2021高三统考北师大版数学一轮学案：第2章第9讲　函数模型及其应用

第9讲　函数模型及其应用

基础知识整合

1．常见的函数模型

2．指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质

形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：

(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．

(2)当x＞0时，x＝时取最小值2，

当x＜0时，x＝－时取最大值－2.

1．(2019·嘉兴模拟)为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统(Private－Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．现在加密密钥为y＝kx3，若明文“4”通过加密后得到密文“2”，则接收方接到密文“”，解密后得到的明文是(　　)

A． B．

C．2 D．

答案　A

解析　由已知，可得当x＝4时，y＝2，所以2＝k·43，解得k＝＝，故y＝x3.令y＝x3＝，即x3＝，解得x＝.故选A．

2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：

则对x，y最适合的拟合函数是(　　)

A．y＝2x B．y＝x2－1

C．y＝2x－2 D．y＝log2x

答案　D

解析　根据x＝0.50，y＝－0.99，代入各选项计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入其余各选项计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D．

3．(2019·山东烟台模拟)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是(　　)

A．[4,8] B．[6,10]

C．[4%,8%] D．[6%,10%]

答案　A

解析　根据题意，要使附加税不少于128万元，需×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4,8]．

4．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　)

A．100台 B．120台

C．150台 D．180台

答案　C

解析　设利润为f(x)万元，则

f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x2)

＝0.1x2＋5x－3000(0<x<240，x∈N*)．

令f(x)≥0，得x≥150，

所以生产者不亏本时的最低产量是150台．故选C．

5．(2019·湖北黄冈模拟)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x(x∈R，x≥0)年可增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　)

答案　D

解析　由题意可得y＝(1＋10.4%)x.故选D．

6．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A．那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________(用常数a表示)．

答案　a2

解析　令t＝(t≥0)，则A＝t2，

∴D＝at－t2＝－2＋a2.

∴当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值．

核心考向突破

考向一　利用函数图象刻画实际问题

例1　(2019·广西钦州第三次质量检测)图甲中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律，对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述错误的是(　　)

A．捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期

B．由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少

C．捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图乙描述

D．捕食者的数量在第25年和30年之间数量在急速减少

答案　C

解析　由已知中某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律，可得捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，捕食者的数量在第25年和30年之间数量在急速减少，正确；由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少，故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图乙描述，显然不正确．故选C．

用函数图象刻画实际问题的解题思路

将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．

[即时训练]　1.(2019·北京东城区模拟)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　)

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

答案　D

解析　从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误；由图可知甲车消耗汽油最少，所以B错误；甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L汽油，所以C错误；当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确．

考向二　已知函数模型解决实际问题

例2　(1)(2019·中山模拟)据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝(A，c为常数)．已知某工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是(　　)

A．75,25 B．75,16

C．60,25 D．60,16

答案　D

解析　由题意可知4<A，则解得故选D．

(2)对于一个声强为I(单位：W/m2)的声波，其声强级L(单位：dB)可由如下公式计算：L＝10lg (其中I0是能引起听觉的最弱声强)．设声强为I1时的声强级为70 dB，声强为I2时的声强级为60 dB，则I1是I2的________倍．

答案　10

解析　依题意，可知70＝10lg ，60＝10lg ，所以70－60＝10lg －10lg ，则1＝lg ，所以＝10.

利用已知函数模型解决实际问题的步骤

若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题．

[即时训练]　2.某种出口产品的关税税率t，市场价格x(单位：千元)与市场供应量p(单位：万件)之间近似满足关系式：p＝2(1－kt)(x－b)2，其中k，b均为常数．当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件，若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．

(1)试确定k，b的值；

(2)市场需求量q(单位：万件)与市场价格x近似满足关系式：q＝2－x.当p＝q时，市场价格称为市场平衡价格．当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．

解　(1)由已知得，若t＝75%，当x＝5时，p＝1，当x＝7时，p＝2.所以解得k＝1，b＝5.

(2)由于k＝1，b＝5，则p＝2(1－t)(x－5)2，

当p＝q时，2(1－t)(x－5)2＝2－x，

所以(1－t)(x－5)2＝－x，

所以t＝1＋，x∈(0,4]，

设0<x1<x2≤4，则

t1－t2＝－

＝－＝

＝

＝，由于0<x1<x2≤4，

则x1－x2<0，(x1－5)2(x2－5)2>0，

x1x2<16，所以25－x1x2>0，所以t1<t2，

所以t＝1＋在区间(0,4]上是增函数，

所以当x＝4时，t＝1＋取得最大值，为5，

即当市场平衡价格为4千元时，关税税率的最大值为500%.

考向三　构建函数模型解决实际问题

例3　(1)(2019·马鞍山模拟)某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2018年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)

A．2020年 B．2021年

C．2022年 D．2023年

答案　C

解析　若2019年是第1年，则第n年全年投入的科研经费为1300×1.12n万元，由1300×1.12n>2000，可得lg 1.3＋nlg 1.12>lg 2，所以n×0.05>0.19，得n>3.8，即n≥4，所以第4年，即2022年全年投入的科研经费开始超过2000万元，故选C．

(2)设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(0<x<100，x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是(　　)

A．15 B．16

C．17 D．18

答案　B

解析　由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t，则由解得0<x≤.因为x∈N*，所以x的最大值为16.故选B．

构建数学模型一定要过好的三关

(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口．

(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系．

(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．

[即时训练]　3.(2020·山东实验中学月考)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元、0.5万元．

(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；

(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？

解　(1)设两类产品的收益与投资的函数关系分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2.

由已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，

所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．

(2)设投资股票类产品为x万元，则投资债券类产品为20－x万元．

依题意得y＝f(20－x)＋g(x)＝＋＝(0≤x≤20)．

所以＝2，即x＝4时，收益最大，ymax＝3万元．

故投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时获得最大收益，为3万元．