2024年广西南宁市高考数学第二次适应性试卷(含解析）

这是一份2024年广西南宁市高考数学第二次适应性试卷(含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z在复平面内对应的点为(a,b)，且|z+i|=4，则( )
A. a2+(b+1)2=4B. a2+(b+1)2=16
C. (a+1)2+b2=4D. (a+1)2+b2=16
2.已知F1，F2分别是椭圆M：x216+y25=1的左、右焦点，P为M上一点，若|PF1|=3，则|PF2|=( )
A. 2B. 3C. 5D. 6
3.某体育场A区域看台的座位共有10排，从第1排到第10排的座位数构成等差数列，已知第1排、第4排的座位数分别为10，16，则A区域看台的座位总数为( )
A. 205B. 200C. 195D. 190
4.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l⊂α，m⊂β，下列命题为真命题的是( )
A. 若l/​/m，则α/​/βB. 若α/​/β，则l/​/β
C. 若l⊥m，则l⊥βD. 若α⊥β，则l/​/m
5.某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，则不同的插入方法种数为( )
A. 12B. 18C. 20D. 60
6.如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程F(x,y)=0中，把y看成x的函数y=y(x)，则方程可看成关于x的恒等式F(x,y(x))=0，在等式两边同时对x求导，然后解出y′(x)即可，例如，求由方程x2+y2=1所确定的隐函数的导数y′，将方程x2+y2=1的两边同时对x求导，则2x+2y⋅y′=0(y=y(x)是中间变量，需要用复合函数的求导法则)，得y′=−xy(y≠0)，那么曲线xy+lny=2在点(2,1)处的切线方程为( )
A. x−3y+1=0B. x+3y−5=0C. 3x−y−5=0D. 2x+3y−7=0
7.在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x5,y5)，(6,28)，(0,28)，利用此样本数据求得的经验回归方程为y =107x+1667，现发现数据(6,28)和(0,28)误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为y =4x+m，且i=15yi=140，则m=( )
A. 8B. 12C. 16D. 20
8.如图，正四棱台ABCD−A1B1C1D1容器的的高为12cm，AB=10cm，A1B1=2cm，容器中水的高度为6cm，现将57个大小相同，质地均匀的小铁球放入容器中(57个小铁球均被淹没)，水位上升了3cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为( )
A. 31πcm
B. 32πcm
C. 33πcm
D. 34πcm
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若表示集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是( )
A. M={0,2,4,6}，N={4}
B. M={x|x2<1}，N={x|x>−1}
C. M={x|y=lgax},N={y|y=ex+1ex}
D. M={(x,y)|x2=y2}，N={(x,y)|y=x}
10.已知函数f(x)=Msin(ωx+φ)(M>0,ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，A，B为f(x)的图像与x轴的交点，C为f(x)图像上的最高点，△ABC是边长为1的等边三角形，|OB|=2|OA|，则( )
A. f(0)= 32
B. 直线x=136是f(x)图像的一条对称轴
C. f(x)的单调递增区间为(−56+2kπ,16+2kπ)(k∈Z)
D. f(x)的单调递减区间为(16+2k,76+2k)(k∈Z)
11.设抛物线E：x2=2py(p>0)的焦点为F，过点P(0,3)的直线与抛物线E相交于点A，B，与x轴相交于点C，|AF|=2，|BF|=10，则( )
A. p的值为2
B. E的准线方程为y=−2
C. |AB|=4 2
D. △BFC的面积与△AFC的面积之比为9
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等比数列{an}中，a5=1，a6=3，则a8= ______．
13.若过点P(0,1)可作圆(x−1)2+(y−2)2=5−a的两条切线，则a的取值范围是______．
14.定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，函数g(x)=f(x)−2x的图象关于直线x=2对称.若f(0)=0，则f(1)+f(2)+⋯+f(50)= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,2tanA1+tan2A=asinBb．
