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2021高三物理人教版一轮学案：第四章第2讲 平抛运动
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第2讲 平抛运动
ZHI SHI SHU LI ZI CE GONG GU
知识梳理·自测巩固
知识点1 平抛运动
1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在__重力__作用下的运动。
2．性质：平抛运动是加速度为g的__匀变速__曲线运动，其运动轨迹是__抛物线__。
3．平抛运动的条件：(1)v0≠0，沿__水平方向__；(2)只受__重力__作用。
4．研究方法：平抛运动通常可以分解为水平方向的__匀速直线__运动和竖直方向的__自由落体__运动。
5．基本规律：以抛出点为坐标原点，水平初速度v0方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t，有：
(1)位移：分位移x＝__v0t__；y＝__gt2__
合位移x合＝
＝____，tan φ＝____
φ为合位移与x轴的夹角。
(2)速度：分速度vx＝__v0__；vy＝__gt__
合速度v＝＝，tan θ＝____
θ为合速度v与x轴的夹角。
思考：上图中位移与水平方向夹角φ与速度与水平方向夹角θ相等吗？请推导出它们之间关系式。
[答案] 不相等。θ>φ。tan θ＝2tan φ。
知识点2 斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0沿__斜向上方__或__斜向下方__抛出，物体只在__重力__作用下的运动。
2．性质：加速度为__g__的匀变速曲线运动，轨迹是__抛物线__。
3．研究方法：斜抛运动可以看作水平方向的__匀速直线__运动和竖直方向的__匀变速直线__运动的合运动。
思维诊断：
(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。( × )
(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。( × )
(3)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。 ( √ )
(4)做平抛运动的物体质量越大，水平位移越大。 ( × )
(5)做平抛运动的物体初速度越大，落地时竖直方向的速度越大。( × )
(6)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越长。( × )
(7)从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度大的落地速度大。( √ )
1．(2020·吉林东北师大附中一模)在空中同一位置水平抛出初速度不同的两个小球(忽略空气的影响)，则从抛出开始( D )
A．下降相同高度时初速度较大的球的速度与水平方向的夹角大
B．下降相同高度时初速度较小的球在竖直方向上的速度较小
C．通过同一水平距离时初速度较大的球在竖直方向上的速度较大
D．通过同一水平距离时初速度较大的球在竖直方向上的速度较小
[解析] 设球的速度与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝，由2gh＝v可知，下降相同高度时vy相同，初速度越大则球的速度与水平方向的夹角越小，故A、B错误；由球在水平方向做匀速直线运动可知t＝，初速度大的小球所用时间少，由vy＝gt可知，初速度较大的小球，竖直方向上的速度较小，故C错误，D正确。
2．从同一高度同时将a、b两不完全相同的小球分别竖直上抛和斜上抛，它们的初速度大小相同；若不计空气阻力，则以下说法中正确的是( A )
A．在空中运动的过程中，两球的加速度相同
B．两球触地时的瞬时速率不同
C．两球在空中运动的时间相同
D．两球运动的位移相同
[解析] 两球在空中都只受重力作用，两球的加速度都为重力加速度g，A项正确；因两球都只受重力，则机械能均守恒，据机械能守恒定律有mv＋mgh＝mv，可知两球触地时的速率相同，B项错误；因两球以相同的速率分别竖直上抛和斜上抛，则知两球在空中运动的时间不同，C项错误；因两球初始时运动方向不同，则它们发生的位移不同，D项错误。
3．一个物体做平抛运动，已知重力加速度为g。根据下列已知条件，既可以确定初速度大小，又可以确定飞行时间的是( C )
A．水平位移大小
B．下落高度
C．落地时速度大小和方向
D．从抛出到落地的位移大小
[解析] 飞行时间不取决于水平位移，只取决于下落的高度，所以A错误；但初速度(水平速度)与下落高度无关，所以B错误；落地速度包括水平速度和竖直速度，水平速度即初速度，竖直速度与飞行时间有直接联系，C正确；合位移取决于初速度和飞行时间两个因素，但知合位移的大小无法确定初速度和飞行时间这两个量，所以D错误。
HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO
核心考点·重点突破
考点一 平抛运动规律的应用
关于平抛运动必须掌握的四个物理量
物理量
相关分析
飞行时间(t)
t＝，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关
水平射程(x)
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关
落地速度(v)
v＝＝，以θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关
速度的改
变量(Δv)
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示
例1 (2017·全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网；其原因是( C )
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
[解析] 发球机从同一高度水平射出两个速度不同的乒乓球，根据平抛运动规律，竖直方向上，h＝gt2，可知两球下落相同距离h所用的时间是相同的，A错误；由v＝2gh可知，两球下落相同距离h时在竖直方向上的速度vy相同，B错误；由平抛运动规律，水平方向上，x＝vt，可知速度较大的球通过同一水平距离所用的时间t较少，C正确；由于做平抛运动的球在竖直方向的运动为自由落体运动，两球在相同时间间隔内下降的距离相同，D错误。
〔类题演练1〕
(2019·辽宁东北育才学校月考)一小球从水平地面斜向上抛出，最后又落回同一水平面，不计空气阻力，在下图中能正确表示速度矢量变化过程的是( C )
[解析] 斜抛运动由于只受重力，水平速度保持不变，而竖直分速度均匀变化。根据Δv＝at＝gt可知，速度矢量的变化方向与加速度的方向相同，而斜抛运动的加速度为重力加速度g，故速度矢量的变化方向应沿竖直方向，所以速度矢量末端应在同一竖直线，故C正确，A、B、D错误。
考点二 平抛运动问题的常见解法
平抛运动是较为复杂的匀变速曲线运动，求解此类问题的基本方法是：将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。再结合使用推论法，全程应用动能定理等。
(一)分解速度求解平抛运动问题
对于一个做平抛运动的物体来说，若知道了某时刻的速度方向，可以从分解速度的角度来研究：tanθ＝＝(θ为t时刻速度与水平方向间夹角)，从而得出初速度v0、时间t、夹角θ之间的关系，进而求解具体问题。
例2 (2019·湛江模拟)如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球，某次球与墙壁上A点碰撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的B点，已知球拍与水平方向夹角θ＝60°，AB两点高度差h＝1 m，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则球刚要落到球拍上时速度大小为( C )
A．2 m/s B．2 m/s
C．4 m/s D． m/s
[解析] 根据h＝gt2得t＝＝ s＝ s；竖直分速度：vy＝gt＝10× m/s＝ m/s，刚要落到球拍上时速度大小v＝＝4 m/s，C正确，A、B、D错误。
(二)分解位移求解平抛运动问题
对于一个做平抛运动的物体来讲，若知道某一时刻物体的位移方向，则可将位移分解到水平方向和竖直方向，然后利用tan α＝(α为t时刻位移与水平方向间夹角)，确定初速度v0、运动时间t和夹角α间的大小关系。
例3 (多选)如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t，重力加速度为g，空气阻力不计，则下列说法中正确的是( AB )
A．若小球以最小位移到达斜面，则t＝
B．若小球垂直击中斜面，则t＝
C．若小球能击中斜面中点，则t＝
D．无论小球到达斜面何处，运动时间均为t＝
[解析] 小球以最小位移到达斜面时即位移与斜面垂直，位移与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝＝，即t＝，A正确，D错误；小球垂直击中斜面时，速度与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝，即t＝，B正确；小球击中斜面中点时，令斜面长为2L，则水平射程为Lcos θ＝v0t，下落高度为Lsin θ＝gt2，联立两式得t＝，C错误。
