2022-2023学年河南省郑州四禾美术学校高二（下）期中数学试卷(含解析）

这是一份2022-2023学年河南省郑州四禾美术学校高二（下）期中数学试卷(含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.数列35,47,59,611，…，则该数列的第n项为( )
A. n2n−1B. n+22n−3C. n2n+1D. n+22n+3
2.下列求导正确的是( )
A. (3x2−2)′=3xB. (lg2x)′=1x⋅ln2
C. (csx)′=sinxD. (1lnx)′=x
3.在等差数列{an}中，a1+a2=5，a5+a6=7，则a9+a10=( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
4.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为( )
A. 53B. 103C. 56D. 116
5.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
A.
B.
C.
D.
6.4名学生和3位老师排成一排合影，恰有两位老师相邻的不同排法有( )
A. 240种B. 480种C. 720种D. 2880种
7.已知函数f(x)=x3−2xf′(1)，则f′(1)的值为( )
A. −1B. 1C. −2D. 2
8.已知(x+1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2+a4的值为( )
A. 7B. 8C. 15D. 16
9.函数f(x)=2x−lnx的单调递减区间为( )
A. (0,12)B. (12,+∞)C. (12,2)D. (−∞,2)
10.如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为
( )
A. 84B. 72C. 64D. 56
11.(x−ax)n的展开式共有七项，且常数项为20，则a=( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
12.已知函数f(x)=12x2−alnx+x在[1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. a≤0B. 0≤a≤1C. a≤2D. a<2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.A73−C64= ．
14.(2x−1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是______.(用数字作答)
15.杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数Cnr都换成分数1(n+1)Cnr，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，请问“莱布尼茨三角形”第10行第5个数是______．
16.若ex≥x+k在R上恒成立，则实数k的取值范围为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
由1，2，3，4，5，6这六个数字可组成多少个：
(1)三位数？
(2)没有重复数字的三位数？
(3)没有重复数字的末位数字是5的三位数？
18.(本小题12分)
已知等差数列{an}满足a3=2，前3项和S3=92．
(Ⅰ)求{an}的通项公式；
(Ⅱ)设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n项和Tn．
19.(本小题12分)
在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查．现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查．
(1)共有多少种不同的抽法？
(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？
(3)至少有一件是次品的抽法有多少种？
(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？
20.(本小题12分)
某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来参观旅游．为提高经济效益，管理部门对某一景点进行了改造升级．经市场调查，改造后旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足：y=12ax2+bx−lnx5(a,b为常数).当x=10万元时，y=17.7万元；当x=15万元时，y=25万元．
(参考数据：ln2=0.7，ln3=1.1，ln5=1.6)
(1)写出该景点改造升级后旅游增加利润L(x)万元与投入x万元的函数解析式；(利润=旅游增加值−投入)
(2)投入多少万元时，旅游增加利润最大？最大利润是多少万元？(精确到0.1)
21.(本小题12分)
已知( x−2 x)n二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3．
(1)求n的值；
(2)求展开式中x3项的系数；
(3)计算式子C100−2C101+4C102−8C103+…+1024C1010的值．
22.(本小题12分)
设f(x)=x⋅ex．
(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间与极值；
(3)若x⋅ex−a=0有实数解，求实数a的范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：数列35,47,59,611，…，
则该数列的第n项为n+22n+3．
故选：D．
观察数列各项的特点即可求解第n项．
本题考查了通过观察分析猜想归纳数列的通项公式，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了导数的运算法则，属于基础题．
先根据导数的运算法则求导，再判断．
【解答】
解：(3x2−2)′=6x，(lg2x)′=1x⋅ln2，(csx)′=−sinx，(1lnx)′=−1xln2x，
故选：B．
3.【答案】B
【解析】解：在等差数列{an}中，由a1+a2=5，a5+a6=7，
得(a1+a2)+8d=5+8d=a5+a6=7，即8d=2，
则a9+a10=(a5+a6)+8d=7+2=9．
故选：B．
由已知结合等差数列的通项公式及性质求解．
