高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 一元二次函数课后作业题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 一元二次函数课后作业题，共7页。试卷主要包含了1 一元二次函数等内容，欢迎下载使用。

§4 一元二次函数与一元二次不等式


4.1 一元二次函数


知识点1 一元二次函数的解析式


1.☉%#9*355￥￥%☉(2020·南昌二中检测)已知抛物线过点(-1,0),(2,7),(1,4),则其解析式为( )。


A.y=13x2-2x+53B.y=13x2+2x+53


C.y=13x2+2x-53D.y=13x2-2x-53


答案：B


解析： 可直接列方程组求解。


2.☉%0￥3￥15*#%☉(2020·河北枣强中学高一月考)如果一条抛物线的形状与抛物线y=13x2+2的形状相同,且顶点坐标是(4,-2),则它的解析式是 。


答案：y=13(x-4)2-2或y=-13(x-4)2-2


解析：由题意得y=13(x-4)2-2或y=-13(x-4)2-2。


3.☉%*#￥5413#%☉(2020·江苏丹阳高一检测)设点(3,1)及(1,3)为二次函数y=ax2-2ax+b的图像上的两个点,则函数f(x)的解析式为 。


答案：f(x)=-12x2+x+52


解析：将点(3,1)及(1,3)分别代入f(x)=ax2-2ax+b中,有9a-6a+b=1,a-2a+b=3,解得a=-12,b=52。


所以f(x)=-12x2+x+52。


4.☉%@@5#3￥41%☉(2020·株洲期末考试)完成下列题目。


(1)已知一个二次函数图像的顶点坐标为(-1,-6),且经过点(2,12),求它的解析式;


答案：解:设二次函数的解析式为y=a(x+1)2-6(a≠0),将(2,12)代入解析式中,得12=a(2+1)2-6,解得a=2,所以y=2(x+1)2-6,即y=2x2+4x-4。故二次函数的解析式为y=2x2+4x-4。


(2)已知二次函数的图像与x轴的交点坐标为(-3,0)和(1,0),且图像与y轴的交点坐标为(0,-6),求它的解析式。


答案：设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x+3)(a≠0),因为图像与y轴的交点坐标为(0,-6),所以点(0,-6)在函数图像上,所以-6=a(0-1)(0+3),解得a=2。故二次函数的解析式为y=2(x-1)·(x+3)=2x2+4x-6。


知识点2 一元二次函数的图像问题


5.☉%*@15#90@%☉(2020·张家口二中高一月考)函数y=ax2+bx+c(a>0,b<0,c<0)的图像顶点位于坐标系的( )。


A.第一象限B.第二象限


C.第三象限D.第四象限


答案：D


解析：由a>0,b<0得-b2a>0,又结合c<0得4ac-b24a<0,故顶点在第四象限。


6.☉%@*110@5#%☉(2020·辽宁省实验中学高一期中)如何平移二次函数y=2x2的图像可得到函数y=2(x-4)2-1的图像( )。


A.向左平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度


B.向左平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度


C.向右平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度


D.向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度


答案：D


解析：要得到y=2(x-4)2-1的图像,只需将y=2x2的图像向右平移4个单位,再向下平移1个单位。


7.☉%@@@7185@%☉(2020·衡水中学高一月考)已知函数y=ax2+bx+c,若a>b>c,且a+b+c=0,则它的图像是( )。





图1-4-1-1


答案：D


解析：因为a>b>c,a+b+c=0,所以a>0,c<0。又因为b=-(a+c),所以Δ=b2-4ac=(a-c)2>0,所以抛物线开口向上,且与x轴有两个交点,故选D。


8.☉%*5@#153@%☉(2020·江西莲塘一中高一月考)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1-4-1-2所示,则点(a,c)在( )。





图1-4-1-2


A.第一象限


B.第二象限


C.第三象限


D.第四象限


答案：D


解析：由二次函数的图像的开口方向可知a>0,由与y轴的交点在x轴下方可知c<0。故点(a,c)在第四象限,故选D。


9.☉%￥3#15@￥2%☉(多选)(2020·陕西榆林一中高一月考)已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1-4-1-3所示,有以下结论,其中正确的是( )。





图1-4-1-3


A.a+b+c<0B.a-b+c>1


C.abc>0D.4a-2b+c<0


答案：ABC


解析：由题图可知x=1时y<0,x=-1时y>1,所以AB正确。


因为-b2a=-1,且a<0,所以b=2a<0。


因为x=0时,c=1>0,所以C正确。


因为x=-2,x=0时,y=1,所以当x=-2时,y=4a-2b+c>0,


所以D不正确。


10.☉%￥@0#52*9%☉(2020·北京海淀外国语学校高一期中考试)将函数y=2(x+1)2-2的图像向 平移 个单位长度,再向 平移 个单位长度可得到函数y=2x2的图像。


答案：右 1 上 2(或上 2 右 1)


解析：y=2(x+1)2-2的图像向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度即可得到y=2x2的图像(也可先上移再右移)。


题型1 利用二次函数的性质求函数值


11.☉%@@9*279*%☉(2020·辽宁大连八中高一月考)校运动会上,某运动员掷铅球时,他所掷的铅球的高y(m)与水平的距离x(m)之间的函数关系式为y=-112x2+23x+53,则该运动员的成绩是( )。