(三)利用推论法求解平抛运动问题
平抛运动的两个重要推论
(1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲中A点和B点所示。其推导过程为tan θ＝＝＝。
(2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。如图乙所示。其推导过程为tan θ＝＝＝＝2tan α。
例4 (2018·全国卷Ⅲ，17)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( A )
A．2倍 B．4倍
C．6倍 D．8倍
[解析] 如图所示，可知：
x＝vt
x·tan θ＝gt2
则x＝·v2
即x∝v2
甲、乙两球抛出速度为v和，则相应水平位移之比为4∶1，由相似三角形知，下落高度之比也为4∶1，由自由落体运动规律得，落在斜面上竖直方向速度之比为 2∶1，则可得落至斜面时速率之比为2∶1。
考点三 平抛运动与落点界面的综合问题
做平抛运动的物体经常落在一些特定界面上，常见的类型有：竖直面、斜面、圆弧面、抛物面、有界区域、障碍物等，解决这类问题的关键是：把特定界面的几何关系或函数方程与平抛运动规律结合。
(一)落在圆弧面上的平抛运动
如图所示，由半径和几何关系制约时间t：
h＝gt2 R±＝v0t，联立两方程可求t。
例5 如图所示，半圆形凹槽的圆心为O点。在与O点等高的边缘A、B两点处分别以速度v1、v2水平同时相向抛出两个小球，两小球恰好落在弧面上的P点。已知∠AOP＝60°，不计空气阻力，则以下说法中正确的是( B )
A．v1∶v2＝1∶2
B．若只增大v1，两小球可在空中相遇
C．若要使两小球落在P点右侧的弧面上同一点，则应同时增大v1、v2
D．若改变v1、v2的大小，只要两小球落在弧面上的同一点，则v1和v2的大小之和就不变
[解析] 根据几何关系知，从A点抛出的小球水平位移xA＝R－R＝R，从B点抛出的小球水平位移xB＝R＋R＝R，则两小球落在P点的水平位移之比为1∶3，运动时间相等，则初速度之比为1∶3，故A错误；同时抛出的两球在竖直方向做自由落体运动，总在同一高度，若只增大v1，而v2不变，相遇时间变短，下落高度变小，两球可在空中相遇，故B正确；若要使两小球落在P点右侧的弧面上同一点，则A球水平方向位移增大，B球水平位移减小，而两球运动时间相等，所以应使v1增大，v2减小，故C错误；要使两小球落在弧面上的同一点，则水平位移之和为2R，即(v1＋v2)t＝2R，落点不同，竖直方向位移就不同，t也不同，所以(v1＋v2)也不是一个定值，故D错误。
(二)落在抛物面上的平抛运动
例6 (2020·江西师大附中月考)(多选)如图所示，一个质量为0.4 kg的小物块从高h＝0.05 m的坡面顶端由静止释放，滑到水平台上，滑行一段距离后，从边缘O点水平飞出，击中平台右下侧挡板上的P点。现以O为原点在竖直面内建立如图所示的平面直角坐标系，挡板的形状满足方程y＝x2－6(单位：m)，不计一切摩擦和空气阻力，g取10 m/s2，则下列说法正确的是( BC )
A．小物块从O点运动到P点的水平位移为2 m
B．小物块从O点运动到P点的时间为1 s
C．小物块刚到P点时速度方向与水平方向夹角的正切值等于10
D．小物块刚到P点时速度的大小为10 m/s
[解析] 对小物块，从释放至到达O点的过程中，由动能定理得mgh＝mv－0，代入数据解得v0＝＝ m/s＝1 m/s。小物块从O点水平抛出做平抛运动，竖直方向y＝－gt2，水平方向x＝v0t，解得v＝－5x2；又有y＝x2－6，联立解得x＝1 m，y＝－5 m，根据y＝－gt2，解得t＝＝s＝1s，故A错误，B正确；竖直方向的速度大小vy＝gt＝10×1 m/s＝10 m/s，设刚到P点时速度方向与水平方向夹角为θ，则有tan θ＝＝＝10，故C正确；根据速度的合成法则，小物块刚到P点时速度的大小为v＝＝ m/s＝ m/s，故D错误。
(三)落在有界区域的平抛运动
在乒乓球、排球、网球等运动中，都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界，球速往往要有一定的范围限制，在这类问题中，确定临界状态，画好临界轨迹，是解决问题的关键点。
例7 (2019·许昌模拟)如图所示是排球场的场地示意图，设排球场的总长为L，前场区的长度为，网高为h，在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度小于某个临界值H，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。设某一次运动员站在前场区和后场区的交界处，正对网前竖直跳起垂直网将排球水平击出，关于该种情况下临界值H的大小，下列关系式正确的是( C )
A．H＝H B．H＝h
C．H＝h D．H＝h
