2020届二轮复习事件的独立性教案（全国通用）

A

W

1． 离散型随机变量及其分布列

⑴离散型随机变量

如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量来表示，并且是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母表示．

如果随机变量的所有可能的取值都能一一列举出来，则称为离散型随机变量．

⑵离散型随机变量的分布列

将离散型随机变量所有可能的取值与该取值对应的概率列表表示：

我们称这个表为离散型随机变量的概率分布，或称为离散型随机变量的分布列．

2．几类典型的随机分布

⑴两点分布

如果随机变量的分布列为

其中，，则称离散型随机变量服从参数为的二点分布．

二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为，不合格记为，已知产品的合格率为，随机变量为任意抽取一件产品得到的结果，则的分布列满足二点分布．

两点分布又称分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．

⑵超几何分布

一般地，设有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品件数是一个离散型随机变量，它取值为时的概率为

，为和中较小的一个．

我们称离散型随机变量的这种形式的概率分布为超几何分布，也称服从参数为，，的超几何分布．在超几何分布中，只要知道，和，就可以根据公式求出取不同值时的概率，从而列出的分布列．

⑶二项分布

1．独立重复试验

如果每次试验，只考虑有两个可能的结果及，并且事件发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为次独立重复试验．次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为．

2．二项分布

若将事件发生的次数设为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率是，其中．于是得到的分布列

由于表中的第二行恰好是二项展开式

各对应项的值，所以称这样的散型随机变量服从参数为，的二项分布，

记作．

二项分布的均值与方差：

若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则

，．

⑷正态分布

1．   概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，

直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量，则这条曲线称为的概率密度曲线．

曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是，而随机变量落在指定的两个数之间的概率就是对应的曲边梯形的面积．

2．正态分布

⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．

服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．

正态变量概率密度曲线的函数表达式为，，其中，是参数，且，．

式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为、标准差为的正态分布通常记作．

正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．

⑵标准正态分布：我们把数学期望为，标准差为的正态分布叫做标准正态分布．

⑶重要结论：

①正态变量在区间，，内，取值的概率分别是，，．

②正态变量在内的取值的概率为，在区间之外的取值的概率是，故正态变量的取值几乎都在距三倍标准差之内，这就是正态分布的原则．

⑷若，为其概率密度函数，则称为概率分布函数，特别的，，称为标准正态分布函数．

．

标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．

分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．

3．离散型随机变量的期望与方差

1．离散型随机变量的数学期望

定义：一般地，设一个离散型随机变量所有可能的取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则，叫做这个离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）．

离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．

2．离散型随机变量的方差

一般地，设一个离散型随机变量所有可能取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则叫做这个离散型随机变量的方差．

离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．

的算术平方根叫做离散型随机变量的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．

3．为随机变量，为常数，则；

4． 典型分布的期望与方差：

⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为，在次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为．

⑵二项分布：若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则，．

⑶超几何分布：若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，

则，．

4．事件的独立性

如果事件是否发生对事件发生的概率没有影响，即，

这时，我们称两个事件，相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．

如果事件，，…，相互独立，那么这个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即，并且上式中任意多个事件换成其对立事件后等式仍成立．

5．条件概率

对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号“”来表示．把由事件与的交（或积），记做（或）．

【例1】         判断下列各对事件是否是相互独立事件

⑴容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出个，取出的是白球”与“从剩下的个球中任意取出个，取出的还是白球”．

⑵一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出个，取出的是苹果”与“把取出的苹果放回筐子，再从筐子中任意取出个，取出的是梨”．

⑶甲组名男生、名女生；乙组名男生、名女生，今从甲、乙两组中各选名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出名男生”与“从乙组中选出1名女生”．

【考点】独立事件的判断

【难度】1星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】略

【答案】⑴ “从个球中任意取出个，取出的是白球”的概率为，

若这一事件发生了，则“从剩下的个球中任意取出个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为．

可见，前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．

⑵ 由于把取出的苹果又放回筐子，故对“从中任意取出个，

取出的是梨”的概率没有影响．所以二者是相互独立事件．

⑶“从甲组选出名男生”这一事件是否发生，对“从乙组选出名女生”

这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．

【例2】         若与相互独立，则下面选项中不是相互独立事件的是（  ）

A．与        B．与         C．与        D．与

【考点】独立事件的判断

【难度】2星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】从直观上讲，事件独立即意味着彼此的发生与否不受对方影响．

而对于事件，其中一个发生即意味着另外一个一定不发生，于是不可能独立．

同理可以理解与，与，与独立．

若需从公式上给予一个严格证明，则需依据：

事件独立．

当与相互独立，即时，

对于A选项：，故不独立；

对于B选项：

，

故独立；

C，D的独立证明是类似的，暂不详述．

【答案】A；

【例3】         从一副不含大小王的扑克牌中任取一张， 记{抽到}， {抽到的牌是黑色的}， 问事件，是否独立?

【考点】独立事件的判断

【难度】2星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】略

【答案】事件是独立的，证明如下：

一副扑克牌包含13种4种花色的牌一共52张．

抽到包含4种情形，；

抽到的牌是黑色的包含26种情形，；

抽到黑色的包含2种情形，于是；

于是．

于是事件是独立的．

【例4】         已知甲，乙两袋中分别装有编号为的四个球． 今从甲，乙两袋中各取出一球， 设{从甲袋中取出的是偶数号球}， {从乙袋中取出的是奇数号球}， {从两袋中取出的都是偶数号球或都是奇数号球}， 试证任意两个都是独立的．

【考点】独立事件的判断

【难度】3星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】略

【答案】仅证明的独立性，其余的证明是类似的．

依据基本事件空间可以计算出．

，，

于是是独立的．

【例5】         一辆飞机场的交通车载有25名乘客途经9个站，每位乘客都等可能在这9站中任意一站下车（且不受其他乘客下车与否的影响），交通车只在有乘客下车时才停车，求交通车在第站停车的概率以及在第站不停车的条件下在第站停车的概率，并判断“第站停车”与“第站停车”两个事件是否独立．

【考点】独立事件的判断

【难度】5星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】略

【答案】不妨记事件：交通车在第站停车（）

我们考虑事件的对立情形，即所有25名乘客都在其余的8个站下车，

其概率为．于是．

在第站不停车的条件下在第站停车的概率

而，

代入有

由，说明事件与不独立，于是事件与不独立．