知识点一　　　　二项式定理

1．二项式定理

公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理．

2．二项展开式的通项

Tk＋1＝Can－kbk为展开式的第k＋1项．

1．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(　B　)

A．80  B．40

C．20  D．10

解析：Tk＋1＝Can－kbk＝C15－k(2x)k＝2kCxk，令k＝2，则可得x2的系数为22×10＝40.

2．(2018·全国卷Ⅲ)(x2＋)5的展开式中x4的系数为(　C　)

A．10  B．20

C．40  D．80

解析：Tr＋1＝C(x2)5－r()r＝C2rx10－3r，由10－3r＝4，得r＝2，所以x4的系数为C×22＝40.

3．若C＋3C＋32C＋…＋3n－2C＋3n－1＝85，则n的值为4.

解析：由已知等式，可得C＋3C＋32C＋…＋3nC＝256.

即(1＋3)n＝256，解得n＝4.

知识点二　　　　二项式系数与项的系数

1．二项式系数

二项展开式中各项的系数C(k∈{0,1，…，n})叫做二项式系数．

2．项的系数

项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．

3．二项式系数的性质

4.各二项式系数的和

(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.

二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.

4．(2019·山西八校联考)已知(1＋x)n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　A　)

A．29  B．210

C．211  D．212

解析：由题意得C＝C，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29，故选A.

5．化简C＋C＋…＋C＋…＋C的值为22n－1－1.

解析：(1＋x)2n＝C＋Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2n.

令x＝1得C＋C＋C＋…＋C＋C＝22n；

再令x＝－1得C－C＋C－…＋(－1)rC＋…－C＋C＝0.

两式相加得2(C＋C＋…＋C)＝22n，又C＝1，得C＋C＋…＋C＋…＋C＝－1＝22n－1－1.

1．二项展开式共有n＋1项；各项的次数都等于二项式的幂指数n，等于a与b的指数的和n.

2．通项Tk＋1＝Can－kbk是(a＋b)n的展开式的第k＋1项，而不是第k项，这里k＝0,1，…，n.

3．区别(a＋b)n的展开式中“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．项的系数与a，b有关，可正可负，第k＋1项的二项式系数是C，只与n和k有关，恒为正．

考向一　　　　二项展开式中的特定项或系数

【例1】　(1)(2018·天津卷)在(x－)5的展开式中，x2的系数为________．

(2)n(n∈N*)的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为________．

【解析】　(1)(x－)5的展开式的通项Tr＋1

＝Cx5－r(－)r＝Cx (－)r，

令5－r＝2，得r＝2，所以x2的系数为

C(－)2＝.

(2)由第3项的二项式系数为C＝＝36，

得n＝9，所以其通项公式为

Tr＋1＝rC(9x)9－r·x

＝r99－r·Cx，当9－r＝0，

即r＝6时，可得常数项为699－6C＝84.

【答案】　(1)　(2)84

二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步，根据给出的条件特定项和通项公式，建立方程来确定指数求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r；第二步，根据所求的指数求解所求的项.

(1)设n为正整数，2n的展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为(　B　)

A．16  B．10

C．4  D．2

(2)(2018·浙江卷)二项式(＋)8的展开式的常数项是7.

解析：(1)2n展开式的通项公式为Tr＋1＝C·x2n－rr＝C(－1)rx，令＝0，得r＝，∵n，r均为非负整数，∴n可取10.

(2)该二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx ()r＝C()rx.令＝0，解得r＝2，所以所求常数项为C×()2＝7.

考向二　　　　二项式系数的性质或各项系数和

【例2】　(2019·益阳、湘潭调研考试)若(1－3x)2 018＝a0＋a1x＋…＋a2 018x2 018，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018的值为(　　)

A．22 018－1  B．82 018－1

C．22 018  D．82 018

【解析】　由已知，令x＝0，得a0＝1，令x＝3，得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝(1－9)2 018＝82 018，所以a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝82 018－a0＝82 018－1，故选B.

【答案】　B

(1)“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法．对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1即可．

(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为，偶数项系数之和为.

(1)已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝(　B　)

A．－180  B．180

C．45  D．－45

(2)已知a>0，6的二项展开式中，常数项等于60，则6的展开式中各项系数和为1.(用数字作答)

解析：(1)令t＝1－x，则x＝1－t，所以有(2－t)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a10t10，则Tr＋1＝C210－r(－t)r＝C210－r(－1)rtr，令r＝8，则a8＝C×22＝180.

(2)∵6的通项公式为Tr＋1＝C(－a)rx6－3r，当6－3r＝0时，r＝2，∴常数项是C(－a)2＝60，∴a＝2.令x＝1，得6的二项展开式中各项的系数之和是1.

考向三　　　　多项式展开式中的特定项

方向1　几个多项式和或积的展开式问题

【例3】　(1)已知(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中x3的系数为－2，则a等于(　　)

A．2  B．2

C．－2  D．－1

(2)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________.

【解析】　(1)(1＋ax)3，(1－x)5的展开式中x3的系数分别为a3，C(－1)3，由题可得a3－10＝－2，即a3＝8，解得a＝2.

(2)由题意，得a4是展开式中的一次项的系数，则a4＝C·12·C·22＋C·13·C·21＝16，a5是展开式中的常数项，则a5＝C·13·C·22＝4.

【答案】　(1)B　(2)16　4

方向2　二项展开式的有关问题

【例4】　(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)

A．10  B．20

C．30  D．60

【解析】　解法1：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.

解法2：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.

【答案】　C

1对于几个多项式和的展开式中的特定项系数问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可.

2对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.

3对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决.

1．(方向1)4＋8的展开式中的常数项为(　D　)

A．32  B．34

C．36  D．38

解析：4的展开式的通项为Tk＋1＝C(x3)4－k·k＝C(－2)kx12－4k，令12－4k＝0，解得k＝3，8的展开式的通项为Tr＋1＝C·x8－r·r＝C·x8－2r，令8－2r＝0，得r＝4，所以所求常数项为C(－2)3＋C＝38.

2．(方向2)在(x－－1)4的展开式中，常数项为－5.

解析：易知(x－－1)4的展开式的通项Tr＋1＝C(－1)4－r·(x－)r，又(x－)r的展开式的通项Rm＋1＝C(－x－1)mxr－m＝C(－1)mxr－2m，∴Tr＋1＝C(－1)4－r·

C(－1)mxr－2m，令r－2m＝0，得r＝2m，∵0≤r≤4，∴0≤m≤2，∴当m＝0,1,2时，r＝0,2,4，故常数项为T1＋T3＋T5＝C(－1)4＋C(－1)2·C(－1)1＋C(－1)0·C(－1)2＝－5.