人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.3 空间向量及其运算的坐标表示达标测试

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思维导图








新课标要求


①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。


②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。


③掌握空间向量的数量积及其坐标表示。





知识梳理


1.空间向量运算的坐标表示


若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则：


(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；


(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；


(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；


(4)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；


(5)a∥b ⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；


(6)a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；


(7)|a|＝eq \r(a·a)＝ eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))；


(8)cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))·\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3))) .


2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式


在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则：


(1)eq \(AB,\s\up6(→))＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；


(2)dAB＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝ eq \r(a2－a12＋b2－b12＋c2－c12) .





名师导学


知识点1 空间直角坐标系


【例1-1】（2019秋•武汉期末）点，2，关于平面对称的点的坐标是


A．，2，B．，，C．，2，D．，，


【分析】点，2，关于平面对称的点，即，不变，变为相反数．


【解答】解：点，2，关于平面对称的点，


即，不变，变为相反数，


点，2，关于平面对称的点的坐标是，，．


故选：．


【变式训练1-1】（2019秋•河南月考）在空间直角坐标系中，点，，关于轴对称的点为


A．，，B．，，C．，2，D．，2，


【分析】空间直角坐标系中，点关于轴对称，则值不变，和的值改变符号．


【解答】解：空间直角坐标系中，点，，关于轴对称的点为，，．


故选：．





知识点2 空间向量的坐标运算


【例2-1】（2019秋•钦州期末）已知，2，，，，，则等于


A．，，B．，0，C．，0，D．，0，


【分析】利用向量坐标运算性质即可得出．


【解答】解：，2，，，，0，，


故选：．


【例2-2】（2019·济南模拟）已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝eq \(AB,\s\up6(→))，b＝eq \(AC,\s\up6(→)).


(1)求a与b夹角的余弦值；


(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值；


(3)设|c|＝3，c∥eq \(BC,\s\up6(→))，求c.


【分析】对于(1)直接套两向量的夹角公式即可；对于(2)将向量垂直，转化为数量积为0求解；对于(3)利用共线向量求解．


【解答】 (1)∵a＝eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，b＝eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1,0,2)，


∴a·b＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1，|a|＝eq \r(2)，|b|＝eq \r(5)，cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(\r(10),10).


(2)ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，


ka－2b＝k(1,1,0)－2(－1,0,2)＝(k＋2，k，－4)．


∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，


∴(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，


即2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－eq \f(5,2).


(3)∵c∥eq \(BC,\s\up6(→))，又eq \(BC,\s\up6(→))＝(－2，－1,2)，


∴设c＝(－2λ，－λ，2λ)，又|c|＝3，


∴(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝9，得λ＝±1.


∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．


【变式训练2-1】（2019·菏泽期末模拟）已知a＝(2，－1,3)，b＝(0，－1,2)．求：


(1)a＋b；


(2)2a－3b；


(3)a·b；


(4)(a＋b)·(a－b)．


【分析】利用空间向量坐标运算公式计算即可.


【解答】(1)∵a＝(2，－1,3)，b＝(0，－1,2)．


∴a＋b＝(2＋0，－1－1,3＋2)＝(2，－2,5)．


(2)2a－3b＝2(2，－1,3)－3(0，－1,2)＝(4，－2,6)＋(0,3，－6)＝(4,1,0)．


(3)a·b＝(2，－1,3)·(0，－1,2)＝2×0＋(－1)×(－1)＋3×2＝7.


(4)∵|a|＝eq \r(22＋－12＋32)＝eq \r(14)，


|b|＝eq \r(02＋－12＋22)＝eq \r(5)，


∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝14－5＝9.


【变式训练2-2】（20120·烟台期末）已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，若eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))(O为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为( )


A.eq \f(\r(6),6) B．－eq \f(\r(6),6)


C．±eq \f(\r(6),6) D．±eq \r(6)


【分析】利用向量数量积的计算公式变形和已知条件，将坐标带代入计算即可.


【解答】∵eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))＝(1，－λ，λ)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，


∴cs 120°＝eq \f(\(OA,\s\up6(→))＋λ\(OB,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→)),|\a\vs4\al(\(OA,\s\up6(→))＋λ\(OB,\s\up6(→))||\(OB,\s\up6(→))|))＝eq \f(2λ,\r(2λ2＋1)×\r(2))＝－eq \f(1,2)，可得λ<0，解得λ＝－eq \f(\r(6),6).





