2023-2024学年陕西省西安交大附中高一（下）第一次月考数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安交大附中高一（下）第一次月考数学试卷(含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=(2,3)，b=(3,2)，则|2a−b|=( )
A. 2B. 2C. 17D. 5 2
2.下列各式中结果为零向量的是( )
A. AB+MB+BO+OMB. AB−AD−DC
C. OA+OC+BO+COD. AB−AC+BD−CD
3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2=b2+c2+bc，则A的值是( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
4.已知tanα，tanβ是方程x2+3 3x+4=0的两个根，且−π2<α<π2，−π2<β<π2，则α+β=( )
A. π3B. −23πC. π3或−23πD. −π3或23π
5.已知向量a，b不共线，且向量c=λa+b，d=a+(2λ−1)b，若c与d反向，则实数λ的值为( )
A. 1B. −12C. 1或−12D. −1或−12
6.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥BD，△BCD为边长为2 3的等边三角形，点P为边BD上一动点，则AP⋅CP的取值范围为( )
A. [−6,0]
B. [−254,0]
C. [−274,0]
D. [−7,0]
7.已知O是△ABC所在平面内一点，且点O满足OA⋅(AB|AB|−AC|AC|)=OB⋅(BA|BA|−BC|BC|)=OC⋅(CA|CA|−CB|CB|)=0，则点O一定是△ABC的( )
A. 外心B. 重心C. 内心D. 垂心
8.平面内不同的三点O，A，B满足|OA|=|AB|=4，若m∈0,1，mOB−OA+1−mBO−14BA的最小值为 19，则|OB|=( )
A. 6B. 2 3C. 2 6D. 4 3
二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. cs2α=1+cs2α2B. 1−sinα=(sinα2−csα2)2
C. 12sinα+ 32csα=sin(α+π6)D. 1−tan15°1+tan15∘= 3
10.设θ∈(0,π)，向量a=(sinθ,csθ)，向量b=(sin2θ,cs2θ)，则( )
A. a,b必不互为平行向量B. a,b必不互为垂直向量
C. 存在θ，使a=bD. 对任意θ,(a+b)⊥(a−b)
11.如图，设Ox，Oy是平面内相交成120°角的两条数轴，e1,e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.若向量OP=a=xe1+ye2，则把有序数对(x,y)叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标.若在坐标系xOy中，a=(2,1),b=(−4,5)，则下列结论正确的是( )
A. a⋅b=−6B. |a|= 3
C. a⊥bD. a+b与a的夹角的余弦值为− 3926
12.已知点P是△ABC所在平面内一点，且AP=2xAB+yAC，x，y∈R，则下列说法正确的是( )
A. 若x=y=12，则点P是边BC的中点
B. 若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则x=y=13
C. 若2x+y=2，则△PBC与△ABC的面积相等
D. 若点P在BC边的中线上，且2x+y=12，则点P是△ABC的重心
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.若sin(x−π6)=−13，则sin(2x+π6)= ______．
14.若向量a=(4,0)，b=(1, 3)，则向量a在向量b上的投影向量坐标为 ．
15.已知向量a=(1,2)，b=(x,1).若为锐角，则x的取值范围是______．
16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=π6，a=2，⊙O为△ABC的外接圆，OP=mOB+nOC．
(1)若m=n=1，则|OP|= ；
(2)若m，n∈[0,1]，则点P的轨迹所对应图形的面积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(4,0)，B(1,m)(m>0)，|AB|=5
(1)求m的值；
(2)C，M是坐标平面上的点，BC=(−1,−1)，OM=xOA+(2−x)OC(018.(本小题9分)
