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    2020届二轮复习小题考法——三角恒等变换与解三角形课时作业(全国通用)
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    2020届二轮复习小题考法——三角恒等变换与解三角形课时作业(全国通用)

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    课时跟踪检测(三)小题考法——三角恒等变换与解三角形
    A组——10+7提速练
    一、选择题
    1.已知△ABC中,A=,B=,a=1,则b=(  )
    A.2          B.1
    C. D.
    解析:选D 由正弦定理=,得=,即=,所以b=,故选D.
    2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=2a,bsin B-asin A=
    asin C,则sin B=(  )
    A. B.
    C. D.
    解析:选A 由bsin B-asin A=asin C,得b2-a2=ac,∵c=2a,∴b=a,
    ∴cos B===,则sin B= =.
    3.(2019届高三·温州十校联考)在△ABC中,若tan Atan B>1,则△ABC是(  )
    A.锐角三角形 B.直角三角形
    C.钝角三角形 D.无法确定
    解析:选A 因为A和B都为三角形中的内角,
    由tan Atan B>1,得1-tan Atan B<0,
    且tan A>0,tan B>0,即A,B为锐角,
    所以tan(A+B)=<0,
    则A+B∈,即C为锐角,
    所以△ABC是锐角三角形.
    4.已知sin β=,且sin(α+β)=cos α,则tan(α+β)=(  )
    A.-2 B.2
    C.- D.

