2023-2024学年安徽省淮南二中高一（下）段考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省淮南二中高一（下）段考数学试卷（3月份）（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=(4,3)，则与向量a同向的单位向量的坐标为( )
A. (35,−45)B. (45,35)C. (−45,−35)D. (−35,45)
2.如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则BE=( )
A. 23BA+16BC
B. 13BA+13BC
C. 23BA+13BC
D. 13BA+16BC
3.在△ABC中，A=120°，b=5，且△ABC的面积为154 3，则△ABC的周长为( )
A. 15B. 12C. 16D. 20
4.已知|a|=6，|b|=3，a⋅b=−12，则向量b在向量a方向上的投影向量是( )
A. 23aB. 13aC. −23aD. −13a
5.如图，位于某海域A处的甲船获悉，在其北偏东60°方向C处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15°，且与甲船相距 2nmile的B处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为( )
A. 2nmileB. 2nmileC. 2 2nmileD. 3 2nmile
6.三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例.已知△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，与BC交于点D，AB=3，AC=4，BC=5，则AD=( )
A. 227B. 157C. 15 27D. 12 27
7.在△ABC中，点P满足2BP=PC，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若AM=xAB，AN=yAC(x>0,y>0)，则2x+y的最小值为( )
A. 3B. 3 2C. 1D. 13
8.已知平面向量a，c满足|a|=a⋅c=2，且|a+λc|≥|a−12c|对任意实数λ恒成立，则|c|等于( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中是假命题的是( )
A. 若sinA>sinB，则A>B
B. 若向量AB，CD满足|AB|>|CD|，且AB与CD同向，则AB>CD
C. 若两个非零向量AB，CD满足AB+CD=0，则AB//CD
D. 在△ABC中，a=1，b=x，∠A=30°，则使△ABC有两解的x的范围是(1,3)
10.下列四个命题正确的是( )
A. 若|z+1−i|=1，则|z−1−i|的最大值为3
B. 若复数z1，z2满足|z1|=2，|z2|=2，z1+z2=1+ 3i，则|z1−z2|=2 3
C. 若AP=λ(AB|AB|sinB+BC−2|AC|sinC)(λ∈R)，则点P的轨迹经过△ABC的重心
D. 在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且AD=13AB+12AC，则S△BCDS△ABD=16
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列判断正确的是( )
A. 若tanA+tanB+tanC<0，则△ABC为钝角三角形
B. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
C. 若△ABC的三条高分别为114，110，15，则△ABC为钝角三角形
D. 若asinB+bsinA≤2c，则△ABC为直角三角形
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
12.在△ABC中，a=5，b=8，C=60°，则BC⋅CA的值为______．
13.若复数z满足z(2−i)=3i，则z的共轭复数为______(用复数的代数形式作答)．
14.在平面四边形ABCD中，已知AC=(1,3),BD=(9,−3)，则四边形ABCD的面积为______．
15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，csC=13，c=8，则当a+b取得最大值时，sinA= ．
四、解答题：本题共3小题，共34分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知|a|=4，|b|=2，且a与b夹角为120°．
(1)求a与a+b的夹角；
(2)若向量2a−λb与λa−3b平行，求实数λ的值．
17.(本小题10分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+bc=sinC−sinBsinA−sinB．
(1)求角A；