(1)求A；
(2)若b+c= 3a,△ABC的面积为2 33，求△ABC的周长．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，AB= 2PA= 2PB=2,E是CD中点．
(1)证明：平面PBC⊥平面PAE．
(2)求二面角D−AP−E的余弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx−ax．
(1)若f(x)在定义域内单调递增，求a的取值范围，
(2)若函数g(x)=f(x)−x+1恰有两个零点，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上一点D(6, 3)到左、右焦点的距离之差为6．
(1)求C的方程；
(2)已知A(−3,0)，B(3,0)，过点(5,0)的直线l与C交于M，N(异于A，B)两点，直线MA与NB交于点P，试问点P到直线x=−2的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19.(本小题17分)
2023年10月7日，杭州第19届亚运会女子排球中国队以3：0战胜日本队夺得冠军，这也是中国女排第9个亚运冠军，她们用汗水诠释了几代女排人不屈不挠、不断拼搏的女排精神，某校甲、乙、丙等7名女生深受女排精神鼓舞，组建了一支女子排球队，其中主攻手2人，副攻手2人，接应手1人，二传手1人，自由人1人.现从这7人中随机抽取3人参与传球训练．
(1)求抽到甲参与传球训练的概率；
(2)记主攻手和自由人被抽到的总人数为ξ，求ξ的分布列及期望；
(3)若恰好抽到甲，乙，丙3人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为12，当乙接到球时，乙传给甲、丙的概率分别为13,23，当丙接到球时，丙传给甲、乙的概率分别为13,23，假设球一直没有掉地上，求经过n次传球后甲接到球的概率．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据题意，z=a+bi，
∴|a+(b+1)i|=4，
∴a2+(b+1)2=16．
故选：B．
可得出|a+(b+1)i|=4，然后根据复数模的计算即可得出答案．
本题考查了复数的加法运算，复数模的计算公式，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：椭圆M：x216+y25=1的a=4，
P为M上一点，若|PF1|=3，
则|PF2|=2a−|PF1|=8−3=5．
故选：C．
求得椭圆方程的a，再由椭圆的定义可得所求距离．
本题考查椭圆的定义和方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，从第1排到第10排的座位数构成等差数列，设该数列为{an}，其公差为d，
由于a1=10，a4=16，则d=a4−a14−1=2，
故a10=a1+9d=10+18=28，
则A区域看台的座位总数S10=(a1+a10)×102=(10+28)×102=190．
故选：D．
根据题意，设该数列为{an}，其公差为d，先由等差数列的性质求出公差d和a10的值，进而由等差数列的前n项和计算可得答案．
本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的通项公式，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l⊂α，m⊂β，
对于A：若l/​/m，则α/​/β可能相交也可能平行，故A错误；
对于B：若α/​/β，则若α与β没有公共点，又因为l⊂α，所以l与β也没有公共点，所以l/​/β，故B正确；
对于C：若l⊥m，m⊂β，l只与β面内的一条直线垂直，不能推出l⊥β，故C错误；
对于D：若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l与m可能平行、相交、异面，故D错误．
故选：B．
利用面面平行、垂直、线面的位置关系的判定与性质，逐项判断，能求出结果．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
5.【答案】C
【解析】解：5个节目排好的节目单中间有4个空，
第一个节目插入到这4个空中，有4种方法，
这时6个节目排好的节目单中间有5个空，
第二个节目插入到这5个空中，有5种方法，
由乘法计数原理得不同的插入方法种数为4×5=20．
故选：C．
5个节目排好的节目单中间有4个空，第一个节目插入到这4个空中，有4种方法，这时6个节目排好的节目单中间有5个空，第二个节目插入到这5个空中，有5种方法，由乘法计数原理得不同的插入方法种数．
本题考查分步计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：在xy+lny=2的两边，对x求导数，可得y+xy′+1yy′=0，
代入x=2，y=1，可得切线的斜率为1+2k+k=0，即k=−13，
则切线的方程为y−1=−13(x−2)，
化为x+3y−5=0．
故选：B．
