2023-2024学年江苏省徐州市铜山区高一（下）第一次质检数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省徐州市铜山区高一（下）第一次质检数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.sin102°cs48°+cs78°cs138°=( )
A. − 32B. −12C. 12D. 32
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2=a2+c2+ac，则角B=( )
A. π6B. π3C. 3π4D. 2π3
3.cs2π6−sin2π6=( )
A. − 32B. −12C. 12D. 32
4.若sin(π+α)=13,α∈(−π2,0)，则sin2α=( )
A. −89B. −4 29C. 4 29D. 89
5.△ABC的三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a2+b2−c2=ab，则角C的大小为( )
A. π6B. π3C. π2D. 2π3
6.已知sinα−sinβ=−23,csα−csβ=23，且α,β∈(0,π2)，则tan(α−β)的值为( )
A. −2 145B. ±2 145C. 52D. ± 52
7.在△ABC中，若ac=8，a+c=7，B=π3，则b=( )
A. 25B. 5C. 4D. 5
8.设tan(α+β)=25,tan(β−π4)=14,则tan(α+π4)的值是( )
A. 16B. 322C. 1322D. 1318
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列化简正确的是( )
A. cs82°sin52°−sin82°cs52°=12B. sin15°sin30°sin75°=14
C. tan48°+tan72°1−tan48∘tan72∘=− 3D. cs215°−sin215°= 32
10.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. a=bcsC+ccsB
B. (a+b+c)(a+b−c)=3ab，且2cs Asin B=sin C，则△ABC为等边三角形
C. 若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形
D. 在△ABC中，a=1，b=x，∠A=30°，则使△ABC有两解的x的范围是(1,2)
11.某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是 3km，那么x的值可能为( )
A. 3B. 2 3C. 6D. 3
12.已知函数f(x)= 3sinx+csx，则( )
A. y=f(x)的最大值为2
B. y=f(x)的图像关于点(π3,0)对称
C. y=f(x)在(0,π6)上单调递增
D. 直线x=π6是y=f(x )图像的一条对称轴
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在△ABC中，AC=3，BC= 7，AB=2，则△ABC的面积为______．
14.已知sin(x+π4)=13，则sin2x的值为______．
15.在△ABC中，a= 3，B=π3，b=3，则c的值为______．
16.在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点和点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M坐标为(1, 3)，则tan(α+π4)=______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知cs(π4+α)cs(π4−α)=−14．
(1)求cs2α的值；
(2)求cs4α的值．
18.(本小题12分)
在△ABC中，sin2C= 3sinC．
(Ⅰ)求∠C；
(Ⅱ)若b=6，且△ABC的面积为6 3，求△ABC的周长．
19.(本小题12分)
已知sinα=513，sin(α+β)=45，0<β<π2<α<π．
(1)求cs(α−π4)；
(2)求cs(β+π4)．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2 3sinxcsx+2cs2x+ 3−1．
(1)求f(−π2)的值；
(2)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(3)求f(x)在[−π6,π3]上的最大值和最小值．
21.(本小题12分)
在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且bsinA= 32a．
(1)求B的大小；
(2)若AB=2，BC=32，点D在边AC上，______，求BD的长．
请在①AD=DC；②∠DBC=∠DBA；③BD⊥AC这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．
(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)．
22.(本小题12分)
在锐角△ABC中，a=2 3，(2b−c)csA=acsC，
(1)求角A；
(2)求△ABC的周长l的范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：sin102°cs48°+cs78°cs138°
=sin78°cs48°+cs78°(−cs42°)
=sin78°sin42°−cs78°cs42°
=−cs(78°+42°)
=−cs120°
=12．
故选：C．
利用诱导公式及两角差的正弦化简求值．
本题主要考查诱导公式及两角差的正弦公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为b2=a2+c2+ac，
