2024回族自治区银川一中高三下学期第二次模拟考试数学（理）含答案

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理科数学试题卷
( 银川一中第二次模拟考试 )

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则
A．B．
C．D．
2．已知，若为纯虚数，则
A．B．2C．1D．
3．某几何体的三视图如图所示，
则该几何体的体积为
A．B．
C．D．
4．已知函数为奇函数，则的值是
A．B．C．D．
5．设O为平面直角坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点
为A，则点A落在区域内的概率为
A．B．C．D．
6．已知，则
A．3B．C．D．2
已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对
数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对
的个数是
A．16B．24C．32D．48
8．在三棱锥中，，，，，则三
棱锥的外接球的表面积为
A．B．C．D．
9．《九章算术》中关于“刍童”（上、下底面均为矩形的棱台）体积计算的注释：将上底面
的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的
长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．现有
“刍童”，其上、下底面均为正方形，
若，且每条侧棱与底面所成角的正
切值均为，则该“刍童”的体积为
A．224B．448
C．D．147
10．抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧
上不同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周
长的取值范围是
A．B．C．D．
11．已知数列的前n项和为且，若对任意恒成立，则
实数a的取值范围是
A． B．
C．D．
12．已知、分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的渐近线方程为
A．B．C．D．
二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知，，则 .
14．当x、y满足条件时，的最小值为 .
15．设等比数列的前项和为.若，，成等差数列，且，则的值
为 ．
16．若，则实数最大值为 .
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分)
17．(12分)
某校组织学生进行跳绳比赛，以每分钟跳绳个数作为比赛成绩（单位：个）.为了解参赛学生的比赛成绩，从参赛学生中随机抽取50名学生的比赛成绩作为样本，整理数据并按比赛成绩分成，，，，，这6组，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)估计该校学生跳绳比赛成绩的中位数；
(2)若跳绳比赛成绩不低于140分的为优秀，以这50名学生跳绳比赛成绩的频率作为概率，现从该校学生中随机抽取3人，记被抽取的比赛成绩优秀的学生人数为，求的分布列与期望.
18.（12分）
已知平面四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，BC=3.
(1)若AB=6，AD=3，CD=4，求BD；
(2)若∠ABC=120°，△ABC的面积为，求四边形ABCD周长的最大值.
19．（12分）
如图，在四棱锥中，平面平面，，，E为中点，
点在上，且.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
20．（12分）
已知椭圆的上顶点为，是椭圆上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于、两点，在直线上是否存在一点，使得为等边三角形？若存在，求出等边三角形的面积；若不存在，请说明理由.
21．（12分）
已知函数.
(1)若是函数的一个极值点，求实数的值；
(2)若函数有两个极值点，其中，
①求实数的取值范围；
②若不等式恒成立，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线的一般方程；
(2)设直线与曲线C交于A、B两点，求△ABC面积的最大值．
23．[选修4-5：不等式选讲]
已知函数，．
(1)当时，解不等式；
(2)若对任意恒成立，求的取值范围．