2021高三统考北师大版数学一轮学案：第5章高考大题冲关系列（2）三角函数的综合问题

命题动向：三角函数不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具．高考命题者常在三角函数、解三角形和平面向量、数列等知识的交汇处命题．对三角函数与平面向量的考查，多以解答题的形式出现，难度中等．备考中注意与平面向量的加法、减法的几何意义，平行、垂直的条件以及数量积的定义相结合来寻找解题突破口，三角函数与数列相交汇时，常常用到数列的基本性质．

题型1　三角函数图象与性质的综合

例1　(2019·揭阳模拟)已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.

 (1)求ω的值；

(2)讨论f(x)在区间上的单调性．

解　(1)f(x)＝4cosωx·sin

＝2sinωx·cosωx＋2cos2ωx

＝(sin2ωx＋cos2ωx)＋

＝2sin＋.

因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有＝π，

故ω＝1.

(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋.

若0≤x≤，则≤2x＋≤.

当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；

当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．

综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．

[冲关策略]　解决此类问题，一般先由图象或三角公式确定三角函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b等)的解析式，然后把ωx＋φ看成一个整体研究函数的性质．

变式训练1　(2019·浙江高考)设函数f(x)＝sinx，x∈R.

(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；

(2)求函数y＝2＋2的值域．

解　(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，

所以对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，

即sinxcosθ＋cosxsinθ＝－sinxcosθ＋cosxsinθ，

故2sinxcosθ＝0，所以cosθ＝0.

又因为θ∈[0,2π)，因此θ＝或θ＝.

(2)y＝2＋2

＝sin2＋sin2

＝＋

＝1－

＝1－cos.

因此，所求函数的值域是.

题型2　解三角形与数列的综合问题

例2　(2020·广东深圳外国语学校第一次热身)已知△ABC中∠ACB＝，角A，B，C的对边分别为a，b，c.

(1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；

(2)若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC周长的最大值．

解　(1)∵a，b，c依次成等差数列，且公差为2，

∴b－a＝c－b＝2，∴b＝c－2，a＝c－4，

∵∠ACB＝，由余弦定理得

cos＝＝＝－，

整理得c2－9c＋14＝0，解得c＝7或c＝2，

又a＝c－4>0，则c>4，∴c＝7.

(2)设B＝θ，外接圆的半径为R，则πR2＝π，

解得R＝1，由正弦定理可得

＝＝＝2R＝2，

∴＝＝＝2，

可得b＝2sinθ，a＝2sin，c＝，

∴△ABC的周长＝2sinθ＋2sin＋，

＝2sinθ＋2sincosθ－2cossinθ＋

＝sinθ＋cosθ＋＝2sin＋，

又θ∈，∴<θ＋<，

∴当θ＋＝，即θ＝时，f(θ)取得最大值2＋.

[冲关策略]　纵观近年的高考试题，许多新颖别致的三角函数解答题就是以数列为出发点设计的．在这类试题中数列往往只是起到包装的作用，实质是考查考生利用三角函数的性质、三角恒等变换与正、余弦定理来解决问题的能力．解决这类问题的基本思路是脱掉数列的外衣，抓住问题的实质，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化．

变式训练2　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知acos2＋ccos2＝b.

(1)求证：a，b，c成等差数列；

(2)若B＝，S＝4，求b.

解　(1)证明：由正弦定理，

得sinAcos2＋sinCcos2＝sinB，

即sinA·＋sinC·＝sinB，

∴sinA＋sinC＋sinAcosC＋cosAsinC＝3sinB，

即sinA＋sinC＋sin(A＋C)＝3sinB.

∵sin(A＋C)＝sinB，∴sinA＋sinC＝2sinB，即a＋c＝2b，

∴a，b，c成等差数列．

(2)∵S＝acsinB＝ac＝4，∴ac＝16.

又b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，

由(1)得a＋c＝2b，∴b2＝4b2－48，∴b2＝16，即b＝4.

题型3　三角变换与解三角形的综合

例3　(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsinA.

(1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．

解　(1)由题设及正弦定理得sinAsin＝sinBsinA.

因为sinA≠0，所以sin＝sinB.

由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，

故cos＝2sincos.

因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.

(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.

由正弦定理得a＝＝＝＋.

由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.

由(1)知A＋C＝120°，

所以30°<C<90°，故<a<2，从而<S△ABC<.