知识点3 空间两点间的距离


【例3-1】（2019·淄博调研）已知△ABC的三个顶为A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为( )


A．2 B．3


C．4 D．5


【分析】先求出BC中点D的坐标，再代入两点间距离公式即可计算.


【解答】∵B(4，－3,7)，C(0,5,1)，


∴BC边上的中点D(2,1,4)．又A(3,3,2)，


∴|AD|＝ eq \r(2－32＋1－32＋4－22)＝3.


【变式训练3-1】（2019秋•温州期中）点，2，是空间直角坐标系中的一点，点关于轴对称的点的坐标为 ， ．


【分析】点，，关于轴对称的点的坐标为，，，利用两点间距离公式能求出．


【解答】解：点，2，是空间直角坐标系中的一点，


点关于轴对称的点的坐标为，，，


．


故答案为：，，，


名师导练


A组-[应知应会]


1．（2019秋•安徽期末）空间直角坐标系中，点，，关于点，2，的对称点的坐标为


A．，1，B．，5，C．，，D．，3，


【分析】利用对称的性质和中点坐标公式直接求解．


【解答】解：设空间直角坐标系中，点，，关于点，2，的对称点的坐标为，，，


则，解得，，，


点坐标为，5，．


故选：．


2．（2019秋•金牛区校级期中）点，2，关于平面的对称点为


A．，，B．，2，C．，，D．，2，


【分析】根据点，，关于平面的对称点为，，，写出即可．


【解答】解：点，2，关于平面的对称点为，2，．


故选：．


3．（2019春•东阳市校级月考）已知点，，，则点关于原点的对称点坐标为


A．，2，B．，2，C．，，D．，2，


【分析】点，，关于原点对称的点的坐标为，，．


【解答】解：点，，，


点关于原点的对称点坐标为，2，．


故选：．


4．（2019秋•茂名期末）已知向量及则等于


A．，1，B．，5，C．，，D．，，


【分析】根据空间向量的坐标运算，求和即可．


【解答】解：由向量，，


所以，1，．


故选：．


5．（2019春•高安市校级期末）已知空间向量


A．B．C．2D．0


【分析】利用空间向量运算法则、向量相等的性质直接求解．


【解答】解：空间向量，，，，1，，，0，，，


，，，0，，


，解得，，，


．


故选：．


6．（2019秋•丰台区期末）已知，3，，，5，，那么向量


A．，，B．，2，C．，8，D．，15，


【分析】利用向量即可得出．


【解答】解：向量，5，，3，，2，，


故选：．


7．（多选）（2019秋•三明期末）如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则





A．点的坐标为，5，


B．点关于点对称的点为，8，


C．点关于直线对称的点为，5，


D．点关于平面对称的点为，5，


【分析】利用空间点的对称性即可得出．


【解答】解：由图形及其已知可得：点的坐标为，5，，点，5，关于点对称的点为，5，，


点关于直线对称的点为，5，，


点，5，关于平面对称的点为，5，．


因此正确．


故选：．


8．（2019秋•公安县期末）在空间直角坐标系中，已知两点，1，与，，关于坐标平面对称，则 ．


【分析】根据空间直角坐标系坐标的对称的结论：点，，关于平面对称的点坐标为，，，可知答案．


【解答】解：在空间直角坐标系中，


两点，1，与，，关于坐标平面对称，


，，


．


故答案为：．


9．（2019秋•温州期末）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，那么，在空间直角坐标系中，，2，关于轴的对称轴点坐标为 ，若点，，关于平面的对称点为点，则 ．


【分析】在空间直角坐标系中，，2，关于轴的对称轴点坐标为横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原不的相反数，若点，，关于平面的对称点为点，横、纵坐标均不变，竖坐标变为原不的相反数，再由两点间距离公式能求出．


