2023-2024学年海南省文昌中学高二（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年海南省文昌中学高二（下）第一次月考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数f(x)=12x2−lnx的单调递减区间为( )
A. (−1,1)B. (−∞,1)C. (1,+∞)D. (0,1)
2.小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡，若他至少买一张，则不同的买法共用( )
A. 7种B. 8种C. 6种D. 9种
3.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：
①−3是函数y=f(x)的极值点；
②−1是函数y=f(x)的最小值点；
③y=f(x)在区间(−3,1)上单调递增；
④y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零．
以上正确命题的序号是( )
A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④
4.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2−y23=1的渐近线的距离是( )
A. 12B. 32C. 1D. 3
5.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(e)+lnx，则f(e)=( )
A. eB. −1eC. −1D. −e
6.某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断少，已知p与时的t(单位：小时)满足p(t)=p02−t30，其中p0为t=0时的污染物数量，又测得当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是−10ln2，则p(60)=( )
A. 150毫克/升B. 300毫克/升C. 150ln2毫克/升D. 300ln2毫克/升
7.某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，若这人把这种特殊要求的号买全，则需要花( )
A. 3360元B. 6720元C. 4320元D. 8640元
8.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′(x)，g′(x)为其导函数，当x<0时，f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)<0且g(−3)=0，则使不等式f(x)⋅g(x)<0成立的x的取值范围是( )
A. (−∞,0)∪(3,+∞)B. (−3,0)∪(3,+∞)
C. (−∞,3)D. (0,3)∪(6,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列{an}是等差数列，若a1=3，a2，a5−3，a6+6成等比数列，则数列{an}的公差为( )
A. −3B. 3C. 2D. −911
10.函数f(x)=x3−3ax−a在(0,1)内有最小值，则a的值可以为( )
A. 0B. 13C. 12D. 911
11.已知函数f(x)=xlnx，g(x)=f′(x)x，下列命题中正确的是( )
A. 不等式g(x)>0的解集为(1e,+∞)
B. 函数g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减
C. 若函数F(x)=f(x)−ax2有两个极值点，则a∈(0,1)
D. 若x1>x2>0时，总有m2(x12−x22)>f(x1)−f(x2)恒成立，则m≥1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有 种．
13.已知函数f(x)=x2(x−a)，若从f(x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围______．
14.已知集合A={a1,a2,a3⋯an}⊆N*，其中n∈N且n≥3，a1(1)集合A={1,2,a}具有性质M3，则a的最小值______；
(2)已知A具有性质M15，若1a1−1a2024≥M，则M的最大正整数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)已知函数f(x)=x3−12x+8在区间[−3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，求M−m；
(2)已知x=3是函数f(x)=alnx+x2−10x的一个极值点，求a．
16.(本小题15分)
已知等比数列{an}的公比q>0，a2a3=8a1，且a4，36，2a6成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn=2nan，求数列{bn}的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为菱形，AD=2，∠BAD=60°，平面PBD⊥平面ABCD．
(1)证明：PB⊥AC；
(2)若PB=PD，且PA与平面ABCD成角为60°，点E在棱PC上，且PE=13PC，求平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，且过(4,2)．
(1)求E的方程；
(2)设E的左、右顶点分别为A，B，点C，D为E上与A，B不重合的两点，且∠CAD=90°．