已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且csA( 3sinA−csA)=12．
(1)求角A的大小．
(2)若a=2 2，S△ABC=2 3，判断三角形的形状．
19.(本小题9分)
如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得这三点的俯角分别为α=30°，β=45°，γ=30°，现计划沿直线AC开通一条穿山隧道DE，经测量AD=100m，BE=33m，BC=100m．
(1)求PB的长；
(2)求隧道DE的长(精确到1m)．
附： 2≈1.414； 3≈1.732．
20.(本小题9分)
在△ABC中，点D，E分别在边BC和边AB上，且DC=2BD，BE=2AE，AD交CE于点P，设BC=a，BA=b．
(1)若EP=tEC，试用a，b和实数t表示BP；
(2)试用a，b表示BP；
(3)在边AC上有点F，使得AC=5AF，求证：B，P，F三点共线．
21.(本小题10分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2sinA−sinCsinC=a2+b2−c2a2+c2−b2．
(1)求角B的大小及y=sin2A+sin2C的取值范围；
(2)设D是AC上一点，且AD：DC=1：2，BD=1，求a+3c的最大值．
22.(本小题10分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，点B，D，F为f(x)与x轴的交点，点C，E分别为f(x)的最高点和最低点，而函数f(x)的相邻两条对称轴之间的距离为2，且其在x=−12处取得最小值．
(1)求参数ω和φ的值；
(2)若点P为函数f(x)图象上的动点，当点P在C，E之间(包含C，E)运动时，BP⋅PF≥1恒成立，求实数A的取值范围．
(3)若M(x1,y1)，N(x2,y2)是f(x)函数图象上的两点，满足OM+ON与OD共线，且MN的中点不在函数f(x)的图象上，求cs[π2(x2−x1)]的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵a=(2,3)，b=(3,2)，
∴2a−b=(1,4)，
∴|2a−b|= 12+42= 17．
故选：C．
求出2a−b=(1,4)，求模即可．
本题主要考查了向量的坐标运算，考查了向量的模长公式，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：对A，∵AB+MB+BO+OM=AB+MB+BM=AB，∴A错误；
对B，∵AB−AD−DC=DB−DC=CB，∴B错误；
对C，∵OA+OC+BO+CO=BO+OA=BA，∴C错误；
对D，∵AB−AC+BD−CD=AD−AD=0，∴D正确．
故选：D．
根据向量的加法与减法的几何意义即可求解．
本题考查向量的线性运算，属基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题给出三角形边的平方关系，求角A的大小．考查了余弦定理和特殊角的三角函数值等知识，属于基础题．
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA的式子与题中等式加以比较，可得csA=−12，结合A是三角形的内角，可得A的大小．
【解答】
解：∵由余弦定理，得a2=b2+c2−2bccsA
∴结合题意a2=b2+c2+bc，得csA=−12
又∵A是三角形的内角，∴A=2π3
故选：C．
4.【答案】B
【解析】解：依题意可知tanα+tanβ=−3 3，tanα⋅tnaβ=4
∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ= 3
∵tanα⋅tnaβ>0，tanα+tanβ<0
∴tanα<0，tanβ<0
∵−π2<α<π2，−π2<β<π2，
∴−π<α+β<0
∴α+β=−2π3
故选B
先根据韦达定理求得tanα⋅tnaβ和tanα+tanβ的值，进而利用正切的两角和公式求得tan(α+β)的值，根据tanα⋅tnaβ>0，tanα+tanβ<0推断出tanα<0，tanβ<0，进而根据已知的α，β的范围确定α+β的范围，进而求得α+β的值．
本题主要考查了两角和与差的正切函数的化简求值．考查了基础知识的运用．属基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵向量a，b不共线，且向量c=λa+b，d=a+(2λ−1)b，c与d反向，
∴存在实数k使c=kd(k<0)，
于是λa+b=k[a+(2λ−1)b].
