2021届山东高考数学一轮创新教学案：第4章第3讲平面向量的数量积及应用

第3讲　平面向量的数量积及应用

1.两个向量的夹角

2.平面向量的数量积

3.平面向量数量积的性质

设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角，则

(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.

(2)a⊥b⇔a·b＝0.

(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；

当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.

特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.

(4)cosθ＝.

(5)|a·b|≤|a||b|.

4.平面向量数量积满足的运算律

(1)a·b＝b·a；

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

5.平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到：

(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝ ；

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝ ；

(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；

(4)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cosθ＝ .

1.概念辨析

(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(　　)

(2)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(　　)

(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　)

(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　　)

(5)若a·b＝b·c(b≠0)，则a＝c.(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×

2.小题热身

(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)

A.4  B．3

C．2  D．0

答案　B

解析　因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3.所以选B.

(2)已知平面向量a，b的夹角为，|a|＝4，|b|＝，则|a－b|＝________.

答案　

解析　|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝16＋3－2×4×cos＝7，∴|a－b|＝.

(3)设向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a－b)，则a与b的夹角是________．

答案　60°

解析　设a与b的夹角为θ，因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝0，故|a|2－|a||b|cosθ＝0，解得cosθ＝，故a与b的夹角为60°.

(4)向量a＝(3,4)在向量b＝(1，－1)方向上的投影为________．

答案　－

解析　|a|cosθ＝＝＝－.

题型 一　平面向量数量积的运算

1.已知△ABC的三边长均为1，且＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝(　　)

A.3  B．－3 

C.  D．－

答案　D

解析　根据题意a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－.故a·b＋b·c＋a·c＝－.

2.(2019·安徽省江南十校联考)已知边长为1的菱形ABCD，∠BAD＝60°，点E满足＝2，则·的值是(　　)

A.－  B．－

C．－  D．－

答案　D

解析　解法一：如图1，由＝2知＝＝，所以＝＋＝＋，＝－.依题意知·＝||||cos∠BAD＝，故·＝·(－)＝·＋2－2－·＝2－2＋·＝－1＋×＝－.故选D.

解法二：如图2，以点A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，过点A且与AD垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则D(1,0)，B，C.又＝2，则E，所以＝，＝，所以·＝－＝－.故选D.

计算向量数量积的三种方法

(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．

(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．如举例说明2的解法一．

(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．如举例说明2解法二．

1.已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，||＝6，||＝6，＝，则·等于(　　)

A.－14  B．－9

C．9  D．14

答案　D

解析　如图，以点A为原点，分别以边AC，AB所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0,6)，C(6,0)，D(3,3)．∵＝，∴＝＝(3,3)＝(1，)，∴E(1，)，∴＝(－1,5)，∴·＝－1＋15＝14.故选D.

2.(2019·上饶模拟)设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC＝2，则·等于(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　C

解析　如图，||＝||＝2，〈，〉＝60°，

∵D，E是边BC的两个三等分点，

∴·＝·＝·＝||2＋·＋||2＝×4＋×2×2×＋×4＝.

题型 二　平面向量数量积的性质　

角度1　平面向量的模

1.(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝(　　)

A.  B．2

C．5  D．50

答案　A

解析　∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a－b|＝＝.故选A.

2.已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为，且a＋b＋c＝0，则|c|＝________.

答案　

解析　因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，

所以c2＝a2＋b2＋2a·b＝22＋32＋2×2×3×cos

＝4＋9－6＝7.所以|c|＝.

角度2　平面向量的夹角

3.(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________.

答案　－

解析　∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a|＝＝2，|b|＝＝10.∴cos〈a，b〉＝＝＝－.

4.已知向量a＝(λ，－6)，b＝(－1,2)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是________.

答案　(－12,3)∪(3，＋∞)

解析　∵向量a与b的夹角为钝角，∴a·b＝(λ，－6)·(－1,2)＝－λ－12<0，解得λ>－12.当a与b共线时，设a＝kb(k<0)，可得解得即当λ＝3时，向量a与b共线且反向，此时a·b<0，但a与b的夹角不是钝角．综上，λ的取值范围是(－12,3)∪(3，＋∞).

角度3　平面向量的垂直

5.(2019·华南师大附中一模)已知向量||＝3，||＝2，＝(m－n)＋(2n－m－1)，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　A

解析　由题意得，＝＋＝(m－n)＋(2n－m)，＝－，·＝3×2×cos60°＝3.

又因为⊥，

所以·＝[(m－n)＋(2n－m)]·(－)＝－(m－n)2＋(2m－3n)·＋(2n－m)·2＝－9(m－n)＋3(2m－3n)＋4(2n－m)＝0，

整理得7m－8n＝0，故＝.

1.求向量模的常用方法

(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝.

(2)若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．如举例说明2.

2.求向量夹角的方法

(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系．

(2)若已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝ .如举例说明3.

3.解答向量垂直问题的两个策略

(1)若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据向量数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．

(2)根据两个向量垂直的充要条件a·b＝0，列出相应的关系式．如举例说明5.