(2)若a=6，点M为△ABC的重心，且AM=2 3，求△ABC的面积．
18.(本小题14分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知S为△ABC的面积且4 3S+3(b2−a2)=3c2．
(1)若b=2，求△ABC外接圆的半径R；
(2)若△ABC为锐角三角形，求a2+b2c2的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据题意，向量a=(4,3)，则|a|=5，
所以与向量a同向的单位向量为a|a|=(45,35)．
故选：B．
由向量a的坐标除以向量a的模，可得与向量a同向的单位向量的坐标．
本题考查向量的坐标计算，涉及单位向量的定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由题意可得：BE=BA+AE，AE=13AD，AD=AB+BD，BD=12BC，
∴BE=23BA+16BC，
故选：A．
利用向量共线定理、三角形法则即可得出结论．
本题考查了向量三角形法则、向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为A=120°，b=5，且△ABC的面积为154 3，
所以S△ABC=12bcsinA=12×5c× 32=154 3，解得c=3，
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA=52+32−2×5×3×(−12)=49，
所以a=7，则C△ABC=a+b+c=15．
故选：A．
由面积公式求出c，由余弦定理求出a，即可得解．
本题考查三角形面积公式的应用及余弦定理的应用，属于中档题．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意，|a|=6，|b|=3，a⋅b=−12，
则|b|cs〈a,b〉=a⋅b|a|=−2，a|a|=16a，
故向量b在向量a方向上的投影向量为|b|cs〈a,b〉⋅a|a|=−13a．
故选：D．
根据题意，由投影向量定义直接求解即可．
本题考查向量数量积的运算，涉及投影向量的定义，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由题意知，AB= 2，sin∠BAC=45°，sin∠BCA=30°，
在△ABC中，由正弦定理得：ABsin∠BCA=BCsin∠BAC，
所以BC=ABsin∠BCAsin∠BAC= 2sin30°sin45°=2，
故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为2nmile．
故选：B．
由正弦定理计算即可求出BC的值．
本题考查解三角形的实际应用问题，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：∵AB=3，AC=4，BC=5，满足32+42=52，∴∠BAC=90°，故cs∠ABC=35，
∵AD是∠BAC的角平分线，∴BDDC=ABAC=34，∴BD=37×5=157，
在△ABD中，由余弦定理AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅cs∠ABD，
得AD2=32+(157)2−2×3×157×35=28849，
解得AD=12 27或者AD=−12 27(舍去)．
故选：D．
由三边关系可判断出△ABC为直角三角形，根据三角形内角平分线定理将BD、DC长度计算出来，再根据余弦定理即可求出AD．
本题主要考查了角平分线的性质及余弦定理的应用，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了向量的线性表示及平面向量共线定理，还考查了利用乘1法结合基本不等式求解最值，属于中档题．
由已知结合向量的线性表示及向量共线定理得13y+23x=1，然后利用乘1法，结合基本不等式可求．
【解答】
解：因为2BP=PC，AM=xAB，AN=yAC(x>0,y>0)，
所以AP=AB+BP=AB+13BC=AB+13(AC−AB)=13AC+23AB=13yAN+23xAM，
因为M，P，N共线，
所以13y+23x=1，
所以2x+y=(2x+y)(13y+23x)=53+2y3x+2x3y≥53+2 2y3x⋅2x3y=3，
当且仅当2y3x=2x3y且13y+23x=1，即x=y=1时取等号，
此时2x+y的最小值为3．
故选：A．
8.【答案】B
【解析】解：如图，设OA=a，OC=c，OH=−λc，
由|a|=a⋅c=2，可得|OA|=2，C在OA的垂直平分线CE上，∴CO=AO，
又|a+λc|=|OA−OH|=|AH|≥|a−12c|=|OA−12OC|，设OC中点为P，
则|AH|≥|OA−OP|=|PA|，∴AP⊥OC，∴AP垂直平分OC，∴OA=AC，
∴△AOC为正三角形，
∴|c|=|OC|=|OA|=2．
故选：B．
根据向量的数量积的几何意义，向量的线性运算，数形结合，即可求解．