    解析:选A ∵sin β=,且<β<π,
    ∴cos β=-,tan β=-.
    ∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=cos α,
    ∴tan α=-,
    ∴tan(α+β)==-2.
    5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2asin A=(2sin B+sin C)b+(2c+b)sin C,则A=(  )
    A.60° B.120°
    C.30° D.150°
    解析:选B 由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得cos A=-,又A为三角形的内角,故A=120°.
    6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=2,c=2,且C=,则△ABC的面积为(  )
    A.+1 B.+1
    C.2 D.
    解析:选B 由正弦定理=,得sin B==,又c>b,且B∈(0,π),所以B=,所以A=,所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×2sin=×2×2×=+1.
    7.(2018·衢州期中)在△ABC中,若B=2A,a=1,b=,则c=(  )
    A.2 B.2
    C. D.1
    解析:选B 在△ABC中,∵B=2A,a=1,b=,
    ∴由正弦定理=,
    可得==,
    ∴cos A=,∴A=,B=,C=π-A-B=,
    ∴c==2.
    8.在△ABC中,A=60°,BC=,D是AB边上不同于A,B的任意一点,CD=,△BCD的面积为1,则AC的长为(  )
    A.2 B.
    C. D.
    解析:选D 由S△BCD=1,可得×CD×BC×sin∠DCB=1,即sin∠DCB=,所以cos∠DCB=或cos∠DCB=-,又∠DCB<∠ACB=180°-A-B=120°-B<120°,所以cos∠DCB>-,所以cos∠DCB=.在△BCD中,cos∠DCB==,解得BD=2,所以cos∠DBC==,所以sin∠DBC=.
    在△ABC中,由正弦定理可得AC==,故选D.
    9.(2019届高三·台州中学检测)在△ABC中,若AB=1,BC=2,则角C的取值范围是(  )
    A. B.
    C. D.
    解析:选A 因为c=AB=1,a=BC=2,b=AC.根据两边之和大于第三边,两边之差小于第三边可知1 10.(2018·济南外国语学校月考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(B+A)+sin(B-A)=2sin 2A,且c=,C=,则△ABC的面积是(  )
    A. B.3
    C.或1 D.或3
    解析:选A ∵在△ABC中,C=,∴B=-A,B-A=-2A,∵sin(B+A)+sin(B-A)=2sin 2A,∴sin C+sin=2sin 2A,即sin C+cos 2A+sin 2A=2sin 2A,整理得sin=sin C=,∴sin=.又A∈,∴2A-=或,解得A=或.当A=时,B=,tan C===,解得a=,∴S△ABC=acsin B=;当A=时,B=,tan C===,解得b=,∴S△ABC=bc=.综上,△ABC的面积是.
    二、填空题
    11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=30°,△ABC的面积为,且sin A+sin C=2sin B,则b的值为________.
    解析:由已知可得acsin 30°=,解得ac=6.因为sin A+sin C=2sin B,所以由正弦定理可得a+c=2b.由余弦定理知b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-ac=4b2-12-6,解得b2=4+2,∴b=1+或b=-1-(舍去).
    答案:1+
    12.(2018·温州期中)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,b=2,cos B=,则c=________;△ABC的面积S=________.
    解析:∵a=1,b=2,cos B=,
    ∴由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,可得22=12+c2-2×1×c×,整理得2c2-c-6=0,
    解得c=2(负值舍去),
    又∵sin B==,
    ∴S△ABC=acsin B=×1×2×=.
    答案:2 
    13.(2018·浙江高考)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是________,cos∠BDC=________.
    解析:在△ABC中,AB=AC=4,BC=2,由余弦定理得cos∠ABC===,
    则sin∠ABC=sin∠CBD=,
    所以S△BDC=BD·BCsin∠CBD=×2×2×=.
    因为BD=BC=2,所以∠CDB=∠ABC,
    则cos∠CDB= =.
    答案: 
    14.在△ABC中,AD为边BC上的中线,AB=1,AD=5,∠ABC=45°,则sin∠ADC=________,AC=________.
    解析:在△ABD中,由正弦定理,得=,所以sin∠ADB=×sin∠ABC=×sin 45°=,
    所以sin∠ADC=sin(180°-∠ADB)=sin∠ADB=.
    由余弦定理,
    得AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos∠ABD,
    所以52=12+BD2-2BDcos45°,得BD=4,
    因为AD为△ABC的边BC上的中线,
    所以BC=2BD=8.
    在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=12+(8)2-2×1×8×cos 45°=113,所以AC=.
    答案: 
    15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,b=,△ABC的面积为,则c=________,B=________.
    解析:由S△ABC=bcsin A=××c×=,得c=1+.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=6+(4+2)-2×(+1)×=4,则a=2.由正弦定理=,可得sin B=,因为b 答案:1+ 
    16.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=________.
    解析:由题意可得AB·BC·sin B=,又AB=1,BC=,所以sin B=,所以B=45°或B=135°.当B=45°时,由余弦定理可得AC==1,此时AC=AB=1,BC=,易得A=90°,与“钝角三角形”条件矛盾,舍去.所以B=135°.由余弦定理可得AC==.
    答案:
    17.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,BC边上的中线长为2,高线长为,且btan A=(2c-b)tan B,则bc的值为________.
    解析:因为btan A=(2c-b)tan B,所以=-1,所以1+=,根据正弦定理,得1+=,即=.因为sin(A+B)=sin C≠0,sin B≠0,所以cos A=,所以A=.设BC边上的中线为AM,则AM=2,因为M是BC的中点,所以=(+),即2=(2+2+2·),所以c2+b2+bc=32 ①.设BC边上的高线为AH,由S△ABC=AH·BC=bc·sin A,得bc=,即bc=2a ②,根据余弦定理,得a2=c2+b2-bc ③,联立①②③得2=32-2bc,解得bc=8或bc=-16(舍去).
    答案:8
    B组——能力小题保分练
    1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tan C=(  )
    A. B.
    C.- D.-
    解析:选C 因为2S=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab,结合面积公式与余弦定理,得absin C=2abcos C+2ab,即sin C-2cos C=2,所以(sin C-2cos C)2=4,即=4,所以=4,解得tan C=-或tan C=0(舍去),故选C.
    2.在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)·sin C.若a=,则b2+c2的取值范围是(  )
    A.(5,6] B.(3,5)
    C.(3,6] D.[5,6]
    解析:选A 由正弦定理可得,(a-b)(a+b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,所以cos A==,则A=.又===2,所以b=2sin B,c=2sin C,所以b2+c2=4(sin2B+sin2C)=4[sin2B+sin2(A+B)]=4=sin 2B-cos 2B+4=2sin+4.又△ABC是锐角三角形,所以B∈,则2B-∈,所以sin∈,所以b2+c2的取值范围是(5,6],故选A.
    3.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A=________.
    解析:如图,AD为△ABC中BC边上的高.设BC=a,由题意知AD=BC=a,B=,易知BD=AD=a,DC=a.
    在Rt△ABD中,AB= =a.
    在Rt△ACD中,AC= =a.
    ∵S△ABC=AB·AC·sin∠BAC=BC·AD,
    即×a×a·sin∠BAC=a·a,
    ∴sin∠BAC=.
    答案:
    4.如图,在△ABC中,AB=,点D在边BC上,BD=2DC,
    cos∠DAC=,cos∠C=,则AC=________.
    解析:因为BD=2DC,设CD=x,AD=y,则BD=2x,因为cos∠DAC=,
    cos∠C=,所以sin∠DAC=,sin∠C=,在△ACD中,由正弦定理可得=,即=,即y=x.又cos∠ADB=cos(∠DAC+∠C)=×-×=,则∠ADB=.在△ABD中,AB2=BD2+AD2-2BD×ADcos,即2=4x2+2x2-2×2x×x×,即x2=1,所以x=1,即BD=2,DC=1,AD=,在△ACD中,AC2=CD2+AD2-2CD×ADcos=5,得AC=.
    答案:
    5.已知△ABC中,AC=,BC=,△ABC的面积为.若线段BA的延长线上存在点D,使∠BDC=,则CD=________.
    解析:因为S△ABC=AC·BC·sin∠BCA,即=×××sin∠BCA,所以sin∠BCA=.因为∠BAC>∠BDC=,所以∠DAC<,又∠DAC=∠ABC+∠ACB,所以∠ACB<,则∠BCA=,所以cos∠BCA=.在△ABC中,AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA=2+6-2×××=2,所以AB==AC,所以∠ABC=∠ACB=,在△BCD中,=,即=,解得CD=.
    答案:
    6.(2018·嘉兴测试)设△ABC的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,已知a2+2b2=c2,则=________;tan B的最大值为________.
    解析:由正弦定理可得=·=·,再结合余弦定理可得=·=··=.由a2+2b2=c2,得==-3.由已知条件及大边对大角可知0<A<<C<π,从而由A+B+C=π可知tan B=-tan(A+C)=-=-=,因为<C<π,所以+
    (-tan C)≥2=2(当且仅当tan C=-时取等号),从而tan B≤=,即tan B的最大值为.
    答案:-3 

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