2024年广东省深圳市光明区中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂里．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案（作图题除外）；不准使用涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．
第一部分选择题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的）
1. 的相反数是（ ）
A B. 2024C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．
【详解】解：的相反数是2024，
故选：B．
2. 中国古典花窗图案丰富多样，极具观赏价值．下列各图是中国古典花窗基本图案，其中是轴对称图形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念．由题意依据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，以此进行分析判断即可．
【详解】解：选项A、B、D不能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项C能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
3. 2024年3月汽车品牌比亚迪以302459辆的销量位居行业前列，数据302459用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
【详解】解：302459用科学记数法衣示为，
故选A．
4. 下图是小李在劳动实践课上制作的办公桌，该办公桌的主视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了书桌的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看，可得选项D的图形，
故选：D．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．
【详解】解：A. ，原计算错误；
B. ，计算正确；
C. ，原计算错误；
D. 不能合并，原计算错误；
故选B．
6. 体育老师随机抽取了7名同学进行1分钟跳绳测试．他们的成绕（单位：个）如下：165，．这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 175，175B. 165，175C. 175，165D. 175，170
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解题的关键．
【详解】解：把这组数据从小到大排列为：，
第四个数据为175，故中位数为175；
由于175出现三次，次数最多，故众数为；
故选A．
7. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分，找到对应的表示方法，即可求解，
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：解得：，
∴不等式的解集为：，
故选：．
8. 如图，的对角线相交于点．如果添加一个条件，使得是矩形，那么这个条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依据矩形的判定定理进行判断即可，
本题主要考查矩形的判定，熟悉掌握矩形判定条件是关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
当时，是菱形，不是矩形，不符合题意，
当时，，是矩形，符合题意，
当时，是菱形，不是矩形，不符合题意，
当时，是平行四边形，不是矩形，不符合题意，
故选：．
9. 如图，在坡比为的斜坡上有一电线杆．某时刻身高1.7米的小明在水平地面上的影长恰好与其身高相等，此时电线杆在斜坡上的影长为30米，则电线杆的高为（ ）米．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键，作，由坡比得到，在中，应用三角函数，求出、的长，在中，由，求出的长度，根据即可求解．
【详解】解：过点作，交延长线于点，
∵坡比为，
∴，
∴，
∵，
∴（米），（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
故选：．
10. 如图，在四边形中，，点是对角线的中点，将绕点旋转得到交边于点，若，，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．过点A作交的延长线于点G，连接，由旋转的性质得出，证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，证出，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
【详解】解：如图，过点A作交的延长线于点G，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
由旋转可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选D．
第二部分非选择题
二、填空题（本大题共5小题，毎小题3分，共15分）
11. 因式分解：___________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提取公因式法，公式法因式分解的方法．
12. 在一个不透明的袋子中放有10个白球，若干个红球，这些球除颜色外完全相同．每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色，再放回袋中，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球约有______个．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查的是用频率估计概率；根据用频率估计概率可知： 摸到白球的频率为0.25，根据概率公式即可求出小球的总数，从而求出红球的个数．
【详解】解：设红球约有个，
则，
解得：，
经检验是原方程的解，
故答案为：．
13. 已知，与相交于点，若，，与间的距离为2.1，则点到的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形性质和判定，根据题意设点到的距离为x，则点到的距离为，然后证明出，得到，然后代数求解即可．
【详解】解：∵与间的距离为2.1
设点到的距离为x，则点到的距离为
∵
∴，
∴
∴
∴
∴
∴点到的距离为．
故答案为：．
14. 如图，在直角坐标系中，为第二象限内一点，连接，在线段上取点，使得，过点所作轴的平行线与过点所作轴的平行线交于点．若反比例函数的图象经过点，已知，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求反比例函数解析式，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点D，设点A的坐标为，得到，，然后根据得到，，然后利用得到关于m的方程解题即可．
【详解】解：过点作轴于点D，设点A的坐标为，
∴，，
∵轴，点所作轴的平行线与过点所作轴的平行线交于点
，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得：，
故答案为：．
15. 在中，，线段平分．已知，则线段的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形．过点C作交的延长线于点E，根据角平分线得到，根据三角函数得到，进而求出，然后利用勾股定理求出长．
【详解】过点C作交的延长线于点E，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据负整数指数幂、立方根、零指数幂、绝对值的化简，即可得到答案，
本题考查了，整数指数幂，立方根，绝对值化简，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【详解】解：
．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，2
【解析】
【分析】先利用通分和同分母分式加法法则计算括号里的，在利用平方差公式和完全平方公式进行变形，最后进行约分求得最简结果，将其代入，即可求得最简值．