整理得λa+b=ka+(2λk−k)b．
由于向量a，b不共线，所以有λ=k2λk−k=1，
整理得2λ2−λ−1=0，
解得λ=1或λ=−12．
又因为k<0，所以λ<0，
故λ=−12．
故选：B．
由题意存在实数k使λa+b=k[a+(2λ−1)b]，k<0，由向量a，b不共线，得2λ2−λ−1=0，由此能求出结果．
本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量共线的性质的合理运用．
6.【答案】C
【解析】解：由题意可知，△BCD为等边三角形，则有∠DBC=60°，∠ABD=30°，
在Rt△ABD中，AD=BD×tan30°=2 3× 33=2,AB=2AD=4；
如图以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则有A(0,4),C(2 3,0)，由于∠DBC=60°，故可设P点坐标为(x, 3x)，且0≤x≤ 3，
所以AP=(x, 3x−4),CP=(x−2 3, 3x)，
所以AP⋅CP=x(x−2 3)+( 3x−4) 3x=4x2−6 3x=4(x−3 34)2−274，
因为0≤x≤ 3，当x=3 34时，4(x−3 34)2−274取得最小值−274，
当x=0时，4(x−3 34)2−274取得最大值为0，
所以−274≤AP⋅CP≤0，
故选：C．
根据题意可计算出AB的长，由此建立平面直角坐标系，设点P的坐标，进而表示向量AP,CP的坐标，计算AP⋅CP，结合二次函数的知识求得结果．
本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：因为OA⋅(AB|AB|−AC|AC|)=0，所以OA⋅AB|AB|=OA⋅AC|AC|，
则|OA|⋅|AB||AB|cs(π−∠OAB)=|OA|⋅|AC||AC|cs(π−∠OAC)，
即∠OAB=∠OAC，OA是∠BAC的角平分线，
同理可得OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，
所以点O为△ABC三条角平分线的交点，即点O是△ABC的内心．
故选：C．
由OA⋅(AB|AB|−AC|AC|)=0，可得OA⋅AB|AB|=OA⋅AC|AC|，由平面向量数量积的运算可得∠OAB=∠OAC，即点O位于∠BAC的角平分线上，同理可得，OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，即点O是△ABC的角平分线的交点，可得结论．
本题考查平面向量数量积的运算，三角形内心的性质，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：如图，设OC=mOB(0≤m≤1)，则点C在线段OB上运动，
所以|mOB−OA|=|OC−OA|=|AC|，
设BD=14BA，则|BD|=14|BA|=1，
所以|(1−m)BO−14BA|=|(m−1)BO−BD|=|mBO−(BO+BD)|=|OC−OD|=|DC|，
所以|mOB−OA|+|(1−m)BO−14BA|=|AC|+|DC|，即|AC|+|DC|的最小值为 19，
作D关于OB对称的点D1，设∠ABO=θ(0<θ<π2)，
则|AC|+|DC|=|AC|+|D1C|≥|AD1|，∴|AD1|= 19，
在△ABD1中，|AB|=4，|BD1|=|BD|=1，|AD1|= 19，
由余弦定理得cs2θ=16+1−192×4×1=−14，
又cs2θ=2cs2θ−1=−14，所以csθ= 64，
则|OB|=2|AB|csθ=2×4× 64=2 6，
故选：C．
设OC=mOB，BD=14BA，∠ABO=θ，作D关于OB对称的点D1，根据向量的线性运算化简题中的等式为|AC|+|DC|，利用点关于直线对称的性质可得|AD1|= 19，结合余弦定理可求出cs2θ，利用余弦的二倍角公式求出csθ，即可求解．
本题考查向量的综合应用，考查余弦定理，属于难题．
9.【答案】AB
【解析】解：对于A，右边=1+2cs2α−12=cs2α，正确；
对于B，右边=sin2α2+cs2α2−2sinα2csα2=1−sinα=左边，故正确；
对于C，左边=sin(α+π3)≠sin(α+π6)，错误；
对于D，左边=tan(45°−15°)=tan30°= 33≠ 3，错误．
故选：AB．
对于A，利用二倍角的余弦公式即可求解；
对于B，利用平方差公式以及同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式即可计算求解；
对于C，利用两角和的正弦公式即可求解；
对于D，利用两角差的正切公式即可求解．