[解析] 将排球水平击出后排球做平抛运动，排球刚好触网到达底线时，则有＝v0，＋＝v0，联立解得H＝h，故选项C正确。
JIE DUAN PEI YOU CHA QUE BU LOU
阶段培优·查缺补漏
类平抛运动
▼
1．受力特点
物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直。
2．运动特点
在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做
初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。
3．求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。
例8 (2019·江苏调研)如图所示的光滑斜面长为L，宽为s，倾角为θ＝30°，一小球(可视为质点)沿斜面右上方顶点A处水平射入，恰好从底端B点离开斜面，重力加速度为g。则下列说法正确的是( D )
A．小球运动的加速度为g
B．小球由A运动到B所用的时间为
C．小球由A点水平射入时初速度v0的大小为s
D．小球离开B点时速度的大小为
[解析] 本题考查类平抛运动问题。初速度方向与合力方向垂直，且合力大小恒定，则物体做匀变速曲线运动，根据牛顿第二定律得，物体的加速度为a＝＝gsin θ＝g，故A错误；根据L＝at2，有t＝＝＝，故B错误；在B点的平行斜面向下方向的分速度为vBy＝at＝g×＝；根据s＝v0t，得v0＝＝s；故物块离开B点时速度的大小为v＝＝，故C错误，D正确。
2 NIAN GAO KAO MO NI XUN LIAN
2年高考·模拟训练
1．(2019·全国卷Ⅱ，19)(多选)如图(a)，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v－t图象如图(b)所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则( BD )
图(a) 图(b)
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
[解析] A错：v－t图象中图线与t轴包围的面积表示位移大小，第二次滑翔过程中所围面积大，表示在竖直方向上位移大。B对：比较身体姿态对下落速率的影响，应控制两次水平速度相同，运动员在水平方向上的运动可看成匀速直线运动，由x＝vt知运动时间长的水平位移大。C错：从起跳到落到雪道上，第一次速度变化大，时间短，由a＝，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上平均加速度小于第一次。D对：v－t图象的斜率表示加速度，速率为v1时，第二次加速度小，设阻力为f，由mg－f＝ma，可得第二次受到的阻力大。
2．(2019·福建质检)轰炸机进行实弹训练，在一定高度沿水平方向匀速飞行，某时刻释放炸弹，一段时间后击中竖直悬崖上的目标P点，不计空气阻力，下列判断正确的是( C )
A．若轰炸机提前释放炸弹，则炸弹将击中P点上方
B．若轰炸机延后释放炸弹，则炸弹将击中P点下方
C．若轰炸机在更高的高度提前释放炸弹，则炸弹仍可能击中P点
D．若轰炸机在更高的高度延后释放炸弹，则炸弹仍可能击中P点
[解析] 由题意可知，炸弹若提前释放，水平位移增大，在空中的运动时间变长，应落在P点下方，反之落在上方，故A、B错误；炸弹若从更高的高度释放，将落在P点上方，若要求炸弹仍能击中P点，则需要更长的运动时间，故应提前释放炸弹，C正确；若延后释放炸弹，则炸弹将击中P点上方，故D错误。
3.(2019·唐山统考)如图所示，以与竖直墙面垂直、大小为v0＝7.5 m/s的速度抛出一个弹性小球A，抛出点离水平地面的高度为h＝3.2 m，与墙壁的水平距离为s。小球与墙壁发生碰撞后，竖直分速度不变，水平速度大小不变，方向反向，落在水平地面上，落地点到墙壁的水平距离为2s。若重力加速度取10 m/s2，则s的大小为( B )
A．1.8 m B．2.0 m
C．2.2 m D．3.6 m
[解析] 由平抛运动规律有，h＝gt2，解得t＝0.8 s，水平方向上，小球速率不变，故小球水平方向通过的总路程s总＝3s＝v0t，则s＝2.0 m，B项正确。
4.(2019·河北沧州一模)如图所示，竖直平面内有A、B、C三点，三点连线构成一直角三角形，AB边竖直，BC边水平，D点为BC边中点。一可视为质点的物体从A点水平抛出，轨迹经过D点，与AC交于E点。若物体从A运动到E的时间为t1，从E运动到D的时间为t2，则t1∶t2为( A )
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶3 D．1∶3
[解析] 本题考查平抛运动的基本性质。设质点从A运动到D所需的总时间为t，则t＝t1＋t2，∠ACB＝θ，设平抛的初速度为v0，由平抛运动规律得tan θ＝＝，解得＝，所以t1∶t2＝1∶1，故A正确。
