2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第11章第3节随机事件的概率

第三节　随机事件的概率

[最新考纲]　1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式．

1．频率与概率

在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)．

2．事件的关系与运算

互斥事件：在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．

事件A＋B：事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．

对立事件：不会同时发生，并且一定有一个发生的事件是相互对立事件．

3．概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率P(E)＝1.

(3)不可能事件的概率P(F)＝0.

(4)互斥事件概率的加法公式

①如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．

②若事件A与事件互为对立事件，则P(A)＝1－P()．

如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如下公式：P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)事件发生的频率与概率是相同的．(　　)

(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　　)

(3)两个事件的和事件发生是指两个事件都得发生．(　　)

(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

二、教材改编

1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是(　　)

A．至多有一次中靶　 B．两次都中靶

C．只有一次中靶 D．两次都不中靶

D　[“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．]

2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：

则样本数据落在区间[10,40)的频率为(　　)

A．0.35 B．0.45

C．0.55 D．0.65

B　[由表知[10,40)的频数为2＋3＋4＝9，

所以样本数据落在区间[10,40)的频率为＝0.45.]

3．如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张，取到黑桃的概率是，取到梅花的概率是，则取到红色牌的概率是________．

　[P＝1－＝.]

4．一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：

这一地区男婴出生的概率约是________(保留四位小数)．

0．517 3　[男婴出生的频率依次约是：0.520 0,0.517 3,0.517 3,0.517 3.由于这些频率非常接近0.517 3，因此这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.]

考点1　事件关系的判断

　判断互斥、对立事件的2种方法

(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．

(2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．

②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．

　1.从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：

①至少有1个白球与至少有1个黄球；

②至少有1个黄球与都是黄球；

③恰有1个白球与恰有1个黄球；

④恰有1个白球与都是黄球．

其中互斥而不对立的事件共有(　　)

A．0组　　　　　　 B．1组

C．2组 D．3组

B　[①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生，如恰有1个白球和1个黄球，①中的两个事件不是互斥事件．②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球，则两个事件不互斥．③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”，都是指有1个白球和1个黄球，因此两个事件是同一事件．④中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件，故选B.]

2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)

A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡

C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡

A　[ “至多有一张移动卡”包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．]

　判断含有“至多、至少”等关键词的事件关系，可先借助枚举法分析每个事件包含的基本事件，然后再借助定义做出判断．

考点2　随机事件的频率与概率

　1.概率与频率的关系

频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．

2．随机事件概率的求法

利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．

　(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

[解]　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，

若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；

若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；

若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.

所以，Y的所有可能值为900,300，－100.

Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.

　求解本题第(2)问的关键是读懂题设条件，并从中提取信息，明确一天销售这种酸奶的利润Y与气温变化的关系．

[教师备选例题]

(2019·北京高考)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；

(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；

(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．

[解]　(1)由题知，样本中仅使用A的学生有27＋3＝30人，

仅使用B的学生有24＋1＝25人，

A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．

故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40人．

估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为×1 000＝400.

(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”，则P(C)＝＝0.04.

(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”．

假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，

则由(2)知，P(E)＝0.04.

答案示例1：可以认为有变化．理由如下：

P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，

一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变化，

所以可以认为有变化．

答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：

事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，

所以无法确定有没有变化．

　1.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　)

A．134石 B．169石

C．338石 D．1 365石

B　[ ×1534≈169(石)．]

2．(2016·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；

(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；

(3)求续保人本年度平均保费的估计值．

[解]　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.

(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.

(3)由所给数据得

调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.

因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.

考点3　互斥事件与对立事件的概率

　复杂事件的概率的2种求法

(1)直接求法，将所求事件分解为一些彼此互斥的事件，运用互斥事件的概率求和公式计算．

(2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求解(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就比较简便．

　(1)(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)

A．0.3 B．0.4

C．0.6 D．0.7

(2)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：

①P(A)，P(B)，P(C)；

②1张奖券的中奖概率；

③1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．

(1)B　[由题意知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.]

(2)[解]　①P(A)＝， P(B)＝＝，P(C)＝＝.

故事件A，B，C的概率分别为，，.

②1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A＋B＋C.

∵A，B，C两两互斥，

∴P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)

＝＝，

故1张奖券的中奖概率约为.

③设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，

∴P(N)＝1－P(A＋B)＝1－＝，

故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.

　求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来．

[教师备选例题]

一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：

(1)取出1球是红球或黑球的概率；

(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．

[解]　法一：(利用互斥事件求概率)

记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，

A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，

则P(A1)＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，P(A4)＝，根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得

(1)取出1球是红球或黑球的概率为

P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.

(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为

P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)

＝＋＋＝.

法二：(利用对立事件求概率)(1)由法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝.

(2)因为A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－＝.

　经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：

求：(1)至多2人排队等候的概率；

(2)至少3人排队等候的概率．

[解]　记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．

(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，

所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)

＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.

(2)法一：(利用互斥事件求概率)记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，

所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)

＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.

法二：(利用对立事件求概率)记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.