2020江苏高考理科数学二轮讲义：专题一第4讲　不等式

第4讲　不等式

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1．必记的概念与定理

已知x>0，y>0，则：

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小)

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)

确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．

①直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；②特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1，0)或者(0，1)作为测试点．

2．记住几个常用的公式与结论

(1)几个重要的不等式

a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号)．

ab≤(a，b∈R)；≤(a，b∈R)．

(2)一元二次不等式的解法

先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．

(3)简单分式不等式的解法

①变形⇒>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)且g(x)≠0；

②变形⇒≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．

(4)两个常用结论

①ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是

②ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是

3．需要关注的易错易混点

(1)利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．

(2)在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

不等式的解法

[典型例题]

(1)(2019·江苏省高考名校联考(八))已知函数f(x)＝－4x2＋2ax－b(a，b∈R)的值域为(－∞，0]，若关于x的不等式f(x)≥m的解集为[c，c＋8]，则实数m的值为________．　

(2)(2019·苏州第一次质量预测)已知函数f(x)＝若不等式f(x)≤5－mx恒成立，则实数m的取值范围是________．

【解析】　(1)因为函数f(x)＝－4x2＋2ax－b(a，b∈R)的值域为(－∞，0]，所以函数的最大值为0．令f(x)＝0，可得Δ＝4a2－4×(－4)×(－b)＝4a2－16b＝0，即b＝．关于x的不等式f(x)≥m可化简为4x2－2ax＋b＋m≤0，即4x2－2ax＋＋m≤0．又关于x的不等式f(x)≥m的解集为[c，c＋8]，所以方程4x2－2ax＋＋m＝0的两个根为x1＝c，x2＝c＋8，则，又|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝64，即()2－4(＋)＝64，解得m＝－64．

(2)作出函数f(x)的大致图象如图所示，令g(x)＝5－mx，则g(x)恒过点(0，5)，由f(x)≤g(x)恒成立，并数形结合得－≤－m≤0，解得0≤m≤．

【答案】　(1)－64　(2)

二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知识，也是高考的热点．本题(1)考查了二次函数的性质及一元二次不等式的解法．突出考查将二次函数、二次方程、二次不等式三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法．

[对点训练]

1．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(六))已知函数f(x)＝若f(a)＞f(f(－2))，则实数a的取值范围为________．

[解析] 由题意知，f(－2)＝()－2－3＝1，f(1)＝1，所以不等式化为f(a)>1．当a≤0时，f(a)＝()a－3>1，解得a<－2；当a>0时，f(a)＝>1，解得a>1．因而a的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．

[答案] (－∞，－2)∪(1，＋∞)

2．已知函数f(x)＝的定义域为A，2∉A，则a的取值范围是________．

[解析] 因为2∉A，所以4－4a＋a2－1<0，即a2－4a＋3<0，解得1<a<3．

[答案] 1<a<3

基本不等式

[典型例题]

(1)(2019·南通市高三调研)若正实数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是________．

(2)(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．

【解析】　(1)因为正实数x，y满足x＋y＝1，所以＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当＝，即x＝，y＝时，取“＝”，所以＋的最小值是8．

(2)设P，x>0，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2x＝，即x＝时取等号，故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4．

【答案】　(1)8　(2)4

用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．

[对点训练]

3．(2019·苏锡常镇四市高三调研)若正数x，y满足15x－y＝22，则x3＋y3－x2－y2的最小值为________．

[解析] x3＋y3－x2－y2＝x3＋x＋y3＋y－x2－y2－x－y≥3x2＋y2－x2－y2－x－y＝2x2－x－y＝2x2＋－x－y－≥6x－x－y－＝－＝－＝1，当且仅当x＝，y＝时取等号，故x3＋y3－x2－y2的最小值为1．

[答案] 1

4．(2018·高考江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．

[解析] 因为∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°，由三角形的面积公式可得acsin 120°＝asin 60°＋csin 60°，化简得ac＝a＋c，又a>0，c>0，所以＋＝1，则4a＋c＝(4a＋c)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当c＝2a时取等号，故4a＋c的最小值为9．