本题考查了二倍角的余弦公式，两角和的正弦公式，两角差的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：若a//b，则sinθcs2θ−csθsin2θ=0，即sin(θ−2θ)=0，可得sin(−θ)=0，即sinθ=0，
结合θ∈(0,π)，可知不存在满足条件的角θ，使a//b，故A项正确；
若a⊥b，则sinθsin2θ+csθcs2θ=0，即cs(θ−2θ)=0，可得cs(−θ)=0，即csθ=0，
结合θ∈(0,π)，可知存在θ=π2，使a=(1,0)，b=(0,−1)，a,b互相垂直，故B项不正确；
若a=b，则sinθ=sin2θ且csθ=cs2θ，则θ=2kπ，k∈Z，
结合θ∈(0,π)，可知不存在满足条件的角θ，使a=b，故C项不正确；
因为a,b都是单位向量，所以|a|=|b|=1，可得(a+b)⋅(a−b)=a2−b2=0，
因此，对任意θ,(a+b)⊥(a−b)成立，故D项正确．
故选：AD．
根据两个向量平行和垂直的条件，结合两角和与差的三角函数公式加以计算，判断出A、B两项的正误；根据向量相等，结合三角函数的定义判断出C项的正误；通过计算出a+b与a⋅b的数量积，判断出a+b与a⋅b垂直，判断出D项的正误．
本题主要考查平面向量平行与垂直的性质、两角和与差的三角函数公式、向量的数量积及其运算性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：由向量e1,e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量且=120°，
可得e1⋅e2=|e1||e2|cs120°=−12，
因为a=(2,1)=2e1+e2,b=(−4,5)=−4e1+5e2，
对于A，由a⋅b=(2e1+e2)⋅(−4e1+5e2)=−8e12+6e1⋅e2+5e22=−6，所以A正确；
对于B，由|a|= (2e1+e2)2= 4e12+4e1⋅e2+e22= 4+4×(−12)+1= 3，所以B正确；
对于C，由a⋅b=−6≠0，所以C不正确；
对于D，由a+b=−2e1+6e2，可得|a+b|= (−2e1+6e2)2= 4e12−24e1⋅e2+36e22= 52，
且(a+b)⋅a=a2+a⋅b=−3，
所以cs=(a+b)⋅a|a+b||a|=−3 52× 3=− 3926，所以D正确．
故选：ABD．
根据题意，利用向量的新定义，结合向量的数量积、向量的夹角公式和向量模的计算公式，逐项计算，即可求解．
本题考查平面向量数量积运算及模和夹角的运算，属中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：对于A，若P为边BC的中点，则2x=y=12，即x=14，y=12，A错误；
对于B，若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则2x=23，y=13，
即x=y=13，故B正确；
对于C，若2x+y=2，则y=2−2x，
所以AP=2xAB+yAC=2xAB+(2−2x)AC，
延长AB到点D使得AB=BD，延长AC到点E使得AC=CE，则B，C分别为AD，AE的中点，
所以AD=2AB，AE=2AC，
所以AP=xAD+(1−x)AE，所以D、P、E三点共线，
又BC为三角形ADE的中位线，所以A、P到BC的距离相等，
所以S△ABC=S△PBC，故C正确；
对于D：取BC的中点M，所以AM=12AB+12AC，
又点P在AM上，设AP=λAM，
所以AP=λAM=12λAB+12λAC，
又AP=2xAB+yAC，所以y=12λ2x=12λ，
又2x+y=12，所以λ=12，即AP=12AM，
此时P为AM的中点，不是△ABC的重心，故D错误．
故选：BC．
根据平面向量线性法则及共线定理判断即可．
本题考查了平面向量基本定理的应用，属于中档题．
13.【答案】79
【解析】解：若sin(x−π6)=−13，
则sin(2x+π6)=sin[2(x−π6)+π2]=cs[2(x−π6]=1−2sin2(x−π6)=79．
故答案为：79．
由sin(2x+π6)=sin[2(x−π6)+π2]=cs[2(x−π6]=1−2sin2(x−π6)，代入即可求解．
本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角求值中的应用，属于基础题．
14.【答案】(1, 3)
【解析】【分析】
本题考查了投影向量的计算公式，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．
根据投影向量的计算公式求出答案即可．
【解答】
解：∵a=(4,0),b=(1, 3)，
∴a在b上的投影向量坐标为：a⋅b|b|⋅b|b|=44(1, 3)=(1, 3)．
故答案为：(1, 3)．
15.【答案】{x|x>−2且x≠12}
【解析】解：∵为锐角，
