初中数学人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教案及反思

这是一份初中数学人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教案及反思，共2页。教案主要包含了复习引入，探索新知等内容，欢迎下载使用。

课题
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
课 型
新授课
课 时
1
教学


目标
1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．


2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．


3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律．


4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．
教 学


重 点


难 点
重点 根与系数的关系及其推导


难点 正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．
教 学


准 备
多媒体
教





学





过





程
一、复习引入


1．已知方程x2－ax－3a＝0的一个根是6，则求a及另一个根的值．


2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？


3．由求根公式可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝eq \f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq \f(－b－\r(b2－4ac),2a).观察两式右边，分母相同，分子是－b＋eq \r(b2－4ac)与－b－eq \r(b2－4ac).两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？


二、探索新知


解下列方程，并填写表格：





方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2

x2－2x＝0





x2＋3x－4＝0





x2－5x＋6＝0





观察上面的表格，你能得到什么结论？


(1)关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为常数，p2－4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系？


(2)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根x1，x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？


解下列方程，并填写表格：





方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2

2x2－7x－4＝0





3x2＋2x－5＝0





5x2－17x＋6＝0





小结：根与系数关系：


(1)关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为常数，p2－4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q的关系是：x1＋x2＝－p，x1·x2＝q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零．)


(2)形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论．


即：对于方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)


∵a≠0，∴x2＋eq \f(b,a)x＋eq \f(c,a)＝0


∴x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1·x2＝eq \f(c,a)


(可以利用求根公式给出证明)


例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：


(1)x2－3x－1＝0 (2)2x2＋3x－5＝0


(3)eq \f(1,3)x2－2x＝0 (4)eq \r(2)x2＋eq \r(6)x＝eq \r(3)


(5)x2－1＝0 (6)x2－2x＋1＝0


例2 不解方程，检验下列方程的解是否正确？


(1)x2－2eq \r(2)x＋1＝0 (x1＝eq \r(2)＋1，x2＝eq \r(2)－1)


(2)2x2－3x－8＝0 (x1＝eq \f(7＋\r(73),4)，x2＝eq \f(5－\r(73),4))


例3 已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符合条件的方程．(你有几种方法？)


例4 已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．


变式一：已知方程x2－2kx－9＝0的两根互为相反数，求k；


变式二：已知方程2x2－5x＋k＝0的两根互为倒数，求k.
作 业





布 置
1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．


(1)x2－5x－3＝0 (2)9x＋2＝x2 (3)6x2－3x＋2＝0


(4)3x2＋x＋1＝0


2．已知方程x2－3x＋m＝0的一个根为1，求另一根及m的值．


3．已知方程x2＋bx＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b的值
课堂总结
1．根与系数的关系．


2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零．