2020年贵州省铜仁市中考数学试卷 （含解析）
展开2020年贵州省铜仁市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.
1．的绝对值是
A． B．3 C． D．
2．我国高铁通车总里程居世界第一，预计到2020年底，高铁总里程大约39000千米，39000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．如图，直线，，则
A． B． C． D．
4．一组数据4，10，12，14，则这组数据的平均数是
A．9 B．10 C．11 D．12
5．已知，它们的周长分别为30和15，且，则的长为
A．3 B．2 C．4 D．5
6．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是
A． B． C． D．
7．已知等边三角形一边上的高为，则它的边长为
A．2 B．3 C．4 D．
8．如图，在矩形中，，，动点沿折线从点开始运动到点，设点运动的路程为，的面积为，那么与之间的函数关系的图象大致是
A． B．
C． D．
9．已知、、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且、是关于的一元二次方程的两个根，则的值等于
A．7 B．7或6 C．6或 D．6
10．如图，正方形的边长为4，点在边上，，，点在射线上，且，过点作的平行线交的延长线于点，与相交于点，连接、、．下列结论：①的面积为；②的周长为8；③；其中正确的是
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．因式分解： ．
12．方程的解是 ．
13．已知点在反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．
14．函数中，自变量的取值范围是 ．
15．从，，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于 ．
16．设，，是同一平面内三条互相平行的直线，已知与的距离是，与的距离是，则与的距离等于 ．
17．如图，在矩形中，，将向内翻析，点落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则 ．
18．观察下列等式：
；
；
；
；
已知按一定规律排列的一组数：，，，，，，，，，若，则 （结果用含的代数式表示）．
三、解答题：（本题共4个小题，第19题每小题10分，第20，21，22题每小题10分，共40分，要有解题的主要过程）
19．（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，自选一个值代入求值．
20．如图，，，．求证：．
21．某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组，要求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组，为了了解学生对四个课外小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求该校参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
（2） ， ；
（3）若该校共有2000名学生，试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人？
22．如图，一艘船由西向东航行，在处测得北偏东方向上有一座灯塔，再向东继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的周围内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？
四、（满分12分）
23．某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进价是每一个篮球的进价的，用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个．
（1）问每一个篮球、排球的进价各是多少元？
（2）该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，篮球的售价定为每一个100元，排球的售价定为每一个90元．若该批篮球、排球都能卖完，问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？
五、（满分12分）
24．如图，是的直径，为上一点，连接，于点，是直径延长线上一点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
六、（满分14分）
25．如图，已知抛物线经过两点，，是抛物线与轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为，求关于的函数表达式（指出自变量的取值范围）和的最大值；
（3）点在抛物线上运动，点在轴上运动，是否存在点、点使得，且与相似，如果存在，请求出点和点的坐标．
参考答案
一、选择题：（共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、D四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上
1．的绝对值是
A． B．3 C． D．
解：的绝对值是：3．
故选：．
2．我国高铁通车总里程居世界第一，预计到2020年底，高铁总里程大约39000千米，39000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
解：．
故选：．
3．如图，直线，，则
A． B． C． D．
解：直线，
，
，
．
故选：．
4．一组数据4，10，12，14，则这组数据的平均数是
A．9 B．10 C．11 D．12
解：这组数据的平均数为，
故选：．
5．已知，它们的周长分别为30和15，且，则的长为
A．3 B．2 C．4 D．5
解：和的周长分别为30和15，
和的周长比为，
，
，即，
解得，，
故选：．
6．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是
A． B． C． D．
解：根据数轴可得：，，且，
则，，，．
故选：．
7．已知等边三角形一边上的高为，则它的边长为
A．2 B．3 C．4 D．
解：根据等边三角形：三线合一，
设它的边长为，可得：，
解得：，（舍去），
故选：．
8．如图，在矩形中，，，动点沿折线从点开始运动到点，设点运动的路程为，的面积为，那么与之间的函数关系的图象大致是
A． B．
C． D．
解：由题意当时，
，
当时，
．
故选：．
9．已知、、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且、是关于的一元二次方程的两个根，则的值等于
A．7 B．7或6 C．6或 D．6
解：当或时，即，
方程为，
解得：，
当时，即△，
解得：，
综上所述，的值等于6或7，
故选：．