[答案] 9

线性规划

[典型例题]

(1)已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________．

(2)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________．

【解析】　(1)不等式组所表示的平面区域是以点(0，2)，(1，0)，(2，3)为顶点的三角形及其内部，如图所示．因为原点到直线2x＋y－2＝0的距离为，所以(x2＋y2)min＝，又当(x，y)取点(2，3)时，x2＋y2取得最大值13，故x2＋y2的取值范围是．

(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，

由图可知当0≤－k<时，直线y＝－kx＋z经过点M(4，4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2(舍去)；当－k≥时，直线y＝－kx＋z经过点(0，2)时z最大，此时z的最大值为2，不合题意；当－k<0时，直线y＝－kx＋z经过点M(4，4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2，符合题意．综上可知k＝2．

【答案】　(1)　(2)2

确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法

(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．

(2)当不等式中带等号时，边界画为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．

[对点训练]

5．(2019·江苏名校高三入学摸底)若变量x，y满足不等式组，则的最小值为________．

[解析] 作出不等式组所表示的平面区域，如图中△OAB(含边界)所示，作直线l：x＋y＝0，若向上平移直线l，则x＋y的值增大，当平移至过点B(2，4)时，x＋y取得最大值6，此时取得最小值．

[答案]

6．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为M，且M的取值范围是[1，2]，则点P(a，b)所组成的平面区域的面积是________．

[解析] 作出约束条件

表示的平面区域如图1中阴影部分所示(三角形OAB及其内部)．

将目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)化为直线方程的形式为y＝－x＋，

若－≤－2，当直线y＝－x＋经过点A(1，0)时，z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值M＝a∈[1，2]，

由得点P(a，b)所组成的平面区域如图2中阴影部分所示，

此时点P(a，b)所组成的平面区域的面积为．

若－>－2，当直线y＝－x＋经过点B(0，2)时，z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值M＝2b∈[1，2]，

由得点P(a，b)所组成的平面区域如图3中阴影部分所示，

此时点P(a，b)所组成的平面区域的面积为．

综上，点P(a，b)所组成的平面区域的面积为．

[答案]

不等式的实际应用

[典型例题]

“第五届上海智能家居展览会”于2017年7月5日－7月7日在上海新国际博览中心举行，全面展示当前最新的智能家居．某智能家居企业可以向社会提供智能家居套餐的生产和销售一条龙服务，由于2016年没有进行促销活动，该企业的某品牌套餐全年的销量只有1．25万套，如果延续2016年的经营策略，预计2017年的销量只有2016年的80%．为了不断拓展市场，提高经营效益，拟在2017年借“第五届上海智能家居展览会”的东风对该品牌套餐进行促销活动．经过市场调研，该品牌套餐的年销量x万套与年促销费用t万元之间满足关系：x＝(t≥0)．预计2017年生产设备的固定成本为4万元，每生产1万套该品牌套餐需再投入27万元的可变成本，若将每套该品牌套餐的售价定为其生产成本的160%与平均每套促销费用的40%的和，则当年生产的该品牌套餐正好能销售完．

(1)将该企业2017年的利润y万元表示为关于年促销费用t万元的函数；

(2)该企业2017年的促销费用为多少万元时，企业的年利润最大？

(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费用，生产成本＝固定成本＋可变成本)

【解】　(1)由题意可知在x＝(t≥0)中，

当t＝0时，x＝1．25×0．8＝1，代入上式得m＝1，

所以x＝(t≥0)．

当年生产x万套时，年生产成本为

27x＋4＝27×＋4．

当年销售x万套时，年销售收入为160%×＋40%×t．

由题意，生产x万套该品牌套餐正好销售完，由利润＝销售收入－生产成本－促销费用，

得y＝160%×＋40%×t－－t．

所以y＝(t≥0)．

(2)y＝＝≤×(113－18)＝57，

当且仅当t＋1＝，即t＝8时等号成立，即当该企业2017年的促销费用为8万元时，企业的年利润最大，且最大值为57万元．

利用基本不等式求解实际应用题的方法

(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．

(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．

[对点训练]

