2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第二章第七节　函数的图象 学案

第七节　函数的图象

2019考纲考题考情

1．利用描点法作函数图象

基本步骤是列表、描点、连线。

首先：①确定函数的定义域；

②化简函数解析式；

③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)。

其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线。

2．利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换：

y＝f(x)y＝f(x－a)；

y＝f(x)y＝f(x)＋b。

(2)伸缩变换：

y＝f(ωx)；

y＝f(x)

y＝Af(x)。

(3)对称变换：

y＝f(x)y＝－f(x)；

y＝f(x)y＝f(－x)；

y＝f(x)y＝－f(－x)。

(4)翻折变换：

y＝f(x)y＝f(|x|)；

y＝f(x)y＝|f(x)|。

1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作。如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换。

2．上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上减下加”进行操作。但平时我们是对y＝f(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”。

3．记住几个重要结论

(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称。

(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称。

(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称。

一、走进教材

1．(必修1P112A组T4改编)李明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶。则与以上事件吻合最好的图象是(　　)

解析　距学校的距离应逐渐减小，由于李明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降得快。

答案　C

2．(必修1P24A组T7改编)下列图象是函数y＝的图象的是(　　)

解析　其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的两部分组成。故选C。

答案　C

二、走近高考

3．(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(　　)

解析　易得函数y＝－x4＋x2＋2为偶函数，y′＝－4x3＋2x＝－2x(x＋1)(x－1)，令y′>0，即2x(x＋1)(x－1)<0，解得x<－或0<x<，所以当y′<0时，－<x<0或x>，所以函数y＝－x4＋x2＋2在，上单调递增，在，上单调递减。故选D。

解析：令x＝0，则y＝2，排除A，B项；令x＝，则y＝－＋＋2＝＋2，令x＝，则y＝－＋＋2＝＋2，排除C。故选D。

答案　D

三、走出误区

微提醒：①函数图象的平移、伸缩法则记混出错；②不注意函数的定义域出错。

4．把函数f(x)＝lnx的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________。

解析　根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y＝ln。

答案　y＝ln

5．设f(x)＝2－x，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y＝x对称，h(x)的图象由g(x)的图象向右平移1个单位得到，则h(x)＝________。

解析　与f(x)的图象关于直线y＝x对称的图象所对应的函数为g(x)＝－log2x，再将其图象右移1个单位得到h(x)＝－log2(x－1)的图象。

答案　－log2(x－1)

6．请画出函数y＝elnx＋|x－1|的图象。

解　y＝其图象如图所示。

　考点一   作函数的图象

【例1】　作出下列函数的图象。

(1)y＝；

(2)y＝|x＋1|；

(3)y＝|log2x－1|；

(4)y＝x2－2|x|－1。

解　(1)易知函数的定义域为{x∈R|x≠－1}。

y＝＝－1＋，因此由y＝的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y＝的图象，如图①所示。

(2)先作出y＝x，x∈[0，＋∞)的图象，然后作其关于y轴的对称图象，再将整个图象向左平移1个单位长度，即得到y＝|x＋1|的图象，如图②所示。

(3)先作出y＝log2x的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方来，即得到y＝|log2x－1|的图象，如图③所示。

(4)y＝图象如图。

【互动探究】　将本例(4)改为y＝|x2－2x－1|，其图象怎样画出？

解　y＝图象如图所示。

函数图象的画法

1．直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出。

2．转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象。

3．图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出。

提醒：(1)画函数的图象一定要注意定义域。

(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响。

【变式训练】　画出下列函数的图象。

(1)y＝elnx；

(2)y＝|log2(x＋1)|；

(3)y＝|x－2|·(x＋1)。

解　(1)因为函数的定义域为{x|x>0}且y＝elnx＝x(x>0)，所以其图象如图所示。

(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图所示。

(3)当x≥2，即x－2≥0时，

y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝2－；

当x<2，即x－2<0时，

y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－2＋。

所以y＝

这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)。

考点二   识别函数的图象

【例2】　(2018·浙江高考)函数y＝2|x|sin2x的图象可能是(　　)

　 A　　 　　 B　　　　　C　　　　　D

解析　设f(x)＝2|x|sin2x，其定义域关于坐标原点对称，又f(－x)＝2|－x|·sin(－2x)＝－f(x)，所以y＝f(x)是奇函数，故排除A，B；令f(x)＝0，所以sin2x＝0，所以2x＝kπ(k∈Z)，所以x＝(k∈Z)，故排除C。故选D。

答案　D

1．抓住函数的性质，定性分析：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性。

2．抓住函数的特征，定量计算：

从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题。

【变式训练】　(2019·武汉市调研测试)函数f(x)＝e|x|－2x2在[－2,2]上的图象大致为(　　)