第2讲 平抛运动
ZHI SHI SHU LI ZI CE GONG GU
知识梳理·自测巩固
知识点1 平抛运动
1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在__重力__作用下的运动。
2．性质：平抛运动是加速度为g的__匀变速__曲线运动，其运动轨迹是__抛物线__。
3．平抛运动的条件：(1)v0≠0，沿__水平方向__；(2)只受__重力__作用。
4．研究方法：平抛运动通常可以分解为水平方向的__匀速直线__运动和竖直方向的__自由落体__运动。
5．基本规律：以抛出点为坐标原点，水平初速度v0方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t，有：
(1)位移：分位移x＝__v0t__；y＝__gt2__
合位移x合＝
＝____，tan φ＝____
φ为合位移与x轴的夹角。
(2)速度：分速度vx＝__v0__；vy＝__gt__
合速度v＝＝，tan θ＝____
θ为合速度v与x轴的夹角。
思考：上图中位移与水平方向夹角φ与速度与水平方向夹角θ相等吗？请推导出它们之间关系式。
[答案] 不相等。θ>φ。tan θ＝2tan φ。
知识点2 斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0沿__斜向上方__或__斜向下方__抛出，物体只在__重力__作用下的运动。
2．性质：加速度为__g__的匀变速曲线运动，轨迹是__抛物线__。
3．研究方法：斜抛运动可以看作水平方向的__匀速直线__运动和竖直方向的__匀变速直线__运动的合运动。
思维诊断：
(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。( × )
(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。( × )
(3)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。 ( √ )
(4)做平抛运动的物体质量越大，水平位移越大。 ( × )
(5)做平抛运动的物体初速度越大，落地时竖直方向的速度越大。( × )
(6)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越长。( × )
(7)从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度大的落地速度大。( √ )
1．(2020·吉林东北师大附中一模)在空中同一位置水平抛出初速度不同的两个小球(忽略空气的影响)，则从抛出开始( D )
A．下降相同高度时初速度较大的球的速度与水平方向的夹角大
B．下降相同高度时初速度较小的球在竖直方向上的速度较小
C．通过同一水平距离时初速度较大的球在竖直方向上的速度较大
D．通过同一水平距离时初速度较大的球在竖直方向上的速度较小
[解析] 设球的速度与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝，由2gh＝v可知，下降相同高度时vy相同，初速度越大则球的速度与水平方向的夹角越小，故A、B错误；由球在水平方向做匀速直线运动可知t＝，初速度大的小球所用时间少，由vy＝gt可知，初速度较大的小球，竖直方向上的速度较小，故C错误，D正确。
2．从同一高度同时将a、b两不完全相同的小球分别竖直上抛和斜上抛，它们的初速度大小相同；若不计空气阻力，则以下说法中正确的是( A )
A．在空中运动的过程中，两球的加速度相同
B．两球触地时的瞬时速率不同
C．两球在空中运动的时间相同
D．两球运动的位移相同
[解析] 两球在空中都只受重力作用，两球的加速度都为重力加速度g，A项正确；因两球都只受重力，则机械能均守恒，据机械能守恒定律有mv＋mgh＝mv，可知两球触地时的速率相同，B项错误；因两球以相同的速率分别竖直上抛和斜上抛，则知两球在空中运动的时间不同，C项错误；因两球初始时运动方向不同，则它们发生的位移不同，D项错误。
3．一个物体做平抛运动，已知重力加速度为g。根据下列已知条件，既可以确定初速度大小，又可以确定飞行时间的是( C )
A．水平位移大小
B．下落高度
C．落地时速度大小和方向
D．从抛出到落地的位移大小
[解析] 飞行时间不取决于水平位移，只取决于下落的高度，所以A错误；但初速度(水平速度)与下落高度无关，所以B错误；落地速度包括水平速度和竖直速度，水平速度即初速度，竖直速度与飞行时间有直接联系，C正确；合位移取决于初速度和飞行时间两个因素，但知合位移的大小无法确定初速度和飞行时间这两个量，所以D错误。
HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO
核心考点·重点突破
考点一 平抛运动规律的应用
关于平抛运动必须掌握的四个物理量
物理量
相关分析
飞行时间(t)
t＝，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关
水平射程(x)
x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关
落地速度(v)
v＝＝，以θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关
速度的改
变量(Δv)
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示
例1 (2017·全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网；其原因是( C )
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
[解析] 发球机从同一高度水平射出两个速度不同的乒乓球，根据平抛运动规律，竖直方向上，h＝gt2，可知两球下落相同距离h所用的时间是相同的，A错误；由v＝2gh可知，两球下落相同距离h时在竖直方向上的速度vy相同，B错误；由平抛运动规律，水平方向上，x＝vt，可知速度较大的球通过同一水平距离所用的时间t较少，C正确；由于做平抛运动的球在竖直方向的运动为自由落体运动，两球在相同时间间隔内下降的距离相同，D错误。
〔类题演练1〕
(2019·辽宁东北育才学校月考)一小球从水平地面斜向上抛出，最后又落回同一水平面，不计空气阻力，在下图中能正确表示速度矢量变化过程的是( C )
[解析] 斜抛运动由于只受重力，水平速度保持不变，而竖直分速度均匀变化。根据Δv＝at＝gt可知，速度矢量的变化方向与加速度的方向相同，而斜抛运动的加速度为重力加速度g，故速度矢量的变化方向应沿竖直方向，所以速度矢量末端应在同一竖直线，故C正确，A、B、D错误。
考点二 平抛运动问题的常见解法
平抛运动是较为复杂的匀变速曲线运动，求解此类问题的基本方法是：将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。再结合使用推论法，全程应用动能定理等。
(一)分解速度求解平抛运动问题
对于一个做平抛运动的物体来说，若知道了某时刻的速度方向，可以从分解速度的角度来研究：tanθ＝＝(θ为t时刻速度与水平方向间夹角)，从而得出初速度v0、时间t、夹角θ之间的关系，进而求解具体问题。
例2 (2019·湛江模拟)如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球，某次球与墙壁上A点碰撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的B点，已知球拍与水平方向夹角θ＝60°，AB两点高度差h＝1 m，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则球刚要落到球拍上时速度大小为( C )
A．2 m/s B．2 m/s
C．4 m/s D． m/s
[解析] 根据h＝gt2得t＝＝ s＝ s；竖直分速度：vy＝gt＝10× m/s＝ m/s，刚要落到球拍上时速度大小v＝＝4 m/s，C正确，A、B、D错误。
(二)分解位移求解平抛运动问题
对于一个做平抛运动的物体来讲，若知道某一时刻物体的位移方向，则可将位移分解到水平方向和竖直方向，然后利用tan α＝(α为t时刻位移与水平方向间夹角)，确定初速度v0、运动时间t和夹角α间的大小关系。
例3 (多选)如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t，重力加速度为g，空气阻力不计，则下列说法中正确的是( AB )
A．若小球以最小位移到达斜面，则t＝
B．若小球垂直击中斜面，则t＝
C．若小球能击中斜面中点，则t＝
D．无论小球到达斜面何处，运动时间均为t＝
[解析] 小球以最小位移到达斜面时即位移与斜面垂直，位移与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝＝，即t＝，A正确，D错误；小球垂直击中斜面时，速度与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝，即t＝，B正确；小球击中斜面中点时，令斜面长为2L，则水平射程为Lcos θ＝v0t，下落高度为Lsin θ＝gt2，联立两式得t＝，C错误。
(三)利用推论法求解平抛运动问题
平抛运动的两个重要推论
(1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲中A点和B点所示。其推导过程为tan θ＝＝＝。