7．(2019·苏州调研)如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB＝y km，并在公路同侧建造边长为x km的正方形无顶中转站CDEF(其中边EF在GH上)，现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB＝AC＋1，且∠ABC＝60°．

(1)求y关于x的函数解析式；

(2)如果中转站四周围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？

[解] (1)因为AB＝y，AB＝AC＋1，所以AC＝y－1．

在直角三角形BCF中，因为CF＝x，∠ABC＝60°，

所以∠CBF＝30°，BC＝2x．

由于2x＋y－1 >y，得x>．

在△ABC中，因为AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos 60°，

所以(y－1)2＝y2＋4x2－2xy．

则y＝．由y ＞ 0，及x>，得x ＞ 1．

即y关于x的函数解析式为y＝(x ＞ 1)．

(2)M＝3(2y－1)＋4x＝－3＋4x．

令x－1＝t，则M＝－3＋4(t＋1)

＝16t＋＋25≥49，

在t＝，即x＝，y＝时，总造价M最低．

所以x＝时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低．

1．函数f(x)＝lg(2＋x－x2)的定义域为__________．

[解析] ⇒－1<x<0或0<x<2，所以函数f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，2)

[答案] (－1，0)∪(0，2)

2．已知t>0，则函数y＝的最小值为________．

[解析] 因为t>0，所以y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，且在t＝1时取等号．

[答案] －2

3．(2019·高三第一次调研测试)若实数x，y满足x≤y≤2x＋3，则x＋y的最小值为______．

[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，令z＝x＋y，数形结合易知当直线z＝x＋y过点A(－3，－3)时，z取得最小值，zmin＝－6．

[答案] －6

4．(2019·苏北四市高三质量检测)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x－3，则不等式f(x)≤－5 的解集为________．

[解析] 因为当x＞0时，f(x)＝2x－3，

所以当x＜0，即－x＞0时，f(－x)＝2－x－3，因为函数f(x) 是定义在R上的奇函数，

所以f(－x)＝2－x－3＝－f(x)，

所以f(x)＝－2－x＋3．

当x＞0时，不等式f(x)≤－5等价为2x－3≤－5，

即2x≤－2，无解，故x＞0时，不等式不成立；

当x＜0时，不等式f(x)≤－5等价为－2－x＋3≤－5，

即2－x≥8，

得x≤－3；

当x＝0时，f(0)＝0，不等式f(x)≤－5不成立．

综上，不等式f(x)≤－5的解集为(－∞，－3]．

[答案] (－∞，－3]

5．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

[解析] 一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30．

[答案] 30

6．(2019·苏北三市高三模拟)已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a＞0，则实数a的取值范围是________．

[解析] 记f(x)＝x2－2(a－2)x＋a，令f(x)＝0，由题意得，Δ＝4(a－2)2－4a＜0或所以1＜a＜4或4≤a≤5，

即实数a的取值范围是(1，5]．

[答案] (1，5]

7．(2019·扬州市第一学期期末检测)已知正实数x，y满足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为______．

[解析] x＋4y－xy＝0，即x＋4y＝xy，等式两边同时除以xy，得＋＝1，由基本不等式可得x＋y＝(x＋y)·＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝2y＝6时，等号成立，所以x＋y的最小值为9，因为m≤9．

[答案] m≤9

8．在R上定义运算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－a)*(x＋a)≤1对任意的x恒成立，则实数a的取值范围是________．

[解析] 由于(x－a)*(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，则不等式(x－a)*(x＋a)≤1对任意的x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1≥0恒成立，所以a2－a－1≤x2－x恒成立，又x2－x＝－≥－，则a2－a－1≤－，解得－≤a≤．

[答案]

9．记min{a，b}为a，b两数的最小值．当正数x，y变化时，令t＝min，则t的最大值为______．

[解析] 因为x＞0，y＞0，所以问题转化为t2≤(2x＋y)·＝≤＝＝2，当且仅当x＝y时等号成立，所以0＜t≤，所以t的最大值为．

[答案]

