课时作业(五) 函数的单调性与最值 练习

课时作业(五)　函数的单调性与最值

一、选择题

1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)

A．y＝　　　B．y＝(x－1)2

C．y＝2－x         D．y＝log0.5(x＋1)

解析：B项函数在(0,1)上单调递减，(1，＋∞)上单调递增；C项中的函数在(0，＋∞)上单调递减；D项中的函数在(0，＋∞)上单调递减．

答案：A

2．f(x)＝在(　　)

A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数

B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数

C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数

D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数

解析：f(x)的定义域为{x|x≠1}．又f(x)＝＝－1，根据函数y＝－的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数．

答案：C

3．下列函数f(x)图象中，满足f()>f(3)>f(2)的只可能是(　　)

解析：因为f()>f(3)>f(2)，所以函数f(x)有增有减，排除A，B.在C中，f()<f(0)＝1，f(3)>f(0)，即f()<f(3)，排除C，选D.

答案：D

4．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)

A．f(x1)<0，f(x2)<0  B．f(x1)<0，f(x2)>0

C．f(x1)>0，f(x2)<0  D．f(x1)>0，f(x2)>0

解析：因为函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，

所以当x1∈(1,2)时，f(x1)<f(2)＝0，

当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，

即f(x1)<0，f(x2)>0.故选B.

答案：B

5．(2017·泉州模拟)已知函数f(x)＝在R上为减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,1)        B．(0，)

C．(－∞，)   D.(，1)

解析：由于函数f(x)为R上的减函数，所以满足解得0<a<.

答案：B

6．(2017·浦东一模)如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫作“缓增区间”．若函数f(x)＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为(　　)

A．[1，＋∞)  B．[0，]

C．[0,1]       D．[1，]

解析：因为函数f(x)＝x2－x＋的对称轴为x＝1，

所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x≥1时，＝x－1＋，令g(x)＝x－1＋(x≥1)，则g′(x)＝－＝，由g′(x)≤0得1≤x≤，即函数＝x－1＋在区间[1，]上单调递减，故“缓增区间”I为[1，]．

答案：D

二、填空题

7．已知定义在R上的函数f(x)是增函数，则满足f(x)<f(2x－3)的x的取值范围是________．

解析：依题意得，不等式f(x)<f(2x－3)等价于x<2x－3，由此解得x>3，即满足f(x)<f(2x－3)的x的取值范围是(3，＋∞)．

答案：(3，＋∞)

8．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的最大值是________．

解析：在同一坐标系中分别作出函数y＝4x＋1，y＝x＋4，y＝－x＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的图象，如图所示，不难看出函数f(x)在x＝2时取得最大值6.故填6.

答案：6

9．若函数y＝与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________．

解析：由y＝log3(x－2)的定义域为(2，＋∞)，

且为增函数，故在(3，＋∞)上是增函数．

又函数y＝＝＝2＋，

使其在(3，＋∞)上是增函数，

故4＋k<0，得k<－4.

即实数k的取值范围是(－∞，－4)．

答案：(－∞，－4)

三、解答题

10．判断函数g(x)＝在(1，＋∞)上的单调性．

解析：方法一：定义法

任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，

则g(x1)－g(x2)＝－＝，

因为1<x1<x2，

所以x1－x2<0，(x1－1)(x2－1)>0，

因此g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)．

故g(x)在(1，＋∞)上是增函数．

方法二：导数法

∵g′(x)＝＝>0，

∴g(x)在(1，＋∞)上是增函数．

11．已知函数f(x)＝a－.

(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．

解析：(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，

f(x)＝a－，

设0<x1<x2，则x1x2>0，x2－x1>0，

f(x2)－f(x1)＝(a－)－(a－)

＝－＝>0，

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(2)由题意a－<2x在(1，＋∞)上恒成立，

设h(x)＝2x＋，

则a<h(x)在(1，＋∞)上恒成立．

任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1<x2，

h(x1)－h(x2)＝(x1－x2)(2－).

∵1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>1，

∴2－>0，∴h(x1)<h(x2)，

∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增．

故a≤h(1)，即a≤3，

∴a的取值范围是(－∞，3]．

12．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.

(1)求f(1)的值；

(2)证明：f(x)为单调递减函数；

(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．

解析：(1)令x1＝x2>0，

代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，

故f(1)＝0.

(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，

且x1>x2，则>1.

由于当x>1时，f(x)<0，

所以f<0，

即f(x1)－f(x2)<0，

因此f(x1)<f(x2)，

所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．

(3)因为f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，

所以f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．

由f＝f(x1)－f(x2)得，

f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，

所以f(9)＝－2.

即f(x)在[2,9]上的最小值为－2.