2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第4章第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例


第三节　平面向量的数量积与平面向量应用举例
[考纲传真]　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．
2．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何
意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
3.平面向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a；
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
数量积
a·b＝|a||b|cos θ
a·b＝x1x2＋y1y2
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与
|a||b|的
关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|
≤·

1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．
(　　)
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量． (　　)
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0. (　　)
(4)(a·b)c＝a(b·c)． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2．(教材改编)已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b为(　　)
A．12　　　　B．8　　　　C．－8　　　　D．2
A　[∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
＝|b||a|cos〈a，b〉
＝3×4＝12.]
3．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)
A．－8 B．－6 C．6 D．8
D　[∵a＝(1，m)，b＝(3，－2)，
∴a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b可得
(a＋b)·b＝12－2m＋4＝16－2m＝0，即m＝8.]
4．已知a，b是平面向量，如果|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝2，那么|a－b|＝(　　)
A. B．7 C．5 D．
A　[∵|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝2，∴a2＋b2＋2a·b＝4，即2a·b＝－21.
∴|a－b|＝＝＝.]
5．已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为________．
　[由题意得|a|＝＝2，|b|＝＝2，
a·b＝1×＋×1＝2.
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.]

平面向量数量积的运算

1．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影是(　　)
A．－3　　　B．－　　　C．3　　　、D．
A　[依题意得，＝(－2，－1)，＝(5,5)，·＝－15，||＝，因此向量在方向上的投影是＝＝－3，故选A.]
2．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则·＝(　　)
A．16 B．12 C．8 D．－4
A　[建立如图所示的平面直角坐标系，则A(4,0)，B(0,0)，C(0,6)，D(2,3)．设E(0，b)，因为AE⊥BD，所以·＝0，即(－4，b)·(2,3)＝0，所以b＝，所以E，＝，所以·＝16，故选A.]
3．已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD＝30°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝2BE，CD＝λCF.若·＝－9，则λ的值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
B　[依题意得＝＋＝－，＝＋，因此·＝·＝2－2＋·，于是有×62＋×62×cos 60°＝－9，由此解得λ＝3，故选B．]
[规律方法]　1.向量数量积的两种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.,2.解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，常利用解析法，巧妙构造坐标系，利用坐标求解.
平面向量的夹角与模

►考法1　平面向量的模
【例1】　(1)设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝|a＋b|＝3，则|a＋2b|＝________.
(2)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－，1)，则|2a－b|的最大值为________．
(1)4　(2)4　[(1)因为|a|＝2，|b|＝|a＋b|＝3，
所以(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋9＋2a·b＝9，
所以a·b＝－2，所以|a＋2b|＝＝＝＝4.
(2)由题意得|a|＝1，|b|＝2，a·b＝sin θ－cos θ＝2sin，所以|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b＝4×12＋22－8sin＝8－8sin，所以|2a－b|2的最大值为8－8×(－1)＝16，故|2a－b|的最大值为4(此时θ＝2kπ－，k∈Z)．]
►考法2　平面向量的夹角
【例2】　(1)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)
A. B． C. D．π
(2)(2018·辽南一模)设向量a＝(1，)，b＝(m，)，且a，b的夹角为锐角，则实数m的取值范围是________．
(1)A　(2)(－3,1)∪(1，＋∞)　[(1)∵(a－b)⊥(3a＋2b)，∴(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0，∴a·b＝3a2－2b2，又|a|＝|b|，∴cos〈a，b〉＝＝＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为，故选A.
(2)由a，b的夹角是锐角得a·b＞0且a，b不共线，则解得m＞－3且m≠1，即实数m的取值范围为(－3,1)∪(1，＋∞)．]
[规律方法]　1.求解平面向量模的方法
(1)写出有关向量的坐标，利用公式|a|＝即可；
(2)当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，.
2.求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cos θ＝，注意θ的取值范围为[0，π]；
(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝；
(3)解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解.
(1)(2018·广州一模)已知向量a＝(m,2)，b＝(1,1)，若|a＋b|＝|a|＋|b|，则实数m＝________.
(2)(2017·山东高考)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．
(1)2　(2)　[(1)|a＋b|＝|a|＋|b|两边平方，得2a·b＝2|a||b|，即m＋2＝×，解得m＝2.
(2)由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
|e1－e2|＝
＝＝＝2.
同理|e1＋λe2|＝.
所以cos 60°＝
＝＝＝，
解得λ＝.]
平面向量的应用

【例3】　(1)在△ABC中，已知向量＝(2,2)，||＝2，·＝－4，则△ABC的面积为(　　)
A．4 B．5 C．2 D．3
(2)(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)
A．－2 B．－ C．－ D．－1
(1)C　(2)B　　[(1)∵＝(2,2)，∴||＝2，
∴·＝||||cos A
＝2×2cos A＝－4，
∴cos A＝－，
又A∈(0，π)，∴sin A＝，
∴S△ABC＝||||sin A＝2，故选C.
(2)建立坐标系如图所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)．
设P点的坐标为(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，
∴·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－y)＝2≥2×＝－.
当且仅当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.
故选B．]
[规律方法]　1.用向量法解决平面(解析)几何问题的两种方法：
(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．
2．平面向量与三角函数的综合问题，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式然后求解．
　(1)(2019·厦门模拟)平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，·＝4，点P在边CD上，则·的取值范围是(　　)
A．[－1,8]　　　　　 B．[－1，＋∞)
C．[0,8] D．[－1,0]
(2)(2019·沈阳模拟)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝a·b＝2且(a－c)·(b－c)＝0，则|2b－c|的最大值为________．
(1)A　(2)＋1　[(1)由题意得·＝||·||·cos∠BAD＝4，解得∠BAD＝.以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(4,0)，C(5，)，D(1，)，因为点P在边CD上，所以不妨设点P的坐标为(a，)(1≤a≤5)，则·＝(－a，－)·(4－a，－)＝a2－4a＋3＝(a－2)2－1，则当a＝2时，·取得最小值－1；当a＝5时，·取得最大值8，故选A.
(2)∵|a|＝|b|＝a·b＝2，
∴cos〈a，b〉＝＝，
∴〈a，b〉＝60°.
设＝a＝(2,0)，＝b＝(1，)，＝c，
∵(a－c)·(b－c)＝0，
∴⊥，
∴点C在以AB为直径的圆M上，其中M，半径r＝1.
延长OB到D，使得＝2b(图略)，则D(2,2)．
∵2b－c＝－＝，
∴|2b－c|的最大值为CD的最大值．
∵DM＝
＝，
∴CD的最大值为DM＋r＝＋1.]

1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)
A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．0
B　[a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B．]
2．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)
A．30° B．45° C．60° D．120°
A　[因为＝，＝，所以·＝＋＝.又因为·＝||||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A.]
3．(2014·全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．5
A　[|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，②
①－②，得4a·b＝4，∴a·b＝1.]
4．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
2　[|a＋2b|＝
＝
＝
＝＝2.]
5．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.
－2　[∵|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，
∴a·b＝0.
又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2.]