∴a⋅b>0，且a,b不共线，
∴x+2>01−2x≠0，解x>−2且x≠12，
∴x的取值范围为{x|x>−2且x≠12}．
故答案为：{x|x>−2且x≠12}．
根据为锐角即可得出x+2>01−2x≠0，解出x的范围即可．
本题考查了向量数量积的计算公式，向量坐标的数量积运算，共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
16.【答案】2 3 2 3
【解析】解：∵A=π6,a=2，圆O为△ABC的外接圆，
∴2R=asinA=212=4⇒R=2,∠BOC=2∠A=60°,OB=OC=2，
(1)若m=n=1，则OP=OB+OC，
OP2=(OB+OC)2=OB2+OC2+2OB⋅OC=12⇒|OP|=2 3，
(2)若m，n∈[0,1]，则点P的轨迹：
当m=0，n∈[0,1]时，OP=nOC，此时点P在线段OC上；
当n=0，m∈[0,1]时，OP=mOB，此时点P在线段OB上；
当m=1，n∈[0,1]时，OP=OB+nOC，构造平行四边形OBDC，此时点P在线段BD上(如图1)；
当n=1，m∈[0,1]时，OP=mOB+OC，构造平行四边形OBDC，此时，点P在线段CD上；
当m，n∈(0,1)时，OP=mOB+nOC，此时，点P在图形OBDC内部，(如图3)；
综上，P点的轨迹为菱形OBDC组成的图形区域，则S菱形OBCD=2S△OBC=2×12×2×2×sin60°=2 3．
故答案为：2 3；2 3．
(1)若m=n=1，将OP=OB+OC两边同时平方，计算得出结果；
(2)若m，n∈[0,1]，讨论点P的轨迹，得出是菱形，再去求面积即可．
本题考查轨迹方程，考查学生的运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为A(4,0)，B(1,m)，所以AB=(−3,m)，
故|AB|2=9+m2=25⇒m=±4，
因为m>0，所以m=4；
(2)OC=OB+BC=(0,3)，
OM=xOA+(2−x)OC=x⋅(4,0)+(2−x)⋅(0,3)=(4x,6−3x)，
OM2=16x2+(6−3x)2=25x2−36x+36=25(x−1825)2+57625，
因为0【解析】(1)先求出AB=(−3,m)，再根据模长公式可求出结果；
(2)先求出OM=(4x,6−3x)，再根据模长公式以及二次函数知识可得结果．
本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量坐标的加法和数乘运算，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为csA( 3sinA−csA)=12，
即 3sinAcsA−cs2A= 32sin2A−12(1+cs2A)
= 32sin2A−12cs2A−12=12，
即sin(2A−π6)=1，
又A为三角形的内角，
所以2A−π6=π2，解得：A=π3；
(2)因为a=2 2，S△ABC=2 3，sinA= 32，
所以12bcsinA=2 3，即bc=8①，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=(b+c)2−3bc，即8=(b+c)2−24，
解得b+c=4 2②，
联立①②，解得b=c=2 2．
所以三角形是等边三角形．
【解析】(1)由二倍角的正弦公式和余弦公式、两角差的正弦公式化简已知等式，由特殊角的正弦函数值可得所求角；
(2)由三角形的面积公式和余弦定理，解方程可得b，c，进而可判断三角形的形状．
本题考查二倍角公式和两角差的正弦公式的运用，以及三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题意知，∠BPC=β−γ=45°−30°=15°，∠PBC=180°−β=135°，
所以∠PCB=180°−15°−135°=30°；
在△PCB中，由正弦定理得：PBsin∠PCB=BCsin∠BPC，
且sin15°=sin(45°−30°)= 22× 32− 22×12= 6− 24，
所以PB=100×12 6− 24=200 6− 2=50( 6+ 2)=50 2( 3+1)≈193(m)．
(2)在△PAB中，∠PAB=α=30°，∠ABP=β=45°，所以∠APB=105°，
由正弦定理得：ABsin∠APB=PBsin∠PAB，
sin105°=sin75°=sin(45°+30°)= 22× 32+ 22×12= 6+ 24，
所以AB=193× 6+ 2412=193 2( 3+1)2≈373(m)，
所以DE=AB−AD−BE=373−100−33=240(m)，
即隧道DE的长为240m．
【解析】本题考查了解三角形的实际应用问题，也考查了数学建模、数学运算的数学核心素养，是中档题．