本题考查了分式的化简求值，解题的关键在于熟练掌握运算法则．
【详解】解：
，
当时，．
18. 为了增强学生体质，某校在每周二、周四的课后延时服务时段开设了五类拓展课程：A篮球，B足球，C乒乓球，D踢建子，E健美操．为了解学生对这些课程的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图的信息回答下列问题．
（1）本次抽取调查的学生共有______人；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，A篮球类所对应的圆心角为______°；
（4）八（1）班有甲、乙、丙、丁四位同学参加了乒乓球课程，为参加学校组织的乒乓球比赛，班主任从四人中随机抽取两人代表班级出战．利用画树状图或列表的方法求出甲和乙至少有一人被选上的概率．
【答案】（1）125 （2）见解析
（3）
（4），见解析
【解析】
【分析】（1）用项目B的人数除以其人数占比即可求出本次抽取调查的学生人数；
（2）先求出项目D的人数，再补全统计图即可；
（3）用乘以项目A的人数占比即可得到答案；
（4）先列出图表得到所有的等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
本题考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图或列表法求解概率，正确读懂统计图并画出树状图或列出表格是解题的关键．
【小问1详解】
解：（人），
∴此次调查共抽取了125名学生，
故答案为：125，
【小问2详解】
解：项目D的人数为：（人），
条形统计图补充为：
【小问3详解】
解：在此扇形统计图中，A篮球类所对应的扇形圆心角为：，
故答案为：，
【小问4详解】
解：列表如下：
∵所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有10种，
∴甲和乙至少有一人被选上的概率为，
故答案为：．
19. 如图，过圆外一点作的切线，切点为是的直径．连接，过点作的垂线，垂足为，同时交于点，连接．
（1）求证：是切线：
（2）若，求切线的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由垂径定理可得，通过，得，通过，可得，根据切线的判定定理，即可求解；
（2）由三角形的中位线得到，，
在中，根据勾股定理，得到的长，，在中，根据正切三角函数，即可求解，
【小问1详解】
解：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴是的切线，
小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
在中，，，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，切线的性质与判定，三角形的中位线，解直角三角形，熟练掌握相关性质定理及判定定理是解题关键．
20. 2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个．
（1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；
（2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数关系式是解题的关键．
（1）依据题意，设每次上涨的百分率为x，再由题意列出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）依据题意，设每个降价为a元，可列出关于a的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解．
【小问1详解】
解：设每次上涨的百分率为，列方程为：
，
解得：，（舍去），
答：每次上涨的百分率为；
【小问2详解】
解：设销售单价降低元，销售利润为元，
，
∴当销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元．
21. 【项目式学习】
项目主题：学科融合－用数学的眼光观察世界
项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
项目素材：
素材一：凸透镜成像规律：
素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变：平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点．
项目任务：
任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①______，②____；
任务二：凸透镜的焦距为，蜡烛是，离透镜中心的距离是时，蜡烛的成像的高，请你利用所学的知识求出与的关系式：
任务三：
（1）根据任务二的关系式得出下表：
其中______；
（2）请在坐标系中画出它的图像：
（3）根据函数关系式，结合图像写出1条你得到的结论：
____________________________________________________．
【答案】任务一：①；，任务二：，任务三：（1）3，（2）见解析，（3）当时，随着的增大而减小．
【解析】
【分析】任务一：①由矩形，得到的长，由，得到，即：，设，用含的代数式，表示出、，由，得到，解出，即可求解，任务二：由，整理得到，代入，即可求解，任务三：（1）将代入，即可求解，（2）根据描点法，即可求解，（3）根据反比例函数的增减性，即可求解，
本题考查了，相似三角形的性质与判定，画反比例函数，反比例函数的性质，解题的关键是：读懂题意，列出关系式．
【详解】解：任务一：①根据题意得：矩形，
∴，
根据题意得：与平行，
则，
∴，即：，
设，则，，
由题意得，
∴，
∴，即：，解得：，
∴，
∵，
∴，
任务二：∵，即：，解得：，
∴，
任务三：（1）当时，，
∴，
（2）作图如下：
（3）当时，随着的增大而减小，
故答案为：任务一：①；，任务二：，任务三：（1）3，（2）见解析，（3）当时，随着的增大而减小．
22. 在四边形中，点为线段上的动点（点与点不重合），连接，线段的垂直平分线与分别相交于点，连接．
【探究发现】如图1，若四边形为矩形，，求证：；
【能力提升】如图2，若四边形为矩形，是等腰三角形，求的长：
【拓展应用】如图3，若四边形为菱形，的垂直平分线与、分别相交于点，连接．若是等边三角形，求的值．
【答案】探究发现：见解析 能力提升：或 拓展应用：
【解析】
【分析】探究发现：根据矩形的性质得到，然后得到，然后利用证明即可；
能力提升：分、和三种情况，分别解题即可；
拓展应用：过点作于点，可得到，然后可得点F、Q重合即可解题．
【详解】探究发现：∵四边形为矩形，，
∴，
∴，
∴，
又∵垂直平分，
∴，
∴；
能力提升：当时，过点F作于点P，则四边形为矩形，设，连接，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，解得，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
在中，，即，
解得或（舍）；
当时，过点F作于点P，则四边形为矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，舍去；
当时，连接，
∵垂直平分，
∴，
∴是菱形，
∴，
∴点D和E重合，
∴；
故当或时，是等腰三角形；
拓展应用:过点作于点，
∵，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，，
∴点F、Q重合，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，．作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
甲
乙
丙
丁
甲
﹣﹣﹣
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
﹣﹣﹣
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
﹣﹣﹣
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
﹣﹣﹣
物体到凸透镜距离
像到凸透镜距离
像的大小
像的正倒
大于2倍焦距
大于1倍焦距小于2倍焦距
缩小
倒立
2倍焦距
2倍焦距
等大
倒立
大于1倍焦距小于2倍焦距
大于2倍焦距
放大
倒立
小于焦距
与物同侧
放大
正立
物距
8
10
12
14
16
像高
12
6
4
2.4