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    2020年高中数学人教A版必修第一册课时作业 5.5.1.3《两角和与差的正切公式》(含答案) 练习
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    高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换学案

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换学案,共6页。

    《两角和与差的正切公式》


    、选择题


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 计算tan 285°的值等于( )


    A.2+eq \r(3) B.2-eq \r(3) C.-2-eq \r(3) D.-2+eq \r(3)





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 若tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,则tan 2α=( )


    A.eq \f(4,7) B.-eq \f(4,7) C.eq \f(1,2) D.-eq \f(1,2)





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 设A,B,C为三角形的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实根,则△ABC为( )


    A.等边三角形 B.等腰直角三角形


    C.锐角三角形 D.钝角三角形





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 若eq \f(sin α+cs α,sin α-cs α)=eq \f(1,2),则tan(2α+eq \f(π,4))=( )


    A.-7 B.7 C.-eq \f(1,7) D.eq \f(1,7)





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知cs α=-eq \f(4,5),且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)),则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)\r()-α))等于( )


    A.-eq \f(1,7) B.-7 C.eq \f(1,7) D.7





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知A+B=45°,则(1+tan A)(1+tan B)的值为( )


    A.1 B.2 C.-2 D.不确定





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知tan(α+β)=eq \f(2,5),taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,4)))=eq \f(1,4),则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))的值为( )


    A.eq \f(3,22) B.eq \f(22,13) C.eq \f(13,18) D.eq \f(1,6)





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 A,B,C是△ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是( )


    A.钝角三角形 B.锐角三角形


    C.直角三角形 D.无法确定





    、填空题


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 计算taneq \f(11π,12)=________.





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 化简:eq \f(1-\r(3)tan 75°,\r(3)+tan 75°)=________.








    LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知角α,β均为锐角,且cs α=eq \f(3,5),tan(α-β)=-eq \f(1,3),则tan β=________.








    LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图,在△ABC中,AD⊥BC,D为垂足,AD在△ABC的外部,且BD∶CD∶AD=2∶3∶6,则tan∠BAC=________.








    、解答题


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 求下列各式的值:


    (1)eq \f(cs 75°-sin 75°,cs 75°+sin 75°);


    (2)eq \f(1-tan 27°tan 33°,tan 27°+tan 33°).
































    LISTNUM OutlineDefault \l 3 若锐角α,β满足(1+eq \r(3)tan α)(1+eq \r(3)tan β)=4,求α+β的值.






























































    LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)+α))=eq \r(2),taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,3)))=2eq \r(2),求:


    (1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+β-\f(π,4)))的值;


    (2)tan(α+β)的值.









































    LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知tan(eq \f(π,4)+α)=2,tan(α-β)=eq \f(1,2),α∈(0,eq \f(π,4)),β∈(-eq \f(π,4),0).


    (1)求tan α的值;


    (2)求eq \f(1,2sin αcs α+cs2α)的值;


    (3)求2α-β的值.
































    答案解析


    LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为:C.





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:B.





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:D.


    因为tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实根,


    所以tan A+tan B=eq \f(5,3),tan Atan B=eq \f(1,3),


    所以tan C=-tan(A+B)=-eq \f(tan A+tan B,1-tan Atan B)=eq \f(\f(5,3),\f(1,3)-1)=-eq \f(5,2)<0,


    所以eq \f(π,2)<C<π,故选D.





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:B.


    解析:因为eq \f(sin α+cs α,sin α-cs α)=eq \f(1,2),所以eq \f(tan α+1,tan α-1)=eq \f(1,2),


    解方程得tan α=-3.又eq \f(tan α+1,tan α-1)=eq \f(tan α+tan \f(π,4),tan αtan \f(π,4)-1)=-tan(α+eq \f(π,4))=eq \f(1,2),


    所以tan(α+eq \f(π,4))=-eq \f(1,2),


    tan(2α+eq \f(π,4))=tan[(α+eq \f(π,4))+α]=7.





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:D;





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:B;


    解析:(1+tan A)(1+tan B)


    =1+(tan A+tan B)+tan Atan B


    =1+tan(A+B)(1-tan Atan B)+tan Atan B


    =1+1-tan Atan B+tan Atan B=2.





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:A;


    解析:因为α+eq \f(π,4)=(α+β)-(β-eq \f(π,4)),


    所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))=eq \f(tanα+β-tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,4))),1+tanα+βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,4))))=eq \f(\f(2,5)-\f(1,4),1+\f(2,5)×\f(1,4))=eq \f(3,22).





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:A;


    解析:∵tan A+tan B=eq \f(5,3),tan A·tan B=eq \f(1,3),


    ∴tan(A+B)=eq \f(5,2),∴tan C=-tan(A+B)=-eq \f(5,2),


    ∴C为钝角,即△ABC为钝角三角形.





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:-2+eq \r(3);


    解析:[taneq \f(11π,12)=-taneq \f(π,12)=-taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)-\f(π,6)))


    =-eq \f(tan\f(π,4)-tan\f(π,6),1+tan\f(π,4)tan\f(π,6))=-eq \f(1-\f(\r(3),3),1+\f(\r(3),3))=-2+eq \r(3).]





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:-1;





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:3;





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:eq \f(1,7);


    解析:∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD=2∶3∶6,


    ∴tan∠BAD=eq \f(BD,AD)=eq \f(1,3),tan∠CAD=eq \f(CD,AD)=eq \f(1,2),


    tan∠BAC=tan(∠CAD-∠BAD)=eq \f(tan∠CAD-tan∠BAD,1+tan∠CADtan∠BAD)=eq \f(1,7).]





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 解:


    (1)原式=eq \f(1-tan 75°,1+tan 75°)=eq \f(tan 45°-tan 75°,1+tan 45°tan 75°)


    =tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan 30°=-eq \f(\r(3),3).


    (2)原式=eq \f(1,tan27°+33°)=eq \f(1,tan 60°)=eq \f(\r(3),3).





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 解:∵(1+eq \r(3)tan α)(1+eq \r(3)tan β)


    =1+eq \r(3)(tan α+tan β)+3tan αtan β=4,


    ∴tan α+tan β=eq \r(3)(1-tan αtan β),


    ∴tan(α+β)=eq \f(tan α+tan β,1-tan αtan β)=eq \r(3).


    又∵α,β均为锐角,∴0°<α+β<180°,


    ∴α+β=60°.





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 解:(1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+β-\f(π,4)))=taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,12)))+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,3)))))


    =eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,12)))+tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,3))),1-tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,12)))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β-\f(π,3))))=eq \f(\r(2)+2\r(2),1-\r(2)×2\r(2))=-eq \r(2).


    (2)tan(α+β)=taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+β-\f(π,4)))+\f(π,4)))


    =eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+β-\f(π,4)))+tan \f(π,4),1-tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+β-\f(π,4)))tan \f(π,4))=eq \f(-\r(2)+1,1+\r(2)×1)=2eq \r(2)-3.





    LISTNUM OutlineDefault \l 3 解:(1)tan(eq \f(π,4)+α)=eq \f(1+tan α,1-tan α)=2,得tan α=eq \f(1,3).


    (2)eq \f(1,2sin αcs α+cs2α)=eq \f(sin2α+cs2α,2sin αcs α+cs2α)=eq \f(tan2α+1,2tan α+1)=eq \f(2,3).


    (3)因为tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]


    =eq \f(tan α+tanα-β,1-tan αtanα-β)=1,


    又α∈(0,eq \f(π,4)),β∈(-eq \f(π,4),0),


    得2α-β∈(0,eq \f(3π,4)),所以2α-β=eq \f(π,4).








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