所以a2+c2−b2=−ac，
所以csB=a2+c2−b22ac=−ac2ac=−12，
又B∈(0,π)，
所以B=2π3．
故选：D．
由已知利用余弦定理可得csB的值，结合B的范围即可求解B的值．
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：cs2π6−sin2π6=cs(2⋅π6)=csπ3=12，
故选：C．
由余弦的2倍公式可得等式为csπ3，进而求出其值．
本题考查余弦的2倍角公式的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵sin(π+α)=13,α∈(−π2,0)，
∴sinα=−13，可得csα= 1−sin2α=2 23，
∴sin2α=2sinαcsα=2×(−13)×2 23=−4 29．
故选：B．
由已知利用诱导公式可求sinα，利用同角三角函数基本关系式可求csα，进而根据二倍角的正弦函数公式可求sin2α的值．
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题．
利用余弦定理即可得出．
【解答】
解：由余弦定理可得csC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12，
而C∈(0,π)，
∴C=π3．
故选B．
6.【答案】A
【解析】解：由sinα−sinβ=−23，可得sin2α−2sinαsinβ+sin2β=49，
由csα−csβ=23，可得cs2α−2csαcsβ+cs2β=49，
两式相加可得2−2cs(α−β)=89，所以cs(α−β)=59，
因为sinα−sinβ=−23<0，α,β∈(0,π2)，所以α−β∈(−π2,0)，
所以sin(α−β)=−2 149，tan(α−β)=−2 145．
故选：A．
将条件的两个式子平方相加可得2−2cs(α−β)=89，然后可得cs(α−β)的值，然后判断出α−β∈(−π2,0)，然后可求出答案．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：由余弦定理知，b2=a2+c2−2accsB=(a+c)2−2ac−2accsB=49−2×8−2×8×12=25，
所以b=5．
故选：B．
结合余弦定理与完全平方和公式，进行运算，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了两角差的正切公式在三角求值中的应用，属于较易题．
由于tan(α+π4)=tan[(α+β)−(β−π4)]
=tan(α+β)−tan(β−π4)1+tan(α+β)tan(β−π4)，代入可求．
【解析】
解：tan(α+π4)=tan[(α+β)−(β−π4)]
=tan(α+β)−tan(β−π4)1+tan(α+β)tan(β−π4)
=25−141+25×14=322．
故选B
9.【答案】CD
【解析】解：∵cs82°sin52°−sin82°cs52°=sin8°sin52°−cs8°cs52°=−cs(8°+52°)=−12，故A不对；
∵sin15°sin30°sin75°=12sin15°cs15°=14sin30°=18，故B不对；
∵tan48°+tan72°1−tan48∘tan72∘=tan(48°+72°)=tan120°=−tan60°=− 3，故C正确；
∵cs215°−sin215°=cs30°= 32，故D正确，
故选：CD．
由题意利用两角和差的三角公式，诱导公式、二倍角公式，求出结果．
本题主要考查两角和差的三角公式，诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，∵sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，∴由正弦定理得：a=bcsC+ccsB，故A正确；
对于B，∵(a+b+c)(a+b−c)=3ab，∴a2+b2−c2=ab，
由余弦定理得：csC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12，
∵C∈(0,π)，∴C=π3，
又∵2cs Asin B=sin C=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，∴sinAcsB−csAsinB=0，
∴sin(A−B)=0，∵A，B∈(0,π)，∴A−B=0，即A=B=C=π3，故B正确；
对于C，由sin2A=sin2B及A，B∈(0,π)得：2A=2B或2A+2B=π，
∴A=B或A+B=π2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C不正确；
对于D，要使△ABC有两解，则需a故选：ABD．
根据解三角形相关知识逐一对选项做判断即可．
本题考查三角恒等变换和解三角形的综合，属于中档题．
11.【答案】AB
【解析】解：根据题意，作出图象，如下图所示，
由题意得AB=x,BC=3,AC= 3,∠ABC=30°，
由余弦定理得cs30°=x2+9−32×3x= 32，
解得x= 3或2 3．
故选：AB．
根据题意，作出图象，结合余弦定理，即可得答案．
本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】解：∵f(x)= 3sinx+csx=2( 32sinx+12csx)=2sin(x+π6)，
∴f(x)的最大值为2，A正确；
又f(π3)=2sinπ2=2≠0，
∴y=f(x)的图像不关于点(π3,0)对称，B错误；
x∈(0,π6)⇒x+π6∈(π6,π3)⊆(0,π2)，
∴y=f(x)在(0,π6)上单调递增，C正确；
又f(π6)=2sinπ3= 3≠2，
∴直线x=π6不是y=f(x )图像的一条对称轴，D错误．
故选：AC．
化简得f(x)=2sin(x+π6)，利用正弦函数的性质对各个选项逐一分析可得答案．