　　　 A　　　　　　 　　　　　B

　　　 C　　　　　　 　　　　　D

解析　函数f(x)＝e|x|－2x2在[－2,2]上是偶函数，其图象关于y轴对称。f(2)＝e2－8，－1<e2－8<0，排除C，D。当x∈[0,2]时，f′(x)＝ex－4x，令f′(x)＝0，得ex＝4x。在同一坐标系中，作出函数y1＝ex，y2＝4x的图象(图略)，可得两图象在[0,2]上有一个交点，即f′(x)在[0,2]上有一个零点，设为x0，当x∈[0，x0]时，f′(x)＝ex－4x≥0，f(x)为增函数，当x∈[x0,2]时，f′(x)＝ex－4x≤0，f(x)为减函数，排除B。故选A。

答案　A

考点三   函数图象的应用微点小专题

方向1：研究函数的性质

【例3】　(2019·贵阳市监测考试)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)

A．函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称

B．函数f(x)在(－∞，1)上是增函数

C．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称

D．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴

解析　由题知，函数f(x)＝的图象是由函数y＝的图象向右平移1个单位长度得到的，可得函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，A正确；函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，B错误；易知函数f(x)＝的图象不关于直线x＝1对称，C错误；由函数f(x)的单调性及函数f(x)的图象，可知函数f(x)的图象上不存在两点A，B，使得直线AB∥x轴，D错误。故选A。

答案　A

利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系。如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性。

方向2：求参数的取值范围

【例4】　(2019·南宁市摸底联考)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1，若在区间(－2,6)内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>0且a≠1)有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是(　　)

A. B．(1,4)

C．(1,8) D．(8，＋∞)

解析　因为∀x∈R，f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x＋4)＝f(2＋(x＋2))＝f(2－(x＋2))＝f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是一个周期函数，且T＝4。又因为当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1＝()－x－1，所以当x∈[0,2]时，f(x)＝f(－x)＝()x－1，于是x∈[－2，2]时，f(x)＝()|x|－1，根据f(x)的周期性作出f(x)的图象如图所示。若在区间(－2,6)内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0有且只有4个不同的根，则a>1且y＝f(x)与y＝loga(x＋2)(a>1)的图象在区间(－2,6)内有且只有4个不同的交点，因为f(－2)＝f(2)＝f(6)＝1，所以对于函数y＝loga(x＋2)(a>1)，当x＝6时，loga8<1，解得a>8，即实数a的取值范围是(8，＋∞)。故选D。

答案　D

当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象的变化确定参数的取值范围。

【题点对应练】　

1．(方向1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)

B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)

C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)

D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)

解析　f(x)＝画出函数f(x)的图象，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减。故选C。

答案　C

2．(方向1)函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为________。

解析　在上，y＝cosx>0，在上，y＝cosx<0。由f(x)的图象知，在上，<0。因为f(x)为偶函数，y＝cosx也是偶函数，所以y＝为偶函数，所以<0的解集为∪。

答案　∪

3．(方向2)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________。

解析　作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象如图所示，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)。

答案　[－1，＋∞)

1．(配合例2使用)函数f(x)＝的图象大致是(　　)

　　　　A　　　　　　　　　　B

　　　　C　　　　　　　　　　D

解析　易知函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}，f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数。当x∈(0,1)时，f(x)＝>0，排除D；当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝<0，排除A，C。故选B。

答案　B

2．(配合例3使用)已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是(　　)

A．(1,2 017) B．(1,2 018)

C．[2,2 018] D．(2,2 018)

解析　设f(a)＝f(b)＝f(c)＝m，作出函数f(x)的图象与直线y＝m，如图所示，不妨设a<b<c，当0≤x≤1时，函数f(x)的图象与直线y＝m的交点分别为A，B，由正弦曲线的对称性，可得A(a，m)与B(b，m)关于直线x＝对称，因此a＋b＝1，令log2 017x＝1，解得x＝2 017，结合图象可得1<c<2 017，因此可得2<a＋b＋c<2 018，即a＋b＋c∈(2,2 018)。故选D。

答案　D

3．(配合例4使用)已知函数f(x)＝若函数f(x)的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k的取值范围是(　　)

A．(－∞，0)   B.

C．(0，＋∞) D．(0,1)

解析　依题意，函数f(x)的图象上存在2对关于原点对称的点，如图，可作出函数y＝－ln(－x)(x<0)的图象关于原点对称的函数y＝lnx(x>0)的图象，使得它与直线y＝kx－1(x>0)的交点个数为2即可，当直线y＝kx－1与y＝lnx的图象相切时，设切点为(m，lnm)，又y＝lnx的导数为y′＝，则解得可得切线的斜率为1，结合图象可知k∈(0,1)时，函数y＝lnx的图象与直线y＝kx－1有2个交点，即函数f(x)的图象上关于原点对称的点有2对。故选D。

答案　D