(ⅰ)证明：直线CD恒过定点P(−2 63,0)；
(ⅱ)求△BCD面积的最大值．
19.(本小题17分)
已知f(x)=ae2x−2xex(e为自然对数的底数)．
(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)当a=1时，设g(x)=f(x)ex，求函数g(x)零点的个数；
(3)∀x∈R，f(x)+1a≤0，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性的求法，函数的导数的应用，注意函数的定义域．
求出函数的定义域，利用导函数的符号列出不等式求解即可．
【解答】
解：函数f(x)=12x2−lnx的定义域为：{x|x>0}．
函数f(x)=12x2−lnx的导函数为：f′(x)=x−1x，
令x−1x<0并且x>0，解得0函数f(x)=12x2−lnx的单调递减区间为(0,1)．
故选：D．
2.【答案】A
【解析】解：要完成的“一件事”是“至少买一张IC电话卡”，
分3类完成：买1张IC卡、买2张IC卡、买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．
买l张IC卡有2种方法，买2张IC卡有3种方法，买3张IC卡有2种方法．
不同的买法共有2+3+2=7种．
故选：A．
利用已知条件，分类列出不同的买法种数即可．
本题考查排列组合的实际应用，考查计算能力．
3.【答案】C
【解析】解：根据导函数图象可知当x∈(−∞,−3)时，f′(x)<0，在x∈(−3,1)时，f′(x)≤0
∴函数y=f(x)在(−∞,−3)上单调递减，在(−3,1)上单调递增，故③正确
则−3是函数y=f(x)的极小值点，故①正确
∵在(−3,1)上单调递增，∴−1不是函数y=f(x)的最小值点，故②不正确；
∵函数y=f(x)在x=0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故④不正确
故选：C．
根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．
本题主要考查了导函数图象与函数的性质的关系，以及函数的单调性、极值、和切线的斜率等有关知识，属于中档题．
4.【答案】B
【解析】解：∵抛物线方程为y2=4x，
∴2p=4，可得p2=1，抛物线的焦点F(1,0)，
又∵双曲线的方程为x2−y23=1，
∴a2=1且b2=3，可得a=1且b= 3，
双曲线的渐近线方程为y=±bax，即y=± 3x，
化成一般式得： 3x±y=0，
因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d=| 3×1±0| 3+1= 32．
故选：B．
根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F(1,0).由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=± 3x，化成一般式得： 3x±y=0，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．
本题考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质，涉及点到直线的距离公式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
由f(x)=2xf′(e)+lnx，求导f′(x)=2f′(e)+1x，带入x=e得f′(e)，得f(x)解析式，即可得解．
本题考查了导数的运算，属于中档题．
【解答】
解：由f(x)=2xf′(e)+lnx，得f′(x)=2f′(e)+1x，则f′(e)=2f′(e)+1e，
所以f′(e)=−1e，
故f(x)=−2ex+lnx，所以f(e)=−1．
故选：C．
6.【答案】C
【解析】解：由题意，∵当t=30时，污染物数量的变化率是−10ln2，
∴−10ln2=12p0−p030−0，
∴p0=600ln2；
∵p(t)=p02−t30，
∴p(60)=600ln2×2−2=150ln2毫克/升；
故选：C．
由当t=30时，污染物数量的变化率是−10ln2，求出p0，再利用关系式，可求p(60)的值．
本题考查指数函数的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：由题意知本题是一个排列组合的实际应用，
本题需要先分类来解出结果，再分步做出所有的结果，
分类包括四种情况：从01至10选三个连号的选法有8种；
从11至20选两个连号的选法有9种；
从21至30的单选号的选法有10种，
从31至36的单选号的选法有6种，
故根据分步计数原理知总的选法有8×9×10×6=4320种，
可得需要钱数为4320×2=8640元；
故选：D．
根据题意知，需要依次计算从01至10的三个连号的个数，从11至20的两个连号的个数，从21至30的单选号的个数，从31至36的单选号的个数，进而由分步计数原理，相乘可得彩票数，再做出所用的钱数．
本题考查分步计数原理的运用，解题的关键，是认真分析题意，认清是“分步”还是“分类”问题，领会每一段中号码的选法并得出选法种数是解题的重点，本题是一个中档题目．
8.【答案】B
【解析】解：因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
所以f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，
令h(x)=f(x)⋅g(x)，
则h(−x)=f(−x)⋅g(−x)=−f(x)⋅g(x)=−h(x)，