(2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。如图乙所示。其推导过程为tan θ＝＝＝＝2tan α。
例4 (2018·全国卷Ⅲ，17)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( A )
A．2倍 B．4倍
C．6倍 D．8倍
[解析] 如图所示，可知：
x＝vt
x·tan θ＝gt2
则x＝·v2
即x∝v2
甲、乙两球抛出速度为v和，则相应水平位移之比为4∶1，由相似三角形知，下落高度之比也为4∶1，由自由落体运动规律得，落在斜面上竖直方向速度之比为 2∶1，则可得落至斜面时速率之比为2∶1。
考点三 平抛运动与落点界面的综合问题
做平抛运动的物体经常落在一些特定界面上，常见的类型有：竖直面、斜面、圆弧面、抛物面、有界区域、障碍物等，解决这类问题的关键是：把特定界面的几何关系或函数方程与平抛运动规律结合。
(一)落在圆弧面上的平抛运动
如图所示，由半径和几何关系制约时间t：
h＝gt2 R±＝v0t，联立两方程可求t。
例5 如图所示，半圆形凹槽的圆心为O点。在与O点等高的边缘A、B两点处分别以速度v1、v2水平同时相向抛出两个小球，两小球恰好落在弧面上的P点。已知∠AOP＝60°，不计空气阻力，则以下说法中正确的是( B )
A．v1∶v2＝1∶2
B．若只增大v1，两小球可在空中相遇
C．若要使两小球落在P点右侧的弧面上同一点，则应同时增大v1、v2
D．若改变v1、v2的大小，只要两小球落在弧面上的同一点，则v1和v2的大小之和就不变
[解析] 根据几何关系知，从A点抛出的小球水平位移xA＝R－R＝R，从B点抛出的小球水平位移xB＝R＋R＝R，则两小球落在P点的水平位移之比为1∶3，运动时间相等，则初速度之比为1∶3，故A错误；同时抛出的两球在竖直方向做自由落体运动，总在同一高度，若只增大v1，而v2不变，相遇时间变短，下落高度变小，两球可在空中相遇，故B正确；若要使两小球落在P点右侧的弧面上同一点，则A球水平方向位移增大，B球水平位移减小，而两球运动时间相等，所以应使v1增大，v2减小，故C错误；要使两小球落在弧面上的同一点，则水平位移之和为2R，即(v1＋v2)t＝2R，落点不同，竖直方向位移就不同，t也不同，所以(v1＋v2)也不是一个定值，故D错误。
(二)落在抛物面上的平抛运动
例6 (2020·江西师大附中月考)(多选)如图所示，一个质量为0.4 kg的小物块从高h＝0.05 m的坡面顶端由静止释放，滑到水平台上，滑行一段距离后，从边缘O点水平飞出，击中平台右下侧挡板上的P点。现以O为原点在竖直面内建立如图所示的平面直角坐标系，挡板的形状满足方程y＝x2－6(单位：m)，不计一切摩擦和空气阻力，g取10 m/s2，则下列说法正确的是( BC )
A．小物块从O点运动到P点的水平位移为2 m
B．小物块从O点运动到P点的时间为1 s
C．小物块刚到P点时速度方向与水平方向夹角的正切值等于10
D．小物块刚到P点时速度的大小为10 m/s
[解析] 对小物块，从释放至到达O点的过程中，由动能定理得mgh＝mv－0，代入数据解得v0＝＝ m/s＝1 m/s。小物块从O点水平抛出做平抛运动，竖直方向y＝－gt2，水平方向x＝v0t，解得v＝－5x2；又有y＝x2－6，联立解得x＝1 m，y＝－5 m，根据y＝－gt2，解得t＝＝s＝1s，故A错误，B正确；竖直方向的速度大小vy＝gt＝10×1 m/s＝10 m/s，设刚到P点时速度方向与水平方向夹角为θ，则有tan θ＝＝＝10，故C正确；根据速度的合成法则，小物块刚到P点时速度的大小为v＝＝ m/s＝ m/s，故D错误。
(三)落在有界区域的平抛运动
在乒乓球、排球、网球等运动中，都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界，球速往往要有一定的范围限制，在这类问题中，确定临界状态，画好临界轨迹，是解决问题的关键点。
例7 (2019·许昌模拟)如图所示是排球场的场地示意图，设排球场的总长为L，前场区的长度为，网高为h，在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度小于某个临界值H，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。设某一次运动员站在前场区和后场区的交界处，正对网前竖直跳起垂直网将排球水平击出，关于该种情况下临界值H的大小，下列关系式正确的是( C )
A．H＝H B．H＝h
C．H＝h D．H＝h
[解析] 将排球水平击出后排球做平抛运动，排球刚好触网到达底线时，则有＝v0，＋＝v0，联立解得H＝h，故选项C正确。
JIE DUAN PEI YOU CHA QUE BU LOU
阶段培优·查缺补漏