因此，△ABC面积的取值范围是.

[冲关策略]　三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．

变式训练3　(2019·江西吉安一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB＝2a＋b.

(1)求角C的大小；

(2)若函数f(x)＝2sin＋mcos2x(m∈R)图象的一条对称轴方程为x＝且f＝，求cos(2α＋C)的值．

解　(1)由题意，根据正弦定理，可得

2sinCcosB＝2sinA＋sinB，

又由A＝π－(B＋C)，所以

sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，

可得2sinCcosB＝2sinBcosC＋2cosBsinC＋sinB，

即2sinBcosC＋sinB＝0，

又因为B∈(0，π)，则sinB>0，

可得cosC＝－，因为C∈(0，π)，所以C＝.

(2)由(1)可得

f(x)＝2sin＋mcos2x

＝2sin2xcos＋2cos2xsin＋mcos2x

＝sin2x＋(m＋1)cos2x，

因为函数f(x)的图象的一条对称轴方程为

x＝，所以f(0)＝f，

得m＋1＝sin＋(m＋1)cos，即m＝－2，

所以f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin，

又因为f＝2sin＝，

所以sin＝，

所以cos(2α＋C)＝cos＝－cos

＝－cos＝2sin2－1＝－.

题型4　三角函数与平面向量的综合

例4　(2019·龙岩模拟)已知向量a＝(，1)，b＝(sin2x,2sin2x－1)，x∈R.

(1)若a∥b，且x∈[0，π]，求x的值；

(2)记f(x)＝a·b(x∈R)，若将函数f(x)的图象上的所有点向左平移个单位得到函数g(x)的图象．当x∈时，求函数g(x)的值域．

解　(1)因为a∥b，所以(2sin2x－1)－sin2x＝0，即sin2x＝－cos2x.

若cos2x＝0，则sin2x＝0，与sin22x＋cos22x＝1矛盾，故cos2x≠0.所以tan2x＝－，又x∈[0，π]，所以2x∈[0,2π]，所以2x＝或2x＝，即x＝或x＝，即x的值为或.

(2)因为f(x)＝a·b＝(，1)·(sin2x，－cos2x)＝sin2x－cos2x＝2sin，

所以g(x)＝2sin＝2sin，

当x∈时，2x＋∈，所以sin∈，所以2sin∈[－1,2]，

即当x∈时，函数g(x)的值域为[－1,2]．

[冲关策略]　(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．

(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．

变式训练4　已知a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，－cosx)，函数f(x)＝a·b＋.

(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；

(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．

解　(1)f(x)＝a·b＋

＝(sinx，cosx)·(cosx，－cosx)＋

＝sinx·cosx－cos2x＋

＝sin2x－cos2x＝sin.

令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，

即函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．

(2)由(1)及已知条件可知(x1，f(x1))与(x2，f(x2))关于x＝对称，则x1＋x2＝，

∴cos(x1－x2)＝cos

＝cos＝cos

＝sin＝f(x1)＝.

题型5　解三角形与平面向量的综合

例5　(2019·昆明模拟)已知角A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其所对边，向量m＝，n＝，m⊥n.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝2，cosB＝，求b的长．

解　(1)已知m⊥n，所以m·n＝·＝sinA－(cosA＋1)＝0，

即sinA－cosA＝1，即sin＝.

因为0<A<π，所以－<A－<.

所以A－＝，所以A＝.

(2)在△ABC中，A＝，a＝2，cosB＝，

sinB＝＝＝.

由正弦定理知＝，

所以b＝＝＝.

[冲关策略]　解决解三角形与平面向量综合问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数的问题解决．

变式训练5　(2019·成都模拟)锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ctanB是btanA和btanB的等差中项．

(1)求角A的大小；

(2)若m＝(sinB，sinC)，n＝(cosB，cosC)，求m·n的取值范围．

解　(1)由题意知btanA＋btanB＝2ctanB，

∴sinB＋sinB＝2sinC·，

∵sinB≠0，∴sinAcosB＋cosAsinB＝2sinCcosA，

∴sinC＝2sinCcosA，∵sinC≠0，∴cosA＝，

又0<A<π，∴A＝.

(2)m·n＝sinBcosB＋sinCcosC＝sin2B＋sin2C

＝sin2B＋sin＝sin，

∵∴<B<.

∴<m·n≤，即m·n的取值范围是.