求得导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程可得切线的方程．
本题考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：∵i=15yi=140，
∴y1+y2+y3+y4+y5+28+28=140+28+28=196，
∴y−=17×(y1+y2+y3+y4+y5+28+28)=28，
又∵(x−,y−)在经验回归方程y =107x+1667上，
∴28=107x−+1667，解得x−=3，
∴i=15xi=3×7−6−0=15，
∴x−′=i=15xi5=3，y−′=i=15yi5=1405=28，
又∵(x−′,y−′)在经验回归方程y =4x+m上，
∴28=4×3+m，
解得m=16．
故选：C．
由题意求出y−=28，根据点(x−,y−)在经验回归方程y =107x+1667上求出x−，进而求出x−′，再结合点(x−′,y−′)在经验回归方程y =4x+m上即可求出m的值．
本题主要考查了经验回归方程的性质，考查了平均数的计算，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：如图作出正四棱台的轴截面，
根据已知可得：E1T=F1S=12，AB=EF=10，A1B1=E1F1=2，
水面高度RT=KS=6，HR=GK=3，
所以E1H=E1T−HR−RT=12−3−6=3，同理：F1G=3，
且E1R=F1K=6，ET=ST=EF−TS2=10−22=4，
易知△E1MH∽△E1ET，
所以MHET=E1HE1T，
即MH4=312，解得MH=1，同理：GN=1，
所以MN=MH+HG+GN=1+2+1=4，
同理：△E1PR∽△E1ET，
所以PRET=E1RE1T，
即PR4=612，解得PR=2，同理：KQ=2，
所以PQ=PR+RK+KQ=2+2+2=6，
由题意知57个大小相同，质地均匀的小铁的体积等于高为3cm，上底边长4cm，下底边长6的正四棱台的体积，
设小球的半径为r，
则57×43πr3=13×3×(42+62+ 42×62)，
即76πr3=76，
所以r=31πcm．
故选：A．
利用57个大小相同，质地均匀的小铁球的体积就是水面上升高度的正四棱台的体积即可求解．
本题考查空间几何体的体积，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：由题中韦恩图可得N⊆M，
对于A，M={0,2,4,6}，N={4}，N⊆M，故A正确；
对于B，M={x|x2<1}={x|−1−1}，M⊆N，故B错误；
对于C，M={x|y=lgax}={x|x>0}，N={y|y=ex+1ex≥2 ex⋅1ex=2}，N⊆M，故C正确；
对于D，M={(x,y)|x2=y2}={(x,y)|y=x或y=−x}，N={(x,y)|y=x}，N⊆M，故D正确．
故选：ACD．
分别解出各选项，再考查它们的关系，结合韦恩图即可判断．
本题考查集合的含义、集合间的关系以及韦恩图，较简单．
10.【答案】BD
【解析】解：设f(x)的周期为T，由题意得，T2=πω=1，解得ω=π，
∵边长为1的等边三角形ABC的高为 32，
∴M= 32，
∴f(x)= 32sin(πx+φ)，
又|OB|=2|OA|，
∴A(−13,0)，B(23,0)，
由五点作图法可得：−13×π+φ=0，
∴φ=π3，
∴f(x)= 32sin(πx+π3)，
∴f(0)= 32× 32=34，A错误；
f(136)= 32sin(π×136+π3)= 32，为最大值，
∴直线x=136是f(x)图像的一条对称轴，B正确；
令2kπ−π2≤πx+π3≤2kπ+π2(k∈Z)，得2k−56≤x≤2k+16(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间为[2k−56,2k+16](k∈Z)，C错误；
∴f(x)的单调递减区间为(2k+16,2k+76)(k∈Z)，D正确．
故选：BD．
依题意，可求得f(x)= 32sin(πx+π3)，再利用正弦函数的性质分析各个选项即可．
本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式、考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：设直线AB的方程为y=kx+3，A(x1,y1)和B(x2,y2)，
联立y=kx+3x2=2py，可得x2−2pkx−6p=0，
所以x1+x2=2pk，x1x2=−6p，故y1y2=x12x224p2=9，
因为|AF|=2，|BF|=10，所以y1=2−p2，y2=10−p2，
则(2−p2)(10−p2)=9，解得p=2或p=22，
因为2−p2>0，所以p=2，则E的准线方程为y=−1，故A正确，B错误；
又y1=1，y2=9，不妨取A(−2,1)，B(6,9)，
所以|AB|= 82+82=8 2，S△BCFS△ACF=|BC||AC|=y2y1=9，故C错误，D正确．
故选：AD．
设直线AB的方程为y=kx+3，A(x1,y1)和B(x2,y2)，根据根与系数的关系及抛物线的性质进行计算，从而判定各选项．
