2020届高考数学一轮复习课时训练：第8章 立体几何 35(含解析)

【课时训练】第35节　空间几何体的结构

及三视图、直观图

一、选择题

1.(2018张家界模拟)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)

A　　　　B　　　　　C　　　 　D

答案为：B

解析：结合几何体及选项知B正确.

2.(2018甘肃一模)如图所示，等腰△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是(　　)

A.等腰三角形 

B.直角三角形

C.等腰直角三角形 

D.钝角三角形

答案为：B

解析：由题图知A′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴，由斜二测画法知在△ABC中，AC∥y轴，AB∥x轴，∴AC⊥AB.又因为A′C′=A′B′，∴AC=2AB≠AB.

∴△ABC是直角三角形.

3.(2018广东佛山一模)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为(　　)

A.2  B.3

C. D.4

答案为：A

解析：当正视图的面积最大时，可以按如图所示放置，可知其侧面的面积S侧=2　.

4.(2018太原模拟)一个正三棱柱的正(主)视图和俯视图如图所示，则这个三棱柱的侧(左)视图的面积为(　　)

A.6　　 B.8

C.8  D.12

答案为：A

解析：该三棱柱的侧(左)视图为一个矩形，由“长对正，高平齐，宽相等”的原理知，其侧(左)视图的底边长为俯视图中正三角形的高，即为2，侧(左)视图的高为3，故其侧(左)视图的面积为S=2×3=6.故选A.

5.(2018四川省级联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则空间四边形AGFE在该正方体的表面上的正投影不可能是(　　)

A　　　　　　B　　　　 　C　 　 　　　D

答案为：B

解析：四边形AGFE在正方体的上、下两个面上的正投影为选项A；在左、右两个面上的正投影为选项D；在前、后两个面上的正投影为选项C.故不可能为选项B.

6.(2018贵州七校联考)如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)(　　)

A.①②⑥　　 B.①②③

C.④⑤⑥  D.③④⑤

答案为：B

解析：正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③.故选B.

7.(2018安徽马鞍山一模)用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴.已知四边形ABCD的面积为2　 cm2，则原平面图形的面积为(　　)

A.4 cm2　　 B.4　 cm2

C.8 cm2  D.8　 cm2

答案为：C

解析：由题意可知∠BAD=45°，则原平面图形为直角梯形，上、下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.

8.(2018邯郸模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为(　　)

A.1 B.2

C.3 D.4

答案为：D

解析：由题意可知，该几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示(图中棱锥P－ABC)，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面全部是直角三角形.故选D.

9.(2018永州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为(　　)

A.1 B.

C.  D.2

答案为：D

解析：由题意知，该几何体的直观图为三棱锥A－BCD，如图，其最大面的表面是边长为2　的等边三角形，故其面积为×2　×=2　.

10.(2018南阳联考)已知一个三棱锥的俯视图与侧(左)视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧(左)视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正(主)视图可能为(　　)

A　　　　　　B　　　　　C　　　　　　D

答案为：C

解析：由已知条件得直观图如图所示，则正(主)视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线.故选C.

11.(2018临沂模拟)如图1，将一个正三棱柱ABC－DEF截去一个三棱锥A－BCD，得到几何体BCDEF，如图2，则该几何体的正(主)视图是(　　)

A　　　　　B　　　 　　C　　　　　D

答案为：C

解析：由于三棱柱为正三棱柱，故平面ADEB⊥平面DEF，△DEF是等边三角形，所以CD在后侧面上的投影为AB的中点与D的连线，CD的投影与底面不垂直.故选C.

12.(2018南昌模拟)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正(主)视图与侧(左)视图的面积之比为(　　)

A.1∶1  B.2∶1

C.2∶3  D.3∶2

答案为：A

解析：根据题意，三棱锥P－BCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长，高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长，高为正四棱柱的高.故三棱锥P－BCD的正(主)视图与侧(左)视图的面积之比为1∶1.

二、填空题

13.(2019河南濮阳质检)给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱.其中正确命题的序号是________.

答案为：①

解析：①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCD－A1B1C1D1中的四面体A－CB1D1；②错误，反例如图所示，底面△ABC为等边三角形，可令AB=VB=VC=BC=AC，则△VBC为等边三角形，△VAB和△VCA均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，必须是相邻的两个侧面.

14.(2018湖北襄阳模拟)如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边长为a的正三角形，则△ABC的面积为________.

答案为：a2

解析：如图所示，△A′B′C′是边长为a的正三角形，

作C′D′∥A′B′交y′轴于点D′，则C′，D′到x′轴的距离为a.

∵∠D′A′B′=45°，∴A′D′=a，

由斜二测画法的法则，知

在△ABC中，AB=A′B′=a，AB边上的高是A′D′的二倍，即为a，

∴S△ABC=a·a=a2.

三、解答题

15.(2018湖南衡阳八中月考)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示.

(1)画出该三棱锥的直观图；

(2)求出侧视图的面积.

【解】(1)直观图如图所示.

(2)根据三视图间的关系可得BC=2　，

∴侧视图中VA==2，∴S△VBC=×2　×2　=6.