本题考查等差数列的通项公式与性质，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：设5人分到的面包从小到大记下为{an}，
则S5=5(a1+a5)2=5a3=100，
所以a3=20，
因为a3+a4+a5=7(a1+a2)，
所以60+3d=7(40−3d)，
解得d=556，
所以a1=a3−2d=20−553=53．
故选：A．
由已知结合等差数的通项公式及求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由导数的图象可得，导函数f′(x)的值在[−1,0]上的逐渐增大，
故函数f(x)在[−1,0]上增长速度逐渐变大，故函数f(x)的图象是下凹型的．
导函数f′(x)的值在[0,1]上的逐渐减小，
故函数f(x)在[0,1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，
故选B．
根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．
本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意，先将3名老师分为2、1的两组，有C31=3种分组方法，
再将4名学生全排列，有A44=24种情况，
4人排好后有5个空位，在其中任选2个，安排两组老师，有2A52=40种情况，
则一共有3×24×40=2880种不同排法；
故选：D．
根据题意，分3步进行分析：将3名老师分为2、1的两组，再将4名学生全排列，4人排好后有5个空位，在其中任选2个，安排两组老师，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，涉及插空法的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：因为f(x)=x3−2xf′(1)，所以f′(x)=3x3−2f′(1)，
所以f′(1)=3−2f′(1)，解得f′(1)=1．
故选：B．
由题知f′(x)=3x3−2f′(1)，再求解f′(1)即可．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由题得(x+1)5的展开式的通项为Tr+1=C5rx5−r，
令5−r=2，得r=3，
故a2=C53=10；
令5−r=4，得r=4，
故a4=C51=5，
所以a2+a4=10+5=15．
故选：C．
利用二项式展开式的通项求出a2，a4即得解．
本题主要考查二项式展开式的通项求系数，意在考查学生对这些知识的理解与掌握水平，属于基础题．
9.【答案】A
【解析】解：∵f(x)=2x−lnx，x>0，
∴f′(x)=2−1x=2x−1x，x>0，
令f′(x)<0，解得0故f(x)的递减区间为(0,12)，
故选：A．
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，属基础题．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了两个计数原理的综合应用，属于中档题．
分类要全要细．每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，A、C不同色；A、C同色两大类．
【解答】
解：先涂A有4种颜色可选，再涂B有3种颜色可选，
剩下的分两种情况：
(1)A、C不同色(注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的2中颜色中任意取一色)：有4×3×2×2=48种；
(2)A、C同色(注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的3中颜色中任意取一色)：有4×3×1×3=36种，
共有48+36=84种．
故选A．
11.【答案】B
【解析】解：因为(x−ax)n的展开式共有七项，故n=6，
且展开式通项公式为Tr+1=C6rx6−r(−ax−1)r=C6rx6−2r(−a)r，
令6−2r=0，解得：r=3，故T4=C63(−a)3=20，解得a=−1．
故选：B．
根据展开式的项数得到n=6，进而由展开式通项公式得到T4=C63(−a)3=20，求出a的值．
本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】C
【解析】解：f(x)=12x2−alnx+x，可得f′(x)=x−ax+1=x2+x−ax，
若f(x)在[1,+∞)递增，
则x2+x−a≥0在x∈[1,+∞)恒成立，
即a≤x2+x在x∈[1,+∞)恒成立，
令g(x)=x2+x=(x+12)2−14，函数的对称轴为x=−12，当x≥1时，函数是增函数，所以g(x)≥2，
故a≤2，
故选：C．
求出函数的导数，问题转化为a≤x2+x在x∈[1,+∞)恒成立，利用二次函数的性质，求出a的范围即可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．
13.【答案】195
【解析】【分析】
本题主要考查排列组合数公式的计算，属于基础题．
根据排列数和组合数公式进行计算即可．
【解答】
解：A73−C64=7×6×5−C62
=210−6×52×1=210−15=195，
故答案为：195．
14.【答案】−160
【解析】解：(2x−1)6的展开式中，二项式系数最大的项是
T4=C63⋅(2x)3⋅(−1)3=−160x3，
其系数为−160．
故答案为：−160．
根据展开式中二项式系数最大的项是T4，由此求出它的系数．
本题考查了二项式展开式系数的应用问题，是基础题．
15.【答案】12310
【解析】解：由题意知，将杨辉三角从第1行开始的每一个数Cnr都换成分数1(n+1)Cnr，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，
观察表中数字，题中要求第10行第5个数，所以n=10，r=4，(表中每一行的第1个数是0，所以第5个数是4)，
所以，第10行第5个数为：1(10+1)C104=12310．
故答案为：12310．
根据题意，将杨辉三角从第1行开始的每一个数Cnr都换成分数1(n+1)Cnr，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，确定n，r，代入公式计算即可．
本题考查归纳推理，属于基础题．归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．
16.【答案】(−∞,1]
【解析】解：∵ex≥x+k在R上恒成立，∴k≤ex−x，
令f(x)=ex−x(x∈R)，f′(x)=ex−1，