1.已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　B

解析　本题考查平面向量的数量积运算．设向量a与b的夹角为θ，则由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝a·b－b2＝|a||b|cosθ－|b|2＝2|b|2cosθ－|b|2＝0，所以cosθ＝，所以θ＝，故选B.

2.(2018·北京高考)设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)，若a⊥(ma－b)，则m＝________.

答案　－1

解析　由已知，得ma－b＝(m＋1，－m)，又a⊥(ma－b)，所以a·(ma－b)＝1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，解得m＝－1.

3.如图，已知两点A，B在单位圆上，∠yOB＝60°，∠xOA＝30°，则|2＋3|＝________.

答案　

解析　解法一：由题意可得∠AOB＝120°，||＝||＝1，所以|2＋3|＝

＝

＝ ＝.

解法二：易知A，B，所以＝，＝，所以2＋3＝，所以|2＋3|＝＝.

题型 三　向量数量积的综合应用　

角度1　向量在平面几何中的应用

1.已知，是非零向量，且满足(－2)⊥，(－2)⊥，则△ABC的形状为(　　)

A.等腰三角形  B．直角三角形

C.等边三角形  D．等腰直角三角形

答案　C

解析　∵(－2)⊥⇒(－2)·＝0，即·－2·＝0，(－2)⊥⇒(－2)·＝0，即·－2·＝0，∴·＝·＝2·，即||＝||，则cosA＝＝，∴∠A＝60°，∴△ABC为等边三角形.

角度2　向量在解析几何中的应用

2.已知·＝0，||＝1，||＝2，·＝0，则||的最大值为________．

答案　

解析　由·＝0可知，⊥.

故以B为坐标原点，分别以BA，BC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，

则由题意，可得B(0,0)，A(1,0)，C(0,2)．设D(x，y)，

则＝(x－1，y)，＝(－x,2－y)．

由·＝0，可得(x－1)(－x)＋y(2－y)＝0，

整理得2＋(y－1)2＝.

所以点D在以E为圆心，半径r＝的圆上．

因为||表示B，D两点间的距离，

而||＝ ＝.

所以||的最大值为||＋r＝＋＝.

角度3　向量与三角函数的综合应用

3.已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．

(1)若a∥b，求的值；

(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．

解　(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ；当cosθ＝0时，sinθ＝0，与sin2θ＋cos2θ＝1矛盾，所以cosθ≠0，故tanθ＝，

所以＝＝＝.

(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，

即1－4sinθcosθ＋4sin2θ＝5，

从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，

于是sin＝－，

又由0<θ<π知，<2θ＋<，

所以2θ＋＝或2θ＋＝，因此θ＝或θ＝.

1.向量在平面几何中的应用

用平面向量解决平面几何问题时，常常建立平面直角坐标系，这样可以使向量的运算更简便一些．在解决这类问题时，共线向量定理和平面向量基本定理起主导作用.

2.向量在解析几何中的作用

(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．

(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到.

3.向量与三角函数的综合应用

解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行求解．

1．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是(　　)

A．圆  B．椭圆

C．双曲线  D．抛物线

答案　D

解析　由已知得·＝(－2－x，－y)·(3－x，－y)＝(－2－x)·(3－x)＋(－y)·(－y)＝x2－x－6＋y2＝x2，所以y2＝x＋6，故点P的轨迹是抛物线．

2．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)

A．正三角形  B．直角三角形

C．等腰三角形  D．等腰直角三角形

答案　C

解析　∵(－)·(＋－2)＝0，即(－)·(－＋－)＝0，∴·(＋)＝0，∴(－)·(＋)＝0，即||2－||2＝0，||＝||，∴三角形ABC为等腰三角形．

3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.

(1)求∠C的大小；

(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．

解　(1)因为m＝(cosB，cosC)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，

所以ccosB＋(b－2a)cosC＝0，

在△ABC中，由正弦定理得，

sinCcosB＋(sinB－2sinA)cosC＝0，

sinA＝2sinAcosC，

又sinA≠0，

所以cosC＝，而C∈(0，π)，

所以∠C＝.

(2)由＝知，－＝－，

所以2＝＋，

两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①

又c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB，

所以a2＋b2－ab＝12.②

由①②得ab＝8，

所以S△ABC＝absin∠ACB＝2.

　组　基础关

1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角的余弦值为sin，则b·(2a－b)等于(　　)

A．2  B．－1

C．－6  D．－18

答案　D

解析　∵a与b的夹角的余弦值为sin＝－，

∴a·b＝－3，b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.

2．若单位向量e1，e2的夹角为，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝，则λ＝(　　)

A.  B．－ 

C.  D．－

答案　B

解析　由题意可得e1·e2＝，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×＋λ2＝，化简得λ2＋λ＋＝0，解得λ＝－.

3.(2020·漯河高级中学月考)已知向量a＝(－2，m)，b＝(1,2)，若向量a在向量b方向上的投影为2，则实数m＝(　　)

A．－4  B．－6

C．4   D.＋1

答案　D

解析　∵a·b＝－2＋2m，∴|a|cosθ＝＝＝2.解得m＝＋1.

