高中人教A版 (2019)4.5 函数的应用（二）练习题

这是一份高中人教A版 (2019)4.5 函数的应用（二）练习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(三十三) 用二分法求方程的近似解


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．下面关于二分法的叙述中，正确的是( )


A．用二分法可求所有函数零点的近似值


B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位


C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成


D．只能用二分法求函数的零点


B [用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误，故选B.]


2．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程可得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解所在区间为( )


A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)


C．(1.5,2) D．不能确定


A [由于f(1.25)·f(1.5)<0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)．]


3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：


那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是( )


A．1.25 B．1.375


C．1.42 D．1.5


C [由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.406 25,1.437 5)之间．结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.]


4．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为( )


A．(0,1) B．(0,2)


C．(2,3) D．(2,4)


B [因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，


f(4)＝24＋12－7>0，


f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)·f(2)<0，所以零点在区间(0,2)内．]


5．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )


A．[1,4] B．[－2,1]


C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(5,2))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))


D [∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，4)).]


二、填空题


6．已知函数f(x)＝x3－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝________.


－1.625 [由题意，x0＝1.5，f(x0)＝f(1.5)＝－1.625.]


7．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即得出方程的一个近似解为________．(精确度为0.1)


0.687 5(答案不唯一) [∵f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，


∴方程的解在(0.687 5,0.75)上，而|0.75－0.687 5|<0.1，


∴方程的一个近似解为0.687 5.]


8．如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次．





6 [第1次取中点把焊点数减半为eq \f(64,2)＝32，第2次取中点把焊点数减半为eq \f(32,2)＝16，第3次取中点把焊点数减半为eq \f(16,2)＝8，第4次取中点把焊点数减半为eq \f(8,2)＝4，第5次取中点把焊点数减半为eq \f(4,2)＝2，第6次取中点把焊点数减半为eq \f(2,2)＝1，所以至多需要检测的次数是6.]


三、解答题


9．已知方程2x＋2x＝5.


(1)判断该方程解的个数以及所在区间；


(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1)．


参考数值：


[解] (1)令f(x)＝2x＋2x－5.


因为函数f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函数，


所以函数f(x)＝2x＋2x－5至多有一个零点．


因为f(1)＝21＋2×1－5＝－1<0，f(2)＝22＋2×2－5＝3>0，


所以函数f(x)＝2x＋2x－5的零点在(1,2)内．


(2)用二分法逐次计算，列表如下：


因为|1.375－1.25|＝0.125>0.1，且|1.312 5－1.25|＝0.062 5<0.1，所以函数的零点近似值为1.312 5，


即方程2x＋2x＝5的近似解可取为1.312 5.


10．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)


[解] 令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，所以f(2.2)·f(2.4)<0，


即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，


取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，


再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5，因为f(2.2)·f(2.25)<0，


所以x0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，


所以原方程的近似正解可取为2.25.





11．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是( )


A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3


C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln x


C [对于选项C而言，令|x|＝0，得x＝0，即函数f(x)＝|x|存在零点，但当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)>0，所以f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点的近似值．]


12．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )


A．0.68 B．0.72


C．0.7 D．0.6


C [已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝eq \f(1,2)(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．]


13．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：


据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取________．


1.562 5 [f(1.562 5)≈0.003>0，f(1.556 2)≈－0.029<0，方程3x－x－4＝0的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取为1.562 5.]


14．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8，那么他再取的x的4个值依次是________．


1.5,1.75,1.875,1.812 5 [第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)．]





15．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．


[证明] ∵f(1)>0，∴3a＋2b＋c>0，


即3(a＋b＋c)－b－2c>0.


∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，


则－b－c>c，即a>c.


∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.


在区间[0,1]内选取二等分点eq \f(1,2)，


则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(3,4)a＋b＋c＝eq \f(3,4)a＋(－a)＝－eq \f(1,4)a<0.


∵f(0)>0，f(1)>0，


∴函数f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上各有一个零点．


又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根.


f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.437 5)＝0.162
f(1.406 25)＝－0.054
x
1.187 5
1.125
1.25
1.312 5
1.375
1.5
2x
2.278
2.181
2.378
2.484
2.594
2.83
区间
中点的值
中点函数值符号
(1,2)
1.5
f(1.5)>0
(1,1.5)
1.25
f(1.25)<0
(1.25,1.5)
1.375
f(1.375)>0
(1.25,1.375)
1.312 5
f(1.312 5)>0
(1.25,1.312 5)
f(1.600 0)≈0.200
f(1.587 5)≈0.133
f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003
f(1.556 2)≈－0.029
f(1.550 0)≈－0.060