陕西省西安市第一中学2024届高三下学期期中考试数学（文）试卷（Word版附解析）

这是一份陕西省西安市第一中学2024届高三下学期期中考试数学（文）试卷（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了已知，则等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡．上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则z的虚部为（ ）
A．2B．1C．D．
2．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．某地气象部门统计了当地2024年3月前8天每天的最高气温T（单位：℃），数据如下：
则这8天的气温数据的极差为（ ）
A．10B．12C．13D．14
4．已知非零向量，满足，，若，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．执行如图所示的程序框图，则输出的
A．B．C．D．
6．社火，又称“演社火”，是指在传统节日里扮演的各种杂戏，属于民间的一种自演自娛活动，也是国家级非物质文化遗产的代表性项目．某地举行社火活动，现有小明和小华等5名小朋友报名，从中任选2名小朋友参加，则小明和小华恰有1人被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，D，E分别为棱BC，的中点，F为棱AB．上的动点，且线段的长度最小值为，则异面直线AC与DE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知椭圆的离心率，上顶点的坐标为，右顶点为A，P为C上横坐标为1的点，直线PA与y轴交于点M，O为坐标原点，则（ ）
A．1B．C．D．
10．已知函数的图象与函数的图象重合，则在下列哪个区间上单调递增（ ）
A．B．C D．
11．一种锥底孵化桶常用于鱼虾类的孵化，其桶底采用上大下小的漏斗状设计，底部设计成锥形便于收集幼苗．铁匠老张准备从一个半径为R的圆形铁片上剪出一个扇形（圆心和半径与圆形铁片--致）作为圆锥的侧面，制作成一个圆锥形无盖漏斗（接缝处忽略不计）．若该漏斗的容积为，则圆形铁片的面积最小值为（ ）
A．4πB．6πC．8πD．9π
12．已知点A，B在抛物线上，设C的焦点为F，线段AB的中点M在C的准线l上的射影为，且，则向量，的夹角的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．设等差数列的前n项和为，，，则______．
p，
14．设实数x，y满足约束条件，则的最小值为______．
15．已知直线与均与相切，点在上，则的方程为______．
16．对任意的实数x，记函数（表示m，n中的较小者）．若方程恰有5个不同的实根，则实数c的取值范围为______．
三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
2024年3月，某校语文教师对学生提出“3月读一本书”的要求，每个学生都选择且只能选择《红楼梦》和《三国演义》中的一本，现随机调查男、女生各100人，发现选择《三国演义》的有110人，其中女生占．
（I）补充完整下述2×2列联表，现按性别用分层抽样的方式从选择《红楼梦》的学生中抽取18人，求这18人中男生和女生的人数；
（II）判断能否有99.9%的把握认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关．
参考公式：，其中．
参考数据：
18．（12分）
设等比数列的前n项和为，已知，．
（I）求数列的通项公式；
（I）求数列的前n项和．
19．（12分）
如图，在圆台中，，为轴截面，，，，C为下底面圆周上一点，P为下底面圆O内一点，垂直下底面圆O于点E，．
（I）求证：平面平面；
（II）若为等边三角形，求点E到平面的距离．
20．（12分）
已知函数．
（I）求曲线在处的切线方程；
（II）若，，，求a的取值范围．
21．（12分）
已知双曲线的左、右顶点分别是，，直线l与C交于M，N两点（不与重合），设直线，，l的斜率分别为后，，，k，且．
（I）判断直线l是否过x轴上的定点．若过，求出该定点；若不过，请说明理由．
（II）若M，N分别在第一和第四象限内，证明：直线，与的交点P在定直线上．
（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（为参数），直线l的参数方程为，（，t为参数），以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（I）求圆C的极坐标方程；
（II）设直线l与圆C的两个交点分别为M，N，求的最大值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知，，函数．
（I）当时，解不等式；
（II）若的最小值为2，证明：．
时间
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第8天
T（℃）
8
12
8
14
16
11
18
21
《红楼梦》
《三国演义》
合计
男生
女生
合计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
天一大联考
2023-2024学年高中毕业班阶段性测试
文科数学（老教材版）答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分
1．答案B
命题意图 本题考查复数的运算及复数的虚部的定义．2
解析，的虚部为1．
2．答案D
命题意图 本题考查集合的运算．
解析 由题可知，又，．
3．答案C
命题意图 本题考查样本的数字特征．
解析 将数据按从小到大的顺序排列为8，8，11，12，14，16，18，21，所以这8天的气温数据的极差为．