【解答】解：在空间直角坐标系中，，2，关于轴的对称轴点坐标为，，，


若点，，关于平面的对称点为点，


则，，，


．


故答案为：，，，．


10．（2019秋•浙江期中）空间直角坐标系中，点，，关于轴的对称点坐标是 ； ．


【分析】根据空间直角坐标系中，点，，关于轴的对称点坐标是，，；


以及两点间的距离公式，计算即可．


【解答】解：空间直角坐标系中，点，，关于轴的对称点坐标是，1，；


．


故答案为：，1，，．


11．（2019秋•兴庆区校级期末）已知，，，，0，，，0，，则 ．


【分析】进行向量坐标的加法和数乘运算即可．


【解答】解：，0，，，．


故答案为：，，．


12．（2019秋•辽阳期末）已知向量，，则 ．


【分析】利用空间向量坐标运算法则直接求解．


【解答】解：，，


，1，．


故答案为：，1，．


13．（2019秋•越秀区期末）已知点，2，和向量，4，，若，则点的坐标是 ．


【分析】设，，，由向量坐标运算法则和向量相等的定义得，，，8，，由此能求出点坐标．


【解答】解：点，2，和向量，4，，，


设，，，则，，，8，，


解得，，，


点的坐标，10，．


故答案为：，10，．


14．（2019秋•黄浦区校级月考）已知向量，则


【分析】先利用向量坐标运算法则求出，由此能求出．


【解答】解：向量，


，3，，


．


故答案为：13．


15．（2018秋•青铜峡市校级月考）已知点，关于点，2，的对称点分别为，，若，3，，，1，，求点的坐标．


【分析】由题意可知，且是线段和的中点，根据向量坐标运算性质即可得出．


【解答】解：由题意可知，且是线段和的中点，


设，，，则


所以，解得．


点的坐标为，2，．


16．（2019秋•福建期中）已知空间三点，2，，，1，，，0，


（1）求向量的夹角的余弦值，


（2）若向量垂直，求实数的值．


【分析】（1），，，，，，计算可得．


（2）向量垂直，可得，即可得出．


【解答】解：（1），，，，，，


，．


．


．


（2）向量垂直，


，


，


解得．


17．（2019秋•扶余县校级月考）（Ⅰ）设向量，5，，，0，，，0，，求：、．


（Ⅱ）已知点，，和向量，2，求点坐标，使向量与同向，且．


【分析】（Ⅰ）利用空间向量运算法则能求出、．


（Ⅱ）点，，和向量，2，，设点，，，由向量与同向，且，列出方程组能求出点坐标．


【解答】解：（Ⅰ）向量，5，，，0，，，0，，


，5，，0，


，5，．


，5，，0，，0，，5，．


（Ⅱ）点，，和向量，2，，设点，，，


向量与同向，且，


，


解得，，，


点坐标为，2，．


B组-[素养提升]


1.（2019秋•襄阳期中）已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，2，，则它在，，下的坐标为


A．B．C．D．


【分析】可设向量，0，，，1，，，0，；由此求出向量、，再设，列方程组求出、和即可．


【解答】解：设向量，0，，，1，，，0，；


则向量，1，，，，，


又向量，2，，


不妨设，


则，2，，，，


即，


解得，


所以向量在，，下的坐标为，，．


故选：．


2. （2019·安庆质检）已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．


(1)若eq \(AP,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，且|eq \(AP,\s\up6(→))|＝2eq \r(14)，求点P的坐标；


(2)求以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))为邻边的平行四边形的面积．


【解析】(1)∵eq \(AP,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，


∴设eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，


又eq \(BC,\s\up6(→))＝(3，－2，－1)，


∴eq \(AP,\s\up6(→))＝(3λ，－2λ，－λ)，


又|eq \(AP,\s\up6(→))|＝ eq \r(9λ2＋4λ2＋λ2)＝2eq \r(14)，得λ＝±2，


∴eq \(AP,\s\up6(→))＝(6，－4，－2)或eq \(AP,\s\up6(→))＝(－6,4,2)．


又A(0,2,3)，


设P(x，y，z)，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－0＝6，,y－2＝－4，,z－3＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－0＝－6，,y－2＝4，,z－3＝2，))


得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝－2，,z＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－6，,y＝6，,z＝5.))


∴P(6，－2,1)或(－6,6,5)．


(2)∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1,3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，－3,2)，


cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|))＝eq \f(－2＋3＋6,\r(14)×\r(14))＝eq \f(1,2)，


∴∠BAC＝60°.


∴以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))为邻边的平行四边行的面积


S＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|sin 60°＝14×eq \f(\r(3),2)＝7eq \r(3).