类平抛运动
▼
1．受力特点
物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直。
2．运动特点
在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做
初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。
3．求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。
例8 (2019·江苏调研)如图所示的光滑斜面长为L，宽为s，倾角为θ＝30°，一小球(可视为质点)沿斜面右上方顶点A处水平射入，恰好从底端B点离开斜面，重力加速度为g。则下列说法正确的是( D )
A．小球运动的加速度为g
B．小球由A运动到B所用的时间为
C．小球由A点水平射入时初速度v0的大小为s
D．小球离开B点时速度的大小为
[解析] 本题考查类平抛运动问题。初速度方向与合力方向垂直，且合力大小恒定，则物体做匀变速曲线运动，根据牛顿第二定律得，物体的加速度为a＝＝gsin θ＝g，故A错误；根据L＝at2，有t＝＝＝，故B错误；在B点的平行斜面向下方向的分速度为vBy＝at＝g×＝；根据s＝v0t，得v0＝＝s；故物块离开B点时速度的大小为v＝＝，故C错误，D正确。
2 NIAN GAO KAO MO NI XUN LIAN
2年高考·模拟训练
1．(2019·全国卷Ⅱ，19)(多选)如图(a)，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v－t图象如图(b)所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则( BD )
图(a) 图(b)
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
[解析] A错：v－t图象中图线与t轴包围的面积表示位移大小，第二次滑翔过程中所围面积大，表示在竖直方向上位移大。B对：比较身体姿态对下落速率的影响，应控制两次水平速度相同，运动员在水平方向上的运动可看成匀速直线运动，由x＝vt知运动时间长的水平位移大。C错：从起跳到落到雪道上，第一次速度变化大，时间短，由a＝，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上平均加速度小于第一次。D对：v－t图象的斜率表示加速度，速率为v1时，第二次加速度小，设阻力为f，由mg－f＝ma，可得第二次受到的阻力大。
2．(2019·福建质检)轰炸机进行实弹训练，在一定高度沿水平方向匀速飞行，某时刻释放炸弹，一段时间后击中竖直悬崖上的目标P点，不计空气阻力，下列判断正确的是( C )
A．若轰炸机提前释放炸弹，则炸弹将击中P点上方
B．若轰炸机延后释放炸弹，则炸弹将击中P点下方
C．若轰炸机在更高的高度提前释放炸弹，则炸弹仍可能击中P点
D．若轰炸机在更高的高度延后释放炸弹，则炸弹仍可能击中P点
[解析] 由题意可知，炸弹若提前释放，水平位移增大，在空中的运动时间变长，应落在P点下方，反之落在上方，故A、B错误；炸弹若从更高的高度释放，将落在P点上方，若要求炸弹仍能击中P点，则需要更长的运动时间，故应提前释放炸弹，C正确；若延后释放炸弹，则炸弹将击中P点上方，故D错误。
3.(2019·唐山统考)如图所示，以与竖直墙面垂直、大小为v0＝7.5 m/s的速度抛出一个弹性小球A，抛出点离水平地面的高度为h＝3.2 m，与墙壁的水平距离为s。小球与墙壁发生碰撞后，竖直分速度不变，水平速度大小不变，方向反向，落在水平地面上，落地点到墙壁的水平距离为2s。若重力加速度取10 m/s2，则s的大小为( B )
A．1.8 m B．2.0 m
C．2.2 m D．3.6 m
[解析] 由平抛运动规律有，h＝gt2，解得t＝0.8 s，水平方向上，小球速率不变，故小球水平方向通过的总路程s总＝3s＝v0t，则s＝2.0 m，B项正确。
4.(2019·河北沧州一模)如图所示，竖直平面内有A、B、C三点，三点连线构成一直角三角形，AB边竖直，BC边水平，D点为BC边中点。一可视为质点的物体从A点水平抛出，轨迹经过D点，与AC交于E点。若物体从A运动到E的时间为t1，从E运动到D的时间为t2，则t1∶t2为( A )
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶3 D．1∶3
[解析] 本题考查平抛运动的基本性质。设质点从A运动到D所需的总时间为t，则t＝t1＋t2，∠ACB＝θ，设平抛的初速度为v0，由平抛运动规律得tan θ＝＝，解得＝，所以t1∶t2＝1∶1，故A正确。
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