2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第二章2.6对数与对数函数

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§2.6　对数与对数函数
最新考纲
考情考向分析
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象．
3.体会对数函数是一类重要的函数模型．
4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.
以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型选择题、解答题均有，解答题的难度为中高档.

1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中_a_叫做对数的底数，_N_叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN．
②loga＝logaM－logaN．
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(2)对数的性质
①负数和零没有对数；
②loga1＝0，logaa＝1(a>0，且a≠1)．
③＝N(a>0，a≠1，且N>0)．
④logaaN＝N(a>0，且a≠1)．
(3)对数的换底公式
logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
3．对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
0 图象

定义域
(1)(0，＋∞)
值域
(2)R
性质
(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
(4)当x>1时，y>0；当0 (5)当x>1时，y<0；当00
(6)在(0，＋∞)上是增函数
(7)在(0，＋∞)上是减函数

4.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
概念方法微思考
1．根据对数换底公式：①说出logab，logba的关系？
②化简.
提示　①logab·logba＝1；②＝logab.
2．如图给出4个对数函数的图象．比较a，b，c，d与1的大小关系．

提示　0
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　)
(2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　)
(3)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．(　√　)
(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．(　√　)
题组二　教材改编
2．log29·log34·log45·log52＝________.
答案　2
3．已知a＝，b＝log2，c＝，则a，b，c的大小关系为________．
答案　c>a>b
解析　∵01.
∴c>a>b.
4．函数y＝的定义域是______．
答案　
解析　由≥0，得0<2x－1≤1.
∴ ∴函数y＝的定义域是.
题组三　易错自纠
5．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是(　　)
A．d＝ac B．a＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
答案　B
6．若loga<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是____________________．
答案　∪(1，＋∞)
解析　当0 当a>1时，loga1.
∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞).

对数式的运算
1．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.
答案　
解析　由已知，得a＝log2m，b＝log5m，
则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
解得m＝.
2．设函数f (x)＝3x＋9x，则f (log32)＝________.
答案　6
解析　∵函数f (x)＝3x＋9x，
∴f (log32)＝＋＝2＋＝2＋4＝6.
3．计算：＝________.
答案　1
解析　原式＝
＝
＝＝＝＝1.
4．(2019·北京)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A．1010.1 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1
答案　A
解析　两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，
令m2＝－1.45，m1＝－26.7，
lg ＝·(m2－m1)＝(－1.45＋26.7)＝10.1，
＝1010.1.
思维升华　对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
对数函数的图象及应用
例1　(1)已知函数f (x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)

A．0 C．0 答案　A
解析　由函数图象可知，f (x)为单调递增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1 综上有0< (2)方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为__________．
答案　
解析　若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在上有交点，
由图象知解得0

4x 答案　
解析　当0
当a>1时，不符合题意，舍去．
所以实数a的取值范围是.
思维升华　对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
跟踪训练1　(1)(2019·河北冀州中学月考)函数f (x)＝lg(|x|－1)的大致图象是(　　)

答案　B
解析　由函数值域为R，可以排除C，D，当x>1时，f (x)＝lg(x－1)在(1，＋∞)上单调递增，排除A，选B.
(2)若不等式x2－logax<0对x∈恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　只需f1(x)＝x2在上的图象恒在f2(x)＝logax图象的下方即可．
当a>1时，显然不成立；
当0
要使x2 只需f1≤f2，
所以有2≤loga，解得a≥，
所以≤a<1.
即实数a的取值范围是.
对数函数的性质及应用
命题点1　解对数方程、不等式
例2　(1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________．
答案　x＝
解析　原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±，又x>1，所以x＝.
(2)设f (x)＝则方程f (a)＝f (－a)的解集为________．
答案　{－1,1}
解析　当a>0时，由f (a)＝log2a＝＝f (－a)＝，得a＝1；
当a<0时，由f (a)＝＝log2＝f (－a)＝log2(－a)，得a＝－1.
∴方程f (a)＝f (－a)的解集为{1，－1}．
本例(2)中，f (a)>f (－a)的解集为________．
答案　(－1,0)∪(1，＋∞)
解析　由题意，得
或
解得a>1或－1 命题点2　对数函数性质的综合应用
例3　已知函数f (x)＝．
(1)若f (－1)＝－3，求f (x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f (x)在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．
解　(1)由f (－1)＝－3，得＝－3.
所以4＋2a＝8，所以a＝2.
则f (x)＝，
由x2－4x＋3>0，得x>3或x<1.
故函数f (x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．
令μ＝x2－4x＋3，
则μ在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．
又y＝在(0，＋∞)上单调递减，
所以f (x)的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)．
(2)令g(x)＝x2－2ax＋3，要使f (x)在(－∞，2)上为增函数，应使g(x)在(－∞，2)上单调递减，且恒大于0.
因此即a无解．
所以不存在实数a，使f (x)在(－∞，2)上为增函数．
思维升华　利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．
跟踪训练2　(1)若f (x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为(　　)
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
答案　A
解析　令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．
(2)已知函数f (x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f (x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________．
答案　
解析　当a>1时，f (x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f (x)>1在区间[1,2]上恒成立，
则f (x)min＝f (2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>0，
解得1 当0 由f (x)>1在区间[1,2]上恒成立，
知f (x)min＝f (1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.
∴a>4，且a<4，故不存在．
综上可知，实数a的取值范围是.
比较指数式、对数式的大小
例4　(1)(2019·天津市河西区模拟)设a＝log3e，b＝e1.5，c＝，则(　　)
A．b C．c 答案　D
解析　c＝＝log34>log3e＝a.
又c＝log342，
∴a (2)(2018·全国Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)
A．a＋b C．a＋b<0 答案　B
解析　∵a＝log0.20.3>log0.21＝0，
b＝log20.3 ∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，
∴1＝log0.30.3>log0.30.4>log0.31＝0，
∴0<<1，∴ab (3)已知函数y＝f (x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，且当x∈(0，＋∞)时，f (x)＝|log2x|，若a＝f (－3)，b＝f ，c＝f (2)，则a，b，c的大小关系是________．
答案　c 解析　易知y＝f (x)是偶函数．当x∈(0，＋∞)时，f (x)＝f ＝|log2x|，且当x∈[1，＋∞)时，f (x)＝log2x单调递增，又a＝f (－3)＝f (3)，b＝f ＝f (4)，所以c 思维升华 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．
(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.
跟踪训练3　(1)已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＝bc
C．ab>c
答案　B
解析　因为a＝log23＋log2＝log23＝log23>1，b＝log29－log2＝log23＝a，c＝log32c.
(2)(2019·天津市滨海新区模拟)已知函数f (x)＝|x|，且a＝f ，b＝f ，c＝f (2－1)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a C．c 答案　A
解析　ln ，
∴log23>>ln .
又f (x)是偶函数，在(0，＋∞)上为增函数，
∴f ∴a (3)若实数a，b，c满足loga2 A．a C．c 答案　C
解析　根据不等式的性质和对数的换底公式可得
<<<0，
即log2c 可得c