10．(2019·宁波统考)已知函数f(x)＝loga(x2－a|x|＋3)(a>0，a≠1)．若对于－1≤x1<x2≤－的任意实数x1，x2都有f(x1)－f(x2)<0成立，则实数a的范围是________．

[解析] 易知已知函数为偶函数，则当x∈时为减函数．

对于x∈时， f(x)＝loga(x2－ax＋3)(a>0，a≠1)

设g(x)＝x2－ax＋3，

由题意得：或

则2≤a<4或0<a<1．

[答案] (0，1)∪[2，4)

11．已知x＞0，a为大于2x的常数，

(1)求函数y＝x(a－2x)的最大值；

(2)求y＝－x的最小值．

[解] (1)因为x＞0，a＞2x，

所以y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x)

≤＝，

当且仅当x＝时取等号，故函数的最大值为．

(2)y＝＋－≥2 －＝－．

当且仅当x＝时取等号．

故y＝－x的最小值为－．

12．已知关于x的不等式>0．

(1)当a＝2时，求此不等式的解集；

(2)当a>－2时，求此不等式的解集．

[解] (1)当a＝2时，不等式可化为>0，

所以不等式的解集为{x|－2<x<1或x>2}．

(2)当a>－2时，不等式可化为>0，

当－2<a<1时，解集为{x|－2<x<a或x>1}；

当a＝1时，解集为{x|x>－2且x≠1}；

当a>1时，解集为{x|－2<x<1或x>a}．

13．(2019·盐城市高三第三次模拟考试)如图，某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草莓，其中AB＝99 m，AD＝49．5 m．现计划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜大棚n(n∈N*)个，每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计)，塑料薄膜的价格为每平方米10元；另外，还需在每两个大棚之间留下1 m宽的空地用于建造排水沟与行走小路(如图中EF＝1 m)，这部分的建设造价为每平方米31．4元．

(1)当n＝20时，求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积；(结果保留π)

(2)试确定大棚的个数，使得上述两项费用的和最低．(计算中π取3．14)

[解] (1)设每个半圆柱型大棚的底面半径为r．

当n＝20时，共有19块空地，所以r＝＝2(m)，

所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)为

πr2＋πr×AD＝π×22＋2π×49．5＝103π(m2)，

即蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积为103π m2．

(2)设两项费用的和为f(n)．

因为r＝＝，

所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面的面积)为

S＝πr2＋πr×AD＝π×＋π×49．5×，

则f(n)＝10nS＋31．4×1×49．5(n－1)

＝10n[π×＋π×49．5×]＋31．4×1×49．5(n－1)

＝31．4×[＋49．5×＋49．5(n－1)]

＝×[＋99(100－n)＋198(n－1)]

＝×(＋100n＋9 502)

＝×[100×＋9 502]，

因为＋n≥2＝20，当且仅当n＝10时等号成立，

所以，当且仅当n＝10时，f(n)取得最小值，

即当大棚的个数为10个时，上述两项费用的和最低．

14．设m是常数，集合M＝{m|m>1}，f(x)＝log3(x2－4mx＋4m2＋m＋)．

(1)证明：当m∈M时，f(x)对所有的实数x都有意义；

(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值；

(3)求证：对每个m∈M，函数f(x)的最小值都不小于1．

[解] (1)证明：f(x)＝log3，

当m∈M，即m>1时，(x－2m)2＋m＋>0恒成立，故f(x)的定义域为R．

(2)令g(x)＝x2－4mx＋4m2＋m＋，因为y＝log3g(x)是增函数，所以当g(x)最小时f(x)最小，

而g(x)＝(x－2m)2＋m＋，

显然当x＝2m时，g(x)的最小值为m＋．

此时f(x)min＝log3．

(3)证明：m∈M时，m＋＝m－1＋＋1

≥2＋1＝3，

所以log3≥log33＝1，结论成立．