10．如图，正方形的边长为4，点在边上，，，点在射线上，且，过点作的平行线交的延长线于点，与相交于点，连接、、．下列结论：①的面积为；②的周长为8；③；其中正确的是
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
解：如图，在正方形中，，，，
，
，
，
，
．
，
．
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
在中，，，
，
，故①正确；
过点作于，交于，
，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形，
，
同理：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
的周长为，故②正确；
，
，
，
，
，故③错误，
正确的有①②，
故选：．
二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．因式分解： ．
解：原式．
故答案为：．
12．方程的解是 ．
解：方程，
移项得：，
解得：．
故答案为：．
13．已知点在反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．
解：反比例函数的图象上一点的坐标为，
，
反比例函数解析式为，
故答案为：．
14．函数中，自变量的取值范围是 ．
解：
解得．
15．从，，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于 ．
解：画树状图如下
共有6种等可能情况，该点在第三象限的情况数有和这2种结果，
该点在第三象限的概率等于，
故答案为：．
16．设，，是同一平面内三条互相平行的直线，已知与的距离是，与的距离是，则与的距离等于 7或17 ．
解：分两种情况：
①当在，之间时，如图：
与的距离是，与的距离是，
与的距离为．
②当在，同侧时，如图：
与的距离是，与的距离是，
与的距离为．
综上所述，与的距离为或．
故答案为：7或17．
17．如图，在矩形中，，将向内翻析，点落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则 ．
解：由折叠可得，，，，，，
，
，
又，，
△△，
，
，
△中，，
，
故答案为：．
18．观察下列等式：
；
；
；
；
已知按一定规律排列的一组数：，，，，，，，，，若，则 （结果用含的代数式表示）．
解：，
．
故答案为：．
三、解答题：（本题共4个小题，第19题每小题10分，第20，21，22题每小题10分，共40分，要有解题的主要过程）
19．（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，自选一个值代入求值．
解：（1）原式
；
（2）原式
，
当时，原式．
20．如图，，，．求证：．
【解答】证明：，
，
，
，
在和中，，
．
21．某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组，要求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组，为了了解学生对四个课外小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求该校参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
（2） 36 ， ；
（3）若该校共有2000名学生，试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人？
解：（1）该校参加这次问卷调查的学生有：（人，
选择篮球的学生有：（人，
补全的条形统计图如右图所示；
（2），
，
故答案为：36，16；
（3）（人，
答：该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有320人．
22．如图，一艘船由西向东航行，在处测得北偏东方向上有一座灯塔，再向东继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的周围内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？
解：过点作，垂足为．如图所示：
根据题意可知，，
，
，
，
在中，，，，
，
，
这艘船继续向东航行安全．
四、（满分12分）
23．某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进价是每一个篮球的进价的，用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个．
（1）问每一个篮球、排球的进价各是多少元？
（2）该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，篮球的售价定为每一个100元，排球的售价定为每一个90元．若该批篮球、排球都能卖完，问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？
解：（1）设每一个篮球的进价是元，则每一个排球的进价是元，依题意有
，
解得，
经检验，是原方程的解，
．
故每一个篮球的进价是40元，每一个排球的进价是36元；
（2）设文体商店计划购进篮球个，总利润元，则
，
依题意有，
解得且为整数，
为整数，
随的增大而增大，
时，最大，这时，
（个．
故该文体商店应购进篮球25个、排球75个才能获得最大利润，最大利润是5550元．
五、（满分12分）
24．如图，是的直径，为上一点，连接，于点，是直径延长线上一点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：，
，
设，，
，，
，
，
，
．
六、（满分14分）
25．如图，已知抛物线经过两点，，是抛物线与轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为，求关于的函数表达式（指出自变量的取值范围）和的最大值；
（3）点在抛物线上运动，点在轴上运动，是否存在点、点使得，且与相似，如果存在，请求出点和点的坐标．
解：（1）将、代入，
得：，解得：，
抛物线的解析式为．
（2）过点作轴，交于点，如图1所示．
当时，，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
将、代入，得：
，解得：，
直线的解析式为．
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
当时，面积取最大值，最大值为．
点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
．
（3）存在点、点使得，且与相似．
如图2，，当点位于点上方，过点作轴于点，
，，
，
若与相似，则与相似，
设，，
，，
当时，，
，
解得，，
，
此时，
，
当时，，
，
解得，
，，
此时．
如图3，当点位于点的下方，
过点作轴于点，
设，，
，，
同理可得：或，与相似，
解得或，
，或，
此时点坐标为或．
综合以上得，，或，，或，，或，，使得，且与相似．
