初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形综合与测试导学案

这是一份初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形综合与测试导学案，共11页。学案主要包含了,请用简洁的语言表达BD等内容，欢迎下载使用。

全等三角形-证明题专练


LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，已知∠B+∠CDE=180°，AC=CE．求证：AB=DE．




















LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，在△ABC中，AB=AC，AM平分∠BAC，交BC于点M，D为AC上一点，延长AB到点E，使CD=BE，连接DE，交BC于点F，过点D作DH∥AB，交BC于点H，G是CH的中点.


(1)求证：DF=EF.


(2)试判断GH，HF，BC之间的数量关系，并说明理由.




















LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，试判断CD与BE的大小关系和位置关系，并进行证明.























LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．



































LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．






























































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,


CE⊥AE于E.


(1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由；


(2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由；


(3)归纳(1)、(2),请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系.


























LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图：AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD。


求证：BE⊥AC。

















LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.


(1)求证：△BCE≌△DCF；


(2)求证：AB+AD=2AE.























LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证：AD+BC=AB．























LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC.


求证：∠A+∠C=180°．
































LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC．


（1）求证：S△ABD：S△ACD=AB：AC；


（2）若AB=4，AC=5，BC=6，求BD的长．
































LISTNUM OutlineDefault \l 3 问题背景：


如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．


小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF=BE+DF ；





探索延伸：


如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；


实际应用：


如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．







































































LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，已知A（﹣2，0），B（0，﹣4），C（1，1），点P为线段OB上一动点（不包括点O），CD⊥CP交x轴于点D，当P点运动时：


（1）求证：∠CPO=∠CDO；


（2）求证：CP=CD；


（3）下列两个结论：①AD﹣BP的值不变；②AD+BP的值不变，选择正确的结论求其值．



































参考答案


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 证明：如图，过E点作EH∥AB交BD的延长线于H，故∠A=∠CEH，


在△ABC与△EHC中，∴△ABC≌△EHC（ASA），∴AB=HE，


∵∠B+∠CDE=180°，∠HDE+∠CDE=180° ∴∠HDE=∠B=∠H，


∴DE=HE． ∵AB=HE，∴AB=DE．





LISTNUM OutlineDefault \l 3











LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：CD=BE，CD⊥BE，理由如下：


因为∠BAD=∠CAE=90°，


所以∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠BAE=∠DAC.


因为，


所以△BAE≌△DAC(SAS).


所以BE=DC，∠BEA=∠DCA.


如图，设AE与CD相交于点F，


因为∠ACF+∠AFC=90°，∠AFC=∠DFE，


所以∠BEA+∠DFE=90°.即CD⊥BE.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：因为∠CEB=∠CAB=90°


所以：ABCE四点共元


又因为：∠ABE=∠CBE


所以：AE=CE


所以：∠ECA=∠EAC


取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG


所以：∠GAB=∠ABG


而：∠ECA=∠GBA


所以：∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB


而：AC=AB


所以：△AEC≌△AGB


所以：EC=BG=DG


所以：BD=2CE





LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形∴AD=AE，AB=AC，


又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，∴∠DAB=∠EAC，


∵在△ADB和△AEC中∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：（1）在△ABC中,∠BAC=90°，


∴∠BAD＝90°-∠EAC。


又∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，


∴∠BAD＝90°-∠EAC=∠ACE。


而AB=AC，于是△ABD全等于△CAE，BD=AE,AD=CE。


因此，BD=AE=AD+DE=DE+CE。


（2）DE=BD+CE。


理由：与（1）同理，可得△ABD全等于△CAE，


于是BD=AE,CE=AD，DE=AE+AD=BD+CE。


（3）当直线AE与线段BC有交点时，BD=DE+CE；


当直线AE交于线段BC的延长线上时，DE=BD+CE。





LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：(1) AD为△ABC上的高，


∴BDA=ADC =90.


∵BF=AC,FD=CD.


∴Rt△BDF≌Rt△ADC.


(2)由①知∠C=∠BFD，∠CAD=∠DBF.


∠BFD= ∠AFE，又∠CBE=∠CAD，


∴∠AEF=∠BDF.


∠BDF= 90，


∴BE⊥AC.














LISTNUM OutlineDefault \l 3 (1)证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，


∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，


在Rt△BCE和Rt△DCF中，


∴△BCE≌△DCF；


(2)解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，


∴∠F=∠CEA=90°，


在Rt△FAC和Rt△EAC中，，


∴Rt△FAC≌Rt△EAC，


∴AF=AE，


∵△BCE≌△DCF，


∴BE=DF，


∴AB+AD=(AE+BE)+(AF﹣DF)=AE+BE+AE﹣DF=2AE.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：做BE的延长线，与AP相交于F点，


∵PA//BC


∴∠PAB+∠CBA=180°，


又∵AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线


∴∠EAB+∠EBA=90°


∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形


在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线


∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF


在三角形DEF与三角形BEC中，


∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，


∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，


∴DF=BC


∴AB=AF=AD+DF=AD+BC.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，





∵BD平分∠ABC，


∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，


在RtCDE和Rt△ADF中，


，


∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），


∴∠FAD=∠C，


∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．








LISTNUM OutlineDefault \l 3 （1）证明：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，





∵AD平分∠BAC，


∴DE=DF，


∵S△ABD=0.5AB•DE，S△ACD=0.5AC•DF，


∴S△ABD：S△ACD=（0.5AB•DE）：（0.5AC•DF）=AB：AC；


（2）解：∵AD平分∠BAC，


∴=0.8，


∴BD=0.8CD，


∵BC=6，


∴BD=．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：问题背景：EF=BE+DF；


探索延伸：EF=BE+DF仍然成立．


证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，


∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，


在△ABE和△ADG中，，


∴△ABE≌△ADG（SAS），


∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，


∵∠EAF=∠BAD，


∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，


∴∠EAF=∠GAF，


在△AEF和△GAF中，，


∴△AEF≌△GAF（SAS），


∴EF=FG，


∵FG=DG+DF=BE+DF，


∴EF=BE+DF；


实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，





∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∠EOF=70°，


∴∠EOF=∠AOB，


又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，


∴符合探索延伸中的条件，


∴结论EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里．


答：此时两舰艇之间的距离是210海里．





LISTNUM OutlineDefault \l 3


（1）证明：∵x轴⊥y轴，CP⊥CD，∴∠DCP=∠DOP=90°，


∴∠CPO+∠OKP=∠CDO+∠CKD=90°，∵∠OKP=∠CKD，∴∠CPO=∠CDO；


（2）证明：过C作CN⊥x轴于N，CQ⊥y轴于Q，





则∠CND=∠CQP=90°，∵C（1，1），∴CQ=CN，


在△CND和△CQP中，，∴△CND≌△CQP（AAS），∴CP=CD；


（3）解：AD+BP的值不变，


∵A（﹣2，0），B（0，﹣4），C（1，1），∴AN=2+1=3，BQ=4+1=5，


∵△CND≌△CQP，∴QP=ND，


∵AD+BP=AN+ND+BP=AN+QP+BP=AN+QB=3+5=8，


∴AD+BP的值不变，是8．