知识点一　　一元二次不等式的解法

1．(必修5P103A组第2题改编)已知集合A＝{x|x－1≤0}，B＝

{x|x2－x－6<0}，则A∩B＝(　C　)

A．(－2,3)   B．(－2,2)

C．(－2,2]   D．[－2,2]

解析：A＝{x|x≤2}，B＝{x|－2<x<3}，所以A∩B＝{x|－2<x≤2}＝(－2，2]．

2．不等式≤0的解集为(　A　)

A.

B.

C.∪[1，＋∞)

D.∪[1，＋∞)

解析：由数轴标根法可知原不等式的解集为.选A.

3．设一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－1<x<2}，则ab的值为(　B　)

A．1   B．－

C．4   D．－

解析：因为一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－1

<x<2}．所以方程ax2＋bx＋1＝0的解为－1,2.

所以－1＋2＝－，(－1)×2＝.

所以a＝－，b＝，所以ab＝－.

知识点二　　一元二次不等式恒成立的条件

1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：(x∈R)．

2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：(x∈R)．

4．(必修5P81B组第2题改编)若函数y＝的定义域为R，则m的取值范围是m≥.

解析：要使y＝有意义，即mx2－(1－m)x＋m≥0对∀x∈R恒成立，

则解得m≥.

5．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．

解析：∵不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a2－4×4>0，即a2>16，∴a>4或a<－4.

1．一元二次不等式的解法技巧

求不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，先求出对应方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，再根据口诀：大于取两边，小于取中间求解集；若a<0，转化为－ax2－bx－c<0再求解．

2．分式不等式求解

(1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)．

(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．

3．不等式恒成立问题若限定自变量x的取值范围，则需结合图象解决．

考向一　　一元二次不等式的解法

方向1　一元二次不等式的解法

【例1】　(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于(　　)

A．(0,4]   B．[0,4)

C．[－1,0)   D．(－1,0]

(2)解不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.

【解析】　(1)因为M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1<x<4}，所以M∩N＝[0,4)．

(2)若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.

若a<0，则原不等式等价于(x－1)>0，解得x<或x>1.

若a>0，原不等式等价于(x－1)<0.

①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；

②当a>1时，<1，解(x－1)<0得<x<1；

③当0<a<1时，>1，解(x－1)<0得1<x<.

综上所述：当a<0时，解集为；当a＝0时，解集为{x|x>1}；当0<a<1时，解集为；当a＝1时，解集为∅；当a>1时，解集为.

【答案】　(1)B　(2)见解析

方向2　利用函数性质解不等式

【例2】　(1)(2019·山东聊城一模)已知函数f(x)＝|x|(10x－10－x)，不等式f(1－2x)＋f(3)>0的解集为(　　)

A．(－∞，2)   B．(2，＋∞)

C．(－∞，1)   D．(1，＋∞)

(2)(2019·河南豫北名校联考)已知函数f(x)＝e1＋x＋e1－x，则满足f(x－2)<e2＋1的x的取值范围是(　　)

A．x<3   B．0<x<3

C．1<x<e   D．1<x<3

【解析】　(1)由于f(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数，且为单调递增函数，故f(1－2x)＋f(3)>0⇒f(1－2x)>－f(3)＝f(－3)，所以1－2x>－3，解得x<2，故选A.

(2)∵f(x)＝e1＋x＋e1－x＝e·ex＋＝e，令t＝ex，可得y＝e，内函数t＝ex为增函数，而外函数y＝e在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，∴函数f(x)＝e1＋x＋e1－x的减区间为(－∞，0)，增区间为(0，＋∞)．又f(x)＝e1＋x＋e1－x为偶函数，∴由f(x－2)<e2＋1，得f(|x－2|)<f(1)，得|x－2|<1，解得1<x<3.故选D.

【答案】　(1)A　(2)D

1.解一元二次不等式的一般步骤

1化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.

2判：计算对应方程的判别式.

3求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根.

4写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.

2.例2根据条件判断函数的奇偶性和单调性，结合奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可.　

1．(方向1)若集合M＝{x|x2＋5x－14<0}，N＝{x|1<x<4}，则M∩N等于(　D　)

A．∅   B．(1,4)

C．(2,4)   D．(1,2)

解析：∵M＝{x|x2＋5x－14<0}＝{x|－7<x<2}，N＝{x|1<x<4}，∴M∩N＝{x|1<x<2}，故选D.

2．(方向1)已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－3<x<2}，则不等式bx2－5x＋a>0的解集为(　B　)

解析：

3．(方向2)(2019·福建四地六校联考)已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是(　D　)

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

C．(－1,2)

D．(－2,1)

解析：易知f(x)在R上是增函数，∵f(2－x2)>f(x)，∴2－x2>x，解得－2<x<1，则实数x的取值范围是(－2,1)．故选D.

考向二　　一元二次不等式恒成立问题

方向1　形如f(x)≥0(x∈R)恒成立问题

【例3】　已知不等式mx2－2x－m＋1<0，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

【解】　不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．

当m＝0时，1－2x<0，则x>，不满足题意；

当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，

需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，

即不等式组的解集为空集，即m无解．综上可知不存在这样的m.

方向2　形如f(x)≥0(x∈[a，b])恒成立问题

【例4】　设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．

【解】　要使f(x)<－m＋5在[1,3]上恒成立，则mx2－mx＋m－6<0，即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．

有以下两种方法：

解法1：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．

当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6<0.所以m<，则0<m<.

当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)＝m－6<0.所以m<6.所以m<0.

综上所述，m的取值范围是.

解法2：因为x2－x＋1＝2＋>0，又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.

因为函数y＝＝

在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．

因为m≠0，所以m的取值范围是

 .

　　恒成立问题求解思路

(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．

(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])的不等式确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围．

1．(方向1)(2019·汕头一模)已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是(　A　)

A．[0,1]   B．(0,1]

C．(－∞，0)∪(1，＋∞)   D．(－∞，0]∪[1，＋∞)

解析：当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0化为8≥0，其对任意的x∈R恒成立；当k<0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0不能恒成立；当k>0时，要使不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意的x∈R恒成立，对于方程kx2－6kx＋k＋8＝0，需Δ＝36k2－4(k2＋8k)≤0，得0<k≤1.综上，实数k的取值范围是[0,1]，故选A.

2．(方向2)若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是(　B　)

A．[－4,1]   B．[－4,3]

C．[1,3]   D．[－1,3]

解析：原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1<a≤3.综上可得－4≤a≤3.