故h(x)=f(x)⋅g(x)为R上的奇函数，
因为当x<0时，f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)<0，
即x<0时，h′(x)=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)<0，
所以h(x)=f(x)⋅g(x)在区间(−∞,0)上单调递减，
所以奇函数h(x)在区间(0,−∞)上也单调递减，
又g(−3)=0，
所以g(3)=0，
所以h(−3)=h(3)=0，
所以当x∈(−3,0)∪(3,+∞)时，h(x)=f(x)⋅g(x)<0．
故选：B．
构造函数h(x)=f(x)⋅g(x)，由题意可得该函数的奇偶性与单调性，结合函数性质计算即可得解．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：依题意设等差数列{an}的公差为d，
∵a1=3且a2，a5−3，a6+6成等比数列，
∴(a5−3)2=a2×(a6+6)，即(3+4d−3)2=(3+d)(3+5d+6)，
∴11d2−24d−27=0，即(11d+9)(d−3)=0，
∴d=3或d=−911．
故选：BD．
由题意a1=3，a2，a5−3，a6+6成等比数列，可得(3+4d−3)2=(3+d)(3+5d+6)，解方程得出公差．
主要考查了等差数列的通项公式及等比数列的性质的应用，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：由题意可知：f′(x)=3x2−3a，0若a≤0，可得f′(x)>0，f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)无最小值，不合题意；
若00，解得 af(x)在( a,1)内为增函数，在(0, a)内为减函数，
所以f(x)在x= a处取得极小值，也是最小值，符合题意；
若a≥1，可得f′(x)<0，f(x)在(0,1)上单调递减，f(x)无最小值，不合题意；
综上所述：0故选：BCD．
对f(x)求导，然后对a分情况讨论函数的单调性，由单调性确定函数的最值．
本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：f(x)=xlnx，g(x)=f′(x)x=lnx+1x，
g′(x)=−lnxx2，
令g′(x)>0，得0令g′(x)<0，得x>1，
所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
又当x>1时，g(x)>0，且g(1e)=0，g(1)=1，
所以g(x)的图形如图所示：
对于A：数形结合可知g(x)>0的解集为(1e,+∞)，故A正确；
对于B：由f′(x)=lnx+1知在(0,1e)上单调递增，在(1e,+∞)上单调递减，故B错误；
对于C：若函数F(x)=f(x)−ax2有两个极值点，
即F(x)=xlnx−ax2有两个极值点，
又F′(x)=lnx−2ax+1，
所以需要lnx−2ax+1=0在(0,+∞)有两个根，
即2a=lnx+1x在(0,+∞)上有两个根，
即直线y=2a与y=g(x)的图像有两个交点，
所以0<2a<1，即0对于D：若x1>x2>0时，总有m2(x12−x22)>f(x1)−f(x2)，
所以m2x12−x1lnx1>m2x22−x2lnx2恒成立，
构造函数g(x)=m2x2−xlnx，
则g(x1)>g(x2)对任意x1>x2>0恒成立，
所以g(x)在(0,+∞)单调递增，
则g′(x)=mx−lnx−1≥0在(0,+∞)恒成立，
即lnx+1x≤m在区间(0,+∞)恒成立，
则g(x)max=1≤m，
故选：AD．
对于A：利用函数的单调性和导数，求出不等式的解，即可判断A是否正确；
对于B：求导得f′(x)=lnx+1，分析f′(x)的符号，即可判断B是否正确；
对于C：根据题意可得F(x)=xlnx−ax2有两个极值点，又F′(x)=lnx−2ax+1，即2a=lnx+1x在(0,+∞)上有两个根，即可判断C是否正确；
对于D：根据题可得若x1>x2>0时，总有m2x12−x1lnx1>m2x22−x2lnx2恒成立，构造函数g(x)=m2x2−xlnx，只需g(x1)>g(x2)对任意x1>x2>0恒成立，即可判断D是否正确．
本题考查导数的综合应用，恒成立问题，解题中需要理清思路，属于中档题．
12.【答案】20
【解析】【分析】
本题考查分类计数问题，解题时一定要分清完成这件事需要分为几类，每一类有几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果，是一个基础题．
根据甲安排在另外两位前面可以分三类：甲安排在周一，甲安排在周二，甲安排在周三，写出这三种情况的排列数，根据加法原理得到结果．
【解答】
解：由题意知本题是一个分类计数问题，
根据题意分三类：甲安排在周一，共有A42种排法；
甲安排在周二，共有A32种排法；
甲安排在周三，共有A22种排法．
根据分类加法原理知共有A42+A32+A22=20．
故答案为：20
13.【答案】(−∞,3]∪[92,+∞)
【解析】解：由f(x)=x3−ax2，得f′(x)=3x2−2ax．
若f(x)在(2,3)上单调，则当x∈(2,3)时，f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立．

由f′(x)的图象可知，f′(2)=12−4a≥0或f′(3)=27−6a≤0
解得a≤3或a≥92，即实数a的取值范围(−∞,3]∪[92,+∞)．
故答案为：(−∞,3]∪[92,+∞)．
求导，根据导函数图象分析即可求解．
本题考查二次函数、导数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