本题考查正弦函数的单调性、对称性及最值等性质的应用，考查运算能力，属于中档题．
13.【答案】3 32
【解析】解：在△ABC中，AC=3，BC= 7，AB=2，由余弦定理得csA=32+22−( 7)22×3×2=12，
结合0故答案为：3 32．
根据题意，先利用余弦定理求出角A，然后根据三角形面积公式算出答案．
本题主要考查利用正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式等知识，考查了计算能力，属于基础题．
14.【答案】−79
【解析】解：因为sin(x+π4)=13= 22(sinx+csx)，
所以sinx+csx= 23，
两边平方得，1+2sinxcsx=29，
则sin2x=−79．
故答案为：−79．
利用两角和的正弦公式展开，然后结合同角平方关系及二倍角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及同角基本关系在三角求值中的应用，属于基础题．
15.【答案】2 3
【解析】解：在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，得9=3+c2− 3c，
即c2− 3c−6=0，而c>0，解得c=2 3，
所以c的值为2 3．
故答案为：2 3．
根据给定条件，利用余弦定理求解即得．
本题考查的知识点：余弦定理，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
16.【答案】−2− 3
【解析】解：∵点P(1, 3)是角α终边上一点，
∴tanα= 3，
∴tan(α+π4)=tanα+11−tanα= 3+11− 3=−2− 3．
故答案为：−2− 3．
利用三角函数的定义，可求tanα，进而利用两角和的正切函数公式即可得出结论．
本题考查三角函数的定义，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查学生的计算能力，比较基础．
17.【答案】解：(1)已知cs(π4+α)cs(π4−α)=−14，
则12(csα−sinα)(csα+sinα)=−14，
即cs2α−sin2α=−12，
即cs2α=−12；
(2)cs4α=2cs22α−1
=2×(−12)2−1
=−12．
【解析】(1)由两角和与差的三角函数，结合二倍角公式求解；
(2)结合二倍角公式求解．
本题考查了两角和与差的三角函数，重点考查了二倍角公式，属中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)∵sin2C= 3sinC，
∴2sinCcsC= 3sinC，
又sinC≠0，∴2csC= 3，
∴csC= 32，∵0∴C=π6；
(Ⅱ)∵△ABC的面积为6 3，
∴12absinC=6 3，
又b=6，C=π6，
∴12×a×6×12=6 3，
∴a=4 3，
又csC=a2+b2−c22ab，
∴ 32=(4 3)2+62−c22×4 3×6，
∴c=2 3，
∴a+b+c=6+6 3，
∴△ABC的周长为6+6 3．
【解析】(Ⅰ)根据二倍角公式化简可得csC，进一步计算可得角C；(Ⅱ)根据三角形面积求得a，再根据余弦定理求得c，相加可得三角形的周长．
本题考查了三角形面积公式和余弦定理的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为π2<α<π，则csα=− 1−sin2α=−1213，
所以cs(α−π4)=csαcsπ4+sinαsinπ4=−1213× 22+513× 22=−7 226；
(2)由(1)可得：sin(α−π4)=sinαcsπ4−csαsinπ4=513× 22−(−1213)× 22=17 226，
因为0<β<π2<α<π，则α+β∈(π2,3π2)，
可得cs(α+β)=− 1−sin2(α+β)=−35，
所以cs(β+π4)=cs[(α+β)−(α−π4)]=cs(α+β)⋅cs(α−π4)+sin(α+β)⋅sin(α−π4)
=−35×(−7 226)+45×17 226=89 2130．
【解析】(1)由已知函数值以及角的范围可得csα=−1213，结合两角差的余弦公式即可求值；
(2)根据β+π4=(α+β)−(α−π4)，结合两角差的正余弦公式即可求值．
本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f(x)= 3sin2x+cs2x+ 3=2sin(2x+π6)+ 3，
∴f(−π2)=2sin(−π+π6)+ 3=− 3+ 3=0；
(2)f(x)的最小正周期为：T=2π2=π，
解−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ(k∈Z)得，−π3+kπ≤x≤π6+kπ(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间为：[−π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z；
(3)∵x∈[−π6,π3]，
∴2x+π6∈[−π6,5π6]，
∴f(x)在[−π6,π3]上的最大值为2+ 3，最小值为 3−1．
【解析】(1)根据二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式可化简得出f(x)=2sin(2x+π6)+ 3，然后即可求出答案；
(2)根据(1)求出的f(x)的解析式即可得出答案；
(3)可求出2x+π6的范围，结合正弦函数的图象即可求出答案．
本题考查了二倍角公式，两角和的正弦公式，三角函数最小正周期的计算公式，正弦函数的图象和单调增区间，是基础题．
21.【答案】解：(1)在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB，
及bsinA= 32a得，sinBsinA= 32sinA.