本题考查向量的数量积的几何意义，向量的线性运算，数形结合思想，属中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：A中，因为sinA>sinB，由正弦定理可得a>b，由大边对大角，可得A>B，所以A正确；
B中，向量不能比较大小，所以B不正确；
C中，因为AB+CD=0，可得AB=−CD，所以AB//CD，所以C正确；
D中，△ABC中，a=1，b=x，∠A=30°，当bsin30°即12x<1故选：BD．
由三角形中角边关系及三角形中有两角的充要条件，判断出所给命题的真假．
本题考查三角形的性质的应用，属于中档题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对A，由|z+1−i|=1的几何意义，知复数z对应的动点Z到定点(−1,1)的距离为1，即动点Z的轨迹以(−1,1)为圆心，1为半径的圆，|z−1−i|表示动点Z的轨迹与(1,1)的距离，由圆的性质知：|z−1−i|max= (−1−1)2+(1−1)2+1=3，A正确；
对B，设z1=m+ni，z2=c+di(m,n,c,d∈R)，因为|z1|=2,|z2|=2,z1+z2=1+ 3i，
所以m2+n2=4,c2+d2=4,m+c=1,n+d= 3，
所以mc+nd=−2，所以|z1−z2|=|(m−c)+(n−d)i|= (m−c)2+(n−d)2
= m2+c2+n2+d2−2(mc+nd)= 4+4−2⋅(−2)=2 3，B正确；
对C，由正弦定理得AC⋅sinC=AB⋅sinB，即|AC|sinC=|AB|sinB，
所以AP=λ(AB|AB|sinB+AC|AC|sinC)=λ|AB|sinB(AB+AC)，设BC中点为E，
如图：
则AB+AC=2AE，则AP=2λ|AB|sinBAE，由平面向量的共线定理得A，P，E三点共线，即点P在边BC的中线上，故点P的轨迹经过△ABC的重心，C正确；
对D，如图由已知点D在△ABC中与AB平行的中位线上，且靠近BC的三等分点处，
故有S△ABD=12S△ABC,S△ACD=13S△ABC,S△BCD=(1−12−13)S△ABC=16S△ABC，所以S△BCDS△ABD=13，D错误．
故选：ABC．
A根据复数模的几何意义及圆的性质判断；B利用复数的运算和模的运算求解即可；C结合重心的性质进行判断；D利用平面向量基本定理，判断出D点位置，进而可求．
本题主要考查复数的模和平面向量，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，因为tanA+tanB=tan(A+B)(1−tanAtanB)，
所以tanA+tanB=−tanC(1−tanAtanB)，
所以tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，
又因为tanA+tanB+tanC<0，所以tanAtanBtanC<0，
所以tanA，tanB，tanC只有一个小于0，
所以△ABC是钝角三角形，选项A正确；
对于B，若sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=π，
所以A=B或A+B=π2，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，选项B错误；
对于C，设△ABC的面积为S，由面积公式知12⋅114⋅a=S12⋅110⋅b=S12⋅15⋅c=S，
解得a=28S，b=20S，c=10S，
所以A为最大角，
计算b2+c2=400S2+100S2=500S2<282S2=a2，
所以A为钝角，△ABC为钝角三角形，选项C正确；
对于D，由asinB+bsinA≤2c，得sinAsinB+sinBsinA≤2sinC，
sinAsinB+sinBsinA≥2 sinAsinB⋅sinBsinA=2，sinA=sinB时取“=”，
所以2≤2sinC，解得sinC≥1，即sinC=1，
所以C=π2，△ABC为直角三角形，选项D正确．
故选：ACD．
利用三角函数的性质，三角恒等变换和正弦定理，以及解三角形的知识，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了两角和的正切公式，正弦、余弦定理的运用问题，是中档题．
12.【答案】−20
【解析】解：BC⋅CA=|BC|⋅|CA|cs =5×8×cs120°=−20
故答案为：−20．
在△ABC中，a=5，b=8，C=60°中=120°然后用数量积求值即可．
本题考查平面向量的数量积，多数同学错误认为〈BC,CA〉=∠C=60°，从而出错．
13.【答案】−35−65i
【解析】解：z(2−i)=3i，
则z=3i2−i=3i(2+i)(2−i)(2+i)=−35+65i，
故z−=−35−65i．
故答案为：−35−65i．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
14.【答案】15
【解析】解：∵在平面四边形ABCD中，
∵AC=(1,3),BD=(9,−3)，
