积的取值范围为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
16.（本小题满分15分）
定义两组数据的“斯皮尔曼系数”为变量在该组数据中的排名和变量在该组数据中的排名的样本相关系数，记为，其中.
某校15名学生的数学成绩的排名与知识竞赛成绩的排名如下表：
（1）试求这15名学生的数学成绩与知识竞赛成绩的“斯皮尔曼系数”；
（2）已知在这15名学生中有10人数学成绩优秀，现从这15人中随机抽取3人，抽到数学成绩优秀的学生有人，试求的分布列和数学期望.
17.（本小题满分15分）
如图所示的几何体是圆锥的一部分，为圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，是弧上一动点（不与重合），点在上，且，.
（1）当时，证明：平面；
（2）若四棱锥的体积大于等于.
①求二面角的取值范围；
②记异面直线与所成的角为，求的最大值.
18.（本小题满分17分）
已知椭圆的离心率为是上的不同两点，且直线的斜率为-1，当直线过原点时，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，点都不在轴上，连接，分别交于两点，求点到直线的距离的最大值.
19.（本小题满分17分）
固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为，其中为参数.当时，该表达式就是双曲余弦函数，记为，悬链线的原理常运用于悬索桥､架空电缆､双曲拱桥､拱坝等工程.已知三角函数满足性质：①导数：；②二倍角公式：；③平方关系：.定义双曲正弦函数为.
（1）写出具有的类似于题中①､②､③的一个性质，并证明该性质；
（2）任意，恒有成立，求实数的取值范围；
（3）正项数列满足，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
萍乡市2023-2024学年度高三二模考试
数学参考答案及评分标准
一､选择题（8×5=40分）
1-4BDCA 5-8BCDD
【7解析】若，则，即点为线段的黄金分割点；当时，，不存在使点为线段的黄金分割点，故选项错误；如下图，当时，，当时，，则，则存在一个使得，故选项错；对于选项，若与相交于相邻的三点，其横坐标分别为，则，将变换成后，点分别对应到点，且满足，故，即对比值无影响，故选项D正确.
【8解析】因为是的一个旁心，则平分，则；又平分的外角，则，则，即，则，则，即双曲线的渐近线方程为.
二､多选题（3×6=18分）
9.BCD 10.AD 11.ABD
【说明：第9､11题全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分；第10题全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分.】
【11解析】因为，则平分线段，又，则平分线段，则四边形为平行四边形，故对；因为四边形为平行四边形，所以，
又，故，故B对；当轴时，根据对称性，在轴上，此时，故C错；设，因为过焦点，则，则，则，又，则，即为等腰三角形，且轴为的垂直平分线，故必在轴上.此外，，
则，则，
当与抛物线相切时，取得最大值1，即
的最大值为1，故D对.
三､填空题（3×5=15分）
12. 13.； 14.
【说明：第13题全部做对得5分，做对1空得3分.】
四､解答题（共77分）
15.（1），令，解得，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
则的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）依题意，存在，使得，
令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
故，因此.
16.（1）；
（2）的值可能为，
，
，
则的分布列为：
故的数学期望为.
17.（1）由题知，在中，，求得，则，
又，故平面，所以，
平面；
（2）①设，则二面角的平面角即为
在上取点，使，连接，
四棱锥的体积，其中表示四边形的面积，则
由，可得，则，故，解得，即二面角的取值范围为；
②以方向轴正方向，在内垂直于的方向为轴正方向，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，
，
，即的最大值为.
18.（1）依题意，则，因此，
设，联立与的方程得，
又，即，
故，即陏圆的标准方程为；
（2）【解法1】设，可知的斜率存在，设为，则的方程为，联立与的方程，整理得，，则，
又，故，
同理可得，易知的斜率不为0，设的方程为，则
，
又，则，
对比的方程可知，直线恒过定点，
设点到直线的距离为，则，
当且仅当时，点到直线的距离取到最大值.
（2）【解法2】设，
则.……①
又，即，
作差整理得，
结合①，解得.……②
由①②，解得..……③
同理可得，.……④
可知的斜率不为0，设的方程为，结合①③④可得：
，
对比的方程可知，直线恒过定点，
设点到直线的距离为，则，
当且仅当时，点到直线的距离取到最大值.
（2）【解法3】由题可设如下直线方程：，，则过四点的曲线系方程为：
则项的系数为项的系数为，常数项为，
又椭圆的方程可写为：，
对比系数可知：，解得，即，
故直线恒过定点，
设点到直线的距离为，则，
当且仅当时，点到直线的距离取到最大值.
19.（1）①导数：，证明如下：
②二倍角公式：，证明如下：
③平方关系：，证明如下：
【说明：只需证到1个即给4分；证到其它性质如：①；②；③也正确.】
（2）令，
①当时，由，又因为，故，等号不成立，所以，故为增函数，
此时，故对任意恒成立，满足题意；
②当时，令，则，可知是增函数，
由与可知，存在唯一，使得，故当时，，则在上为减函数，故对任意，不合题意；
综上所述，实数的取值范围为；
（3）【解法1】由，函数的值域为，对于任意大于1的实数，存在不为0的实数，使得，
类比双曲余弦函数的二倍角公式，由，
，猜想：，
由数学归纳法证明如下：①当时，成立；
②假设当（为正整数）时，猜想成立，即，则
，符合上式，
综上：，
若，设，则，解得：或，
即，故，则，
综上：存在实数，使得成立.
（3）【解法2】构造数列，且，
，则，
在上单调递增，故，即是以2为公比的等比数列，
，
，解得或，
故，
综上：存在实数，使得成立.数学成绩的排名
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
知识竞赛成绩的排名
1
5
3
4
9
8
7
6
10
2
12
14
13
11
15
0
1
2
3