4．答案B
命题意图 本题考查向量的数量积及充分必要条件．
解析 因为，所以，所以，所以，反之不成立，故“”是“”的必要不充分条件．
5．答案A
命题意图 本题考查程序框图．
解析 由图可知，输出的．
6．答案C
命题意图 本题考查古典概型．
解析 设小明和小华为a，b，其余3人为A，B，C，任选2人的所有可能的结果为（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b），共有10种，设“小明和小华恰有1人被选中”为事件E，则E包含的基本事件有（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），共6种，故．
7．答案A
命题意图 本题考查同角三角函数的基本关系及倍角公式．
解析 由题可知，化简可得，解得或（舍去），所以．
8．答案A
命题意图 本题考查空间中的位置关系及余弦定理的应用．
解析 连接CF，当F为棱AB的中点时，CF最短，则最短，故，解得．连接，，则，为异面直线AC与DE所成的角（或其补角），由余弦定理可得，故异面直线AC与DE所成角的余弦值为．
9．答案D
命题意图 本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系
解析 设C的半焦距为．由题可知，，又，解得，故C的方程为
，当时，，不妨取，又，所以直线PA的方程为，令，得，所以．
10．答案B
命题意图 本题考查诱导公式及三角函数的单调性．
解析：的图象与的图象重合，
，，，，
令，可得，．
令，，可得，，
的单调递增区间为，，选项中只有为区间，的一个子集．
11．答案D
命题意图 本题考查几何体的体积的计算及导数的应用．
解析 设圆锥的底面半径为r，高为h，则母线长为R．
当圆形铁片的面积最小时，最小，因为该漏斗的容积，
所以，所以．
设，则，
令，可得，当时，，当时，，
所以当时，y取得最小值9，故圆形铁片的面积的最小值为9π．
12．答案C
命题意图 本题考查抛物线的性质及基本不等式的应用．
解析 如图所示，作AG⊥l于点C，作BH⊥l于点H，设，的夹角为．
因为，
所以，
故，所以，当且仅当时取等号，又，所以．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案
命题意图 本题考查等差数列的性质
解析 设的公差为d，，，解得．由，解得．
14．答案
命题意图 本题考查线性规划．
解析作出不等式组，表示的平面区域，
如图中阴影部分所示（含边界），目标函数，
即表示斜率为1，纵截距为的直线，当该直线过点A时，
其纵截距最大，z最小由，可得，所以．
15．答案
命题意图 本题考查两直线的位置关系及直线与圆的位置关系．
解析 设的半径为r．易知两平行线间的距离等于圆的直径，所以，．
由平行关系，可知点M在直线上，设，因为点在上，
所以，解得，故，的方程为．
16．答案
命题意图 本题考查函数与方程的综合问题．
解析 因为，所以或恰有5个不同的实根．
设，即或恰有5个不同的实根．
设，，，的大致图象如图，可知有3个不同的零点，
所以方程需有2个不同的实根，所以或，所以或．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．命题意图 本题考查分层抽样和独立性检验．
解析 （I）列联表补充如下：
男生人数为，
女姓人数为．
（II）因为，
所以有99.9%的把握认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关，
18．命题意图 本题考查等比数列的通项公式及错位相减法求数列的前n项和．
解析
（I），
，．
，，
．a，=2，则{a。}的公比为
，则得公比为，
．
（II），
，
，
两式相减可得
．
．
19．命题意图 本题考查面面平行的证明及空间中距离的计算．
解析 （I）因为，所以，
又平面，平面，所以EF// 平面0．
因为垂直下底面圆O于点E，垂直下底面圆O于点O，所以，
又平面，平面，
故平面．
又，，平面，
所以平面平面．
（II）在等腰梯形中，易知，所以．
．
易知，，所以的面积为．
设点E到平面的距离为h，
因为，所以，
所以，即点E到平面的距离为．
20．命题意图 本题考查导数的几何意义及导数在函数问题中的应用．
解析 （I）由题可知，
则．
又，
所以曲线在处的切线方程为．
（II）由题意，不等式即．
当时，有，又，所以．
下面证明：当时，在上恒成立．
令，则，
令，可得．
①当，即时，在上恒成立，则在上单调递增，
于是．
②当，即时，在．上单调递减，在上单调递增，
于是．
令，，则，所以在上单调递增，
于是，所以恒成立．
综上可知，a的取值范围是．
21．命题意图 本题考查双曲线的性质及直线与双曲线的位置关系
解析 由题可知，，，设直线l的方程为，，．
由消去y，可得，
则，，即，
，．
（I）因为
，
所以，
故直线l的方程为，恒过点．
（II）由题可知，直线的方程为，直线的方程为，
因为
，
所以
故点P在定直线上．
22．命题意图 本题考查方程的互化及参数方程的应用．
解析 （I）消去参数，可得圆C的普通方程是，即．
将，代入可得圆C的极坐标方程为．
（II）将直线l的参数方程代入圆C的普通方程可得，
所以，．
易知直线l过定点O，设M，N对应的参数分别为，．
如图，可知，，所以，，
所以，
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值，且最大值为4．
23．命题意图 本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式的应用．
解析 （I）由题可知，
所以由，得或或，
解得或，
故不等式的解集为．
（II）因为，
所以，所以，
所以，
所以，
当且仅当，时等号成立，原不等式得证．《红楼梦》
《三国演义》
合计
男生
30
70
100
女生
60
40
100
合计
90
110
200