(1)根据题意求出∠PCB，在△PCB中运用正弦定理求出PB的长；
(2)在△PAB中，利用正弦定理求出∠APB的值，再求隧道DE的长．
20.【答案】解：(1)由题意BE=23BA=23b，所以EC=EB+BC=a−23b，
BP=BE+EP=BE+tEC=23b+t(a−23b)=ta+23(1−t)b①，
(2)设DP=kDA，由BD=13BC=13a，DA=DB+BA=b−13a，
BP=BD+DP=13a+k(b−13a)=13(1−k)a+kb②，
由①、②得，ta+23(1−t)b=13(1−k)a+kb，
所以t=13(1−k)23(1−t)=k，解得t=17k=47，所以BP=17a+47b；
(3)证明：由AC=a−b，得AF=15AC=15(a−b)，所以BF=BA+AF=15a+45b，
所以BF=75BP，因为BF与BP有公共点B，所以B，P，F三点共线．
【解析】(1)根据向量加减法运算即可；
(2)根据向量相等，列方程组即可表示BP；
(3)应用向量共线且有公共点证明即可．
本题考查向量的表示，属于中档题．
21.【答案】解：(1)∵2sinA−sinCsinC=a2+b2−c2a2+c2−b2，
∴2a−cc=a2+b2−c2a2+c2−b2，
∴a2+c2−b2=ac，
∴csB=a2+c2−b22ac=12，
故B=π3，
故A+C=2π3，
y=sin2A+sin2C
=sin2A+sin2(2π3−A)
=34+12sin2A+ 32sinAcsA
=12⋅12(1−cs2A)+ 34sin2A+34
=12sin(2A−π6)+1，
∵0∴−π6<2A−π6<7π6，
∴sin(2A−π6)∈(−12,1]，
∴y∈(34,32]；
即y=sin2A+sin2C的取值范围为(34,32]；
(2)∵cs∠ADB+cs∠CDB=0，
∴1+19b2−c22⋅1⋅13b+1+49b2−a22⋅1⋅23b=0，
即23b2=a2+2c2−3，
又∵a2+c2−b2=ac，
∴2(a2+c2−ac)=3(a2+2c2−3)，
即(a+c)2+3c2=9，
设a+c=3csθ， 3c=3sinθ，
∴a+3c=2 3sinθ+3csθ= 21sin(θ+φ)(其中tanφ= 32)
当sin(θ+φ)=1时，a+3c有最大值 21．
【解析】(1)由正弦定理化简2sinA−sinCsinC=a2+b2−c2a2+c2−b2得a2+c2−b2=ac，再利用余弦定理求B即可；由A+C=2π3化简y=sin2A+sin2C=12sin(2A−π6)+1，从而求y=sin2A+sin2C的取值范围；
(2)由cs∠ADB+cs∠CDB=0化简得23b2=a2+2c2−3，从而得到(a+c)2+3c2=9，构造得a+c=3csθ， 3c=3sinθ，从而求得．
本题考查了三角函数的性质及解三角形的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)∵f(x)的相邻两条对称轴之间的距离为2，
∴T2=2⇒T=4，
由T=2πω=4，解得ω=π2，
又x=−12时，f(x)取最小值，
则π2×(−12)+φ=−π2+2kπ,(k∈Z)，
∴φ=−π4+2kπ,(k∈Z)，
又∵|φ|<π，则k=0时，φ=−π4；
(2)BP⋅PF=(DP−DB)⋅(DF−DP)=(DP−DB)⋅(−DP−DB)
=(DB−DP)⋅(DP+DB)=DB2−DP2=4−|DP|2，
由图象可知，当点P与点C或点E重合时，|DP|取到最大值为 1+A2，
此时(BP⋅PF)min=3−A2，
即3−A2≥1恒成立，
∴A2≤2，
又∵A>0，
解得0∴实数A的取值范围为(0, 2]；
(3)OM+ON与OD共线，可得MN的中点在x轴上，所以y1+y2=0，
即sin(π2x1−π4)=−sin(π2x2−π4)，
则π2x1−π4=−(π2x2−π4)+2kπ或π2x1−π4=(π2x2−π4)+π+2kπ，k∈Z，
化简得x1+x2=1+4k或x2−x1=2+4k，k∈Z，
当x1+x2=1+4k时，MN的中点(12+2k,0)，k∈Z，
在函数f(x)的图象上，不符合题意，舍去；
所以x2−x1=2+4k，k∈Z，
则cs[π2(x2−x1)]=cs[π2(2+4k)]=cs(π+2kπ)=−1．
【解析】(1)由对称轴之间的距离可得周期，根据周期求出ω，利用在x=−12处取得最小值求出φ；
(2)利用向量运算法则得出BP⋅PF=4−|DP|2，将BP⋅PF≥1恒成立转化为(BP⋅PF)min≥1，利用数形结合的手段求出其最小值代入计算即可；
(3)由OM+ON与OD共线得出y1+y2=0，结合表达式计算得到x1+x2=1+4k或x2−x1=2+4k(k∈Z)，代入检验舍去x1+x2=1+4k，(k∈Z)的情况，再代入所求式计算即可．
本题考查三角函数和平面向量的综合运用，对运算能力有一定的要求，属于中档题．