14.【答案】6 134
【解析】解：(1)由性质M3定义知：a−1≥a3a−2≥2a3，解得a≥6，且a∈N*，
所以a的最小值为6．
(2)由题设|ai−ai+1|≥aiai+115(i=1,2,⋅⋅⋅,n−1)，且a1所以ai+1−ai≥aiai+115⇒1ai−1ai+1≥115(i=1,2,⋅⋅⋅,n−1)，
所以1a1−1a2+1a2−1a3+⋯+1an−1−1an=1a1−1an≥n−115，
所以1a1−1a2024≥202315，所以M的最大正整数为134．
故答案为：6；134．
(1)根据新定义列不等式组求解即可；
(2)设|ai−ai+1|≥aiai+115(i=1,2,⋅⋅⋅,n−1)，且a1本题考查数列的新定义及综合应用，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
15.【答案】解：(1)令f′(x)=3x2−12=0，得x=−2或x=2，
列表得：
可知M=24，m=−8，
∴M−m=32．
(2)∵f′(x)=ax+2x−10，
∴f′(3)=a3+6−10=0，∴a=12，
∴f(x)=12lnx+x2−10x，x∈(0,+∞)，
∴f′(x)=2(x2−5x+6)x，
令x2−5x+6=0，x=2或x=3，
当x∈(0,2)∪(3,+∞)时，f′(x)>0，
当x∈(2,3)时，f′(x)<0，
所以f(x)的单调增区间是(0,2)，(3,+∞)，单调减区间是(2,3)，
所以x=3是函数f(x)=12lnx+x2−10x的一个极值点，符合题意，
所以a=12．
【解析】(1)利用导数求出最值，然后可得；
(2)求导，由f′(3)=0求得a=12，然后验证满足题意即可．
本题主要考查了导数与单调性及极值及最值关系的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)由a2a3=8a1得：a1q3=8 即a4=8
又因为a4，36，2a6成等差数列 所以a4+2a6=72
将a4=8代入得：a6=42
从而：a1=1，q=2
所以：an=2n−1;
(2)bn=2nan=2n⋅(12)n−1
Tn=2×(12)0+4×(12)1+6×(12)2+…+2(n−1)⋅(12)n−2+2n⋅(12)n−1……………………①
12Tn=2×(12)1+4×(12)2+6×(12)3+…+2(n−1)⋅(12)n−1+2n⋅(12)n……………………②
①−②得：12Tn=2×(12)0+2((12)1+(12)2+…+(12)n−1)−2n⋅(12)n
=2+2×12×(1−(12)n−1)1−12−2n⋅(12)n=4−(n+2)⋅(12)n−1
∴Tn=8−(n+2)⋅(12)n−2．
【解析】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力，属基础题．
(1)利用等差数列以及等比数列的通项公式列出方程组，求出数列的首项与公比，然后求解数列的通项公式．
(2)化简通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．
17.【答案】解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，
所以BD⊥AC，
因为平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，AC⊂平面ABCD，
所以AC⊥平面PBD，
因为PB⊂平面PBD，故AC⊥PB．
(2)设AC∩BD=O，则O为AC、BD的中点，
又因为PB=PD，
所以PO⊥BD，
又因为AC⊥平面PBD，PO⊂平面PBD，
所以PO⊥AC，
因为AC∩BD=O，AC、BD⊂平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD，
所以∠PAO为PA与平面ABCD所成角，故∠PAO=60°，
由于四边形ABCD为边长为AD=2，∠BAD=60°的菱形，
所以AO=ADsin60°=2× 32= 3，PO=AOtan∠PAO= 3× 3=3，
以点O为坐标原点，OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系：

则A( 3,0,0)，C(− 3,0,0)，B(0,1,0)，D(0,−1,0)，P(0,0,3)，
由PE=13PC=13(− 3,0,−3)=(− 33,0,−1)，
得BE=BP+PE=(0,−1,3)+(− 33,0,−1)=(− 33,−1,2)，且DB=(0,2,0)，
设平面BEC的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅DB=2y=0m⋅BE=− 33x−y+2z=0，
取x=2 3，则z=1，y=0，
所以m=(2 3,0,1)，
又平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1)，
所以|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m|⋅|n|=1 13×1= 1313，
所以平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值为 1313．
【解析】(1)利用面面垂直的性质定理可得出AC⊥平面PBD，再利用线面垂直的性质可证得AC⊥PB．
(2)设AC∩BD=O，推导出PO⊥平面ABCD，可得出∠PAO为PA与平面ABCD所成角，然后以点O为坐标原点，OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面EBD与平面BCD的夹角的余弦值．