1．log29·log34等于(　　)
A. B. C．2 D．4
答案　D
解析　方法一　原式＝·＝＝4.
方法二　原式＝2log23·＝2×2＝4.
2．已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则(　　)
A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0
C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0
答案　D
解析　由a，b>0且a≠1，b≠1，及logab>1＝logaa可得，当a>1时，b>a>1，当0 代入验证只有D满足题意．
3．函数f (x)＝(0

答案　C
解析　当x>0时，f (x)＝logax单调递减，排除A，B；当x<0时，f (x)＝－loga(－x)单调递减，排除D.故选C.
4．若loga>1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．(1，＋∞)
C.∪(1，＋∞) D.
答案　D
解析　当0logaa＝1，∴ 当a>1时，loga>1不成立．
∴实数a的取值范围是.
5．若函数y＝loga(x2－ax＋2)在区间(－∞，1]上为减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．[2，＋∞)
C．[2,3) D．(1,3)
答案　C
解析　由题易知，a>1，则可得解得2≤a<3.
6．已知函数f (x)＝且关于x的方程f (x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围为(　　)
A．(0,1] B．(0,1) C．[0,1] D．(0，＋∞)
答案　A
解析　作出函数y＝f (x)的图象(如图)，欲使y＝f (x)和直线y＝a有两个交点，则0

7．函数f (x)＝log2·的最小值为________．
答案　－
解析　依题意得f (x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，当log2x＝－，即x＝时等号成立，所以函数f (x)的最小值为－.
8．设函数f (x)＝则满足f (x)≤2的x的取值范围是__________．
答案　[0，＋∞)
解析　当x≤1时，由21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；
当x>1时，由1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.
综上可知x≥0.
9．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a 答案　(0,1)
解析　由题意知，在(0,10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点(如图)，∴ab＝1,0
10．已知函数f (x)＝ln ，若f (a)＋f (b)＝0，且0 答案　
解析　由题意可知ln ＋ln ＝0，
即ln＝0，从而×＝1，
化简得a＋b＝1，
故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－2＋，
又0 所以0
11．设f (x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1)，且f (1)＝2.
(1)求实数a的值及f (x)的定义域；
(2)求f (x)在区间上的最大值．
解　(1)∵f (1)＝2，∴loga4＝2(a>0，且a≠1)，
∴a＝2.由得－1 ∴函数f (x)的定义域为(－1,3)．
(2)f (x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈(－1,1]时，f (x)是增函数；
当x∈(1,3)时，f (x)是减函数，
故函数f (x)在上的最大值是f (1)＝log24＝2.
12．是否存在实数a，使得f (x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．
解　设t＝ax2－x＝a2－.
若f (x)在[2,4]上是增函数，
则或解得a>1.
∴存在实数a满足题意，即当a∈(1，＋∞)时，f (x)在[2,4]上是增函数．

13．已知函数f (x)＝ln ，若f ＋f ＋…＋f ＝1 010(a＋b)，则a2＋b2的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　∵f (x)＋f (e－x)＝2，
∴f ＋f ＋…＋f ＝2 020，
∴1 010(a＋b)＝2 020，∴a＋b＝2.
∴a2＋b2≥＝2，
当且仅当a＝b＝1时取等号．
14．若函数f (x)＝loga(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a＝________.
答案　2
解析　令u(x)＝x2－x＋2，则u(x)在[0,2]上的最大值u(x)max＝4，最小值u(x)min＝.
当a>1时，y＝logau是增函数，f (x)max＝loga4＝2，得a＝2；
当0
15．已知函数f (x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f (x)>0，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　当00，即0<－a<1，解得1时，函数f (x)在区间上是增函数，所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是.
16．已知函数f (x)＝lg.
(1)计算：f (2 020)＋f (－2 020)；
(2)对于x∈[2,6]，f (x) 解　(1)由>0，得x>1或x<－1.
∴函数f (x)的定义域为{x|x>1或x<－1}．
又f (x)＋f (－x)＝lg＝0，
∴f (x)为奇函数．
∴f (2 020)＋f (－2 020)＝0.
(2)当x∈[2,6]时，f (x) 即m>(x－1)(7－x)在[2,6]上恒成立．
又当x∈[2,6]时，(x－1)(7－x)＝－x2＋8x－7＝－(x－4)2＋9.
∴当x＝4时，[(x－1)(7－x)]max＝9，∴m>9.
即实数m的取值范围是(9，＋∞)．