2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第31讲平面向量的基本定理与坐标表示

第31讲　平面向量的基本定理与坐标表示

1．了解平面向量的基本定理及其意义，了解基底的概念，会进行向量的正交分解及其坐标表示．

2．理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．

3．理解用坐标表示的平面向量共线的条件，能用向量的坐标形式判断两向量及三点是否共线．

知识梳理

1．平面向量的基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个　不共线　向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝　λ1e1＋λ2e2　，我们把　不共线　的向量e1，e2叫做表示这一平面内的所有向量的一组　基底　.

2．正交分解

把一个向量分解为两个　互相垂直　的向量，叫做把向量正交分解．

3．向量的直角坐标

在平面直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴　方向相同　的两个　单位　向量i，j作为基底，对于平面内的向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，　(x，y)　就叫做在基底i，j下的坐标．

4．向量的直角坐标运算

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

(1)a＋b＝　(x1＋x2，y1＋y2)　；

(2)a－b＝　(x1－x2，y1－y2)　；

(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝　(λx，λy)　；

(4)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝　(x2－x1，y2－y1)　.

5．平面向量共线的坐标表示

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是　x1y2－x2y1＝0　.

1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2，y2≠0，则a∥b＝.

3．中点与重心的坐标公式

(1)若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)为P1P2的中点，则点P的坐标为(，)；

(2)设三角形的三个顶点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，重心G的坐标为(，)．

热身练习

1．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(B)

A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)

B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)

C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)

D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)

　 由题意知，A选项中e1＝0.C，D项中的两向量均共线，都不符合基底条件，故选B.

事实上，a＝(3,2)＝2e1＋e2.

2．设i，j分别为与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，若a＝2i＋3j，则向量a的坐标为(A)

A．(2,3)  B．(3,2)

C．(－2，－3)  D．(－3，－2)

　 由向量坐标的定义可知a的坐标为(2,3)．

3．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝(B)

A．－a＋b  B.a－b

C．－a＋b  D.a＋b

　 由平面向量的基本定理可知，可设c＝xa＋yb.

即(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)．

所以解得

所以c＝a－b.

4．(2018·长春二模)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(－2,0)，则|a＋2b|＝(A)

A．3  B．3

C．2   D．5

　 由题意a＋2b＝(－3，－3)，

所以|a＋2b|＝＝3.

5．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝　－6　.

　 因为a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，

所以－2m－4×3＝0，所以m＝－6.

 平面向量基本定理的应用

向量a，b，c在正方形网中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.

以向量a，b的公共点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，

可得a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，

因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，

即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)＝(－λ＋6μ，λ＋2μ)，

所以解得所以＝4.

4

(1)平面内的任何向量都可由基底唯一表示出来，因此，若有c＝λa＋μb，则可转化为确定待定参数λ，μ的问题，从而可通过建立方程组利用解方程的方法进行解决．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

1．(2018·洛阳三模)如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(D)

A．2  B.

C.  D.

因为＝λ＋μ

＝λ(＋)＋μ(＋)

＝λ(＋)＋μ(－)

＝(λ－μ)＋(λ＋μ)，

所以 解得 所以λ＋μ＝.

 向量的坐标运算

(1)已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为(1,0)，(0,2)，(－1，－2)，则顶点D的坐标为__________．

(2)向量a＝(2，－9)，向量b＝(－3，3)，则与a－b同向的单位向量为(　　)

A．(，－)  B．(－，)

C．(，－)  D．(－，)

(1)设D的坐标为(x，y)，

因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝，

所以(0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x，y)，

所以(－1,2)＝(－1－x，－2－y)，

所以所以

所以D的坐标为(0，－4)．

(2)由已知得a－b＝(2，－9)－(－3,3)＝(5，－12)．

所以|a－b|＝＝13，

所以与a－b同向的单位向量为(a－b)＝(，－)．

(1)(0，－4)　　(2)A

(1)向量相等就是两向量的坐标对应相等．

(2)利用向量的坐标运算可将向量问题代数化．

(3)注意如下结论的运用：

①当向量的起点在原点时，P点的坐标就是向量的坐标；

②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量＝(x2－x1，y2－y1)；

③与同向的单位向量为.

2．(1)(经典真题)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(A)

A．(－7，－4)  B．(7,4)

C．(－1,4)  D．(1,4)

(2)(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝　　.

(1)设C(x，y)，则＝(x－0，y－1)，

所以所以得C(－4，－2)，

所以＝(－4－3，－2－2)＝(－7，－4)．

(2)由题易得2a＋b＝(4,2)，

因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝.

 向量共线、平面向量的基本定理的应用

如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，试用向量方法求AC和OB交点P的坐标．

(方法一)由O，P，B三点共线，

可设＝λ＝(4λ，4λ)，

因为＝－＝(4λ－4,4λ)，

又＝－＝(－2,6)，

由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，

解得λ＝，

所以＝λ＝(4,4)＝(3,3)．

(方法二)设P(x，y)，

则＝(x，y)，＝(4,4)，

因为，共线，所以4x－4y＝0，①

又＝(x－2，y－6)，＝(2，－6)，

且向量，共线，

所以－6(x－2)－2(y－6)＝0，②

解①和②组成的方程组得x＝3，y＝3，

所以P的坐标为(3,3)．

　　 (1)本题运用向量共线的充要条件，求得了直线OB和BC方程，是向量在解析几何中的应用的体现．

(2)解决向量共线(平行)的问题，可从两向量平行的几何表示出发，也可从坐标形式出发，一般来说，若坐标已知，采用坐标形式要简单些．

3．(2018·三元区月考)如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交其对角线AC于K，其中，＝，＝，＝λ，则λ的值为(A)

A.  B.

C.  D.

因为＝，＝，

所以＝，＝2，

因为＝＋，

＝λ＝λ(＋)＝λ(＋2)

＝λ＋2λ，

由E，F，K三点共线可得，λ＋2λ＝1，解得λ＝.

1．平面向量的基本定理就是可以用一组基底表示平面内的任意一个向量，这种表示是唯一的，但基底的选择却不唯一．

用向量解决几何问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

2．向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示，它使向量的运算完全化为代数运算，实现了形与数的紧密结合，为进一步用代数的方法研究向量及几何问题创造了条件．

3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0.对共线的充要条件要注意：①a∥b的充要条件不能表示成＝，因为y1，y2可能为0；②a∥b的充分条件不能错记为x1x2－y1y2＝0，也不能与a⊥b的充要条件x1x2＋y1y2＝0混淆．