本题考查抛物线的性质，属中档题．
12.【答案】27
【解析】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若a5=1，a6=3，则q=a6a5=3，
则a8=a5q3=1×27=27．
故答案为：27．
根据题意，设等比数列{an}的公比为q，先求出q的值，进而计算可得答案．
本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
13.【答案】(3,5)
【解析】解：根据题意，方程(x−1)2+(y−2)2=5−a表示圆，则有5−a>0，解可得a<5，
若过点P(0,1)可作圆(x−1)2+(y−2)2=5−a的两条切线，
则点P在圆外，则有(0−1)2+(1−2)2=2>5−a，解可得a>3，
综合可得：3故答案为：(3,5)．
根据题意，由圆的标准方程可得a<5，由圆的切线数目可得点P在圆外，可得a>3，综合可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程，属于基础题．
14.【答案】2499
【解析】解：因为定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，
所以f(2−x)+f(x)=2，又函数g(x)=f(x)−2x，
所以f(x)=g(x)+2x关于点(1,1)对称，
所以有g(2−x)+2(2−x)+g(x)+2x=2，即g(2−x)+g(x)=−2，
又函数g(x)关于直线x=2对称，则g(2−x)=g(2+x)，
因为g(2−x)+g(x)=−2，g(2−x)=g(2+x)，
所以g(2+x)=−2−g(x)，
所以g(4+x)=−2−g(x+2)=−2−[−2−g(x)]=g(x)，
所以函数g(x)是周期为4的函数，且g(0)=f(0)=0，
当x=1，由g(2−x)+g(x)=−2得g(1)=−1，
当x=2，由g(2−x)+g(x)=−2得g(2)=−2−g(0)=−2，
当x=3，由g(2−x)=g(2+x)得g(3)=g(1)=−1，
所以f(1)+f(2)++f(50)
=g(1)+g(2)++g(50)+2×(1+2++50)
=g(1)+g(2)+12×(−1+0−1−2)+2×(1+50)×502
=−1+(−2)+12×(−4)+2550=2499．
故答案为：2499．
根据函数关于点(1,1)对称和g(x)的图象关于直线x=2对称，可得周期，可求出结果．
本题主要考查抽象函数的性质和运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由2tanA1+tan2A=2sinAcsAsin2A+cs2A=2sinAcsA，
又asinBb=sinAsinBsinB=sinA，
所以2sinAcsA=sinA，又A∈(0,π)，sinA≠0，
所以csA=12，则A=π3；
(2)因为△ABC的面积为2 33，
所以12bcsinA=2 33，解得bc=83，
由余弦定理可得a2=c2+b2−2bccsA=c2+b2−bc=(b+c)2−3bc，
因为b+c= 3a，所以a2=( 3a)2−8，
解得a=2，则b+c=2 3，
所以△ABC周长为2 3+2..
【解析】(1)由三角恒等变换及正弦定理，可求得csA=12，从而求得角A；
(2)由三角形面积求得bc，结合余弦定理，求得a+c，即可求得三角形周长．
本题考查三角恒等变换及正弦定理、余弦定理的应用，属中档题．
16.【答案】解：(1)连接AC，因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，
所以△ACD是正三角形，又E为CD的中点，
所以AE⊥CD，则AE⊥AB，
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
所以AE⊥平面PAB，
因为PB⊂平面PAB，
所以AE⊥PB，
因为AB= 2PA= 2PB=2，
所以PA2+PB2=AB2，
则PA⊥PB，
因为PA∩AE=A，所以PB⊥平面PAE，
又PB⊂平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAE；
(2)取AB的中点O，连接OC，OP，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，

A(−1,0,0)，B(1,0,0)，P(0,0,1)，D(−2, 3,0)，
所以AP=(1,0,1)，AD=(−1, 3,0)，
设平面PAD的法向量为m=(x,y,z)，
则由m⋅AP=0m⋅AD=0，可得x+z=0−x+ 3y=0，
令y=1，得m=( 3,1,− 3)，
由(1)可知BP=(−1,0,1)是平面PAE的一个法向量，
cs=m⋅BP|m||BP|=−2 3 2× 7=− 427．
由图可知二面角D−AP−E为锐角，所以二面角D−AP−E的余弦值为 427．
【解析】(1)结合已知先证明PB⊥平面PAE，再利用面面垂直的判定定理即可得证；
(2)建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面PAD与平面PAE的法向量，利用向量夹角公式即可求解．