当x=0时，f′(0)=0，
当x∈(0,+∞)时，f′(0)>0，
当x∈(−∞,0)时，f′(0)<0，
则函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
∴当x=0时，f(x)=ex−x有最小值f(0)=e0−0=1，
∴k∈(−∞,1]，则实数k的取值范围为(−∞,1]．
故答案为：(−∞,1]．
利用隔离参数法将不等式ex≥x+k转化为k≤ex−x，进而求得实数k的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由1，2，3，4，5，6这六个数字，可组成6×6×6=216个可重复的三位数；
(2)可组成A63=6×5×4=120个不重复的三位数；
(3)末尾为5，先选择末尾数5，有1种，
再从剩下的5个数中选择两个元素有5×4=20种，
故没有重复数字的末位数字是5的三位数有20个
【解析】根据排列数公式和分步计数法求出即可．
本题考查简单的计数原理的应用，考查了排列数公式，基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，
∵a3=2，前3项和S3=92．
∴a1+2d=2，3a1+3d=92，解得a1=1，d=12．
∴an=1+12(n−1)=n+12；
(Ⅱ)b1=a1=1，b4=a15=8，
可得等比数列{bn}的公比q满足q3=8，
解得q=2．
∴{bn}前n项和Tn=2n−12−1=2n−1．
【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，由题意，可得a1+2d=2，3a1+3d=92，解得a1，d.即可得出;
(Ⅱ)b1=a1=1，b4=a15=8，可得等比数列{bn}的公比q，利用求和公式即可得出．
19.【答案】解：(1)100件产品，从中任意抽出3件检查，共有C1003=161700 种不同的抽法，
(2)事件分两步完成，第一步从2件次品中抽取1件次品，第二步从98件正品中抽取2件正品，根据乘法原理得恰好有一件是次品的抽法有C21C982=9506 种不同的抽法．
(3)利用间接法，从中任意抽出3件检查，共有C1003种不同的抽法，全是正品的抽法有C983，则至少有一件是次品的抽法有C1003−C983=9604种不同的抽法．
(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有9506×6=57036种不同的排法．
【解析】本题考查计数原理及应用，考查排列组合的实际应用，解题时要认真审题．
(1)100件产品，从中任意抽出3件检查，共有C1003种不同的抽法；
(2)事件分两步完成，第一步从2件次品中抽取1件次品，第二步从98件正品中抽取2件正品，根据乘法原理计算求得；
(3)利用间接法，从中任意抽出3件种数，排除全是正品的种数，得到至少有一件是次品的抽法种数；
(4)在(2)的基础上，再进行全排，即可得出结论．
20.【答案】解：(1)由已知得：12a×100+10b−ln2=17.712a×225+15b−ln3=25，
化简得：a=−125，b=5125，
∴y=−150x2+5125x−lnx5(x≥10)，
则该景点改造升级后旅游增加利润为：L(x)=−150x2+5125x−lnx5−x=−150x2+2625x−lnx5(x≥10)．
(2)由(1)得：L(x)=−150x2+2625x−lnx5(x≥10)，
则L′(x)=−125x+2625−1x=−x2−26x+2525x=−(x−1)(x−25)25x，
令L′(x)=0得，x=25，
当x∈(10,25)时，L′(x)>0，L(x)单调递增；当x∈(25,+∞)时，L′(x)<0，L(x)单调递减，
∴x=25时，L(x)取得最大值，且L(x)max=L(25)=11.9，
∴当投入25万元时，旅游增加利润最大，最大利润为11.9万元．
【解析】本题主要考查了函数的的实际应用，考查了利用导数研究函数的最值，是中档题．
(1)先利用待定系数法求出y关于x的函数解析式，再由利润=旅游增加值−投入得到旅游增加利润L(x)万元与投入x万元的函数解析式．
(2)由(1)得：L(x)=−150x2+2625x−lnx5(x≥10)，利用导数得到函数L(x)的单调性，进而求出函数L(x)的最大值即可．
21.【答案】解：(1)由第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3，
可得Cn3Cn2=83，
化简可得n−23=83，求得n=10．
(2)由于( x−2 x)10二项展开式的通项公式为Tr+1=(−2)r⋅C10r⋅x5−r，
令5−r=3，求得r=2，可得展开式中x3项的系数为(−2)2⋅C102=180．
(3)由二项式定理可得 x−2 x10=r=010−2rC10rx5−r，
所以令x=1，得C100−2C101+4C102−8C103+…+1024C1010=(1−2)10=1．
【解析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，属于基础题．
(1)直接利用条件可得Cn3Cn2=83，求得n的值．
(2)在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3项的系数．
(3)在( x−2 x)10二项展开式中，令x=1，可得式子C100−2C101+4C102−8C103+…+1024C1010的值．
22.【答案】解：(1)f(x)=x⋅ex的定义域为R，
f′(x)=(1+x)⋅ex，f′(1)=2e，又f(1)=e，
∴曲线f(x)在x=1处的切线方程为y−e=2e⋅(x−1)，即2ex−y−e=0；
(2)f′(x)=(1+x)⋅ex，令f′(x)=0，得x=−1，
当x<−1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x>−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴f(x)的单调递减区间是(−∞,−1)，单调递增区间是(−1,+∞)，
所以f(x)极小值=f(−1)=−1e，无极大值；
(3)由(2)知f(x)在x=−1处取极小值，无极大值，则f(x)min=f(x)极小值=1e，无最大值，所以f(x)的值域为[−1e,+∞),
因为方程x⋅ex−a=0有实数解，即方程a=f(x)有实数解，
所以实数a的范围为[−1e,+∞)．
【解析】(1)根据导数的几何意义可求得结果；
(2)利用导数可求得单调区间与极值；
(3)将方程x⋅ex−a=0有实数解问题转化为求函数值域问题即可求解．
本题考查了导数的综合运用，属于中档题．