本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)依题意，椭圆E的离心率e= a2−b2a= 1−b2a2= 22，即a2= 2b2，
椭圆E：x22b2+y2b2=1过(4,2)，于是得162b2+4b2=1，解得b2=12，a2=24，
所以椭圆E的方程为x224+y212=1．
(2)(i)由(1)知，A(−2 6,0)，依题意，直线CD不垂直于y轴，且不过点A，
设直线CD：x=ty+m，m≠−2 6，
由x=ty+mx2+2y2=24消去x并整理得：(t2+2)y2+2tmy+m2−24=0，
Δ=4t2m2−4(t2+2)(m2−24)=8(12t2+24−m2)>0，设C(x1,y1)，D(x2,y2)，
则y1+y2=−2tmt2+2，y1y2=m2−24t2+2，
而x1+x2=t(y1+y2)+2m=−2t2mt2+2+2m=4mt2+2，
x1x2=(ty1+m)(ty2+m)=t2y1y2+tm(y1+y2)+m2=t2(m2−24)t2+2−2t2m2t2+2+m2=2m2−24t2t2+2，
而AC=(x1+2 6,y1),AD=(x2+2 6,y2)，
又∠CAD=90°，
则AC⋅AD=(x1+2 6)(x2+2 6)+y1y2=x1x2+2 6(x1+x2)+24+y1y2
=2m2−24t2t2+2+8 6mt2+2+24+m2−24t2+2=3m2+8 6m+24t2+2=0，
解得m=−2 6(舍去)或m=−2 63，
所以直线CD：x=ty−2 63恒过定点P(−2 63,0)．
(ii)由(i)知，m=−2 63，y1+y2=4 6t3(t2+2)，y1y2=−643(t2+2)，P(−2 63,0)，
而B(2 6,0)，则|BP|=8 63，
△BCD面积S=12|BP||y1−y2|=4 63 (y1+y2)2−4y1y2=4 63 96t29(t2+2)+2563(t2+2)
=32 t2+169t2+2=32 t2+169(t2+169)+29，
令u= t2+169≥43，则S=32u+29u在[43,+∞)上单调递减，
则当u=43，即t=0时，Smax=643，
所以△BCD面积的最大值是643．
【解析】本题主要考查圆锥曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于较难题．
(1)利用给定离心率，求出a2，b2的关系，再利用给定的点即可计算作答．
(2)(i)由(1)求出点A，B的坐标，设出直线CD的方程，利用韦达定理，借助向量数量积求解作答；
(ii)由(i)求出点C，D纵坐标差的绝对值，再建立函数关系，求出函数最大值作答．
19.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=−2xex，f′(x)=−2(x+1)ex，
∵f′(1)=−4e，f(1)=−2e，
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为：
y+2e=−4e(x−1)，即y=−4ex+2e．
(2)g(x)=f(x)ex=ex−2x，x∈R，则g′(x)=ex−2，
令ex−2=0，x=ln2，
当x当x>ln2时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
∴g(x)min=g(ln2)=2−2ln2=2−ln4>0
∴g(x)无零点．
(3)f′(x)=2ae2x−2(x+1)ex=2ex(aex−x−1)，
由∀x∈R，f(x)+1a≤0，
∵f(0)+1a=a+1a=a2+1a≤0，得a<0，
∴令g(x)=aex−x−1，则g(x)在R上递减，
当x<0时，ex∈(0,1)，aex∈(a,0)，
∴g(x)=aex−x−1>a−x−1，
∴g(a−1)>a−(a−1)−1=0．
又∵g(−1)=ae−1<0，
∴∃x0∈(a−1,−1)使得g(x0)=0，即g(x0)=aex0−x0−1=0，
且当x∈(−∞,x0)时，g(x)>0即f′(x)>0，
当x0∈(x0,+∞)时，g(x)<0即f′(x)<0，
∴f(x)在(−∞,x0)递增，在(x0,+∞)递减，
∴f(x)max=f(x0)=ae2x0−2x0ex0，
由g(x0)=aex0−x0−1=0，得a=x0+1ex0<0，所以x0+1<0，
由f(x)max+1a≤0得(x0+1)ex0−2x0ex0+ex0x0+1≤0，即2−x_0^2，
由x0+1<0得2−x_0，∴− 2≤x0<−1，
∵a=x0+1ex0，
设h(x)=x+1ex(− 2≤x<−1)，则h′(x)=−xex>0，
可知h(x)在[− 2,−1)上递增，
h(x)≥h(− 2)=1− 2e− 2=(1− 2)e 2，h(x)实数a的取值范围是[(1− 2)e 2,0)．
【解析】(1)求导，利用导数求斜率，然后由点斜式可得切线方程；
(2)利用导数求极值，然后判断极值符号可得；
(3)由f(0)+1a≤0可得a<0，利用零点存在性定理判断导函数存在零点，进而可得函数y=f(x)的单调区间和最大值，由f(x)max+1a≤0可解得零点范围，设h(x)=x+1ex(− 2≤x<−1)，利用导数求值域可得．
本题主要考查了导数的几何意义，导数与单调性及极值关系的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，属于难题．x
−3
(−3,−2)
−2
(−2,2)
2
(2,3)
3
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
17
递增
极大值24
递减
极小值−8
递增
−1