本题考查面面垂直的判定以及空间向量的应用，属于中档题．
17.【答案】解：∵f(x)=lnx−ax，其定义域为(0,+∞)
∴f′(x)=1x−a=1−axx，
若f(x)在定义域内单调递增，则只需f′(x)≥0
则只需1−ax≥0，即a≤1x在(0,+∞)上恒成立，
而y=1x在(0,+∞)上单调递减，且当x→+∞时，y→0，
∴a≤0；
(2)由题意可得，g(x)=lnx−ax−x+1，
g′(x)=1x−a−1=1−(a+1)x，
当a≤−1时，g′(x)>0，g(x)在定义域上单调递增，至多一个零点，不符合题意；
当a>−1时，令g′(x)>0，解得0令g′(x)<0，解得x>1a+1；
∴g(x)在(0,1a+1)上单调递增，(1a+1,+∞)上单调递减，
∴gmax(x)=g(1a+1)=ln1a+1−aa+1−1a+1+1=ln1a+1，
若函数g(x)恰有两个零点，则只需ln1a+1>0，
即1a+1>1，解得−1∵−1则1e(1+a)∈(0,1a+1)，
g(a+1e)=ln1+ae−(1+a)2e+1<0，
∴g(x)在(0,1a+1)上有一个零点；
又(ea+1)2>1a+1，
g((ea+1)2)=2lnea+1−e2a+1+1<2(ea+1−1)−e2a+1+1=1a+1(2e−e2)−1<0，
∴g(x)在(1a+1,+∞)上有一个零点，
∴当a∈(−1,0)时，g(x)有两个零点．
【解析】(1)把函数单调递增转化为导函数大于等于求解；
(2)先判断g(x)的单调性，保证gmax(x)>0，然后说明在极值点两个各有一个零点．
本题考查函数的单调性和零点问题，属于难题．
18.【答案】解：(1)因为双曲线C上一点D(6, 3)到左、右焦点的距离之差为6，
所以2a=636a2−3b2=1，
解得a=3，b=1，
则C的方程为x29−y2=1；
(2)易知直线l的斜率存在且不为0，
不妨设直线l的方程为x=my+5，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x=my+5x29−y2=1，消去x并整理得(m2−9)y2+10my+16=0，
此时满足m2−9≠0，
由韦达定理得y1+y2=−10mm2−9，y1y2=16m2−9，
所以直线AM的方程为y=y1x1+3(x+3)，直线BN的方程为y=y2x2−3(x−3)，
联立y=y1x1+3(x+3)y=y2x2−3(x−3)，
消去y并整理得x+3x−3=y2(x1+3)y1(x2−3)=y2(my1+8)y1(my2+2)=my1y2+8y2my1y2+2y1
=my1y2+8(y1+y2)−8y1my1y2+2y1=16mm2−9−80mm2−9−8y116mm2−9+2y1=−64mm2−9−8y116mm2−9+2y1=−4，
解得x=95，
所以点P在定直线x=95上，
因为直线x=95与直线x=−2之间的距离为195，
所以点P到直线x=−2的距离为定值，定值为195．
【解析】(1)由题意，根据题目所给信息列出等式求出a和b的值，进而可得C的方程；
(2)设出直线l的方程和M，N两点的坐标，将直线l的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理得到y1+y2=−10mm2−9，y1y2=16m2−9，推出直线AM和BN的方程，将两直线方程联立，解得点P在定直线x=95上，进而即可求解．
本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)抽到甲参与传球训练的概率为C62C73=37．
(2)由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P(ξ=0)=C43C73=435，
P(ξ=1)=C42C31C73=1835，
P(ξ=2)=C41C32C73=1235，
P(ξ=3)=C33C73=135，
所以ξ的分布列为：
E(ξ)=0×435+1×1835+2×1235+3×135=97．
(3)经过n次传球后，排球被甲接到球的概率为Pn，
则Pn=Pn−1×0+(1−Pn−1)×13=13−13Pn−1(n≥2)，
即Pn−14=−13(Pn−1−14)(n≥2)，
而P1−14=0−14=−14，
所以{Pn−14}是首项为−14，公比为−13的等比数列，
则Pn−14=−14(−13)n−1，
则Pn=14−14(−13)n−1．
【解析】(1)由古典概型概率公式求解即可；
(2)由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率，可得分布列及数学期望；
(3)经过n次传球后，排球被甲接到球的概率为Pn，则Pn=Pn−1×0+(1−Pn−1)×13=13−13Pn−1(n≥2)，转化可得{Pn−14}是首项为−14，公比为−13的等比数列，由等比数列的通项公式求解即可．
本题考查了概率的求法，离散型随机变量的分布列及数学期望，概率与数列的综合，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．ξ
0
1
2
3
P
435
1835
1235
135