4．已知e1，e2是两个单位向量，且夹角为，则e1＋te2与te1＋e2数量积的最小值为(　　)

A．－  B．－ 

C.   D.

答案　A

解析　因为(e1＋te2)·(te1＋e2)＝t2＋2t＋＝(t＋2)2－，所以当t＝－2时，(e1＋te2)·(te1＋e2)取得最小值为－.故选A.

5．(2019·黑龙江大庆实验中学高考模拟)在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在CD上，若·＝，则·的值为(　　)

A.  B．2

C．0  D．1

答案　A

解析　建立如图所示的坐标系，可得A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)，∴＝(，0)，＝(x,2)，

∴·＝x＝，解得x＝1，∴F(1,2)，∴＝(，1)，＝(1－，2)，∴·＝×(1－)＋1×2＝.

6．(2019·南昌模拟)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cos(－α)，sin(－α))，那么a·b＝0是α＝kπ＋(k∈Z)的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　a·b＝0＝cos2α－sin2α＝cos2α，2α＝±＋2kπ(k∈Z)，α＝kπ±(k∈Z)，故选B.

7．已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2，|a|＝1，则a＋b与a－b的夹角为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　C

解析　由|a＋b|＝|a－b|，可得a·b＝0，即a⊥b.如图，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.因为|a＋b|＝|a－b|＝2，|a|＝1，所以∠ODA＝∠OCA＝.所以∠COD＝，即向量a＋b与a－b的夹角为.故选C.

8．已知向量a＝(x,2)，b＝(2,1)，c＝(3,2x)，若a⊥b，则|b＋c|＝________.

答案　

解析　∵a⊥b，∴2x＋2＝0，∴x＝－1，∴b＋c＝(5，－1)，∴|b＋c|＝＝.

9．(2019·潍坊模拟)在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，点D为边BC的中点，则·＝________.

答案　－9

解析　因为AB＝AC，点D为边BC的中点，所以AD⊥BC，所以在方向上的投影为||cos(π－B)＝－||cosB＝－||＝－||＝－3，所以·＝||||cos(π－B)＝3×(－3)＝－9.

10．已知＝(cos23°，cos67°)，＝(2cos68°，2cos22°)，则△ABC的面积为________．

答案　

解析　因为＝(cos23°，sin23°)，＝(2sin22°，2cos22°)，所以cos〈，〉＝

＝sin45°＝.所以与的夹角为45°，故∠ABC＝135°.

所以S△ABC＝||||sin135°

＝×1×2×＝.

　组　能力关

1．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝(　　)

A．－2  B．－1

C．1  D．2

答案　D

解析　∵a＝(1,2)，b＝(4,2)，∴c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝，|b|＝2，∴a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.∵c与a的夹角等于c与b的夹角，∴＝，∴＝，解得m＝2.

2．(2019·长春二模)已知正方形ABCD的边长为2，点E为BC边的中点，F为CD边上一点，若·＝||2，则|＝(　　)

A．3  B．5

C.   D.

答案　D

解析　∵正方形ABCD的边长为2，点E为BC边的中心，F为CD边上一点，∵·＝||2，由数量积的几何意义可知EF⊥AE，由E是BC的中点，得AE＝，EF＝，AF＝，∵AE2＋EF2＝AF2，∴CF＝，∴AF＝.故选D.

3．(2019·天津市宁河区芦台第一中学高考模拟)如图所示，等边△ABC的边长为2，D为边AC上的一点，且＝λ，△ADE也是等边三角形，若·＝，则λ的值是(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　A

解析　·＝(＋)·(＋＋)＝2＋·＋·＋·＋2＋·＝22＋2·2λcos－2·2λ＋2·2λcos＋4λ2＋4λ2cos＝2λ2＋4＝⇒λ2＝，因为λ>0，所以λ＝，选A.

4．(2020·青岛摸底)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝1，|b|＝2，若(a＋λb)∥(2a＋b)，则λ＝________；若(a＋μb)⊥(2a＋b)，则μ＝________.

答案　　－

解析　因为(a＋λb)∥(2a＋b)，所以存在唯一实数n，使得a＋λb＝n(2a＋b)，所以1＝2n，λ＝n，解得λ＝.因为(a＋μb)⊥(2a＋b)，且向量a，b的夹角为60°，|a|＝1，|b|＝2，所以(a＋μb)·(2a＋b)＝2a2＋(1＋2μ)a·b＋μb2＝2＋1＋2μ＋4μ＝0，解得μ＝－.

5．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，P，Q分别是BC，BD的中点，如图，则向量与 夹角的余弦值为________．

答案　

解析　以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，D(1，)，

所以P，Q，所以＝，＝，所以cos〈，〉＝＝＝.

6．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为________．

答案　－

解析　因为＋＝2，所以(＋)·＝2·＝－2||||.又因为||＋||＝3≥2，所以||||≤.所以(＋)·＝2·＝－2||||≥－.