∴AC⋅BD=9−9=0，且|AC|= 1+9= 10，|BD|= 81+9=3 10，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积为S=12× 10×3 10=15．
故答案为：15．
由已知得|AC|= 10，|BD|=3 10，AC⊥BD，由此能求出四边形ABCD的面积．
本题考查四边形面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量性质及运算法则的合理运用．
15.【答案】 63
【解析】【分析】
根据正弦定理求出△ABC外接圆半径为R，利用两角和差的三角公式以及辅助角公式进行转化求解即可．
本题主要考查正弦定理的应用，结合正弦定理以及三角函数的边角互化，利用辅助角公式以及三角函数的性质是解决本题的关键．难度中等．
【解答】
解：在△ABC中，∵csC=13，∴sinC=2 23，设△ABC外接圆半径为R．
则2R=csinC=82 23=12 2=6 2，
则a+b=2R(sinA+sin B)=6 2[sinA+sin(A+C)]
=6 2(sinA+sinAcsC+sinCcsA)
=6 2(43sinA+2 23csA)
=6 2×2 2 3( 63sinA+ 33cs A)
=8 3sin(A+φ)，其中，csφ= 63，sinφ= 33．
当sin(A+φ)=1，即A+φ=π2时，a+b取得最大值，
此时A=π2−φ，所以sinA=sin(π2−φ)=csφ= 63，
故答案为： 63
16.【答案】解：(1)因为|a|=4，|b|=2，且a与b夹角为120°，
所以a⋅(a+b)=a2+a⋅b=16+4×2×cs120°=12，
(a+b)2=a2+2a⋅b+b2=16+2×(−4)+4=12，
所以|a+b|=2 3，
所以cs=a⋅(a+b)|a||a+b|=124×2 3= 32，
又因为∈[0,π]，
所以向量a与a+b的夹角为π6；
(2)因为向量2a−λb与λa−3b平行，
所以存在μ∈R，使得λa−3b=μ(2a−λb)，
即λ=2μ−3=−λμ，解得λ=± 6，
所以实数λ的值为± 6．
【解析】(1)根据平面向量的数量积求模长与夹角；
(2)根据平面向量的共线定理列方程组求出实数λ的值．
本题考查了平面向量的数量积应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：(1)∵a+bc=sinC−sinBsinA−sinB，由正弦定理可得a+bc=c−ba−b，
整理得b2+c2−a2=bc，由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc=12．
又∵A∈(0,π)，∴A=π3．
(2)设AM的延长线交BC于点D，因为点M为△ABC的重心，所以点D为BC中点，
又∵AM=2 3，∴AD=3 3．
在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，a=6和A=π3，可得bc=b2+c2−36．
在△ABD和△ACD中，有cs∠ADB=−cs∠ADC，
c2=AD2+BD2−2AD⋅BDcs∠ADB，
b2=AD2+CD2−2AD⋅CDcs∠ADC，
由余弦定理可得b2+c2=72，
∴bc=b2+c2−36=72−36=36，
∴△ABC的面积为12bcsinA=12×36×sinπ3=9 3．
【解析】(1)余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc=12；(2)根据cs∠ADB=−cs∠ADC，由余弦定理可得b2+c2=72，由此可得bc，可得面积．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵4 3S+3(b2−a2)=3c2，
∴4 3×12acsinB=3c2−3(b2−a2)=3(a2+c2−b2)，
即2 3acsinB=3×2accsB，
所以tanB= 3，因为B∈(0,π)，故B=π3，
又∵b=2，∴2R=bsinB=2 32=4 33，∴R=2 33；
(2)由(1)可知，asinA=bsinB=csinC=4 33，
∴a=4 33sinA，c=4 33sinC，∴a2=163sin2A，c2=163sin2C，
∴a2+b2c2=163sin2A+4163sin2C=16sin2(C+π3)+1216sin2C=16(12sinC+ 32csC)2+1216sin2C=16sin2C+8 3sinCcsC+24cs2C16sin2C
=1+ 32⋅1tanC+321tan2C，
∵△ABC为锐角三角形，B=π3，∴π6 33，∴0<1tanC< 3，
设t=1tanC，则a2+b2c2=32t2+ 32t+1=32(t+ 36)2+78，
∴0【解析】(1)利用面积公式和余弦定理即可解决；
(2)利用正弦定理边化角，最后利用换元法转化为二次函数求最值．
本题考查了正弦定理，余弦定理以及三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了二次函数的性质的应用，三角函数的值域应用，属于中档题．