因为△ABC为锐角三角形，
所以A∈(0,π2)，
所以sinA>0．
所以sinB= 32.
又因为B∈(0 , π2)，所以B=π3.
(2)若选①．
法一：在△ABC中，因为AD=DC，
所以BD=12(BA+BC)．
所以BD2=14(BA2+BC2+2BA⋅BC) =22+(32)2+2×2×32×csπ34=3716，
所以BD= 374.
法二：在△ABC中，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅csB=22+(32)2−2×2×32×csπ3=134，
所以AC= 132，
所以AD=DC= 134．
在△ABD中，由余弦定理，得AB2=BD2+DA2−2BD⋅DA⋅cs∠ADB，
即4=BD2+1316− 132BDcs∠ADB
在△BDC中，由余弦定理，得BC2=BD2+DC2−2BD⋅DC⋅cs∠CDB
即94=BD2+1316− 132BDcs∠CDB．
又∠ADB+∠CDB=π，所以cs∠ADB+cs∠CDB=0．
所以4+94=2BD2+138，
所以BD= 374．
若选②．
在△ABC中，S△ABC=S△ABD+S△CBD，
即12BA⋅BC⋅sinπ3=12BA⋅BD⋅sinπ6+12BD⋅BC⋅sinπ6，
即12×2×32× 32=12×2×BD×12+12×BD×32×12，
解得BD=6 37．
若选③．
在△ABC中，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅csB=22+(32)2−2×2×32×csπ3=134，
所以AC= 132．
因为S△ABC=12BA⋅BC⋅sinB=3 34，
又S△ABC=12BD⋅AC= 134BD，
所以 134BD=3 34，
解得BD=3 3913．
【解析】本题主要考查了正弦定理，平面向量数量积的运算，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
(1)由正弦定理化简已知等式，结合A∈(0,π2)，可得sinA>0，可求sinB= 32，结合范围B∈(0 , π2)，可求B的值．
(2)若选①.法一：由题意可得BD=12(BA+BC)，两边平方，利用平面向量数量积的运算即可求解BD的值；法二：由余弦定理可求AC的值，在△ABD，△BDC中，分别应用余弦定理，结合cs∠ADB+cs∠CDB=0，可求4+94=2BD2+138，即可解得BD的值．若选②.由于S△ABC=S△ABD+S△CBD，利用三角形的面积公式即可求解BD的值；若选③.由余弦定理可求AC的值，利用三角形的面积公式可得 134BD=3 34，进而解得BD的值．
22.【答案】解：(1)因为(2b−c)csA=acsC，
所以2bcsA=acsC+ccsA，
所以2sinBcsA=sinAcsC+sinCcsA，
所以2sinBcsA=sin(A+C)，
所以2sinBcsA=sinB，
因为sinB≠0，所以csA=12，
因为A∈(0,π2)，所以A=π3；
(2)因为asinA=2 3 32=4，
所以bsinB=csinC=4，所以b=4sinB，c=4sinC=4sin(2π3−B)，
所以l=a+b+c=2 3+4sinB+4sin(2π3−B)=2 3+6sinB+2 3csB=2 3+4 3sin(B+π6)
因为△ABC是锐角三角形，且A=π3，
所以0所以B+π6∈(π3,2π3)，
所以sin(B+π6)∈( 32,1],
所以l∈(6+2 3,6 3]．
【解析】(1)根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式，可得csA=12，可得A=π3；
(2)利用正弦定理将l表示为B的函数，根据锐角三角形得B的范围，再根据正弦函数的图象可得结果．
本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式、锐角三角形的概念和正弦函数的图象的应用，属于中档题．