A.6mB.10 mC.8 mD.12 m


答案：B


解析：当y=0时,-112x2+23x+53=0,


解得x=10或x=-2(舍去),故选B。


12.☉%27**#17@%☉(2020·山西大同一中高一月考)已知m>2,点(m-1,y1),(m,y2),(m+1,y3)都在二次函数y=x2-2x的图像上,则( )。


A.y1

C.y1

答案：A


解析： 因为y=x2-2x在[1,+∞)上是增函数,且m-1,m,m+1均在[1,+∞)内,所以y1

13.☉%8@#18**1%☉(2020·贵州遵义三中高一月考)已知二次函数y=x2+x+a(a>0),若当x=m时,y<0,则当x=m+1时,y的值为( )。


A.正数B.负数C.零D.符号与a有关


答案：A


解析：因为a>0,所以x=0时,y=a>0。


因为函数图像的对称轴为直线x=-12,所以x=-1时y的值与x=0时y的值相等。


又因为x=m,y<0,所以-10,所以y>0。


题型2 利用一元二次函数的性质求参数的取值范围


14.☉%*#￥*3946%☉(2020·福建福州一中高一月考)若函数y=(a-2)x2+2x-4的图像恒在x轴下方,则实数a的取值范围是 。


答案：-∞,74


解析：当a=2时,不合题意;当a≠2时,由题意得a-2<0,Δ=22+4×4(a-2)<0,


解得a<74。所以实数a的取值范围是-∞,74。


15.☉%0#*90#1*%☉(2020·内江统考)函数y=(m-1)·x2+2(m+1)x-1的图像与x轴只有一个交点,则实数m的取值集合是 。


答案：{-3,0,1}


解析：当m=1时,y=4x-1,其图像和x轴只有一个交点14,0。当m≠1时,依题意得Δ=4(m+1)2+4(m-1)=0,即m2+3m=0,解得m=-3或m=0。


所以m的取值集合为{-3,0,1}。


16.☉%*6￥*888@%☉(2020·广西桂林一中高一月考)抛物线y=-x2-2x+3与x轴的两个交点分别为A,B,顶点为C,则△ABC的面积为 。


答案：8


解析：由y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,得点A(-3,0),B(1,0),C(-1,4),所以|AB|=|1-(-3)|=4,点C到边AB的距离为4,所以S△ABC=12×4×4=8。


17.☉%@￥0#79*4%☉(2020·安徽滁州一中高一检测)已知函数y=x2-2ax+5在x>1时随着x的增大而增大,x<1时随着x的减小而增大,则当x=-1时y的值为 。


答案：8


解析：由题意易得函数y=x2-2ax+5图像的对称轴为直线x=a=1,


∴当x=-1时,y=1+2a+5=6+2a=8。


18.☉%266@8@*#%☉(2020·黄冈中学月考)已知二次函数y满足:函数图像向左平移1个单位后关于y轴对称,二次函数的最小值为-4,函数y的图像与x轴的交点为A,B,且AB=4,求二次函数y的解析式。


答案：解:由题意知二次函数图像的对称轴方程为x=1。


又∵二次函数的最小值为-4,


∴设y=a(x-1)2-4=ax2-2ax+a-4。


设A(x1,y1),B(x2,y2)。


由y=ax2-2ax+a-4=0,得x1+x2=2,x1·x2=1-4a,


∴|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1·x2=4-41-4a=16a=16,


∴a=1,∴y=x2-2x-3。


19.☉%@39#￥￥88%☉(2020·武汉二中检测)若二次函数y=ax2+bx+c满足a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x,且当x=0时,函数值y=1。


(1)求二次函数的解析式;


答案：解:由x=0时,y=1可得c=1。


∴y=ax2+bx+1。又a(x+1)2+b(x+1)+1=ax2+(2a+b)x+(a+b+1),结合题意得2ax+(a+b)=2x。


故有2a=2,a+b=0,解得a=1,b=-1。∴y=x2-x+1。


(2)若(1)中所求的二次函数在区间[-1,1]上恒大于2x+m,求实数m的取值范围。


答案：由题意知,x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立,即x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立。令y=x2-3x+1-m=x-322-54-m,其图像的对称轴为直线x=32。故函数y=x2-3x+1-m在区间[-1,1]上是减函数,所以y=x2-3x+1-m的最小值在x=1时取得,且ymin=-1-m,由题意得-1-m>0,解得m<-1。所以实数m的取值范围为(-∞,-1)。


20.☉%2*@4*0￥6%☉已知函数y=-12x2+x在m≤x≤n时,最大值为3n,最小值为3m,求m,n的值。


答案：解:∵y=-12x2+x的对称轴为直线x=1,则其最大值为当x=1时,y=12,∴3n≤12,∴n≤16,所以对称轴x=1在区间[m,n]的右侧,


∴函数y=-12x2+x在区间[m,n]上是单调递增的,


故-12m2+m=3m,-12n2+n=3n,n>m,解得m=-4,n=0。


故m的值为-4,n的值为0。